গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: (2x^{- 1})² ÷ x^{- 5} = কত?

সমাধান:
(2x^{- 1})² ÷ x^{- 5}
= 2² × x^{- 2} ÷ x^{- 5}
= 4 × x^{- 2 - (- 5)}
= 4 × x^{- 2 + 5}
= 4 × x³
= 4x³

প্রশ্ন: P(2, 5) এবং Q(8, - 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক কত?

সমাধান:

৬০ = ক এর ৮০%
বা, ৬০ = ক এর ৮০/১০০
বা, ৮০ক = ৬০০০
বা, ক = ৭৫

Question: 36 men can complete a piece of work in 18 days. In how many days will 27 men complete the same work?

Solution:
৩৬ জন লোকে একটি কাজ করতে পারে ১৮ দিনে
১ জন লোকে একটি কাজ করতে পারে ১৮ × ৩৬ দিনে
২৭ জন লোকে একটি কাজ করতে পারে (১৮ × ৩৬)/২৭ দিনে
= ২৪ দিনে

প্রশ্ন: 'CALCULUS' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'CALCULUS' শব্দটির মোট অক্ষর = 8টি

এদের মধ্যে,
C অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
L অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
U অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 8!/(2! × 2! × 2!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/{(2 × 1) × (2 × 1) × (2 × 1)}
= 40320/(2 × 2 × 2)
= 40320/8
= 5040

∴ 'CALCULUS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে 5040 উপায়ে সাজানো যায়।

প্রশ্ন:

সমাধান:

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90-ক)
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 4
বা, ক - 90 + ক = 4
বা, 2ক = 94
বা, ক = 47
সুতরাং অপর কোণটি = 90 - ক = 90-47 = 43°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার । এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, প্রস্থ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার
এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১০ + ক) মিটার

শর্তমতে,
২ × (১০ + ক) = ৩০
বা, (১০ + ক) = ৩০/২
বা, ১০ + ক = ১৫
বা, ক = ১৫ - ১০
∴ ক = ৫ মিটার

তাহলে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৫ মিটার

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
মিশ্রণে এসিড : পানির অনুপাত = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৬০ × (৩/৫)} = ৩৬ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৬০ × (২/৫)} = ২৪ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩৬ : (২৪ + x) = ২ : ৩
বা, ৩৬/(২৪ + x) = ২/৩ 
বা, ১০৮ = ৪৮ + ২x 
বা, ২x = ১০৮ - ৪৮ 
বা, ২x = ৬০ 
বা, x = ৬০/২ 
∴ x = ৩০ 

∴ ৩০ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬৪, ৮০, ৯৬ ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৮, ১২ ভাগশেষ থাকে?

সমাধান:
এখানে,
৬৪ - ৪ = ৬০
৮০ - ৮ = ৭২
৯৬ - ১২ = ৮৪

এখন, ৬০, ৭২ ও ৮৪ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।

৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৮৪ = ২ × ২ × ৩ × ৭

সুতরাং, গ.সা.গু = ২ × ২ × ৩ = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২

প্রশ্ন: a/b এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2b/a হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
(a/b) এর সাথে x যোগ করলে যোগফল (2b/a) হবে 

প্রশ্নমতে, 
(a/b) + x = (2b/a)
⇒ x = (2b/a) - (a/b)
⇒ x = (2b² - a²)/ab
∴ x = (2b² - a²)/ab

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৮, ১২ ও ১৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ৯ ও ১২ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৮ - ৫ = ৩
১২ - ৯ = ৩
১৫ - ১২ = ৩

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৮, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম।

৮ = ২ × ২ × ২ = ২^৩
১২ = ২ × ২ × ৩ = ২^২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

এখন, ৮, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ২^৩ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১২০ - ৩ = ১১৭

আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = ১২০ × ৭০ = ৮৪০০ বর্গফুট
৮৪০০ কে ১৫^২ এবং ১১^২ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না
৮৪০০ কে ১০^২ এবং ৫^২ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় 
সুতরাং, সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ১০ ফুট

