ধারা

প্রশ্ন: ৮ + ১১ + ১৪ + ... ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, ১১ - ৮ = ৩ এবং ১৪ - ১১ = ৩।
যেহেতু পরপর দুটি পদের পার্থক্য সমান, এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৩
পদ সংখ্যা, n = ২৫

সমান্তর ধারার প্রথম n পদের যোগফল সূত্র: S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]

∴ ধারাটির প্রথম ২৫ টি পদের সমষ্টি, S_২৫ = ২৫/২[(২ × ৮) + (২৫ - ১) × ৩]
= ২৫/২ [১৬ + (২৪ × ৩)]
= ২৫/২ [১৬ + ৭২]
= ২৫/২ × ৮৮
= ২৫ × ৪৪
= ১১০০

∴ ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল = ১১০০।

প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d হলে,
ধারাটির n-তম পদ = a + ( n - 1 ) d
এবং সমষ্টি = n/2 { 2a + ( n - 1 ) d.
সুতরাং, প্রদত্ত শর্তমতে,
সপ্তম পদ = a + (7 - 1)d = 66
বা, a + 6d = 66
এবং সমষ্টি = 13/2 × {2a + (13-1)d}
= 13/2 × (2a + 12d)
= 13/2 × 2(a + 6d)
= 13 × 66
= 858

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে ৫০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে পূর্বের চেয়ে ৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি প্রথম ১৫ মাসে মোট কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর অনুক্রম।
প্রথম পদ, a = ৫০০ টাকা
সাধারণ অন্তর, d = ৫০ টাকা
পদ সংখ্যা, n = ১৫

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n = (n/২) × [২a + (n - ১)d]
∴ S_১৫ = (১৫/২) × [২ × ৫০০ + (১৫ - ১) × ৫০]
= (১৫/২) × [১০০০ + ১৪ × ৫০]
= (১৫/২) × [১০০০ + ৭০০]
= (১৫/২) × ১৭০০
= ১৫ × ৮৫০
= ১২৭৫০ টাকা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.............. + 25 = কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 25
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1 

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (25/2){2 · 1 + (25 - 1) · 1}
= 25/2(2 + 24)
= (25/2) × 26
= 25 × 13
= 325

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ........ + ১৯৯ = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = ৩
সাধারণ অন্তর d = ৭ - ৩ = ৪
শেষ পদ = ১৯৯

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ১৯৯
⇒ a + (n - ১) × d = ১৯৯
⇒ ৩ + (n - ১) × ৪ = ১৯৯
⇒ (n - ১) × ৪ = ১৯৬
⇒ n - ১ = ১৯৬/৪
⇒ n - ১ = ৪৯
⇒ n = ৫০

∴ সমষ্টি Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (৫০/২) × {২ × ৩ + (৫০ - ১) × ৪}
= ২৫ × {৬ + ৪৯ × ৪}
= ২৫ × {৬ + ১৯৬}
= ২৫ × ২০২
= ৫০৫০

ধারা : ৭, ১৫, ৩১, ৬৩......
অন্তর ৮, ১৬, ৩২, ৬৪
∴ পরবর্তী সংখ্যা = ৬৩ + ৬৪
= ১২৭

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

nসংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি:
= 2{1 - (- 1)²ⁿ⁺⁵}/{1 - (- 1)}
= 2{1 - (- 1)}/ 2  [যেহেতু 2n + 5 বিজোড় সংখ্যা, তাই (- 1)^{2n + 5} = - 1] 
= 2(1 + 1)/2 
= 2 × 2/2
= 4/2
= 2 

প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + ....................... + 2P = কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
মনে করি,
n তম পদ = 2P

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) × d
⇒  2P =  2 + (n - 1) × 2
⇒ 2P = 2 + 2n - 2
⇒ 2P = 2n
⇒ P =n

এখানে,
পদসংখা n = P

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার P  সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (P/2) × {2a + (P - 1) × d}
= (P/2) × {2 × 2 + (P - 1) × 2}
= (P/2) × (4 + 2P - 2)
= (P/2) × (2P + 2)
= (P/2) × 2(P + 1)
= P(P + 1)
= P²+ P

এখানে,
১ম পদ = 3,
সাধারণ অন্তর = 5 - 3 = 2
শেষ পদ = 383 
∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/(সাধারণ অন্তর)} + 1
= {(383 - 3)/2} + 1
= (380/2) + 1
= 190 + 1
= 191

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ..........ধারাটির কোন পদ 383 হবে?

