Linear, Quadratic & Polynomial Equation

Question: Find the equation of the line with x-intercept = 6 and y-intercept = 5.

Solution:
Given,
x-intercept = 6, So, the line passes through (6, 0).
y-intercept = 5, So, the line passes through (0, 5).

We know, The intercept form of a line is:
(x/a) + (y/b) = 1, where a = x-intercept, b = y-intercept.
⇒ (x/6) + (y/5) = 1
⇒ (5x + 6y)/30 = 1
⇒ 5x + 6y = 30
⇒ 5x + 6y - 30 = 0

∴ The equation of the line is 5x + 6y - 30 = 0

Question: Five times the first of three consecutive even integers is 4 more than two times the third. The sum of the integers is-

Solution:
Let,
The three even integers = x, x + 2 and x + 4

ATQ,
5x = 2(x + 4) + 4
⇒ 5x = 2x + 8 + 4
⇒ 5x - 2x = 12
⇒ 3x = 12
∴ x = 4

∴ First integer = 4
Second integer = x + 2 = 4 + 2 = 6
And, third integer = x + 4 = 4 + 4 = 8

∴ Sum = 4 + 6 + 8 = 18

Question: If α, β are the roots of the equation 2x² + 10x - 12 = 0, then α + β equals to:

Solution:
Given that,
2x² + 10x - 12 = 0
Where, a = 2, b = 10, c = - 12

Now, For a quadratic equation ax2 + bx + c = 0, the sum of roots α + β = - b/a
sum of roots α + β = - b/a = - 10/2 = - 5

Question: Find the degree of the polynomial 3x⁵ + 5x²y⁴ + 7y³ + 2.

Solution:
একটি বহুপদীর (polynomial), ঘাত (degree) হলো সেই বহুপদীর পদগুলির মধ্যে সর্বোচ্চ ঘাত। প্রতিটি পদের ঘাত হলো সেই পদের চলকগুলির (variables) ঘাতগুলির যোগফল।

এখন, প্রতিটি পদের ঘাত:
3x⁵ এর ঘাত = 5
5x²y⁴ এর ঘাত = 2 + 4 = 6
7y³ এর ঘাত = 3
2 এর ঘাত = 0

সর্বোচ্চ ঘাত = 6
সুতরাং, বহুপদীটির ঘাত (degree) = 6

Question: In a class if 5 students are seated in each bench, 5 benches remain vacant. But if 4 students are seated on each bench, 8 students are to remain standing. What is the number of students in that class?

Solution:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা x টি

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্র বসলে 5 টি বেঞ্চ খালি থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা= (x - 5) × 5 জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ ছাত্রসংখ্যা = 4x + 8 জন

প্রশ্নমতে,
(x - 5) × 5 = 4x + 8
⇒ 5x - 25 = 4x + 8
⇒ 5x - 4x = 8 + 25 
∴ x = 33

∴ ছাত্রসংখ্যা = (x - 5) × 5 জন
= (33 - 5) × 5 জন 
= 28 × 5 জন 
= 140 জন 

∴ ঐ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা 140 জন। 

Question: If dividing P(x) = 4x³- 7x² + bx - 5 by (x - 3) results the remainder 10, then find the value of b.

Solution:
According to the Remainder Theorem, if a polynomial P(x) is divided by (x - c), then the remainder = P(c).
Here divisor is (x - 3).
So remainder = P(3).

Now,
P(3) = 4(3)³ - 7(3)² + b(3) - 5

= 4 × 27 - 7 × 9 + 3b - 5

= 108 - 63 + 3b - 5

= 40 + 3b

According to the question, the remainder is 10.
So, 40 + 3b = 10

⇒ 3b = 10 - 40
⇒ 3b = - 30
⇒ b = - 10

Question: If α, β are the roots of the equation x² - 9x + 20 = 0, then αβ equals:

Solution:
x² - 9x + 20 = 0
⇒ x² - 5x - 4x + 20 = 0
⇒ x(x - 5) - 4(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x - 4) = 0
⇒ x = 5, 4

Hence, α = 5, β = 4

Hence, The value of α × β = 5 × 4 = 20
∴ αβ = 20

Shortcut:
দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর মূলদ্বয় α এবং β হলে,
αβ = c/a [যেখানে, a হলো x² এর সহগ এবং c ধ্রুবক পদ]
∴ αβ = 20/1 = 20

