ধারা

প্রশ্ন: 15 থেকে 55 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = 15
শেষ পদ = 55
সাধারণ অন্তর = 1

আমরা জানি, 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1 
= {(55 - 15)/1} + 1 
= 40 + 1
= 41 

এখন, 
সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ )/2} × পদ সংখ্যা 
= {(55 + 15)/2} × 41
= (70/2) × 41
= 35 × 41 
= 1435

∴ 15 থেকে 55 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি 1435.

1² + 2² + 3² + …… +n² = {n(n+1)(2n+1)}/6
1² + 2² + 3² + …… +8² = 8(8+1)(16+1)/6
= (8 x 9 x 17)/6
= 204

প্রশ্ন: 1/√3, - 1, √3, ......... ধারটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে
প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারণ অনুপাত, r = - 1/(1/√3)
= - √3

আমরা জানি 
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= (1/√3)(- √3)⁶
= (1/√3){(- √3)²}³
= (1/√3) × 27
= 27/√3
= (9 × 3)/√3
= (9 × √3 × √3)/√3
= 9√3

সুতরাং, ধারটির সপ্তম পদ 9√3

প্রশ্ন: 12 থেকে 88 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/(সাধারণ অন্তর) + 1}
= {(88 - 12)/(1) + 1}
= 76 + 1
= 77

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(88 + 12)/2} × 77
= (100/2) × 77
= 50 × 77
= 3850

∴ 12 থেকে 88 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল হলো 3850

প্রশ্ন: (1/√5) + 1 + √5 + ...... ধারাটির কোন পদ 125 হবে?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে, সাধারণ অনুপাত, r = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ
= 1/(1/√5)
= √5
প্রথম পদ, a = 1/√5

আমরা জানি,
n তম পদ = a × r^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
a × r^{n - 1} = 125
⇒ (1/√5) × (√5)^{n - 1} = 125
⇒ (√5)^{- 1} × (√5)^{n - 1} = 125
⇒ (√5)^{n - 2} = 125
⇒ (√5)^{n - 2} = (√5)⁶
⇒ n - 2 = 6
⇒ n = 8

∴ ধারাটির 8 তম পদ 125

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি প্রথম দিনে 1 টি, দ্বিতীয় দিনে 2 টি, তৃতীয় দিনে 4 টি এবং চতুর্থ দিনে 8 টি কলম তৈরি করেন। এভাবে কলম তৈরি করলে তিনি 10 দিনে মোট কতটি কলম তৈরি করবেন?

সমাধান:
উপর্যুক্ত শর্তে প্রদত্ত ধারাটি হবে = 1, 2, 4, 8,................ 
যেখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত r = 2/1 = 2 

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1) [যেহেতু r > 1 ]
∴ ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি = 1(2¹⁰ - 1)/(2 - 1) 
= 1024 - 1
= 1023 

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +............. এই ধারাটির কোন পদের মান 256? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 +............. 
ধারাটির ১ম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2 

∴ n তম পদ = ar^n-1
বা, 2.2^n-1 = 256
বা, 2^{1 + n - 1} = 256
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

∴ ধারাটির 8 তম পদের মান 256.

প্রশ্ন: 3 + 3√3 + 9 + ............ধারাটির কোন পদ 243 হবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

দেওয়া আছে
প্রথম পদ, a = 3​
অনুপাত, r = 3√3/3​ = √3

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারা n- তম পদ = ar^{n - 1}
ar^{n - 1} = 243
⇒ 3 × (√3)^{n - 1} = 243
⇒ (√3)^{n - 1} = 243/3
⇒ (√3)^{n - 1} = 81
⇒ (√3)^{n - 1} = (√3)⁸
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1
∴ n = 9

সুতরাং, ধারাটির 9ম পদ হবে 243.

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 40 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
সমান্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারার 12 তম পদ 40 হলে, 
a + (12 - 1)d = 40
a + 11d = 40

∴ প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি,
= (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2){2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23 × 40
= 920

9+2 = 11
11+4 = 15
15+8 = 23
23+16 = 39
39+32 = 71

প্রশ্ন: ২ + ৭ + ১২ + ১৭ + …......... ধারাটির ৫০ তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ২
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ২ = ৫
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = ৫০

