ধারা

a = ৩, d = 8, n =?
৭৯ = ৩ + (n - ১)৪ বা, ৭৬ = (n - ১)৪ বা, ১৯ = n - ১ ∴ n = ২০
∴ সমষ্টি = ৭৯+৩/২ × ২০ = ৮২×২০/২ = ৮২০

এখানে a = 3, d = 2,
সুতরাং ধারাটির n তম পদ = a + (n - 1)d
= 3 + (n - 1)×2
= 2n + 1

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি।
S = n/2{2a + (n- 1)d}
= 20/2 {2 x 7+ (20-1)6}
= 10 (14+114)
= 10 x 128
= 1280

1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ....
= 1× {1-(1/4)⁵} / {1-(1/4)}
= {1023/1024} / {3/4}
= {1023/1024} × {4/3}
= 1023/768

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ........................ + 38 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 38
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1
= 1

∴ সমষ্টি = (n/2)/{2a + (n - 1)d}
= (38/2){2 · 1 + (38 - 1)1}
= 19(2 + 37)
= 19 × 39
= 741

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 10 এবং প্রথম 4টি পদের যোগ 850। সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n​ = a[rⁿ - 1/ r - 1]
প্রথম পদ, a = 10,
পদসংখ্যা, n = 4, 
4টি পদের যোগফল, S₄ ​= 850, 

প্রশ্নমতে,
⇒ 850 = 10[r⁴ - 1/r - 1]
⇒ 85 = [r⁴ - 1/r - 1]  
⇒ 85 = [(r - 1)(r³ + r² + r + 1)/(r - 1)]
⇒ 85 = r³ + r² + r + 1
⇒ 84 = r³ + r² + r ..... (1)

(1) নং সমীকরণে r = 4 বসালে, সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। 
⇒ 4³ + 4² + 4  
= 64 + 16 + 4 
= 84

সুতরাং r = 4 

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1)
⇒ (2a + 1)² = 81
⇒ 2a + 1 = 9
⇒ 2a = 8
∴ a = 4

প্রশ্ন: 99 + 98 + 97 + ............. + 40 ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ = 99
ধারাটির শেষ পদ = 40
ধারাটির সাধারণ অন্তর = 98 - 99 = - 1 

এখন,
99 থেকে 40 পর্যন্ত পদসংখ্যা = {(শেষপদ - প্রথম পদ)/ সাধারণ অন্তর} + 1 
= {(40 - 99)/ - 1} + 1 
= (- 59/ - 1) + 1 
= 59 + 1
= 60

∴ 99 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = {(40 + 99)/2} × 60 
= 139 × 30 
= 4170

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখানে, ৬তম পদ ৫২।
সুতরাং a + (৬-১)×১০= ৫২
বা, a + ৫০= ৫২
বা, a = ২
সুতরাং, ১৬ তম পদ = ২ + (১৬-১)×১০
= ২ + ১৫০
= ১৫২

প্রশ্ন: 8 + 13 + 18 +.......... ধারাটির n তম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে১ম পদ a = 8
সাধারণ অন্তর d = (13 - 8) = 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 
= 8 + (n - 1)5
= 8 + 5n - 5
= 5n + 3

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 1/{1 - (1/2)}
= 1/{(2 - 1)/2}
= 1/(1/2)
= 1 × (2/1)
= 2

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১২তম পদ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
সাধারণ অন্তর, d = ৯
৭ম পদ, ক_৭ = ৬০
ক_৭ = ক + (৭ - ১)৯
⇒ ৬০ = ক + ৫৪ 
⇒ ক = ৬

এখন ১২তম পদ,
ক_১২ = ক + (১২ - ১)৯
⇒ ক_১২ = ৬ + ৯৯
⇒ ক_১২ = ১০৫

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
n-তম পদ = ar^{n - 1}

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং
তৃতীয় পদ = 4

প্রশ্নমতে,
a × (1/2)^{3 -1} = 4
⇒ a × (1/2)² = 4
⇒ a × (1/4) = 4
⇒ a = 4 × 4
⇒ a = 16