Question: If α and β are the roots of the equation 4x² - 25x + 36 = 0, then the value of αβ equals:

Solution:
4x² - 25x + 36 = 0
⇒ 4x² - 16x - 9x + 36 = 0
⇒ 4x(x - 4) - 9(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(4x - 9) = 0
হয়, x - 4 = 0 ⇒ x = 4
অথবা, 4x - 9 = 0 ⇒ x = 9/4

অর্থাৎ, α = 4 এবং β = 9/4
∴ αβ = 4 × (9/4) = 9

Shortcut:
আমরা জানি, ax² + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল αβ = c/a
এখানে, a = 4 এবং c = 36
∴ αβ = 36/4 = 9

Question: In a two-digit number, the difference of its digits is 2. If the digits are interchanged, the new number is 6 less than twice the original. What is the number?

Solution:
ধরি, 
একক স্থানীয় অঙ্ক = x
এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = 10y + x

১ম শর্তমতে, 
x - y = 2 
বা, x = y + 2 ................(i) 

২য় শর্তমতে, 
(10x + y) = 2(10y + x) - 6
বা, 10x + y = 20y + 2x - 6 
বা, 10x - 2x - 20y + y = - 6
বা, 8x - 19y = - 6 
বা, 8(y + 2) - 19y = - 6   [যেহেতু x = y + 2]
বা, 8y + 16 - 19y = - 6 
বা, - 11y = - 6 - 16 
বা, - 11y = - 22
বা, y = (- 22)/(- 11)
∴ y = 2 

(i) নং সমীকরণে y = 2 বসিয়ে পাই, 
x = y + 2
বা, x = 2 + 2 
∴ x = 4

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 10y + x
= (10 × 2) + 4
= 20 + 4
= 24

Question: If (5 - 2x) ≤ 13, then which one is correct?

Solution: 

Given, 
⇒ 5 - 2x ≤ 13
⇒ 5 - 2x - 5 ≤ 13 - 5
⇒ - 2x ≤ 8
∴ x ≥ - 4

Question: If α, β are the roots of the equation x² - 11x + 28 = 0, then αβ equals:

Solution:
x² - 11x + 28 = 0
⇒ x² - 7x - 4x + 28 = 0
⇒ x(x - 7) - 4(x - 7) = 0
⇒ (x - 7)(x - 4) = 0
⇒ x = 7, 4

Hence, α = 7, β = 4

Hence, The value of αβ = 7 × 4 = 28

∴ αβ = 28

Shortcut:
দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর মূলদ্বয় α এবং β হলে,
αβ = c/a [যেখানে, a হলো x²-এর সহগ এবং c ধ্রুবক পদ]
∴ αβ = 28/1 = 28

Question: Which of the following is the polynomial equation 7x⁴ + 3x² - 2x + 1 = 0?

Solution:
প্রদত্ত বহুপদী সমীকরণটি x এর সাপেক্ষে।
x এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো 4 এবং তাই সমীকরণটির ঘাত 4
∴ এই সমীকরণটির মাত্রা (degree) হলো 4
সুতরাং, এটি একটি চতুর্ঘাত বা দ্বি-দ্বিঘাত সমীকরণ (Biquadratic equation)।

• বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাত 1 হলে তা রৈখিক (linear) সমীকরণ।
• বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাত 2 হলে তা দ্বিঘাত (quadratic) সমীকরণ।
• বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাত 3 হলে তা ত্রিঘাত (cubic) সমীকরণ।
• বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাত 4 হলে তা চতুর্ঘাত বা দ্বি-দ্বিঘাত (biquadratic) সমীকরণ।

Question: If x = 5 + √3 and y = 5 - √3, find the value of (x² + y²)²

Solution:
We are given:
x = 5 + √3, y = 5 - √3

Now,
x + y
= (5 + √3) + (5 - √3)
= 10

And,
⇒ xy
= (5 + √3)(5 - √3)
= 5² - (√3)²
= 25 - 3
= 22

We know,
x² + y² = (x + y)² - 2xy
⇒ x² + y² = (10)² - 2(22) [Substitute the values]
⇒ x² + y² = 100 - 44
⇒ x² + y² = 56

∴ (x² + y²)² = 56² = 3136

Question: If dividing P(x) = 4x³ - 7x² + bx - 5 by (x - 2) results in the remainder 13, then find the value of b.

