Linear, Quadratic & Polynomial Equation

PrepBank · পাতা ২ / ২ · ১০১–১১২ / ১১২

১০১.

If (2a + 1)(a + 3) = 12a , then find the value of a.

ক
5, 3
খ
3, 1/2
গ
2/3, 2
ঘ
1, 3/2

সঠিক উত্তর: ঘ

1, 3/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

1, 3/2

ঘ

ব্যাখ্যা

Question: If (2a + 1)(a + 3) = 12a , then find the value of a.

Solution:
⇒ (2a + 1)(a + 3) = 12a
⇒ 2a² + 6a + a + 3 - 12a = 0
⇒ 2a² - 5a + 3 = 0
⇒ 2a² - 2a - 3a + 3 = 0
⇒ 2a(a - 1) - 3(a - 1) = 0
⇒ (a - 1)(2a - 3) = 0

Now,
a - 1 = 0
∴ a = 1
or
2a - 3 = 0
∴ a = 3/2

∴ a = 1 or a = 3/2

১০২.

Solve: 16y² = 32y³ + 2y

ক
1/4
খ
1
গ
4
ঘ
14

সঠিক উত্তর: ক

1/4

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1/4

ক

ব্যাখ্যা

Question: Solve: 16y² = 32y³ + 2y

Solution:
16y² = 32y³ + 2y
⇒ 16y = 32y² + 2
⇒ 32y² - 16y + 2 = 0
⇒ 16y² - 8y + 1 = 0
⇒ (4y)² - 2.4y.1 + 1² = 0
⇒ (4y - 1)² = 0
⇒ 4y - 1 = 0
∴ y = 1/4

১০৩.

Question:

ক
4/3
খ
8/9
গ
2/3
ঘ
2

সঠিক উত্তর: খ

8/9

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

8/9

খ

ব্যাখ্যা

Question:

Solution:

১০৪.

Quadratic equation corresponding to the roots 2 + √5 and 2 - √5 is-

ক
x² - 4x + 1 = 0
খ
x² - 4x - 1 = 0
গ
x² + 4x + 1 = 0
ঘ
x² + 4x - 1 = 0

সঠিক উত্তর: খ

x² - 4x - 1 = 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

x² - 4x - 1 = 0

খ

ব্যাখ্যা

Question: Quadratic equation corresponding to the roots 2 + √5 and 2 - √5 is-

Solution:
The quadratic equation is: x² - (Sum of roots)x + Product of roots = 0

Let the roots of the equation be A and B.
A = 2 + √5 and B = 2 - √5

∴ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4
∴ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = - 1

Then equation is x² - 4x - 1 = 0

১০৫.

When x³ - 3x² + x + 2 is divided by polynomial g(x), then quotient and remainder are x - 2 and - 2x + 4, respectively, g(x) is:

ক
x² - x + 1
খ
x² + x + 1
গ
x² + x - 1
ঘ
x² - x - 1

সঠিক উত্তর: ক

x² - x + 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

x² - x + 1

ক

ব্যাখ্যা

Question: When x³ - 3x² + x + 2 is divided by polynomial g(x), then quotient and remainder are x - 2 and - 2x + 4, respectively, g(x) is:

Solution:
According to the division algorithm,
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder

We have,
Dividend = x³ - 3x² + x + 2,
Divisor = g(x),
Quotient = x - 2
and Remainder = -2x + 4

Put the given values in the below equation and simplify it, to get the value of g (x).

Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
(x³ - 3x² + x + 2) = g(x) × (x - 2) + (- 2x + 4)
⇒ (x³ - 3x² + x + 2) - (- 2x + 4) = g(x) × (x - 2)
⇒ (x³ - 3x² + x + 2x + 2 - 4) = g(x) × (x - 2)
⇒ (x³ - 3x² + 3x - 2) = g(x) × (x - 2)
⇒ g(x) = (x³ - 3x² + 3x - 2)/(x - 2)

Therefore, g(x) = x² - x + 1

১০৬.

The quadratic equation 2x² - √5x + 1 = 0 has-

ক
no real roots
খ
two distinct real roots
গ
two equal real roots
ঘ
more than 2 real roots

সঠিক উত্তর: ক

no real roots

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

no real roots

ক

ব্যাখ্যা

Question: The quadratic equation 2x² - √5x + 1 = 0 has-

Solution:
Given,
2x² - √5x + 1 = 0Comparing with the standard form of a quadratic equation,
a = 2, b = - √5, c = 1

Now,
b² - 4ac = (- √5)² - 4(2)(1)
= 5 - 8
= - 3 < 0

Therefore, the given equation has no real roots.

