ধারা

১ম পদ a = 1,
শেষ পদ = 51,
সাধারণ অন্তর d = 2
∴ পদ সংখ্যা = (51 - 1)/2 + 1
= 26
∴ সমষ্টি = 26/2{2.1 + (26 - 1)2}
= 13 × (2 + 50)
= 13 × 52
∴ গড় = (13 × 52)/26
= 26

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 13 তম পদ 77 হলে, ধারাটির প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ধারাটির ১ম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর = r
∴ 13 তম পদ = a + (13 - 1)d
= a + 12d 

শর্তমতে,
a + 12d = 77

∴ প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি = (25/2){2a + (25 - 1)d} 
= (25/2)(2a + 24d) 
= (25/2) × 2(a + 12d) 
= (25/2) × 2 × 77 
= 25 × 77 
= 1925

১২ তম পদ = ‍a+(12-1)d = 77
a+11d = 77
প্রথম ২৩টি পদের সমষ্টি S = n/2{2a+(n-1)d}
= 23/2{2a+(23-1)d}
= 23/2{2a+22d}
= 23(a+11d)
= 23 x 77
= 1771

দেখা যাচ্ছে যে, তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + প্রথম পদ = ১ + ১ =২
আবার, চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + দ্বিতীয় পদ = ২ + ১ = ৩
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + তৃতীয় পদ = ৩ + ২ = ৫
--------------------
নবম পদ = অষ্টম পদ + সপ্তম পদ = ২১ + ১৩ = ৩৪
দশম পদ = নবম পদ + অষ্টম পদ = ৩৪ + ২১ = ৫৫

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
পদ সংখ্যা, n = (51-1)/2 + 1 = 26
n তম পদ = 51
∴ সমষ্টি, S = 26(51+1)/2 = 676

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 11 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে, কততম পদটি 101 হবে?  

সমাধান:
n তম পদ, a_n​ = 101,
প্রথম পদ, a = 11
সাধারণ অন্তর, d = 5

সমান্তর ধারার n তম পদ,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 101 = 11 + (n - 1) × 5 [মান বসিয়ে]
⇒ 101 - 11 = (n - 1) × 5
⇒ 90 = 5(n - 1)
⇒ n - 1 = 90/5
⇒ n - 1 = 18
⇒ n = 18 + 1
∴ n = 19

∴ 19 তম পদটি 101 হবে।

১ম পদ, a = ১/৫
সাধারণ অনুপাত, r = ১/২৫ × ৫/১ = ১/৫
∴ অনন্ত ধারাটির সমষ্টি = a/(১ - r)
= (১/৫)/{১ - (১/৫)}
= (১/৫)/(৪/৫)
= ১/৫ × ৫/৪
= ১/৪

প্রশ্ন: (a + x)²⁰ এর বিস্তৃতিতে কত তম পদ মধ্যপদ?

সমাধান:
(a + x)²⁰ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ  নির্ণয় করতে হবে। 

(a + b)ⁿ হলে মোট পদের সংখ্যা = n + 1
মোট পদ = 20 + 1 = 21 টি

log3+log9+log27+…………………
= log3+log3²+log3³+…………………
= log3+2log3+3log3+……………
প্রথম পদ = log3
সাধারন অন্তর = (2log3 - log3) = log3

সমান্তর প্রগমনে দ্বিতীয় ও প্রথম সংখ্যার ব্যবধান এবং তৃতীয় ও  দ্বিতীয় সংখ্যার ব্যাবধান সমান হবে।
এখানে ১৭ - ৫ = ১২
অতএব,১৭ + ১২ = ২৯

{(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৩০৫ + ৫)/২ x ((৩০৫ - ৫)/৩) +১
= ১৫৫ x ১০১
= ১৫৬৫৫

প্রশ্ন: 25 + 20 + 15 + ... ধারাটির কততম পদের মান শূন্য হবে?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 25,
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 25 = - 5 

সমান্তর ধারার n তম পদ, 
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 0 = 25 + (n - 1)(- 5) [a_n​ = 0]
⇒ 0 = 25 - 5(n - 1)
⇒ 5(n - 1) = 25 
⇒ 5n - 5 = 25
⇒ 5n = 30
⇒ n = 30/5
n = 6

∴ শূন্য হবে 6 তম পদে।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৭ ও ১৯ হয় তবে তৃতীয় পদটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৭ ও ১৯
∴ সাধারণ অন্তর = (১৯ - ৭) 
= ১২ 

∴ তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর 
= ১৯ + ১২ 
= ৩১

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 36 ও 9 হলে, ধারাটির চতুর্থ পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 36
দ্বিতীয় পদ = 9

∴ অনুপাত, r = 9/36
= 1/4

∴ চতুর্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³
= 36 × (1/4)³
= 36/64
= 9/16

∴ ধারাটির পঞ্চম পদ = 9/16.