Solution:
According to the Remainder Theorem, if a polynomial P(x) is divided by (x - c), then the remainder = P(c).
Here divisor is (x - 2).
So remainder = P(2).

Now,
P(2) = 4(2)³ - 7(2)² + b(2) - 5

= 4 × 8 - 7 × 4 + 2b - 5

= 32 - 28 + 2b - 5

= 32 + 2b - 33
= 2b - 1

According to the question, the remainder is 10.
So, 2b - 1 = 13

⇒ 2b = 13 + 1
⇒ 2b = 14
⇒ b = 7

Question: The quadratic equation whose one rational root is 4 + √3 is-

Solution:
ধরি, একটি মূল হলো 4 + √3
যেহেতু এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ এবং একটি মূলে মূলদ আছে, তাই অপর মূলটি হবে এর অনুবন্ধী (conjugate)।
অতএব, অপর মূলটি হলো 4 - √3

মূলদ্বয়ের যোগফল = (4 + √3) + (4 - √3) = 8

মূলদ্বয়ের গুণফল = (4 + √3)(4 - √3)
= 4² - (√3)²
= 16 - 3
= 13

আমরা জানি,
মূলদ্বয় α এবং β হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি হয়:
x² - (α + β)x + α × β = 0

সুতরাং, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো,
x² - 8x + 13 = 0

Question: The values of k for equation 3x² - 6x + k = 0 to have real roots is —

Solution:
এখানে, 3x² - 5x + k = 0 সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করলে করি।

আমরা জানি,
বাস্তবমূলের ক্ষেত্রে,
b² - 4ac ≥ 0
⇒ (- 6)² - 4 × 3 × k ≥ 0
⇒ 36 - 12k ≥ 0
⇒ 12k ≤ 36
⇒ k ≤ 3

Question: The equation 4x² + 12px + 9 = 0 has real and equal roots, if-

Solution:
Given, 4x² + 12px + 9 = 0

Here a = 4, b = 12p, c = 9

যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণটির বাস্তব ও সমান মূল আছে,
∴ b² - 4ac = 0
⇒ (12p)² - 4 × 4 × 9 = 0
⇒ 144p² - 144 = 0
⇒ 144p² = 144
⇒ p² = 1
⇒ p = ± 1

সুতরাং, p = 1 অথবা p = -1

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

Question: If dividing P(x) = 2x³ + 5x² + ax - 7 by (x - 2) results in the remainder 15, then find the value of a.

Solution:
Dividing P(x) by (x - 2), we get the remainder P(2).

∴ P(2) = 2(2)³ + 5(2)² + a(2) - 7
= 2(8) + 5(4) + 2a - 7
= 16 + 20 + 2a - 7
= 29 + 2a

According to the question,
29 + 2a = 15
⇒ 2a = 15 - 29
⇒ 2a = -14
∴ a = - 7

Question: Find the equation of the line with x-intercept = 3 and y-intercept = 4.

Solution:
Given
x-intercept = 3 (line passes through point (3, 0)
y-intercept = 4 (line passes through point (0, 4)

We know,
The intercept form of a line is:
x/a + y/b =1 ,where a = x-intercept and b = y-intercept.
⇒ x/3 + y/4 = 1
⇒ (4x + 3y)/12 =1
⇒ 4x + 3y = 12 
⇒ 4x + 3y - 12 = 0

∴ The equation of the line is 4x + 3y - 12 = 0

Question: If x² - 5x + 1 = 0, and x > 1, then what is the value of x - (1/x)?

Solution:
We are given:
x² - 5x + 1 = 0
⇒ x - 5 + 1/x = 0
∴ x + 1/x = 5

Now,
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
⇒ (x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 × x × (1/x) [Here, a = x, b = 1/x]

Substitute the values:
(x - 1/x)² = 25 - 4
⇒ (x - 1/x)² = 21
⇒ (x - 1/x)² = 21
∴ x - 1/x = √21

Question: If x + (2/x) = 4, what is the value of x³ + (8/x³)?

