ধারা

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) । ধারাটির 15টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) 

∴ 15টি পদের সমষ্টি,
= 15(15 + 1)
= 15 × 16
= 240

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 15 এবং 12তম পদ 300 হলে 30তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 15

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 12তম পদ = a + (12 - 1)d
বা, 300 = a + 11 × 15
বা, 300 = a + 165
বা, a = 300 - 165
∴ a = 135

এখন, 30তম পদ = a + (30 - 1)d
= 135 + 29 × 15
= 135 + 435
= 570
সুতরাং, ধারাটির 30তম পদ হলো 570.

একটি অনুক্রমের সাধারণ পদ : ( - 1 )^{n -1}{n/(2n + 1)} 

n = 1 হলে, ১ম পদ = ( - 1 )^{1 - 1} {1/(2 × 1 + 1)} = ( - 1)⁰ ×(1/3) = 1 × (1/3) = 1/3
n = 2 হলে, ২য় পদ = ( - 1 )^{2 - 1} {2/(2 × 2 + 1)} = ( - 1)¹ ×(2/5) = - 1 × (2/5) = - 2/5
n = 3 হলে, ৩য় পদ =  ( - 1 )^{3 - 1} {3/(2 × 3 + 1)} = ( - 1)² ×(3/7) = 1 × (3/7) = 3/7
n = 4 হলে, ৪র্থ পদ = - 4/ 9
------------------------------
------------------------------
সুতরাং অনুক্রমটি : 1/3, - 2/5, 3/7. - 4/9,... ..... ......

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ……… + 12³ = কত?

সমাধান:
এখানে, পদসংখ্যা, n = 12
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি, S_n = { n(n + 1)/2 }²
∴ S₁₂ = { 12(12 + 1)/2 }²
= { (12 × 13)/2 }²
= (156/2)²
= (78)²
= 6084

∴ 1³ + 2³ + 3³ + ……… + 12³ = 6084

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ b এবং সাধারণ অনুপাত r। যদি গুণোত্তর ধারার প্রথম তিনটি পদের গুণফল 216 হয়, তবে b = কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম তিনটি পদ হলো a, ar এবং ar²।
প্রশ্নমতে, ধারাটির দ্বিতীয় পদ, b = ar

আবার, প্রথম তিনটি পদের গুণফল = a × ar × ar² = 216
⇒ a³r³ = 216
⇒ (ar)³ = 216
⇒ b³ = 216 [যেহেতু b = ar]
⇒ b³ = 6³
∴ b = 6

প্রশ্ন: ৭ + ১১ + ১৫ + ১৯ + ...... ধারাটির কোন পদ ১৯১?

সমাধান:
ধারার ১ম পদ a = ৭
সাধারণ অন্তর d = ১১ - ৭ = ৪
ধারার n তম পদ = ১৯১

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
৭+ (n-1) × ৪ = ১৯১
⇒ ৭ + ৪n - ৪ = ১৯১
⇒ ৪n = ১৮৮
⇒ n = ৪৭

∴ ৪৭তম পদটি হলো ১৯১

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + …… ধারাটির কত তম পদ 296?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 5,
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 296

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 5 + (n - 1)3 = 296
⇒ 5 + 3n - 3 = 296
⇒ 3n = 294
⇒ n = 98
∴ ধারাটির 98 তম পদ 296 হবে।

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² +.......+15² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
এখানে, n = 15
∴ সমষ্টি = {15(15 + 1)(2 × 15 + 1)}/6
= {15 × 16 × (30 + 1)}/6
= (15 × 16 × 31)/6
= 7440/6
= 1240

প্রশ্ন: 12 + 24 + 48 + ..... ধারাটির কততম পদ 768?