১০৭.

If 8x - 3y = 24 and y = 0, then x = ?

ক
0
খ
3
গ
8
ঘ
- 3

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

Question: If 8x - 3y = 24 and y = 0, then x = ?

Solution:
Here,
8x - 3y = 24 ............(1)
y = 0 .............(2)

Putting y = 0 into equation (1) we get,
⇒ 8x - (3 × 0) = 24
⇒ 8x = 24
⇒ x = 24/8
∴ x = 3

১০৮.

Quadratic equation corresponding to the roots 2 + √5 and 2 - √5 is-

ক
x² - 4x - 1 = 0
খ
x² + 4x - 1 = 0
গ
x² - 4x + 1 = 0
ঘ
x² + 4x + 1 = 0

সঠিক উত্তর: ক

x² - 4x - 1 = 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

x² - 4x - 1 = 0

ক

ব্যাখ্যা

Question: Quadratic equation corresponding to the roots 2 + √5 and 2 - √5 is-

Solution:
The quadratic equation is: x² - (Sum of roots)x + Product of roots = 0

Let the roots of the equation be A and B.
A = 2 + √5 and B = 2 - √5

∴ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

∴ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = - 1

Then equation is
x² - 4x - 1 = 0

১০৯.

Find the slope of the line perpendicular to the line y = - 2x + 5.

ক
1/2
খ
2
গ
1/3
ঘ
3

সঠিক উত্তর: ক

1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1/2

ক

ব্যাখ্যা

Question: Find the slope of the line perpendicular to the line y = - 2x + 5.

Solution:
Given line: y = - 2x + 5
The slope of this line is m₁ = - 2 [Comparing with y = mx + c]

We know,
If two lines are perpendicular, their slopes satisfy m₁ × m₂ = - 1
Let m₂ be the slope of the perpendicular line. Then,

(- 2) × m₂ = - 1
⇒ m₂ = (- 1)/(-2)
⇒ m₂ = 1/2

So, the slope of the line perpendicular to the given line is 1/2.

১১০.

Find the equation of the vertical line passing through the point (5, - 3).

ক
y = - 3
খ
x = - 3
গ
y = 5
ঘ
x = 5

সঠিক উত্তর: ঘ

x = 5

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

x = 5

ঘ

ব্যাখ্যা

Question: Find the equation of the vertical line passing through the point (5, - 3).

Solution:
একটি উল্লম্ব রেখা (vertical line) হলো এমন একটি সরলরেখা যা Y-অক্ষের সমান্তরাল। এই ধরনের রেখার একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য হলো, এই রেখার উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক (x-coordinate) একই থাকে, কিন্তু y-স্থানাঙ্ক (y-coordinate) পরিবর্তিত হতে পারে।

উল্লম্ব রেখার (vertical line) সাধারণ সমীকরণ হলো: x = a
যেখানে a একটি ধ্রুবক সংখ্যা এবং রেখার প্রতিটি বিন্দুর x এর মান একই থাকে।

প্রশ্নে বলা হয়েছে রেখাটি (5, - 3) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।
যেহেতু, আমরা জানি, একটি উল্লম্ব রেখার প্রতিটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক একই থাকে, এবং এই বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক হলো 5, সুতরাং, রেখাটির সমীকরণ হবে:
x = 5

১১১.

The equation 12x² + 4kx + 3 = 0 has real and equal roots, if-

ক
k = ± 3
খ
k = ± 9
গ
k = 4
ঘ
k = ± 2

সঠিক উত্তর: ক

k = ± 3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

k = ± 3

ক

ব্যাখ্যা

Question: The equation 12x² + 4kx + 3 = 0 has real and equal roots, if-

Solution:
Here a = 12, b = 4k, c = 3
Since the given equation has real and equal roots
∴ b² - 4ac = 0
⇒ (4k)² - 4 × 12 × 3 = 0
⇒ 16k² - 144 = 0
⇒ 16k² = 144
⇒ k² = 9
⇒ k = ± 3

১১২.

ক
-1
খ
2
গ
4
ঘ
None of these

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

Question:

Solution: