ধারা

প্রশ্ন: 10 + u + v + 640 +.................. গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, v এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 10
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r
ধারাটির চতুর্থ পদ = 640

আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ চতুর্থ পদ = ar^{(4 - 1)} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 640
বা, 10r³ = 640
বা, r³ = 640/10
বা, r³ = 64
বা, r³ = 4³
∴ r = 4

এখন, v হলো ধারাটির তৃতীয় পদ।
∴ v = ar^{(3 - 1)} = ar²
বা, v = 10 × 4²
বা, v = 10 × 16
∴ v = 160

প্রশ্ন:  2 + x + y + 128 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 128
⇒ ar³ = 128
⇒ 2 . r³ = 128
⇒ r³ = 64
⇒ r³ = 4³
∴ r = 4

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ,
x = ar^{2 - 1}
= 2 × 4^{2 - 1}
= 2 × 4¹
∴ x = 8

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = ar^{3 - 1}
= 2 × 4^{3 - 1}
= 2 × 4²
= 2 × 16
∴ y = 32

∴ xy = 8 × 32
= 256

a = 4,
r = 8/4 = 2
∴ সমষ্টি = a.{(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 4.{(2ⁿ - 1)/(2 - 1)
= 4(2ⁿ - 1)
∴ 4(2ⁿ - 1) = 252
বা, 2ⁿ - 1 = 63
বা, 2ⁿ = 64 = 2⁶
∴ n = 6

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং
সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d

সুতরাং,
৭তম পদ, ৬০ = a + (৭-১)৮
বা, ৬০ = a + ৪৮
বা, a = ১২

সুতরাং,
১২তম পদ = ১২ + (১২-১) ৮
= ১২ + ১১ × ৮
= ১২ + ৮৮
= ১০০

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 3√3 এবং অষ্টম পদ - 27 হলে, ধারাটির 10 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r
আমরা জানি,
n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
পঞ্চম পদ, ar⁴ = 3√3 ......... (i)
অষ্টম পদ, ar⁷ = - 27 ......... (ii)

এখন, (ii) নং সমীকরণকে (i) নং দ্বারা ভাগ করলে পাই,
ar⁷/ar⁴ = - 27/(3√3)
⇒ r³ = - 9/√3
⇒ r³ = - (3 × 3)/√3 
⇒ r³ = - 3√3
⇒ r³ = (- √3)³
∴ r = - √3

এখন,
10 তম পদ = ar⁹ = ar⁷ × r²
= (- 27) × ( - √3 )² [যেহেতু ar⁷ = - 27]
= (- 27) × 3 
= - 81

∴ ধারাটির 10ম পদ = - 81

প্রশ্ন: 5 + (5/6) + (5/36) + .............................. ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 5
২য় পদ = 5/6

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (5/6)/5
= (5/6) × (1/5)
= 1/6

২১৩ - ৩৩ = ১৮০
১৮০ - ৩৩ = ১৪৭
১৪৭ - ৩৩ = ১১৪
১১৪ - ৩৩ = ৮১

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে
n তম পদ = a + (n - 1)d।
এখানে, ৬তম পদ ৫২।
সুতরাং a + (৬ - ১) × ১০ = ৫২
বা, a + ৫০ = ৫২
বা, a = ২
সুতরাং,
১৬ তম পদ = ২ + (১৬ - ১) × ১০
= ২ + ১৫০
= ১৫২

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অনুপাত 2। অষ্টম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত = 2

গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}
অষ্টম পদ a₈ = 3 × 2^{8 - 1}
= 3 × 2⁷
​= 3 × 128
= 384

∴ অষ্টম পদ 384

২, ৫, ৯, ১৯, ৩৭, ৭৫, ১৪৯ ……….. ক্রমানুসারে সাজাতে, প্রথম সংখ্যার সাথে ২ দ্বারা গুণ করে ১ যোগ, এবং দ্বিতীয়বারে ২ দ্বারা গুণ করে ১ বিয়োগ করা হয়েছে।
২ × ২ + ১ = ৫
৫ × ২ - ১ = ৯
৯ × ২ + ১ = ১৯ এভাবে ১৪৯ × ২ + ১ = ২৯৯
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি = ২৯৯

১ম পদ a = 1 সাধারন অনুপাত r = 1/3<1
∴ ১ম সাতটি পদের সমষ্টি = 1 × 1-(1/3)⁷ / 1-1/3 = 1 - 1/2187 / 2/3 = 2186/2187 × 3/2 = 1093/729

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৪র্থ পদটি 35 এবং প্রথম 4টি পদের যোগফল 110 হলে, প্রথম পদটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (4 - 1)d = 35
⇒ a + 3d = 35 .......... (1)

