গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ২৫ মিটার এবং একটি বাহু ১৫ মিটার হলে অপর বাহু কত?

সমাধান:
প্রদত্ত: d = ২৫ মিটার, a = ১৫ মিটার
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ d এবং বাহু a, b এর মধ্যে সম্পর্ক:
d^২ = a^২ + b^২
২৫^২ = ১৫^২ + b^২
৬৫৫ = ২৫৫ + b^২
b^২ = ৪০০
b = ২০মিটার 

∴ অপর বাহু = ২০ মিটার

প্রশ্ন: ১৬ টাকায় ৪টি করে পেয়ারা কিনে ৩০০ টাকায় কয়টি পেয়ারা বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
২৫% লাভে,
৪টি পেয়ারার বিক্রয়মূল্য = ১৬ × (১২৫/১০০) টাকা = ২০ টাকা

২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৪ টি পেয়ারা
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৪/২০ টি পেয়ারা
∴ ৩০০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (৪/২০) × ৩০০ টি পেয়ারা
= (৪ × ৩০০)/২০ টি
= ১২০০/২০ টি
= ৬০ টি পেয়ারা

∴ ৩০০ টাকায় বিক্রয় করতে হলে ৬০ টি পেয়ারা বিক্রি করতে হবে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য = 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য = 4x × (3/4) = 3x মিটার 

এখন, 
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 625/25
⇒ x² = 25
∴ x = 5

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = (4 × 5) মিটার = 20 মিটার
এবং
লম্বের দৈর্ঘ্য = 3x মিটার = (3 × 5) মিটার = 15 মিটার 

∴ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 20 : 15 
= 4 : 3  ।

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6 × 36
= 216 বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 75 = কত? 

সমাধান: 
1 + 2 + 3 +.....................+ 75 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = 1 
ধারাটির শেষ পদ = 75 এবং 
পদসংখ্যা = 75 

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2 
= {(75 + 1) × 75}/2 
= (76 × 75)/2 
= 38 × 75 
= 2850 

প্রশ্ন: P(A) = 1/4, P(B) = 1/3, A ও B স্বাধীন হলে, P(A ∪ B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/4
P(B) = 1/3

যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= 1/4 × 1/3
= 1/12

আমরা জানি,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 1/4 + 1/3 - 1/12
= (3 + 4 - 1)/12
= 6/12
= 1/2

∴ P(A ∪ B) = 1/2

- ২ এবং ৪২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ১২টি।
- সংখ্যাগুলো হলো: ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১।
- কিন্তু যদি বলা হতো ২ থেকে ৪২ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা তাহলে ২ অন্তর্ভূক্ত হতো এবং সংখ্যা হতো ১৩টি।

প্রশ্ন: A, B ও C এর মধ্যে ১২৪ টাকা (১/২) : (১/৩) : (১/৫) অনুপাতে ভাগ করলে, A কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A : B : C = ১/২ : ১/৩ : ১/৫
= (৩০/২) : (৩০/৩) : (৩০/৫)  ; [২, ৩, ৫ এর ল.সা.গু = ৩০] 
= ১৫ : ১০ : ৬ 
∴ A : B : C = ১৫ : ১০ : ৬ 

অনুপাতের সমষ্টি = ১৫ + ১০ + ৬ = ৩১ অংশ
এবং মোট = ১২৪ টাকা

∴ A পাবে = (১২৪ এর ১৫/৩১) টাকা 
= ৬০ টাকা 

অতএব, A পাবে ৬০ টাকা। 

প্রশ্ন: ১২.৫% সরল সুদে কোনো মূলধন কত বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, মূলধন = P টাকা
সুদের হার, r = ১২.৫%
সময় = n বছর

সুদে-আসলে ৩ গুণ হলে, সুদ-আসল = ৩P
∴ সুদ, I = ৩P - P = ২P টাকা

আমরা জানি,
I = (P × n × r)/১০০
⇒ ২P = (P × n × ১২.৫)/১০০
⇒ ২ = (n × ১২.৫)/১০০
⇒ ২ × ১০০ = ১২.৫n
⇒ ২০০ = ১২.৫n
⇒ n = ২০০/১২.৫
∴ n = ১৬ বছর

সুতরাং, ১৬ বছরে মূলধন সুদে-আসলে তিনগুণ হবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ১৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১০০ জন ইতিহাসে, ৯০ জন ভূগোলে এবং ৬০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
শুধু ইতিহাসে পাস = (১০০ - ৬০) জন = ৪০ জন
শুধু ভূগোলে পাস = (৯০ - ৬০) জন = ৩০ জন
উভয় বিষয়ে পাস = ৬০ জন