প্রশ্ন: (1/√3), 1, √3.......... প্রদত্ত অনুক্রমটির কত তম পদ 27√3?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারন অনুপাত, r = 1/(1/√3 ) = √3
n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 27√3
⇒ (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 27√3
⇒ (√3)^{n - 1} = 27√3 × √3
⇒ (√3)^{n - 1} = 81
⇒ (√3)^{n - 1} = {(√3)²}⁴
⇒ (√3)^{n - 1} = (√3)⁸
⇒ n - 1 = 8 
⇒ n = 8 + 1 = 9 

অর্থাৎ অনুক্রমটির 9-তম পদ হলো 27√3

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় পঞ্চম পদ 20, এবং অষ্টম পদ 32 হলে, ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি, ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি,
a_n​ = a + (n - 1)d
তাহলে,
a₅​ = a + 4d = 20............ (1)
a_8​ = a + 7d = 32.............(2)

(2) - (1) করে পাই, 
a + 7d - a - 4d = 32 - 20
⇒ 3d = 12
⇒ d = 4

d এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
a + 4 × 4 = 20
⇒ a + 4 × 4 = 20
⇒ a + 16 = 20
⇒ a = 4

তাহলে 12 তম পদ,
a₁₂ = a + (12 - 1) d
⇒ a₁₂ = 4 + 11 × 4
⇒ a₁₂ = 4 + 44
⇒ a₁₂ = 48

∴ 12 তম পদ 48.

পদ সংখ্যা
= {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= {(১১১-১৩)/৭}+১
= ১৪+১
= ১৫ তম পদ

১ম পদ a = 7
সাধারন অন্তর d = 12 – 7 = 5
30 টি পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n - 1)d}
= 30/2{2.7 + (30 - 1)5}
= 15(14 + 145) = 15 x 159 = 2385

ধরি, ১ম পদ = a, সাধারন অনুপাত = r
∴  নবম পদ = ar⁸ = 1280....(1) পঞ্চম পদ = ar⁴ = 80.......(2)
(1)নং ÷ (2)নং ⇒ ar⁸/ar⁴ = 1280/80 বা, r⁴ = 16 = 2⁴ ∴ r = 2

১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর - d
∴ ৭ম পদ = a + ৬d = ৬০ ...... (১)
১২তম পদ = a + ১১d = ১০৫ ... (২)
২নং - ১নং হতে পাই,
৫d = ৪৫
∴ d = ৯
১নং থেকে পাই,
a + ৬.৯ = ৬০
বা, a = ৬০ - ৫৪
∴ a = ৬

১ম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত r = -2
প্রথম ছয়টি পদের সমষ্টি s = 2{1 - (-2)⁶}/3 = -42

ধারার ১ম পদ a = 5,
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, ধারার n তম পদ = 383
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 5 + (n-1)3 = 383
⇒ 5 + 3n - 3 = 383
⇒ 3n = 383 - 2
⇒ n = 127
∴ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (-২৩+৩৩)/২ x ।((-২৩-৩৩)/৪)। +১
= ৫ x ১৫
= ৭৫

3 + 6 + 9 + 12 + …… + 300
= 3(1 + 2 + 3 + 4 + … + 100)
= 3 . {100 (100 + 1)}/2
= 3 × 50 × 101
= 15,150

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার ধারায় প্রথম পদ শেষ পদের চেয়ে ২০ কম হলে ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
তাহলে, শেষ পদ = a + ২০
সাধারণ অন্তর = ২ (ক্রমিক জোড় সংখ্যার অন্তর ২)

আমরা জানি, 
পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(a + ২০ - a)/২} + ১
= (২০/২) + ১ 
= ১০ + ১ 
= ১১  

সুতরাং,  ধারার পদসংখ্যা ১১টি

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 3 সাধারণ অনুপাত 4 হলে 6টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 4,
পদ সংখ্যা n = 6

গুণোত্তর ধারার যোগফলের সূত্র:
S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) 
⇒ S_6​ = 3 × (4⁶ - 1)​/(4 - 1)
= 3 × (4096 - 1)/3
= 4096 - 1
= 4095

