ধারা

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ............ + ৮৫ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
২য় পদ - ১ম পদ = ৯ - ৪ = ৪
৩য় পদ - ২য় পদ = ১৩ - ৯ = ৪
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা। 

এখানে, 
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৪ 
শেষপদ  = ৮৫

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n তম পদ = 

প্রশ্নমতে, 
a + (n - 1)d = ৮৫ 
বা, ৫ + (n - ১) × ৪ = ৮৫
বা, (n - ১) × ৪ = ৮৫ - ৫ 
বা, (n - ১) × ৪ = ৮০ 
বা, n - ১ = ৮০/৪ 
বা, n - ১ = ২০
বা, n = ২০ + ১ 
∴ n = ২১

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২১ টি । 

ধারাটির ১৫ তম পদ = a + (n - 1) d
= 1 + (15 - 1) X 4
= 1 + 14 X 4
= 57

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 100 তম পদ কত?

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = 100 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 100 তম পদ = 5 + {(100 - 1) × (3)} 
= 5 + (99 × 3) 
= 5 + 297 
= 302

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. 6টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 1 
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2  
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়। 

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1 
= 1 × (2⁶ - 1)/2 - 1 
= (64 - 1)/1 
= 63 

∴ 6টি পদের সমষ্টি = 63 ।

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৫
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r-1)
= ২ × (৩^৫ - ১)/(৩-১)
= ২ × (২৪৩-১)/২
= ২৪২

M = (প্রথম পদ + শেষ পদ)⁄২
এখানে, (২+৫০)⁄২ = ২৬
সুতরাং, যোগফল = ২৬ (২৬-১) = ৬৫০

১৯ + ১০ = ২৯
২৯ + ১৪ = ৪৩
৪৩ + ১৮ = ৬১
৬১ + ২২ = ৮৩

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - 1}
∴ 10তম পদ = 3 × 2^{10 - 1}
= 3 × 2⁹
= 3 × 512
= 1536

2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³ = (1³ + 2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³) - 1
= {10(10 + 1)/2}² - 1
= 55² - 1
= 3025 - 1
= 3024 

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, ........., n পদ পর্যন্ত গাণিতিক গড় কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারা:
1², 2², 3², 4², …, n²

এখানে, পদসংখ্যা = n

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

∴ গাণিতিক গড় = পদগুলোর সমষ্টি/পদসংখ্যা
= S_n/n
= {n(n + 1)(2n + 1)/6}/ n
= n(n + 1)(2n + 1)/6n
= (n + 1)(2n + 1)/6

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ...... গুণোত্তর ধারাটির দশম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 128
সাধারণ অন্তর, d = 64/128 = 1/2

আমরা জানি, 
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ দশম পদ = 128 × (1/2)^{10 - 1}
= 128 × (1/2)⁹
= 128 × (1/512)
= 1/4

ধারাটিতে, পরপর দুটি পদের সমষ্টি তাদের পরবর্তী পদ নির্দেশ করে।
১ + ১ = ২
২ + ১ = ৩
৩ + ২ = ৫
৫ + ৩ = ৮
৮ + ৫ = ১৩
১৩ + ৮ = ২১
২১ + ১৩ = ৩৪
৩৪ + ২১ = ৫৫
সুতরাং কাঙ্ক্ষিত পদটি = ৫৫।

প্রশ্ন: 5 + (5/3) + (5/9) + ........  ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ = 5
ধারাটির ২য় পদ = 5/3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ
= (5/3)/5
= (5/3) × (1/5)
= 1/3 

∴ সাধারণ অনুপাত = 1/3 ।

ধরি,
প্রথম পদ = a
এখানে সাধারণ অন্তর, d = 10
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 - 1) × 10
⇒ 65 = a + 50
∴ a = 15

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 + ......ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - 6/3 = - 2

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = a(1 - rⁿ)/(1 - r)  ; [| r | < 1]
প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি S₇ = 3 [1 - ( - 2)⁷]/[1 - (- 2)]  
= 3(1 + 128)/3
= (3 × 129)/3
= 129

সুতরাং, প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি 129

প্রশ্ন: 1 থেকে 49 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারার শেষ সংখ্যা, n = 49 

আমরা জানি, 
স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, S_n = n (n + 1)/2
= 49 × (49 + 1)/2
= (49 × 50)/2
= 49 × 25
= 1225

প্রশ্ন: 520 মিটার দীর্ঘ একটি রাস্তার দুই পাশে 20 মিটার পরপর কংক্রিটের পিলার বসানো হলো। প্রতিটি পিলারের প্রস্থ 0.5 মিটার হলে, রাস্তা বরাবর মোট কতটি পিলার বসানো হয়েছে?

সমাধান:
এক পাশের পিলারের সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/অন্তর} + 1
= {(520 - 0)/20} + 1
= 26 + 1
= 27 টি

এখানে পিলারের প্রস্থ ০.৫ মিটার উল্লেখ থাকায় পিলারের প্রস্থকে প্রতি ২০মিটারের সাথে বিবেচনায় নিতে হবে। যদি প্রস্থ উল্লেখ না থাকত তাহলে পিলারের প্রস্থ উপেক্ষা করা যেত।
১ম পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য ০.৫ মিটার, ২য় পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য হয়, ০.৫ + ২০ + ০.৫ = ২১ মিটার, ৩য় পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য হবে ২১ + ২০ + ০.৫ = ৪১.৫ মিটার। অর্থাৎ, প্রতিটি পিলারের জন্য দৈর্ঘ্য: ২০.৫(n - ১) + ০.৫ [এখানে n হলো পিলারের ক্রম]
২৬ তম পিলার লাগালে মোট দৈর্ঘ্য = ২০.৫(২৬ - ১) + ০.৫ = ৫১৩ মিটার
২৭ তম পিলার লাগালে মোট দৈর্ঘ্য = ২০.৫(২৭ - ১) + ০.৫ = ৫৩৩.৫ মিটার
কিন্তু রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য ৫২০ মিটার হওয়ায় ২৭ তম পিলার লাগানোর সুযোগ নেই। অর্থাৎ, ৫২০ মিটার রাস্তায় ২০ মিটার অন্তর ০.৫ মিটার প্রস্থের ২৬টি পিলার লাগানো যায়। উভয় পাশে লাগানো যাবে ২৬ + ২৬ = ৫২টি।

তাই সঠিক উত্তর হবে কোনটিই নয়।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 64 এবং সপ্তম পদটি 512 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r

চতুর্থ পদ = 64
∴ ar^{4 - 1} = 64
⇒ ar³ = 64 ......(1)

সপ্তম পদ = 512
∴ ar⁶ = 512 ......(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পায়ী,
ar⁶/ar³ = 512/64
⇒ r^{6 - 3} = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a . 2³ = 64
⇒ a = 64/8
⇒ a = 8

∴ প্রথম পদ হলো 8

১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = 12/4 = 3
সমষ্টি s = a(rⁿ - 1)/(r -1)
সাতটি পদের সমষ্টি s₇ = 4(3⁷ - 1)/(3 - 1)
s₇ = 4372

প্রশ্ন: 17 + 14 + 11 + .......... - 7 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 17
সাধারণ অন্তর, d = 14 - 17 = - 3
n-তম পদ = - 7

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 7
⇒ 17 + (n - 1)(- 3) = - 7
⇒ 17 - 3n + 3 = - 7
⇒ 20 - 3n = - 7
⇒ 3n = 20 + 7
⇒ 3n = 27
⇒ n = 27/3
⇒ n = 9

এখন, n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (9/2){(2 × 17) + (9 - 1)(- 3)}
= (9/2){34 - 24}
= (9/2)(10)
= (9/2) × 10
= 45