আমরা জানি,
nতম পদ = a + (n - ১)d

∴ ৫০ তম পদ = ২ + {(৫০ - ১) × ৫}
= ২ + (৪৯ × ৫)
= ২ + ২৪৫
= ২৪৭

∴ ধারাটির ৫০ তম পদ হলো ২৪৭

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 

শর্তমতে, 
{n(n + 1)/2}² = 225 
বা, {n(n + 1)/2}² = (15)² 
বা, n(n + 1)/2 = 15 
বা, n(n + 1) = 30 
বা, n² + n - 30 = 0 
বা, n² + 6n - 5n - 30 = 0 
বা, n (n + 6) - 5 (n + 6) = 0 
বা, (n + 6) (n - 5) = 0 
∴ n + 6 = 0 
বা, n = - 6 [n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না] 

আবার, 
n - 5 = 0 
∴ n = 5 

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ................. ধারাটির কততম পদ 33?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

মনে করি, 
n তম পদ = 33

∴ a + (n - 1)d = 33
⇒ 3 + (n - 1)3 = 33
⇒ 3 + 3n - 3 = 33
⇒ 3n = 33
⇒ n = 33/3
⇒ n = 11

প্রশ্ন: 10, 15, 20, ........... 180 অনুক্রমটিতে মোট কতগুলো পদ আছে?

সমাধান:
১ম পদ, a = 10
সাধারণ অন্তর, d = 15 - 10 = 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 + (n - 1)5 = 180
⇒ 10 + 5n - 5 = 180
⇒ 5n + 5 = 180
⇒ 5n = 175
∴ n = 35

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2){(2 × 1) + (n - 1)2}
= (n/2)(2 + 2n - 2)
= (n/2) × 2n = n²

এই ধারায় প্রতিটি পদ আগের দুইটি পদের ব্যাবধানের মানের সাথে ১ অতিরিক্ত বৃদ্ধি পেয়ে গঠিত হয়।
সপ্তম পদে ৭ বৃদ্ধি পেয়ে হবে ২৮
অষ্টম পদ হবে ২৮+৮= ৩৬
নবম পদ ৩৬+৯= ৪৫
দশম পদ হবে ৪৫+১০= ৫৫
একাদশ পদ হবে ৫৫ + ১১ = ৬৬

প্রশ্ন: 1/√2, 1, √2, ...... ধারাটির কোন পদ 32√2 হবে?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√2) = √2
ধরি, ধারাটির n তম পদ = 32√2

আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
প্রশ্নমতে,
(1/√2) × (√2)^{(n - 1)} = 32√2
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 32√2/(1/√2)
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 32√2 × √2
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 32 × 2
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 64
⇒ (√2)^{(n - 1)} = (√2)¹²
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13

সুতরাং, ধারাটির 13 তম পদ হবে 32√2

এখানে দুটি ধারা বিদ্যমানঃ
৩, ৪, ৫, ৬; যেখানে প্রতি পদে ১ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে
এবং, ৭, ১৪, ২১, ২৮; যেখানে প্রতি পদে ৭ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে
অর্থাৎ, ধারাটির অষ্টম পদ হবে ২৮

আমরা জানি, সমষ্টি = গড় × পদ সংখ্যা
={( ১ম পদ + শেষ পদ)/২} × {((শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর) + ১}
= (1 + 73)/2 × {((73 - 1)/3) + 1)}
= 37 × 75/3
= 37 × 25
= 925

প্রশ্ন: ৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪, .................. ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
৩^২ = ৯
৬^২ = ৩৬
৯^২ = ৮১
১২^২ = ১৪৪

ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা  হবে = ১৫^২= ২২৫

প্রশ্ন:  4 + 6 + 8 +……….+ 30 = কত? 

সমাধান: 
ধারার প্রথম পদ, a = 4 
শেষ পদ = 30 
সাধারণ অন্তর, d = (6 - 4) = 2
∴ পদসংখ্যা, n = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(30 - 4)/2} + 1 
= (26/2) + 1 
= 13 + 1
= 14

আমরা জানি,
ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d} 
= (14/2) × {2 . 4 + (14 - 1) × 2} 
= 7 × {8 + (13 × 2)}
= 7 × (8 + 26)
= 7 × 34 
= 238

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 1024? 

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।  
ধারাটির ১ম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2 

∴ n তম পদ = ar^{n - 1} 
⇒ 2.2^{n - 1} = 1024
⇒ 2^{1 + n - 1} = 1024 
⇒ 2ⁿ = 1024 
⇒ 2ⁿ = 2¹⁰ 
∴ n = 10 

∴ ধারাটির 10 তম পদের মান 1024.