∴6টি পদের যোগফল 4095

ধারাটির প্রথম পদ a = log 2
সাধারণ অন্তর d = log 2
= log 2 + (7-1) log 2
= 7log2
= log 27
= log 128

এখানে, ১ম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 6 - 3 = 3
শেষ পদ = 36
∴ পদসংখ্যা n = (36 - 3)/3 + 1 = 12
সমষ্টি S = 12 × (36 + 12)/2
= 6 × 39
= 234

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 19-তম পদ 188 এবং সাধারণ অন্তর 10 হলে প্রথম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারাটির 19 তম পদ = 188
সাধারণ অন্তর, d = 10
প্রথম পদ, a = ? 

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 19 তম পদ = a + (19 - 1)d
⇒ 188 = a + (18 × 10) 
⇒ 188 = a + 180
⇒ a = 188 - 180 
⇒ a = 8

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখন, n তম পদ ৩১১ হলে, ৫ + (n-১) × ৩ = ৩১১
বা, (n-১) × ৩ = ৩১১ - ৫
বা, n-১ = ৩০৬/৩
বা, n-১ = ১০২
বা, n = ১০২ + ১
বা, n = ১০৩

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9, তাহলে ধারাটির দশম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে
ধারাটির প্রথম পদ, a = 27
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 9

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ দশম পদ, ar^{10 - 1} = 27(1/3)⁹
= (3³ × 1)/(3³ × 3⁶)
= 1/3⁶
= 1/729

সুতরাং, ধারাটির দশম পদ 1/729

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
 
সমাধান:
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি,
m তম পদ = a + (m - 1)d
⇒ n  = a + md - d
∴ a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ m  = a + nd - d
∴ a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই 
⇒ a + md - d - (a + nd - d)= n - m
⇒ a + md - d - a - nd + d = n - m
⇒ md - nd = n - m
⇒ d(m - n) = n - m
⇒ d = - 1(m - n)/(m - n)
∴ d =  - 1

সুতরাং, সাধারণ অন্তর - 1

১ম পদ a = ৫
সাধারন অন্তর d = ৮ - ৫ = ৩
মনেকরি, r তম পদ = ৩০২
a_+(r-1)d = 302
বা, 5+(r-1)3 = 302
বা, 5+3r-3 = 302
বা, r = 300/3
বা, r = 100
100-তম পদ = 302

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি 7 এবং এর পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে 8 বেশি হলে ধারার 101তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 8
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 101 তম পদ = 7 + (101 - 1) × 8
= 7 + (100 × 8)
= 7 + 800
= 807

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9 হলে ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
প্রথম পদ = 27  
দ্বিতীয় পদ = 9
এবং সাধারণ অনুপাত r = 9/27 = 1/3

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
9 তম পদ = ar^{9 - 1} 
= ar⁸ 
= 27 × (1/3)⁸
= 3³ × (1/3⁸)
= 1/3⁵
= 1/243

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৭ম পদ 34 এবং ১৩তম পদ 64 হলে, এর ১৮তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার সাধারণ পদ,
T_n = a + (n - 1)d
যেখানে, প্রথম পদ = a এবং  সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে,
T₇ = a + 6d = 34 ......(1)
T₁₃ = a + 12d = 64 ......(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই, 
⇒ (a + 12d) - (a + 6d) = 64 - 34
⇒ 6d = 30
⇒ d = 5
∴ d = 5 

d এর মান (1) নং এ  সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
⇒ a + 6 × 5 = 34
⇒ a + 30 = 34
∴ a = 4

এখন ১৮তম পদ, T18 = a + (18 - 1)d
= 4 + 17 × 5
= 4 + 85
= 89

এই ধারায় প্রতিটি পদ আগের দুইটি পদের ব্যাবধানের মানের সাথে ১ অতিরিক্ত বৃদ্ধি পেয়ে গঠিত হয়।
সপ্তম পদে ৭ বৃদ্ধি পেয়ে হবে ২৮
অষ্টম পদ হবে = ২৮ + ৮ = ৩৬
নবম পদ = ৩৬ + ৯ = ৪৫
দশম পদ হবে = ৪৫ + ১০ = ৫৫
একাদশ পদ হবে = ৫৫ + ১১ = ৬৬
দ্বাদশ পদ হবে = ৬৬ + ১২ = ৭৮
∴ ত্রয়োদশ পদ = ৭৮ + ১৩ = ৯১