সমাধান:
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = 12
সাধারণ অনুপাত, r = 24/48 = 2 > 1

ধরি,
n-তম পদ = 768
⇒ ar^{n - 1} = 768
⇒ 12 × 2^{n - 1} = 768
⇒ 2^{n - 1} = 768/12
⇒ 2^{n - 1} = 64
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ১২ এবং ১৫তম পদ ২৫০ হলে ৪২তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = ১২

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - ১)d

সুতরাং,
১৫তম পদ = a + (১৫ - ১) × ১২
বা, ২৫০ = a + ১৪ × ১২
বা, ২৫০ = a + ১৬৮
বা, a = ২৫০ - ১৬৮
∴ a = ৮২

এখন,
৪২তম পদ = a + (৪২ - ১)d
= ৮২ + ৪১ × ১২
= ৮২ + ৪৯২
= ৫৭৪

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 +................ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r =(- 4)/2 = 8/(- 4) = - 2;  [r < 1]

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি,  Sn = a(1 - rⁿ)/(1 - r)  ; r < 1
9 টি পদের সমষ্টি,  S₉ = 2{1 - (- 2)⁹}/(1 + 2)
= {2 × (1 + 512)}/3
= (2 × 513)/3
= 2 × 171
= 342

প্রথম পদ a = 5, নবম পদ = 69 হলে, সাধারন অন্তর = d
∴ 69 = 5 + (9 - 1)d বা, 8d = 64 ∴ d = 8
∴ 21 তম পদ = 5 + 160 = 165 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় পঞ্চম পদ 22 এবং পনেরো তম পদ 52। প্রথম পদ কত? 

সমাধান: 
সমান্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ + (n - 1)d

a₅ = 22 থেকে:
a₁ + 4d = 22........(i)

a₁₅​ থেকে:
a₁ + 14d = 52......(ii)

(ii) থেকে (i) বাদ দিয়ে: 
(a₁ + 14d) - (a₁ + 4d) = 52 - 22
⇒ 10d = 30
⇒ d = 3 

(i) এ d = 3 স্থাপন করে:
a₁ + 4 × 3 = 22
a₁ + 12 = 22 
⇒ a₁ = 10

1² + 2² + 3²+……..n²= {n (n + 1)(2n + 1)}/6
1² + 2² + 3² + ……..9² = {9 (9 + 1)(18 + 1)}/6 = (9 × 10 × 19)/6 = 285

প্রশ্ন:

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার, ১ম পদ, a = - 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/(- 1) = - 1/2 ; r < 1

আমরা জানি, 
অসীম ধারাটির যোগফল, S = a/(1 - r)  ; [r < 1]
= (- 1)/{1 - (- 1/2)}
= (- 1)/(1 + 1/2)
= (- 1)/(3/2)
= - 1 × (2/3)
= - 2/3

সুতরাং, অসীম ধারাটির যোগফল - 2/3 হবে। 

প্রশ্ন: প্রথম 13টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি, S = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
দেওয়া আছে, n = 13

∴ S = {13(13 + 1)(2 × 13 + 1)}/6
= (13 × 14 × 27)/6
= 4914/6
= 819

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = 819

প্রশ্ন: 4 + (4/3) + (4/9) + ........... ধারাটির ১ম পাঁচটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = (4/3)/4 = (4/3) × (1/4) = 1/3
পদসংখ্যা, n = 5

∴ ১ম পাঁচটি পদের সমষ্টি, S₅ = 4 × [{1 - (1/3)⁵}/{1 - (1/3)}]
= 4 × [{1 - (1/243)}/{(3 - 1)/3}]
= 4 × [{(243 - 1)/243}/(2/3)]
= 4 × [(242/243)×(3/2)}]
= 4 × (726/486)
= 484/81

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 54 এবং সপ্তম পদটি 1458 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r

চতুর্থ পদ = 54
∴ ar^4-1 = 54
⇒ ar³ = 54 ......(1)

সপ্তম পদ = 1458
∴ ar^7-1 = 1458
⇒ ar⁶ = 1458 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) দ্বারা ভাগ করলে,
ar⁶/ar³ = 1458/54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই,
a × 27 = 54
⇒ a = 2