ধারাটির p-তম পদ = a + (p-1)d
ধারাটির q-তম পদ = a + (q-1)d
ধারাটির (p+q)-তম পদ = a + (p+q-1)d
প্রশ্নমতে,
a + (p-1)d = q ……………(1)
a + (q-1)d = p …………….(2)

1 নং থেকে 2নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (p-1)d - a - (q-1)d = q - p
d(p-1-q+1) = q - p
d (p - q) = -(p - q)
d = -1
সুতরাং, (p+q)-তম পদ =
a + (p+q-1)d
= a + (p-1)d + qd
= q + qd [সমীকরণ 1 থেকে]
= q - q
= 0

প্রশ্ন: (1/2) - (1/4) + (1/8) - (1/16) + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/4) ÷ (1/2) = - 1/2 < 0

সুতরাং ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (-1/2)}
= (1/2)/(1 + 1/2)
= (1/2)/(3/2)
= 1/3

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম ও তৃতীয় পদের অনুপাত 2 : 5, পঞ্চম পদ 48 হলে দশম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a₁ = a
তৃতীয় পদ a₃ = a + 2d

তাহলে,
a₁/a₃ = 2/5
⇒ a/(a + 2d) = 2/5
⇒ 5a = 2(a + 2d)
⇒ 5a = 2a + 4d
⇒ 3a = 4d
⇒ a = 4d / 3 ------ (i)

এবার পঞ্চম পদ থেকে d এর মান 
a₅ ​= a + 4d
⇒ 48 = (4d/3) + 4d
⇒ 48 = (4d + 12d)/3
⇒ 48 = 16d/3
⇒ d = (48 × 3)/16
⇒ d = 9

d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই - 
a = 4d / 3 
⇒ a = (4×9) / 3 
⇒ a =  12

এখন,
a₁₀ = a + 9d
= 12 + 9 × 9
= 93

∴ দশম পদ = 93

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারন অন্তর = d
∴ a + (5 - 1)d =18
a + 4d = 18 -----(1)
এবং 5/2{2a + (5 - 1)d } = 75
2a + 4d = 30 ----(2)
(1) ও (২) সমাধান করে পাই
a = 12; d = 3/2

প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + p + q + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে 2p + q এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 14/7 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির চতুর্থ পদ, p = ar^4-1
= ar³
= 7 × 2³
= 7 × 8
= 56

ধারাটির পঞ্চম পদ, q = ar^{5 - 1}
= ar⁴
= 7 × 2⁴
= 7 × 16
= 112

∴ 2p + q = 2 × 56 + 112 = 224

প্রশ্ন: ৯ + ১৪ + ১৯ + ২৪ + ...... ধারাটির কোন পদ ১২৯?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ a = ৯
সাধারণ অন্তর d = ১৪ - ৯ = ৫
ধারার n তম পদ = ১২৯

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n-1) × ৫ = ১২৯
⇒ ৯ + ৫n - ৫ = ১২৯
⇒ ৫n = ১২৯ + ৫ - ৯
⇒ ৫n = ১২৫
⇒ n = ১২৫/৫
∴ n = ২৫

∴ ২৫ তম পদটি হলো ১২৯

প্রশ্ন: 0.9 + 0.81 + 0.729 + ............... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান:
এখানে,
ধারাটি = 0.9 + 0.81 + 0.729 + ...............

এখানে, a = 0.9
r = 0.81/0.9 = 0.729/0.81 = 0.9

∴ অসীম ধারাটির সমষ্টি = S = a/(1 - r)
= 0.9/(1 - 0.9)
= 9 = 9.000

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + ........... ধারাটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান: 
log2 + log4 + log8 + ........... ধারাটির সপ্তম পদ কত? 
= log2 + log2² + log2³ + ...................
= log2 + 2log2 + 3log2 + ..................