আবার, 
4টি পদের যোগফল = (4/2){2a + (4 - 1)d} = 110
⇒ 2{2a + 3d} = 110
⇒ 2a + 3d = 55 ........... (2)

(2) নং - (1) নং হতে পাই,
(2a + 3d) - (a + 3d) = 55 - 35
⇒ 2a + 3d - a - 3d = 20
∴ a = 20 

∴ ধারাটির প্রথম পদ = 20  ।

প্রশ্ন: ২ + ৬ + ১০ + ........ + ৭৮ = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = ৬ − ২ = ৪

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ৭৮
⇒ a + (n − ১)d = ৭৮
⇒ ২ + (n − ১) × ৪ = ৭৮
⇒ (n − ১) × ৪ = ৭৬
⇒ n − ১ = ৭৬/৪
⇒ n − ১ = ১৯
∴ n = ২০

∴ সমষ্টি S_n = (n/2){2a + (n − 1)d}
= (২০/২){২ × ২ + (২০ − ১) × ৪}
= ১০ × (৪ + ৭৬)
= ১০ × ৮০
= ৮০০

১ম পদ (a) = 11,
সাধারণ অন্তর (d) = 14 - 11 = 3
মনে করি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 302 = 11 + (n - 1)3
বা, (n - 1)3 = 291
বা, n - 1 = 97
∴ n = 98

প্রশ্ন: 2, 2√2, 4, ... প্রদত্ত অনুক্রমটির কততম পদ 64?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 2
​∴ সাধারণ অনুপাত, r = (2√2)/2 = √2

আমরা জানি,
​ n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 64
⇒ 2 × (√2)^{n - 1} = 64
⇒ ​(√2)^{n - 1} = 64/2
⇒ (√2)^{n - 1} = 32
⇒ (√2)^{n - 1} = 2⁵
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)^{2 × 5}
​⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
∴ n = 11

অতএব, প্রদত্ত অনুক্রমটির 11তম পদ হলো 64.

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারাতে 4তম পদটি প্রথম পদের দ্বিগুণের চেয়ে 3 বেশি, এবং প্রথম 12টি পদ-এর যোগফল 474। তাহলে 20 তম পদটি কত?
সমধান:
প্রথম পদ a, 
সাধারণ অন্তর =  d

তাহলে,
a₄ = a + 3d
3d = a + 3
a = 3d - 3

আবার,
S₁₂ = 474
⇒ (12/2)(2a + 11d) = 474
⇒ 6(2a + 11d) = 474
⇒ 2a + 11d = 79
⇒ 2(3d - 3) + 11d = 79 [a = 3d - 3]
⇒ 6d - 6 + 11d = 79
⇒ 17d = 85
⇒ d = 5

তাহলে,
a = (3 × 5) - 3
= 15 - 3
= 12

20 তম পদ, a20 = a + 19d
= 12 + 19 × 5
= 107

এখানে ক্রম হলো ৩ এর গুণিতকের বর্গ
৩^২ = ৯, ৬^২ = ৩৬, ৯^২ = ৮১, ১২^২ = ১৪৪, ১৫^২ = ২২৫ এবং ১৮^২ = ৩২৪

প্রশ্ন: log4 + log16 + log64 + ......... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log4 + log16 + log64 + ......... প্রথম 10টি পদের সমষ্টি
= log4 + log4² + log4³ + ......... + log4¹⁰
= log4 + 2log4 + 3log4 + ......... + 10log4
= (1 + 2 + 3 + ......... + 10)log4
= {10(10 + 1)/2} log4 [n সংখ্যক স্বাভাবিক ক্রমিক সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2]
= {(10 × 11)/2} log4
= 55 × log4
= 55log4

এই ধারায় আগের দুইটি পদের ব্যাবধানের মানের সাথে অতিরিক্ত ১ বৃদ্ধি পেয়ে পরের পদটি গঠিত হয়।
সপ্তম পদে ৭ বৃদ্ধি পেয়ে হবে ২৮
অষ্টম পদ হবে, ২৮ + ৮ = ৩৬
নবম পদ, ৩৬ + ৯ = ৪৫
দশম পদ হবে, ৪৫ + ১০ = ৫৫
একাদশ পদ হবে, ৫৫ + ১১ = ৬৬
∴ দ্বাদশ পদ হবে ৬৬ + ১২ = ৭৮

প্রশ্ন: ১ হতে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)/২

∴ ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫০ × (৫০ + ১)/২
= (৫০ × ৫১)/২
= ২৫ × ৫১
= ১২৭৫