∴ প্রথম পদ হলো 2

প্রশ্ন: একজন কৃষক প্রথম দিনে 1টি গাছ রোপণ করলো, দ্বিতীয় দিনে 2টি গাছ রোপণ করলো, তৃতীয় দিনে 4টি গাছ রোপণ করলো। এভাবে প্রতিদিন গাছ রোপণ দ্বিগুণ হচ্ছে। তাহলে 12 দিনে মোট কত গাছ রোপণ করবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2

n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

∴ 12 দিনের মোট গাছের সংখ্যা,
S₁₂ = 1 × (2¹² - 1)/(2 - 1)
= (4096 - 1)/1
= 4095

ধারাটির প্রথম পদ a = 1, সাধারণ অন্তর d = 3 - 1 = 2
∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n - 1)d}
= n/2 {2 + (n - 1)2}
= n/2 (2 + 2n - 2)
= 2n²/2
= n²

প্রশ্ন: 2 + 6 + 10 + 14 + .......... ধারাটির 50 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 2 = 4
পদ সংখ্যা, n = 50

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 50 তম পদ = 2 + {(50 - 1) × (4)}
= 2 + (49 × 4)
= 2+ 196
= 198

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 হলে, প্রথম পাঁচটি পদের গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ৩য় পদ = ar² = 4

সুতরাং, প্রথম পাঁচটি পদের গুণফল = a . ar . ar² . ar³. ar⁴
= a⁵ . r¹⁰
= (ar²)⁵
= 4⁵
= 1024

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ... + 972 = কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3

আমরা জানি, n তম পদ = a × r^{(n - 1)}
প্রশ্নমতে,
4 × 3^{(n - 1)} = 972
⇒ 3^{(n - 1)} = 972 / 4
⇒ 3^{(n - 1)} = 243
⇒ 3^{(n - 1)} = 3⁵
⇒ n - 1 = 5
∴ n = 6

যেহেতু r > 1,
∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
∴S₆ = 4(3⁶ - 1)/(3 - 1)
= 4(729 - 1)/2
= (4 × 728)/2
= 2 × 728
= 1456

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1456।

নির্ণেয় সংখ্যাটি
= {২০(২০ + ১)/২}^২ - {৮(৮ + ১)/২}^২
= (২১০)^২ - (৩৬)^২
= ৪৪১০০ - ১২৯৬
= ৪২৮০৪

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 6 এবং পঞ্চম পদ 162। চতুর্থ পদটি কত? 

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ × r^{n - 1}

a_2​ = 6 থেকে:
⇒ a₁ × r = 6......(i)

a₅​ = 162 থেকে:
⇒ a₁ × r⁴ = 162......(ii)

(ii) / (i) করলে:
⇒ (a₁​r⁴)​/a₁r = 162/6
⇒ r³ = 27
⇒ r = ³√27
⇒ r = 3

(i) এ r = 3 স্থাপন করে পাই:
⇒ a₁ × 3 = 6  
⇒ a₁ = 2

তাহলে,
a₄ = a₁ × r³
= 2 × 3³
= 2 × 27
= 54

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
r - তম পদ = a + (r - 1)d
6 - তম পদ = a + (6 -1) 10
=> 52 = a + 50
=> a = 2
∴ 15 - তম পদ = 2 + (15 - 1) 10
= 2 + 140
= 142

১ম পদ a = ৭,
সাধারন অন্তর d = ১০ - ৭ = ৩
∴ n-তম পদ = a + (n - ১)d = ৭৩
বা, ৭ + (n - ১)৩ = ৭৩
বা, ৭ + ৩n - ৩ = ৭৩
বা, ৩n + ৪ = ৭৩
বা, ৩n = ৬৯
∴ n = ২৩