এখানে
a = ২,
d = ৫ - ২ = ৩,
∴ ২১ তম পদ = a + (২১ - ১)d
= ২ + ২০×৩
= ৬২

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 20 এবং অষ্টম পদ 45 হলে, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে,
তৃতীয় পদ = 20
∴ a + (3 - 1)d = 20
⇒ a + 2d = 20
⇒ a = 20 - 2d

অষ্টম পদ = 45
⇒ a + (8 - 1)d = 45
⇒ (২০ - 2d) + 7d = 45
⇒ ২০ + 5d = 45
⇒ 5d = 45 - ২০
⇒ 5d = 25
⇒ d = 25/5
∴ d = 5

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 765 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো, 
3 + 6 + 12 + 24 + …
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2  ; r > 1

আমরা জানি, 
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 3 × (2ⁿ - 1)/(2 - 1)  ; [এখানে a = 3, r = 2] 
= 3 × (2ⁿ - 1)

প্রশ্নানুসারে,
3 × (2ⁿ - 1) = 765
⇒ 2ⁿ - 1 = 765/3
⇒ 2ⁿ - 1 = 255
⇒ 2ⁿ = 256
⇒ 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

প্রশ্ন: একটি ধারার ৪র্থ এবং ১২তম সংখ্যা দুটির যোগফল 20 হলে ধারাটির প্রথম 15 টি সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঐ ধারার প্রথম সংখ্যাটি = a এবং মোট সংখ্যা আছে = n টি।
এবং ২য় সংখ্যা হতে ১ম সংখ্যার পার্থক্য = d

এখন, 
৪র্থ পদ = a + 3d
এবং ১২তম পদ = a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 3d + a + 11d = 20
∴ 2a + 14d = 20 .......(1)

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারা n তম পদের যোগফল = (n/2){2a + (n - 1)d}
১ম 15 টি পদের যোগফল = (15/2) × {2a + (15 - 1)d}
= (15/2)  ×  (2a + 14d)
= (15/2)  ×  20 [1 নং হতে]
= 150

সুতরাং, প্রথম 15 টি সংখ্যার যোগফল 150.

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36 হলে, ঐ ধারাটির প্রথম 17টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
মনেকরি 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a 
সাধারণ অন্তর d 

দেওয়া আছে 
সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36

এখন 
5ম পদ = a + (5 - 1)d = a + 4d
13তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 12d

যোগফল = a + 4d + a + 12d
= 2a + 16d = 36

প্রথম 17টি পদের যোগফল,
S₁₇ = (17/2) {2a + (17 - 1)d}
=(17/2)(2a + 16d)
= (17/2) × 36
= 17 × 18
= 306

যেহেতু ধারাটির জোড় সংখ্যা পদ সংবলিত এবং পদগুলোর অর্ধেক ধনাত্মক এবং অর্ধেক ঋণাত্মক
∴ যোগফল = 0.

৩ × ২ + ১ = ৭
৭ × ২ + ১ = ১৫
১৫ × ২ + ১ = ৩১
৩১ × ২ + ১ = ৬৩
৬৩ × ২ + ১ = ১২৭

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 80 তম পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3 
পদ সংখ্যা, n = 80

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 80 তম পদ = 5 + {(80 - 1) × (3)}
= 5 + (79 × 3)
= 5 + 237
= 242

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 1/16 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি 
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a

দেওয়া আছে, 
পঞ্চম পদ ar⁴ = 1/16
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

এখন
a(1/2)⁴ =  1/16
⇒ a (1/16) = 1/16
⇒ a/16 = 1/16
⇒ a = 1

∴ প্রথম পদ a = 1

3×1+1×2 = 3+2 = 5
5×2+2×3 = 10+6 = 16
18×3+3×4 = 48+12 = 60
60×4+4×5 = 240+20 = 260
260×5+5×6 = 1300+30 = 1330

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 9 তম পদ 58 হলে, এর প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
9 তম পদ = 58 

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 9 তম পদ = a + (9 - 1)d
= a + 8d

শর্তমতে, 
a + 8d = 58 

এখন, 
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
∴ প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = (17/2){2a + (17 - 1)d} 
= (17/2)(2a + 16d) 
= (17/2) × {2(a + 8d)}
= (17/2) × 2 × 58 [∴ a + 8d = 58]
= 17 × 58
= 986

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = 986.