∴ ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১২৭৫ 

প্রশ্ন: 13 + 20 + 27 + 34 +..................+ 104 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 13 = 7
ধরি,
পদসংখ্যা = n
এবং n-তম পদ = 104

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d 

সুতরাং,
a + (n - 1)d  = 104
⇒ 13 + (n - 1)7 = 104
⇒ 13 + 7n - 7 = 104
⇒ 7n + 6 = 104
⇒ 7n = 104 - 6
⇒ 7n = 98
⇒ n = 98/7
⇒ n = 14

অর্থাৎ ধারাটির পদসংখ্যা = 14 

প্রথমপদ (a) = 4
সাধারণ অনুপাত (r) = 8/4 = 2
∴ n পদের সমষ্টি = a.{(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 4.{(2ⁿ - 1)/(2 - 1)}
= 4.(2ⁿ - 1)

এখন 4.(2ⁿ - 1) = 252
বা, 2ⁿ - 1 = 63
বা, 2ⁿ = 64 = 2⁶
∴ n = 6

প্রশ্ন: ৬ + ১১ + ১৬ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৪৬?

সমাধান:
এখানে, ধারার ১ম পদ, a = ৬
সাধারণ অন্তর, d = ১১ - ৬ = ৫
n তম পদ = ১৪৬

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৬ + (n - ১) × ৫ = ১৪৬
⇒ ৬ + ৫n - ৫ = ১৪৬
⇒ ৫n + ১ = ১৪৬
⇒ ৫n = ১৪৫
⇒ n = ২৯

∴ ১৪৬ হলো ধারাটির ২৯ তম পদ।

প্রশ্ন: 20, 23, 26, 29,............ধারাটির 33 তম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটি 20, 23, 26, 29,........... 

এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 20 
সাধারণ অন্তর, d = (দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ) 
= (23 - 20) 
= 3 
এবং পদসংখ্যা, n = 33 

∴ ধারাটির 33 তম পদ = a + (n - 1) d 
= 20 + (33 - 1) × 3 
= 20 + (32 × 3) 
= 20 + 96
= 116

প্রশ্ন: যদি - 3, p, q, 9 সমান্তর অনুক্রমে থাকে, তাহলে p ও q এর মান হবে যথাক্রমে-

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারাটি, a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + .......
দেওয়া আছে, 
১ম পদ, a = - 3
২য় পদ, p = a + d = - 3 + d
৩য় পদ, q = a + 2d = - 3 + 2d
এবং 
৪র্থ = a + 3d
⇒ 9 = - 3 + 3d
⇒ 3d = 9 + 3 
⇒ 3d = 12 
⇒ d = 12/3
∴ d = 4

সুতরাং, ২য় পদ, p = - 3 + d = - 3 + 4 = 1
৩য় পদ, q = - 3 + 2d = - 3 + 8 = 5

∴ p এবং q মান 1, 5

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 100 তম পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = (8 - 5) = 3 
পদ সংখ্যা, n = 100

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 100 তম পদ = 5 + {(100 - 1) × (3)}
= 5 + (99 × 3)
= 5 + 297
= 302

প্রশ্ন:

সমাধান:

১ম পদ a = ১৩,
সাধারণ অন্তর d = ৪
পদ সংখ্যা n হলে n তম পদ = a + (n - ১)d = ১৬৫
বা, ১৩ + (n - ১)৪ = ১৬৫
(n - ১)৪ = ১৫২
n - ১ = ৩৮
∴ n = ৩৯

২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 40 ........(1)
৪র্থ পদ = ar^(4-1) = ar³ = 160 .......(2)
(2)÷(1) করে পাই,
r² = 4
⇒ r = 2
(1) নং এ মান বসিয়ে পাই,
a = 40/2 = 20
∴ প্রথম পদ = 20

প্রথম পদ = ৩
দ্বিতীয় পদ= (৩ × ২) + ১ = ৭
তৃতীয় পদ = (৭ × ২) + ১ = ১৫
চতুর্থ পদ = (১৫ × ২) + ১ = ৩১
পঞ্চম পদ = (৩১ × ২) + ১ = ৬৩
ষষ্ঠ পদ = (৬৩ × ২) + ১ = ১২৭
সপ্তম পদ = (১২৭ × ২) + ১ = ২৫৫
অষ্টম পদ = (২৫৫ × ২) + ১ = ৫১১

এখানে,
দু'টি ধারা,
(i) ২, ৩, ৪, ৫
(ii) ৪, ৭, ১০, ১৩
∴ পরবর্তী পদ = ১৩

a = ৭,
d = ১০ - ৭ = ৩,
∴ ৩১ তম পদ = a + (৩১ - ১)d
= ৭ + ৩০.৩
= ৭ + ৯০
= ৯৭