Solution: 
Here, x + (2/x) = 4

Now, 
x³ + (8/x³)
= (x)³ + (2/x)³
= {(x + (2/x)}³ - 3 . x . 2/x {x + (2/x)}
= 4³ - 3 . 2 . 4
= 64 - 24
= 40

Question: What is the solution of the inequality, 
- 12 < 4x - 8 ≤ 20 ?
​
​Solution:
- 12 < 4x - 8 ≤ 20
⇒ - 12 + 8 < 4x - 8 + 8 ≤ 20 + 8
⇒ - 4 < 4x ≤ 28
⇒ - 4/4 < 4x/4 ≤ 28/4
⇒ - 1 < x ≤ 7

∴ solution of the inequality: (- 1, 7]

Question: Find the equation of the line with x-intercept = 5 and y-intercept = 2.

Solution:
Given,
x-intercept = 5, the line passes through (5, 0).
y-intercept = 2, the line passes through (0, 2).

We know,
The intercept form of a line is:
(x/a) + (y/b) = 1, where a = x-intercept, b = y-intercept.
⇒ (x/5) + (y/2) = 1
⇒ (2x + 5y)/10 = 1
⇒ 2x + 5y = 10
⇒ 2x + 5y - 10 = 0

∴ The equation of the line is 2x + 5y - 10 = 0

Question: If y < 2 and 2x - 3y = 0 which of the following must be true? 

Solution: 
Here, 2x - 3y = 0
⇒ 2x = 3y
⇒ x = (3/2)y ................(i)

And, y < 2
⇒ (3/2)y < (3/2) × 2
∴ x < 3                       [From (i)]

Question: If α, β are the roots of the equation x² - 6x + 8 = 0, then α² + β² equals:

Solution:
x² - 6x + 8 = 0
=> x² - 4x - 2x + 8 = 0
=> x(x - 4) - 2(x - 4) = 0
=> (x - 4)(x - 2) = 0
=> x = 4, 2

Hence, α = 4, β = 2

Hence, The value of α² + β² = 4² + 2²
= 16 + 4
= 20

সুতরাং, α² + β² = 20

Question: Find the equation of the line with x- intercept = 4 and y- intercept = 3.

Solution:
x- intercept = 4, so, the line passes through (4, 0)
y- intercept = 3, so, the line passes through (0, 3)

we know, The intercept form of a line is:
(x/a) + (y/b) = 1, where a = x- intercept and b = y- intercept  
or, (x/4) + (y/3) = 1
or, (3x + 4y)/12 = 1
or, 3x + 4y = 12
∴ 3x + 4y - 12 = 0

so, the equation of the line is 3x + 4y - 12 = 0

Question: Find the value of 5(m + 4) - 2(3m - 1) + m.

​Solution:
​Given that,
​5(m + 4) - 2(3m - 1) + m
​= 5m + 20 - 6m + 2 + m
​= 6m - 6m + 22
​= 22

Question: The quadratic equation whose one rational root is 3 + √2 is-

Solution:
one root is 3 + √2
∴ other root is 3 - √2

Sum of roots = 3 + √2 + 3 - √2 = 6
Product of roots = (3 + √2)(3 - √2) = (3)2- (√2)²
= 9 - 2 = 7

∴ Required quadratic equation is x²- 6x + 7 = 0

Question: If a + 1/a = √3, then what is the value of a³⁶ + a³⁰ + a⁶ + 2?
 
Solution:
Given, a + 1/a = √3
Now,
a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3a × (1/a)(a + 1/a)
⇒ a³ + 1/a³ = (√3)³ - 3(√3) [∵ a + 1/a = √3]
⇒ a³ + 1/a³ = 3(√3) - 3(√3)
⇒ a³ + 1/a³ = 0 
⇒ a⁶ + 1 = 0 [Multiplying both sides by a³]

Then,
a³⁶ + a³⁰ + a⁶ + 2
= a³⁶ (a⁶ + 1) + (a⁶ + 1) + 1
= (a³⁶ × 0) + 0 + 1
= 0 + 1
= 1

Question: What are the roots of the equation √(x + 7) = x - 5 ?