প্রশ্ন: 5 + 10 + 20 + ...... + 640 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10 ÷ 5 = 2 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 640
⇒ ar^{n - 1} = 640
⇒ 5 × 2^{n - 1} = 640
⇒ 2^{n - 1} = 640/5 
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^n-1 = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 5 × (2⁸ - 1)/(2 - 1)
= 5 × (256 - 1)/1
= 5 × 255
= 1275

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 + ……….. ধারাটির কোন পদ 296?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। 
ধারাটির প্রথম পদ = 2
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, = 5 - 2 = 3

মনে করি,
ধারাটির n-তম পদ = 296
∴ a + (n - 1) d = 296
বা, 2 + (n - 1) . 3 = 296
বা, 2 + 3n - 3 = 296
বা, 3n - 1 = 296
বা, 3n = 296 + 1
বা, 3n = 297
বা, n = 297/3
∴ n = 99

∴ ধারটির 99 তম পদের মান 296  ।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ১০ এবং পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৮ বেশি হলে ধারাটির ৬০তম পদ কত?

সমাধান: প্রথম পদ, a = ১০
সাধারণ অন্তর, d = ৮

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) × d

∴ ৬০তম পদ = ১০ + (৬০ - ১) × ৮
= ১০ + (৫৯ × ৮)
= ১০ + ৪৭২
= ৪৮২

∴ ৬০তম পদটি হলো ৪৮২

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদ 60 হলে 12 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 10
আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 5ম পদ = a + (5 - 1)d
বা, 60 = a + 4 × 10
বা, 60 = a + 40
বা, a = 60 - 40
∴ a = 20

এখন, 12তম পদ = a + (12 - 1)d
= 20 + 11 × 10
= 20 + 110
= 130
সুতরাং, ধারাটির 12তম পদ হলো 130।

প্রশ্ন: ১১ + ১৫ + ১৯ + ২৩ + ....................... + ৮৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ১১
সাধারণ অন্তর, d = ১৫ - ১১ = ৪
শেষ পদ = ৮৭

মনে করি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = শেষ পদ = ৮৭

আমরা জানি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ =a + (n - ১) ×d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) ×d = ৮৭
⇒ ১১ + (n - ১) ×৪ = ৮৭
⇒ (n - ১) ×৪ = ৮৭ - ১১
⇒ (n - ১) ×৪ = ৭৬
⇒ (n - ১) = ৭৬/৪
⇒ n - ১ = ১৯
⇒ n = ১৯ + ১
∴ n = ২০

∴ ধারাটির পদসংখ্যা ২০ টি।

প্রশ্ন: ০.২, ০.০৪, ০.০০৮, ০.০০১৬ ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
১ম পদ = ০.২ 
২য় পদ = (০.২)^২ = ০.০৪ 
৩য় পদ = (০.২)^৩ = ০.০০৮ 
৪র্থ পদ = (০.২)^৪ = ০.০০১৬ 
এবং ৫ম পদ = (০.২)^৫ = ০.০০০৩২

∴ ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাট = ০.০০০৩২  ।

প্রশ্ন: log9 + log81 + log729 +................ ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log9 + log81 + log729 +................
= log9 + log9² + log9³ +................ 
= log9 + 2log9 + 3log9 +................ 
= (1 + 2 + 3.............) log9

এখন, (1 + 2 +3.............) ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি 
= {20 × (20 + 1)}/2
= 420/2
= 210

∴ ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি =  210log9 = (210 × 2)log3 
= 420log3

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 8, সাধারণ অন্তর d = 11 - 8 = 3
ধরি, n তম পদ = 401
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 8 + (n - 1) 3 = 401
বা, n = 132
∴ ধারাটির 132-তম পদ 401 হবে।

প্রশ্ন: 2, 4, 6, 8,..... অনুক্রমটির 20 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
2, 4, 6, 8, ... এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 20 তম পদ = 2 + (20 - 1) × 2
= 2 + (19) × 2
= 2 + 38
= 40

প্রশ্ন: log2+ log4 + log8 + .............. ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি
= log2¹ + log2² + log2³ +............... + প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি
= 1 log2 + 2 log2 + 3 log2 +  ............... + প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি
= log2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
= log2 × 15
= 15 log2

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৯০+১)/২ x ((৯০-১)/১) +১
= ৪৫.৫ x ৯০
= ৪০৯৫

অনুক্রমটি হলো ১+৫+৯+১৩+ ………………
প্রথম পদ a = ১
সাধারন অনুপাত d = (৫-১) = ৪
১৫ তম পদ = a+(n-1)d
= 1+(15-1)4
= 1+56
= 57