ধারা

প্রশ্ন: ০.৫ + ০.০৫ + ০.০০৫ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৫ 
= ৫/১০ = ১/২

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৫/০.৫ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= (১/২)/(১ - ১/১০)
= (১/২)/(৯/১০)
= ৫/৯

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + ........... + 81 = ?

সমাধান: 
সমষ্টি = গড় × পদ সংখ্যা
= {(81 + 1)/2} × [{(81 - 1)/4} + 1]
= (82/2) × {(80/4) + 1}
= (82/2) × (20 + 1)
= 41 × 21
= 861

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা: সমান্তর বলতে 'সমান অন্তর' বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: 2 + 5 + 8 + 11 +......+ 20, একটি সমান্তর ধারা।

অপশন (খ) তে,
- 4 - 7 - 10 .... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = - 7 + 4 = - 3 
আবার, - 10 - (-7) = - 3

৪ + ৪ = ৮
৮+ ৫ = ১৩
১৩ + ৬ = ১৯
১৯ + ৭ = ২৬
২৬ + ৮ = ৩৪
৩৪ + ৯ = ৪৩
৪৩ + ১০ = ৫৩
অর্থাৎ প্রতিটি পদের ব্যবধান পূর্ববর্তী ব্যবধান থেকে ১ করে বৃদ্ধি পেয়েছে।
∴ ৮ম পদ = ৫৩

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = 441

শর্তমতে, 
{n(n + 1)/2}² = 441 
⇒ {n(n + 1)/2}² = (21)²
⇒ n(n + 1)/2 = 21 
⇒ n(n + 1) = 42 
⇒ n² + n - 42 = 0 
⇒ n² + 7n - 6n - 42 = 0 
⇒ n(n + 7) - 6(n + 7) = 0 
⇒ (n + 7) (n - 6) = 0 
হয়, 
⇒ n + 7 = 0 
∴ n = - 7 [n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না] 

অথবা, n - 6 = 0 
∴ n = 6

এখানে, ১ম পদ a = 2
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
ধারাটির চতুর্থ পদ = ar⁴⁻¹ = 2r³
প্রশ্নমতে,
2r³ = 54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3
∴ তৃতীয় পদ c = ar³⁻¹
= 2 × 3³⁻¹
= 2 × 3²
= 2 × 9
= 18

 ১ম পদ a = ২২
২য় পদ ২৭
সাধারণ অন্তর d = ২৭- ২২ =৫
১৫তম পদ = a + (১৫ -১) d
= ২২ + (১৪×৫)
= ২২ + ৭০
= ৯২

স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারাঃ ১^২+৩^৩+৫^২+ ………. + n^২
ধারাটির সমষ্টি = [n(n+১)(২n+১)]/৬
এখন, প্রশ্নোক্ত ধারাটি,
১^২+৩^৩+৫^২+ ………. +৩১^২
= (১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ......... + ৩১^২) - (২^২ + ৪^২ + ৬^২ + ...... + ৩০^২)
= (১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ......... + ৩১^২) - ২^২ (১^২ + ২^২ + ৩^২ + ......... + ১৫^২)
= [৩১(৩১ + ১)(২ X ৩১ + ১)]/৬ - ৪ X [১৫(১৫+১)(২X১৫ + ১)]/৬
= ১০৪১৬ - ৪৯৬০
= ৫৪৫৬

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 22 এবং শেষ পদ - 11। যদি পদগুলোর সমষ্টি 66 হয়, তবে ধারাটিতে কতটি পদ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 22
শেষ পদ, l = - 11
এবং সমষ্টি, S_n = 66

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2)(a + l)

প্রশ্নমতে, 
(n/2)(a + l) = 66
⇒ (n/2){22 + (- 11)} = 66
⇒ (n/2)(22 - 11) = 66
⇒ 11n/2 = 66
⇒ n = (66 × 2)/11
⇒ n = 6 × 2
∴ n = 12

সুতরাং, ধারাটিতে পদ সংখ্যা 12টি।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 45 হলে, তার প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটির প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d

প্রশ্নমতে,
a + 9d = 45

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি, S19 = (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 45
= 855

১ম পদ (a) = ১,
সাধারন অনুপাত (r) = ০.০১
∴ n পদের সমষ্টি (s) = a × {(১ - rⁿ)/(১ - r)} [যেহেতু, r < 1]
= ১ × {(১ - (০.০১)ⁿ)/(১ - ০.০১)}
= {১ - (১/১০০)ⁿ}/০.৯৯
= (১/০.৯৯){১ - (১/(১০০)ⁿ)}
∴ n অসীম হলে,
s = (১/০.৯৯)(১ - (১/∞))
= (১০০/৯৯)(১-০)
= ১০০/৯৯

সমষ্টি = গড় x পদ সংখ্যা
= (81+1)/2 × {( 81-1)/4} +1
= 82/2 × 80/4 +1
= 41 × 21
= 861