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৫° ও ৬৫° হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের দুই কোণের পরিমান ২৫° ও ৬৫° হলে,
কোণ দুইটির যোগফল = ২৫° + ৬৫° = ৯০° 
অতএব, অপর কোণ = ১৮০° - ৯০° = ৯০°
একটি ত্রিভুজের এক কোণ সমকোণ হলে তা সমকোণী 

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ। 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে ১৮ মিটার বেশি। পরিসীমা ১৫২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = x + ১৮ মিটার

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ ২ × [(x + ১৮) + x] = ১৫২
⇒ ২ × (২x + ১৮) = ১৫২
⇒ ৪x + ৩৬ = ১৫২
⇒ ৪x = ১৫২ - ৩৬
⇒ ৪x = ১১৬
⇒ x = ১১৬/৪ 
∴ x = ২৯

অতএব, প্রস্থ = ২৯ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২৯ + ১৮ = ৪৭ মিটার

ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= (৪৭ × ২৯) বর্গমিটার
= ১৩৬৩ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল ১৩৬৩ বর্গমিটার

এখানে,
ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৪ টাকা।
সুতরাং ক্ষতি = (৫ - ৪) টাকা
= ১ টাকা
৫ টাকায় ক্ষতি হয় ১ টাকা
১ টাকায় ক্ষতি হয় ১/৫ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি হয় ১০০/৫ টাকা
= ২০ টাকা।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° এবং সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90°
সুতরাং সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পরিমাণ = (180° - 90°) = 90° = 40°+ 50°

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির প্রথম 13টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
পদ সংখ্যা n = 13

S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₃ = (13/2)[2 × 3 + (13 - 1) × 4]
⇒ S₁₃ = (13/2) [6 + 12 × 4]
⇒ S₁₃ = (13/2) [6 + 48]
⇒ S₁₃ = (13/2) × 54
⇒ S₁₃ = 13 × 27
⇒ S₁₃ = 351

∴ প্রথম 13টি পদের সমষ্টি 351 

x² + (a + b)x + ab = 0
বা, x² + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a)(x + b) = 0
∴ x = -a, -b
∴ সমাধান সেট = {-a, -b}

প্রশ্ন: secθ + tanθ = m, হলে tanθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ + tanθ = m ................. (1)

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
বা, (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
বা, m(secθ - tanθ) = 1
বা, secθ - tanθ = 1/m ................ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
secθ + tanθ = m
secθ - tanθ = 1/m
2tanθ = m - (1/m)
বা, 2tanθ = (m² - 1)/m
∴ tanθ = (m² - 1)/2m

প্রশ্ন: 16^{n - (1/2)} = 64 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
16^{n - (1/2)} = 64
⇒ (2⁴)^{n - (1/2)} = 2⁶
⇒ 2^{4n - 2} = 2⁶
⇒ 4n - 2 = 6
⇒ 4n = 6 + 2
⇒ 4n = 8
⇒ n = 8/4
∴ n = 2

প্রশ্ন:

সমাধান:
= ২১/৪, 

= ১৭/৮

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবের ল.সা.গু)/(হরের গ.সা.গু)
এখানে,
২১ এবং ১৭ এর ল.সা.গু = ২১ × ১৭ = ৩৫৭

৪ এবং ৮ এর গ.সা.গু:
৪ = ২ × ২
৮ = ২ × ২ × ২
∴ গ.সা.গু = ৪

∴ ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ৩৫৭/৪

ধরি,
ভূমি = a, লম্ব = b এবং
অতিভূজ c = ১৩

∴ পরিসীমা a + b + c = ৩০
বা, a + b = ৩০ - c = ৩০ - ১৩ = ১৭
বা, (a + b)² = ১৭^২
বা, a² + b²+ 2ab = ২৮৯
বা, c² + 2ab = ২৮৯ [পিথাগোরাসের সূত্রানূসারে]
বা, ১৩^২ + ২ab = ২৮৯
বা, ২ab = ২৮৯ - ১৬৯ = ১২০
বা, ab = ৬০
বা, (১/২)ab = ৩০
∴ ১/২ × ভুমি × উচ্চতা = ৩০ বর্গ সে. মি.