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ...... সমান্তর ধারাটির n তম পদটি কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4
∴ ধারাটির n তম পদ = {a + (n - 1)d}
= {3 + {n - 1} × 4}
= 3 + 4n - 4
= 4n - 1

প্রশ্ন: 80 + 74 + 68 + …… - 16 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 80
সাধারণ অন্তর, d = 74 - 80 = - 6
প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 16
⇒ 80 + (n - 1)(- 6) = - 16
⇒ 80 - 6n + 6 = - 16
⇒ 86 - 6n = - 16
⇒ 6n = 86 + 16
⇒ 6n = 102
⇒ n = 102/6
∴ n = 17

আমরা জানি,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (17/2){2a + (n - 1)d}
= (17/2){2 × 80 + (17 - 1)(-6)}
= (17/2){160 + (- 96)}
= (17/2)(160 - 96)
= (17/2) × 64
= 17 × 32
= 544

প্রথম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d = ৪
nতম পদ = ১৬১
∴ a + (n - ১)d = ১৬১
বা, ৫ + (n - ১)৪ = ১৬১
বা, ৫ + ৪n - ৪ = ১৬১
বা, ৪n = ১৬০
∴ n = ৪০

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24…... ধারাটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ × r^{n - 1}
প্রথম পদ a₁ = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2

৭ম পদ a_7​:
a₇ = 3 × 2^7-1
= 3 × 2⁶
= 3 × 64
= 192

∴ সপ্তম পদ = 192

প্রশ্ন: যদি - 7, x, y, z, 29 একটি সমান্তর অনুক্রম গঠন করে, তবে x এবং z এর মান যথাক্রমে কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = - 7
মোট পদের সংখ্যা, n = 5
ধরি, সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে, ধারাটির 5ম পদ = 29
⇒ a + (5 - 1)d = 29
⇒ - 7 + 4d = 29
⇒ 4d = 29 + 7
⇒ 4d = 36
∴ d = 9

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ, x = a + (2 - 1)d = - 7 + 9
= 2

∴ ধারাটির চতুর্থ পদ, z = a + (4 - 1)d = - 7 + 3(9) = - 7 + 27
= 20

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ...... ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log3¹ + log3² + log3³ + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log(3¹)+ log(3²)+ log(3³)+ ......... + log(3¹⁰)
= 1 log3 + 2 log3 + 3 log3 + ...... + 10 log3
= log3 (1 + 2 + 3 + ...... + 10)
= log3 {10(10 + 1)/2}  [স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2]
= log3 (5 × 11)
= log3 × 55
= 55 log3

এখানে ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত, r =৬৪/১২৮ = ১/২
প্রথম পদ, a = ১২৮ এবং n-তম পদ = ar^(n-১)
শর্তমতে, ar^(n-১) = ২
বা, ১২৮ × (১/২)^(n-১) = ২
বা, (১/২)^(n-১) = ২/১২৮
বা, (১/২)^(n-১) = ১/৬৪
বা, (১/২)^(n-১) = (১/২)^৬
বা, n - ১ = ৬
বা, n = ৬ + ১
বা, n = ৭

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + ........................................ ধারাটির কোন পদ 192 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 3√2/3 = √2
১ম পদ a = 3
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 192
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 192
⇒ (√2)^{n - 1} = 64
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁶
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 6
⇒ (n - 1)/2 = 6
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13