প্রশ্ন: জসীম একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ জসীম 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।

আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 18-তম মাসে সঞ্চয় = a + (18 - 1)d
= 1200 + (17 × 100) = 2900 টাকা
 
আবার, প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি 
= n/2 {2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 18 মাসের সঞ্চয় = 18/2 {2 × 1200 + (18 - 1)100}
= 9(2400 + 1700)
= 36900 টাকা 

প্রথম পদ = ২
সাধারণ অন্তর = ৪
সুতরাং, ২০২ তম পদ = ২ + (২০২-১)*৪ = ৮০৬

এখানে দুটি ধারা বিদ্যমানঃ
৩, ৪, ৫, ৬, ৭; যেখানে প্রতি পদে ১ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে
এবং, ৭, ১৪, ২১, ২৮, ৩৫; যেখানে প্রতি পদে ৭ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে
অর্থাৎ, ধারাটির দশম পদ হবে ৩৫

১ম পদ a = ৮,
সাধারণ অনুপাত r = ২
∴ n তম পদ = ar^{n - ১} = ১২৮
বা, ৮ ×২^{n - ১} = ১২৮
২^{n - ১} = ১৬
বা, ২^{n - ১} = ২^৪
বা, n - ১ = ৪
∴ n = ৫

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ……………. + 77 = কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2

∴  77 স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 77(77 + 1)/2
= (78 × 77)/2
= 39  × 77
= 3003

প্রশ্ন: হাসান তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করে এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করে। সে কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, 
প্রথম মাসের সঞ্চয়, প্রথম পদ a = 1200
প্রতি মাসে সঞ্চয় বৃদ্ধি, সাধারণ অন্তর d = 100
মোট সঞ্চয়, S = 106200 টাকা

মনে করি, তিনি n মাসে 106200 টাকা সঞ্চয় করেন।
প্রশ্নানুসারে,
n/2 × {2a + (n - 1) × d} = 106200
বা, n/2 × {2 × 1200 + (n - 1) × 100} = 106200
বা, n(2400 + 100n - 100) = 212400
বা, 100n² + 2300n - 212400 = 0
বা, n² + 23n - 2124 = 0
বা, n² + 59n - 36n - 2124 = 0
বা, (n + 59)(n - 36) = 0
অর্থাৎ, n = - 59 অথবা n = 36
মাস কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴ নির্ণেয় সময়: 36 মাস বা 3 বছর।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 22 এবং ২য় পদ 27 হলে 15 তম পদ কত?

সমাধান:  
এখানে,
১ম পদ, a = 22
২য় পদ = 27
সাধারণ অন্তর, d = (27 - 22) = 5

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 22 + (14 × 5)
= 22 + 70
= 92

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৭
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
= ২ × (৩^৭ - ১)/(৩ - ১)
= ২ × (২১৮৭ - ১)/২
= ২১৮৬

এখানে,
a = ১; d = ৪ ও n = ২০
∴ S = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (২০/২){২.১ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × ৭৮
= ৭৮০

প্রশ্ন: ৯ + ১৩ + ১৭ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৬৫?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ, a = ৯
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৯ = ৪
n তম পদ = ১৬৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n - ১) × ৪ = ১৬৫
⇒ ৯ + ৪n - ৪ = ১৬৫
⇒ ৪n + ৫ = ১৬৫
⇒ ৪n = ১৬০
⇒ n = ৪০

∴ ১৬৫ হলো ধারাটির ৪০ তম পদ।

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার 5ম পদ 30 এবং 14তম পদ 84 হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং,
5ম পদ = a + (5 - 1)d = 30
⇒ a + 4d = 30 ------ (1)

14তম পদ = a + (14 - 1)d = 84
⇒ a + 13d = 84 ------ (2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(a + 13d) - (a + 4d) = 84 - 30
⇒ 9d = 54
⇒ d = 54/9
⇒ d = 6
সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অন্তর হলো 6।

ধারাটি = 1, 9, 25, 49 ..............
= 1², 3², 5², 7², ..........
∴ ধারা অনুযায়ে পরবর্তী সংখ্যা = 9² = 81

1 থেকে 99 পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n+1)/2
= (99 × 100)/2
= 4950

১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = 1/2
আমরা জানি,
ষষ্ঠ পদ = ar^{(6 - 1)}
= ar⁵
= 1× (1/2)⁵
= 1/32

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ................ ধারাটির কোন পদ 267?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 3 
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
ধারাটির n তম পদ = 267

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d.
a + (n - 1)d = 267
বা, 3 + (n - 1)4 = 267
বা, 4(n - 1) = 267 - 3
বা, 4(n - 1) = 264
বা, n - 1= 264/4
বা, n - 1 = 66
বা, n = 66 + 1
∴ n = 67

ধারাটির 67 তম পদ = 267