তিন পুত্রের বয়সের অনুপাত = ৫ ঃ ৭ ঃ ৯
অনুপাতের যোগফল = ( ৫ + ৭ + ৯ ) = ২১
∴ বড় ছেলে পাবে ( ৪২০০ এর ৯/২১ ) = ১৮০০ টাকা

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x সেমি
তাহলে, লম্বের দৈর্ঘ্য x-2 সেমি
এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য x+2 সেমি
এখন,
x² + (x-2)² = (x+2)²
⇒ x² + x² - 4x +4 = x² + 4x + 4
⇒ x² = 8x
⇒ x = 8
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য 8+2 = 10 সেমি।

মনে করি,
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল ৫x বছর এবং পুত্রের বয়স ছিল ৩x বছর।
∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫x + ১০) বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩x +১০) বছর।

প্রশ্নমতে,
(৫x + ১০) + (৩x +১০) = ৮৪
⇒ ৮x + ২০ = ৮৪
⇒ ৮x = ৬৪
∴ x = ৮

∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫ × ৮ + ১০) = ৫০ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩ × ৮ +১০) = ৩৪ বছর

∴ ১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে
(৫০+১০) : (৩৪+১০)
= ৬০ : ৪৪
= ১৫ : ১১

৬, ১৫, ২০, ২৪ এর ল.সা.গু. = ১২০
এখন,
৯৬০ ÷ ১২০ = ৮ এবং ৯৬০ < ১০০০
∴ উত্তরঃ ৯৬০

প্রশ্ন: যদি ২ জন পুরুষ বা ৩ জন মহিলা একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে তবে ২ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
৩ জন মহিলা = ২ জন পুরুষ
∴ ১ জন মহিলা = ২/৩ জন পুরুষ
∴ ৬ জন মহিলা = (২/৩) × ৬ = ৪ জন পুরুষ

সুতরাং ২ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলা = (২ + ৪) = ৬ জন পুরুষ

এখন,
২ জন পুরুষ কাজটি করে ২৪ দিনে
∴ ১ জন পুরুষ কাজটি করে ২ × ২৪ = ৪৮ দিনে
∴ ৬ জন পুরুষ কাজটি করে ৪৮/৬ = ৮ দিনে

∴ ২ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলা ঐ কাজটি ৮ দিনে করতে পারবে।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২০ মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির ৩/৪ অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির ভূমি, b = ক মিটার
∴ ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = (৩/৪)ক মিটার

প্রশ্নমতে,
ক + (৩/৪)ক + (৩/৪)ক = ২০
⇒ (৪ক + ৩ক + ৩ক)/৪ = ২০
⇒ ১০ক/৪ = ২০
⇒ ১০ক = ২০ × ৪
⇒ ১০ক = ৮০ 
⇒ ক = ৮০/১০
⇒ ক = ৮

∴ ত্রিভুজটির ভূমি b = ৮ মিটার
এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = (৩/৪) × ৮ = ৬ মিটার

এখন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a^২ - b^২)
= (৮/৪) × √{৪(৬)^২ - (৮)^২}
= ২ × √(৪ × ৩৬ - ৬৪)
= ২ × √(১৪৪  - ৬৪)
= ২ × √৮০
= ২ × √(১৬ × ৫) 
= ২ × ৪√৫ 
= ৮√৫  বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮√৫ বর্গমিটার।

ধরি,
ভূমি ৪a সেঃমিঃ
∴ লম্ব = ৪a × ৩/৪
= ৩a সেঃমি
∴ অতিভূজ = √{(৪a)^২ + (৩a)²}
                  = √(২৫a)²
                  = ৫a
∴ ৫a = ৩০
∴ a = ৬
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৩a × ৪a
                  = ৬a²
                  = ৬ × ৬²
                  = ২১৬ বর্গসেঃমিঃ

১০০ টি ফলের মধ্যে কমলা ৪০ টি
∴ ১৫〃 〃 〃 〃(৪০×১৫)/১০০ টি
                  = ৬ টি
∴ ১৫ টি ফলের মধ্যে আপেল (১৫-৬) = ৯ টি