Solution:
দেওয়া আছে,
√(x + 7) = x - 5
⇒ {√(x + 7)}² = (x - 5)² [উভয়পক্ষ বর্গ করে]
⇒ x + 7 = x² - 10x + 25
⇒ x² - 10x - x + 25 - 7 = 0
⇒ x² - 11x + 18 = 0
⇒ x² - 9x - 2x + 18 = 0
⇒ x(x - 9) - 2(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x - 2) = 0
⇒ x = 9 or x = 2

এখন মূলগুলো যাচাই করি:
যখন x = 2,
বাম পক্ষ: √(2 + 7) = √9 = 3
ডান পক্ষ: 2 - 5 = - 3
(3 ≠ - 3) ⇒ তাই x = 2 অতিরিক্ত মূল (বর্জনীয়)।

যখন x = 9,
বাম পক্ষ: √(9 + 7) = √16 = 4
ডান পক্ষ: 9 - 5 = 4
(4 = 4) ⇒ গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, সমীকরণটির একমাত্র মূল হলো x = 9

Question: 7q² - (5q - 2)(4q + 3) = ?

Solution:
7q² - (5q - 2)(4q + 3)
= 7q² - {(5q × 4q) + (5q × 3) - (2 × 4q) - (2 × 3)}
= 7q² - (20q² + 15q - 8q - 6)
= 7q² - (20q² + 7q - 6)
= 7q² - 20q² - 7q + 6
= - 13q² - 7q + 6

Question: A two-digit number is 7 times the sum of its digits. The number that is formed by reversing its digits is 36 less than original number. What is number? 

Solution:
Let the ten's digit be x and the unit's digit be y
Then, number = 10x + y
∴ 10x + y = 7(x + y)
⇔ 3x = 6y
⇔ x = 2y

Number formed by reversing the digits = 10y + x
∴ (10x + y) - (10y + x) = 36
⇒ 9x - 9y = 36
⇒ x - y = 4
⇒ 2y - y = 4
∴ y = 4

So, x = 2y = 2 × 4 = 8
Hence, the number is = 10 × 8 + 4 = 84.

Question: The value of the polynomial 2y³ + 5y² - 7 when y = - 2 is?

Solution:
প্রদত্ত বহুপদী: 2y³ + 5y² - 7
যদি y = - 2 হয়, তবে y-কে - 2 দ্বারা প্রতিস্থাপন করি,
= 2 × (- 2)³ + 5 × (- 2)² - 7
= 2 × (- 8) + 5 × 4 - 7
= - 16 + 20 - 7
= 4 - 7
= - 3

∴ বহুপদীটির মান হলো - 3

Question:

Solution:

Question: If a³ - b³ = 117 and a - b = 3 What is the value of ab?

Solution:
Given,
a³ - b³ = 117
a - b = 3

We know,
⇒ (a - b)³ + 3ab(a - b) = a³ - b³
⇒ 27 + 3ab(3) = 117
⇒ 27 + 9ab = 117
⇒ 9ab = 117 - 27
⇒ 9ab = 90
⇒ ab = 90/9
∴ ab = 10

Question: Find the midpoint of the line segment joining the points A = (- 2, 7) and B = (4, - 5).

Solution:
দেয়া আছে,
A = (- 2, 7)
B = (4, - 5)

আমরা জানি,

Question: Find an equation for the line with x-intercept = 5, y-intercept = - 2.

Solution:
দেওয়া আছে, 
রেখাটি x-অক্ষকে ছেদ করে (x₁, y₁) = (5, 0) বিন্দুতে 
এবং y-অক্ষকে ছেদ করে (x₂, y₂) = (0, - 2) বিন্দুতে।

আমরা জানি, 
ঢাল m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (- 2 - 0)/(0 - 5) 
= - 2/- 5 
= 2/5.

এখানে, 
m = 2/5
c = y এর ছেদক = - 2 

∴সরলরেখার ঢালের সমীকরণ হতে পাই,
 y = mx + c
⇒ y = (2/5)x + (- 2)
⇒ 5y = 2x - 10
⇒ 2x - 5y - 10 = 0.

∴ নির্ণেয় রেখাটির সমীকরণ হলো 2x - 5y - 10 = 0