∴ সমষ্টি = ২৩/২{২ × ৭ + (২৩ - ১)৩}
= ২৩/২(১৪ + ২২ × ৩)
= (২৩ × ৮০)/২
= ৯২০

ধারাটির ৭ম পদ = cos(7π/2) [∵ n = 7]
= cos (7 × 90°)
= cos 630°
= 0

১ম পদ a = ৩,
সাধারণ অন্তর d = ৩
n তম পদ = a + (n - ১)d
বা, ১১৪ = ৩ + (n - ১)৩
বা, (n - ১)৩ = ১১৪ - ৩
বা, (n - ১)৩ = ১১১
বা, n - ১ = ৩৭
বা, n = ৩৭ + ১
= ৩৮

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং তৃতীয় পদ 9 হলে ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

​সমাধান:
দেয়া আছে,
প্রথম পদ a = 5
৩য় পদ = 9

২য় পদ = (5 + 9)/2 = 14/2 = 7

সাধারণ অন্তর d = 7 - 5 = 2

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + ( n - 1)d}
12 টি পদের সমষ্টি = (12/2){2a + (12 - 1)d}
= 6{2 × 5 + 11 × 2}
= 6 (10 + 22)
= 6 × 32
= 192

a = 1,
d = ?
পদ সংখ্যা = n
সমষ্টি = (1 + 99) × পদসংখ্যা/2
বা, 2500 = (100 × n)/2
∴ n = 50
আবার,
n = {(99 - 1)/d}+ 1
বা, 50 = (98/d) + 1
বা, 49 = 98/d
∴ d = 2

প্রশ্ন: log8 + log64 + log512 +............ ধারাটির প্রথম 12 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log8 + log64 + log512 +...........
= log8¹ + log8²+ log8³ +...........
= log8 + 2 log8 + 3 log8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি, 
= n(n + 1)/2
= {12 × (12 + 1)}/2
= (12 × 13)/2
= 156/2
= 78

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 78 log8

১ম পদ = a,
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ১ম 6টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/(r - 1)
১ম 3টি পদের সমষ্টি = a.(r³ - 1)/(r - 1)
শর্তানুসারে,
a.(r⁶ - 1)/(r - 1) = 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
বা, r⁶ - 1 = 9(r³ - 1)
বা, (r³)² - 1 = 9(r³ - 1)
বা, (r³ + 1)(r³ - 1) = 9(r³ - 1)
বা, r³ + 1 = 9
বা, r³ = 8
= 2³
∴ r = 2

এখানে,
a = 7,
d = 6,
n = 20
∴ সমষ্টি (s) = n/2{2a + (n - 1)d}
= 20/2{2.7 + (20 - 1)6}
= 10(14 + 114)
= 1280

প্রশ্ন: 3, 5, 9, 17, 33 .......... ধারাটির ৯ম সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
3, 5, 9, 17, 33 .........

এখানে, 
ধারাটি x + 2, x + 4, x + 8 এভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে।
∴ 1 + 2 = 3 
1 + 4 = 5 
1 + 8 = 9 
1 + 16 = 17 
1 + 32 = 33 
1 + 64 = 65 
1 + 128 = 129
1 + 256 = 257 
∴ ৯ম সংখ্যাটি হলো = 1 + 512 = 513

∴ ধারার ৯ম সংখ্যাটি = 513

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ (- 2)^{n - 1} × 3 হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, n তম পদ = (- 2)^{n - 1} × 3

১ম পদ (n = 1): (- 2)^{1 - 1} × 3 = (- 2)⁰ × 3 = 1 × 3 = 3
২য় পদ (n = 2): (- 2)^{2 - 1} × 3 = (- 2)¹ × 3 = - 2 × 3 = - 6
৩য় পদ (n = 3): (- 2)^{3 - 1} × 3 = (- 2)² × 3 = 4 × 3 = 12

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল = 3 + (- 6) + 12
= 3 - 6 + 12
= 9