সমাধান: 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/ 2} + 1
= {(383 - 1)/ 2} + 1
= (382/ 2) + 1
= 191 + 1
= 192

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 [এখানে, r এর মান 1 থেকে বড় তাই]

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1
= 1. (2⁶ - 1)/2 - 1
= (64 - 1)/1 
= 63 

∴ 6 টি পদের সমষ্টি = 63 ।

প্রশ্ন: ৫ + ১১ + ১৭ + ২৩ + .............. + ১১৯ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
১১ - ৫ = ৬
১৭ - ১১ = ৬
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৬
শেষপদ = ১১৯

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে, a + (n - ১) × d = ১১৯
বা, ৫ + (n - ১) × ৬ = ১১৯
বা, (n - ১) × ৬ = ১১৯ - ৫
বা, (n - ১) × ৬ = ১১৪
বা, n - ১ = ১১৪/৬
বা, n - ১ = ১৯
বা, n = ১৯ + ১
∴ n = ২০

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২০টি।

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + 25 + … ধারাটির কোন পদ 157?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Series)।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 = 6
ধরি, ধারাটির n তম পদ = 157

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
7 + (n - 1) × 6 = 157
⇒ 6(n - 1) = 157 - 7
⇒ 6(n - 1) = 150
⇒ n - 1 = 150 / 6
⇒ n - 1 = 25
⇒ n = 25 + 1
∴ n = 26

∴ ধারাটির 26 তম পদ = 157

০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ......
= ০.১২ + ০.১২×০.০১ + ০.১২×(০.০১)^২ + ......
এখানে,
a = ০.১২, r = ০.০১ < ১
∴ n পদের সমষ্টি, s = a . {(১-rⁿ)/(১-r)}
= ০.১২ × {(১-(০.০১)ⁿ)/(১-০.০১)}
= ০.১২ × {(১-(১/১০০)ⁿ)/০.৯৯)}
= (০.১২/০.৯৯) × {১-(১/১০^২)ⁿ}
= (১২/৯৯) × {১-(১/১০^২n)}
n অসীম হলে, s = (১২/৯৯) × {১-(১/১০^∞)}
= (৪/৩৩)(১-০)
= ৪/৩৩

প্রথম পদ a = ১,
সাধারন অনুপাত d = ০.১/১ = ১/১০ < ১
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/1-r
= ১/১-(১/১০)
= ১০/৯

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর ৫ এবং ৪র্থ পদ ৪৫ হলে ১০ম পদটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সাধারণ অন্তর d = ৫
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
৪র্থ পদ = a + (৪ - ১)d = a + ৩d 

শর্তমতে, 
a + ৩d = ৪৫
⇒ a + (৩ × ৫) = ৪৫
⇒ a + ১৫ = ৪৫
∴ a = ৩০

∴ ১০ম পদ = a + (১০ - ১)d 
= ৩০ + ৯ × ৫
= ৩০ + ৪৫
= ৭৫                                             

a =৫, d = ৪
শেষ পদ = ১০১
∴ পদ সংখ্যা (n) = {(১০১ - ৫)/৪} + ১
= (৯৬/৪) + ১
= ২৪ + ১
= ২৫
সুতরাং, সমষ্টি (s) = ১/২ × পদ সংখ্যা × (শেষ পদ + ১ম পদ)
= ১/২ × ২৫ × (১০১ + ৫)
= (২৫ × ১০৬)/২
= ২৫ × ৫৩
= ১৩২৫ 

প্রশ্ন: 81 + 27 + 9 + … ধারাটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 81
সাধারণ অনুপাত, r = 27/81 = 1/3​ 

আমরা জানি, 
গুনোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}
⇒ a₇ =  a × r^{7 - 1}
⇒ a₇ = 81 × (1/3)⁶
⇒ a₇ = 81 × (1/729)
⇒ a₇ = 81/729
∴ a₇ = 1/9

∴ সপ্তম পদ = 1/9

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি প্রথম দিন 3 টাকা দান করে এবং প্রতিদিন তার দানের পরিমাণ আগের দিনের দ্বিগুণ হয়। 10 দিন পর্যন্ত সে মোট কত টাকা দান করেছে?

 সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। যার,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 2
এবং মোট দিন, n = 10

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারা সমষ্টি,  Sn = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)  ; [r > 1] 
S₁₀ = 3 × (2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= 3 × (1024 - 1)
= 3 × 1023
= 3069 টাকা

সুতরাং, ঐ  ব্যক্তি 10 দিনে মোট 3069 টাকা দান করেছেন। 

প্রশ্ন: ১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)/২
∴ ১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {৮০ × (৮০ + ১)}/২
= (৮১ × ৮০)/২
= ৮১ × ৪০
= ৩২৪০

১ম পদ a = 1/2
সাধারণ অনুপাত r = 1/2 < 1
এবং, n = 5

∴ সমষ্টি = a × {1 - (1/2)⁵}/(1 - 1/2)
= {1/2 × (1 - 1/32)}/(1/2)
= 1 - 1/32
= (32 - 1)/32
= 31/32

প্রশ্ন: রশিদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 18 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম মাসের সঞ্চয়,
অর্থাৎ প্রথম পদ, a = 1200 টাকা
প্রতি মাসে সঞ্চয়ের বৃদ্ধি,
অর্থাৎ সাধারণ অন্তর, d = 100 টাকা
মাস সংখ্যা, n = 18

সমান্তর ধারার n-তম পদের সূত্র অনুযায়ী,
a_n = a + (n - 1)d
অতএব,
a₁₈ = 1200 + (18 - 1) × 100
= 1200 + 1700
= 2900
∴ রশিদ 18-তম মাসে 2900 টাকা সঞ্চয় করেন।

৮১, ২৭, ___, ৩, ১ ...
= ৩^৪, ৩^৩, ৩^২, ৩^১, ৩^০ .....
∴ ৩^২ = ৯, পদটি লুপ্ত।

প্রশ্ন: একটি ধারার n-তম পদ m^{(2n - 1)} + 5 এবং ২য় পদ 32 হলে, m-এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারার n-তম পদ = m^{(2n - 1)} + 5
এবং
২য় পদ = 32  ; অর্থাৎ, n = 2
⇒ m^{(2 × 2 - 1)} + 5 = 32
⇒ m^{(4 - 1)} + 5 = 32
⇒ m³ = 32 - 5
⇒ m³ = 27
⇒ m³ = 3³
∴ m = 3

১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৯৯ × (৯৯ + ১)/২
= ৯৯ × ১০০/২
= ৯৯ × ৫০
= ৪৯৫০

প্রশ্ন: 1 + 3 + 3² + 3³ + ......+ 3⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 3/1 = 3
পদসংখ্যা, n = 6 টি

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ ধারাটির 6 টি পদের সমষ্টি = 1 × {(3⁶ - 1)/(3 -1)}
= (729 - 1)/2
= 728/2
= 364

প্রশ্ন: প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²

∴ প্রথম ৫টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি
= {5(5 + 1)/2}²
= {(5 × 6)/2}²
= (30/2)²
= 15²
= 225

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = 225

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ ১১ এবং ৩য় পদ ১৯ হলে প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​প্রথম পদ = ১১
​
​দ্বিতীয় পদ = (১১ + ১৯)/২ = ৩০/২ = ১৫
​
​সাধারণ অন্তর = ১৫ - ১১ = ৪ 
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴​ প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি = (৯/২){২a + (৯ - ১)d} 
​= (৯/২)(২ × ১১ + ৮ × ৪)
​= (৯/২)(২২ + ৩২)
​= (৯/২) × ৫৪
​= ৯ × ২৭
​= ২৪৩ 

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 512? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 + ............. 
ধারাটির ১ম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2 

∴ n তম পদ = ar^{n - 1} 
বা, 2.2^{n - 1} = 512
বা, 2^{1 + n - 1} = 512 
বা, 2ⁿ = 512 
বা, 2ⁿ = 2⁹ 
∴ n = 9 

∴ ধারাটির 9 তম পদের মান 512. 

৮০+১৬ = ৯৬
৯৬+১৬ = ১১২
১১২+১৬ = ১২৮
অর্থাৎ শূন্যস্থানে ৯৬ বসবে।