যেকোনো একটি বিষয় এবং উভয় বিষয়ে পাস করেছে = (৪০ + ৩০ + ৬০) জন
= ১৩০ জন

প্রশ্ন: কোনটি 4x⁴ - 25x² + 36 এর উৎপাদক নয়?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
4x⁴ - 25x² + 36
= 4x⁴ - 16x² - 9x² + 36
= 4x²(x² - 4) - 9 (x² - 4)
= (x² - 4) (4x² - 9)
= (x + 2)(x - 2){(2x)² - 3²}
= (x + 2)(x - 2)(2x + 3)(2x - 3)

এখানে, x + y = 9……. (i)
এবং x/y = 2 বা, x = 2y..(ii) হলে x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 2y+y = 9
বা, 3y = 9
বা, y = 3
সুতরাং, x = 6

∠B = ∠D = 75°
∠ADE = 180° - ∠D
= 180° - 75°
= 105°

প্রশ্ন: যদি x + y = 3 এবং xy = - 10 হয়, তবে, x⁴ + y⁴ - 3 (x³y + xy³) এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: ০.৯৬০৪ এর বর্গমূল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
√০.৯৬০৪
= √(৯৬০৪/১০০০০)
= √(৯৮^২/১০০^২)
= ৯৮/১০০
= ০.৯৮

প্রশ্ন: যদি x² + px + 12 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p> 0 তবে p এর মান কত?

সমাধান:
x² + px + 12 = 0 প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক,
p²- 4 × 1 × 12
= p²- 48

যেহেতু সমীকরণের মূল দুটি সমান, তাই নিশ্চায়কের মান শূন্য
p²- 48 = ০
বা, p²= 48
বা, p = √48
∴ p = 4√3

প্রশ্ন: p⁶ - 64 এর একটি উৎপাদক নয়-

সমাধান:
p⁶ - 64
= (p³)² - (8)²
= (p³ + 8)(p³ - 8)
= (p³ + 2³)(p³ - 2³)
= (p + 2)(p² - 2p + 2²)(p - 2)(p² + 2p + 2²)
= (p + 2)(p² - 2p + 4)(p - 2)(p² + 2p + 4)

log₅25√5 = log₅5².5¹/²
= log₅5²⁺¹/²
= log₅5⁵/²
= 5/2 log₅5
= 5/2 ×1
= 5/2

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৮৪২ থেকে যত ছোট, ৬১২ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

Solution:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৮৪২ - ক = ক - ৬১২
⇒ ৮৪২ + ৬১২ = ক + ক
⇒ ১৪৫৪ = ২ক
⇒ ক = ১৪৫৪/২
∴ ক = ৭২৭

বিকল্প পদ্ধতি:
সংখ্যাটি হলো প্রদত্ত সংখ্যা দুটির গড় বা মধ্যবর্তী মান।
সংখ্যাটি = (৮৪২ + ৬১২)/২
= ১৪৫৪/২
= ৭২৭

∴ সংখ্যাটি হলো ৭২৭

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা অসম্ভব? 

সমাধান: 
সমকোণী ত্রিভুজে, a² + b² = c²

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² , সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² , সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
2² + 3² = 4 + 9 = 13 ≠ 25, সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা অসম্ভব।
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² , সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 4 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
 
মনে করি,
ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো। ফলে 6 টি সমান ক্ষেত্রবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।
∠COD = 360°/6 = 60°

মনে করি কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুগুলোর দূরত্ব a মিটার।
ΔCOD এর ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গ একক
= (√3/4) × 4²
= 4√3  বর্গ মিটার

∴ সুষম ষড়ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 6 × △COD এর ক্ষেত্রফল 
= 6 × 4√3 বর্গ মিটার
= 24√3 বর্গ মিটার

সুতরাং, সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = 24√3 বর্গ মিটার। 

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২×৮×৯ = ৩৬ বর্গ সে.মি.।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
প্রশ্নমতে, a² = ৩৬
∴ a = ৬
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪a = ৪×৬ = ২৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 4 হয়, তাহলে x⁴ + (1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 4
⇒ (x + 1/x)² = 4² [উভয় পাশে বর্গ করে]
⇒ x² + 2 × x × (1/x) + 1/x² = 16
⇒ x² + (1/x²) = 16 - 2
⇒ x² + (1/x²) = 14

আবার,
⇒ {x² + (1/x²)}² = 14²
⇒ (x²)² + 2 × x² × (1/x²) + (1/x²)² = 196
⇒ x⁴ + 2 + (1/x⁴) = 196
⇒ x⁴ + (1/x⁴) = 196 - 2
∴ x⁴ + (1/x⁴) = 194

ডিমরগানের উপপাদ্য অনুসারে,
(A∩B∩C)′ = A′∪B′∪C′