সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

মোট ছাত্র n(S) = ৫০,
ফুটবল খেলে n(F) = ৩৫ জন,
ক্রিকেট খেলে n(C) = ২২ জন,
কিছুই খেলেনা n(C∪F)′ = ৮ জন।
যেকোন একটি খেলা খেলে, n(C∪F) = n(S) - n(C∪F)′
= ৫০ - ৮
= ৪২ জন
∴ উভয় খেলা খেলে n(C∩F) = ?
∴ n(C∪F) = n(C) + n(F) - n(C∩F)
বা, ৪২ = ২২ + ৩৫ - n(C∩F)
∴ n(C∩F) = ১৫

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 55 জন উচ্চতর গনিত, 40 জন জীববিজ্ঞান নিয়েছে এবং 20 জন কোনটিই নেয় নি। কতজন শিক্ষার্থী শুধুমাত্র একটি বিষয় নিয়েছে? 

সমাধান:

ধরি,
উভয় বিষয় নিয়েছে = x জন
∴ শুধু উচ্চতর গনিত নিয়েছে = (55 - x) জন
∴ শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (40 - x) জন

দেওয়া আছে,
কোনো বিষয় নেয় নি = 20 জন

প্রশ্নমতে,
(55 - x) + x + (40 - x) + 20 = 100
⇒ 95 - x = 100 - 20
⇒ 95 - x = 80
 ⇒ x = 95 - 80
 ⇒ x = 15

শুধু উচ্চতর গনিত নিয়েছে = (55 - 15) জন = 40 জন 
শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (40 - 15) জন = 25 জন

∴ শুধুমাত্র একটি বিষয় নিয়েছে (উচ্চতর গনিত বা জীববিজ্ঞান) = (40 + 25) জন = 65 জন 

A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 7}
= {3, 4, 5, 6, 7}
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
= {1, 3, 5, 7}
∴ A∩B = {3, 5, 7}

প্রশ্ন: যদি A = {x : x ∈ N, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x ∈ N , 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 30}, হয় তবে A - B = কত?

সমাধান:
এখানে, A = {x ∈ N : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ}
18 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 6, 9, 18
∴ A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

B = {x ∈ N : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 30}
6 এর গুণিতক 6, 12, 18, 24, 30
∴ B = {6, 12, 18, 24, 30}

A - B = {1, 2, 3, 6, 9, 18} - {6, 12, 18, 24, 30}
= {1, 2, 3, 9}

∴ A - B = {1, 2, 3, 9}

A = {1, 2, 3, 4},
B = {3, 4, 5, 6}
∴ A∩B = {3, 4} ⊂ A

প্রশ্ন: A = {x | x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 5} হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x ∈ N অর্থাৎ x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। N সাধারণত 1 থেকে শুরু হয় (স্বাভাবিক সংখ্যা)।
এখন, 2 ≤ x ≤ 5 অর্থাৎ x এর মান হতে পারে 2, 3, 4, 5
সুতরাং A = {2, 3, 4, 5}

অতএব, 2 ≤ x ≤ 5 পরিসরে উপাদান সংখ্যা 4 টি।

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাস করে? 

সমাধান: 
ধরা যাক, মোট ছাত্র সংখ্যা = ১০০ (শতকরা হিসেবে)
বিজ্ঞানে ফেল = ৫২
অঙ্কে ফেল = ৪০
উভয় ক্ষেত্রে ফেল = ২৭

ফেল করা ছাত্রের সংখ্যা (বিজ্ঞানে বা অঙ্কে):
n (বিজ্ঞানে ফেল ∪ অঙ্কে ফেল) = n (বিজ্ঞানে ফেল) + n (অঙ্কে ফেল) - n (উভয় ফেল)
⇒  n (বিজ্ঞানে ফেল ∪ অঙ্কে ফেল) = ৫২ + ৪০ - ২৭ = ৬৫ 