এখানে
১ম পদ a = log2
সাধারণ অন্তর d = 2log2 - log2
= log2

সপ্তম পদ= a +(7 - 1)d
= log2 + 6 log2
= 7log2
= log2⁷
= log128

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারার উদাহরণ?

সমাধান: 
সমান্তর ধারা: যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের অন্তরফল বা বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের অন্তরফল বা বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: 1 + 4 + 7 + 10 + .............. + 22, একটি সমান্তর ধারা।

∴ 3 - 6 - 15 - 24 ......... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (- 6 - 3) = - 9
আবার, - 15 - (- 6) = - 9
- 24 - (-15) = - 9

৩, ৯, ২৭, ৮১ .....
= ৩^১, ৩^২, ৩^৩, ৩^৪, ৩^৫ ..........
∴ ৩^৫ = ২৪৩

আমরা জানি, n-তম পদের সমষ্টি = n(n+1)/2
সুতরাং, 25-তম পদের সমষ্টি = 25(25+1)/2
= 25 × 26/2
= 25 × 13
= 325

প্রশ্ন: 3 - 5 - 13 - 21 - ........... ধারাটির 10 তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ ‍a = 3
সাধারণ অনুপাত d = (- 5 - 3) = - 8
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। 

আমরা জানি,
 n তম পদ = {a + (n - 1) d}
∴ 10 তম পদ = {3 + (10 - 1) × (- 8)}
= {3 + 9 × (- 8)}
= 3 - 72
= - 69

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
∴ ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

প্রশ্ন: 1 থেকে 50 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 1 থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
এখানে, n = 50
অতএব, সমষ্টি = {50(50 + 1)}/2
= (50 × 51)/2
= 25 × 51
= 1275
সুতরাং, 1 হতে 50 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো 1275।

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
52 = a + (6 - 1)×10
বা, a = 52 - 50 = 2
সুতরাং 15 তম পদ = a + (n - 1)d = 2 + (15 - 1)×10 = 142

প্রশ্ন: 2, 6, 18, 54 প্রগতিটির কতগুলি পদের সমষ্টি 728? 

সমাধান: 
প্রগতিটির প্রথম পদ = 2, 
সাধারণ অনুপাত = 3, 
​
ধরা যাক,
​ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 728 
∴ {2(3ⁿ - 1)}/(3 - 1) = 728 
⇒ 3ⁿ - 1 = 728
​⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

∴ প্রগতিটির 6 টি পদের সমষ্টি 728  । 

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি 36 এবং প্রথম 6টি পদের যোগফল 144 হলে, প্রথম পদটি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (6 - 1)d = 36
⇒ a + 5d = 36 .......... (1)

এবং (6/2){2a + (6 - 1)d} = 144
⇒ 2a + 5d = 48 ........ (2)

(2) নং (1) নং হতে পাই,
2a + 5d - a - 5d = 48 - 36
∴ a = 12

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ a = 7
সাধারণ অন্তর d = 13 -7 = 6
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1) d
= 7+ (15 -1) x 6
= 7 + 14 x 6
= 91

ধারাটির p-তম পদ = a+(p-1)d
ধারাটির q-তম পদ = a+(q-1)d
ধারাটির (p+q)-তম পদ = a+(p+q-1)d
প্রশ্নমতে,
a+(p-1)d = q ……………(1)
a+(q-1)d = p …………….(2)
1 নং থেকে 2নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a+(p-1)d- a-(q-1)d = (p+q)
d(p-1-q+1) = (p+q)
d = -1
সুতরাং, (p+q)-তম পদ = a+(p+q-1)d = a+(p-1)d+qd = q+qd = q-q = 0

প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + ...... ধারাটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 7,
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 7 = 5
এখানে পদ সংখ্যা, n = 16

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ 16 টি পদের সমষ্টি S₁₆ = (16/2) × {2 × 7 + (16 - 1)5}
= 8 × (14 + 15 × 5)
= 712

ধারাটির সমষ্টি = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)
= 1/6 × 18 (18 +1) (2 × 18 +1)
= 3 × 19 × 37
= 2109