অর্থাৎ, ৬৫% ছাত্র অন্তত একটি বিষয়ে ফেল করেছে।

পাস করা ছাত্রের শতকরা অংশ = ১০০ − ৬৫ = ৩৫%

সুতরাং, ৩৫% ছাত্র পাস করেছে।

কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে উপসেট সংখ্যা = ২ⁿ।
প্রদত্ত সেটটিতে উপাদান সংখ্যা ৬টি।
সুতরাং নির্ণেয় উপাদান সংখ্যা = ২^৬ = ৬৪
অপর দিকে কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা ২ⁿ – ১।

বা, x³+ax³+2x³=0
বা, 3x³+ax³ = 0
বা, ax³= -3x³
∴ a = -3

প্রশ্ন: f(x) = |x - 3| 
এখানে, x = - 10 হলে, f(x) এর মান কত?  

সমাধান:
প্রদও রাশি = f(x) = |x - 3| 

x = - 10 হলে, 
f(x) = |- 10 - 3| 
= |- 13|
= 13

প্রশ্ন: সেট B = {x ∈ N : x³ > 15, x³ < 100} হলে, B = কত?

সমাধান:
x² > 15; এই শর্তে x এর মানের সেট P হবে, P = {4, 5, 6, ...}

x³ < 100; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হবে, Q = {1, 2, 3, 4}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট = P ∩ Q
= {4, 5, 6, ...} ∩ {1, 2, 3, 4}
= {4}

প্রশ্ন: f(x) = x² - 7x + 12 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​f(x) = x² - 7x + 12
​
​এখন,
​f(x) = 0
​x² - 7x + 12 = 0
​= x² - 3x - 4x + 12 = 0
​= x(x - 3) - (x - 3) = 0
​= (x - 3)(x - 4) = 0
∴ ​x = 3, 4

প্রশ্ন: যদি g(x) = 2x + 5 এবং g(3b) = g(b + 2) হয়, তবে g(b) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
g(x) = 2x + 5
এবং
g(3b) = g(b + 2)

∴ g(3b) = 2 × 3b + 5
= 6b + 5

g(b + 2) = 2(b + 2) + 5
= 2b + 4 + 5
= 2b + 9

প্রশ্নমতে,
6b + 5 = 2b + 9
⇒ 6b - 2b = 9 - 5
⇒ 4b = 4
⇒ b = 4/4
⇒ b = 1

∴ g(1) = 2 × 1+5
= 2 + 5
= 7

P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7}
∴R = P-Q = {3, 5, 7}-{5, 7} = {3}
(P∪Q) = {3, 5, 7}
∴(P∪Q) × R = {3, 5, 7} × {3} = {(3, 3), (5, 3), (7, 3)}

প্রশ্ন: যদি f(x) = 5 - 2x এবং f(3k) = f(k + 1) হয়, তবে f(k) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(3k) = f(k + 1) 
এবং f(x) = 5 - 2x

∴ f(3k) = 5 - 2(3k) 
= 5 - 6k

∴ f(k + 1) = 5 - 2(k + 1)
= 5 - 2k - 2
= 3 - 2k

প্রশ্নমতে,
5 - 6k = 3 - 2k
⇒ 6k - 2k = 5 - 3
⇒ 4k = 2
⇒ k = 2/4
⇒ k = 1/2

∴ f(k) = 5 - 2(1/2)
= 5 - 1
= 4

কোনো সেট হতে প্রাপ্ত সকল উপসেটের সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট বলে

• বাক্সে মোট বলের সংখ্যা = ৪ + ৫ + ৭ = ১৬টি।
• একটি বল লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৪/১৬
• একটি বল সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৭/১৬
• সুতরাং এলোমেলোভাবে তোলা বলটি লাল বা সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৪/১৬ + ৭/১৬
= ১১/১৬

প্রশ্ন: T = {y: y জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ y ≤ 7} সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
সেটটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: y জোড় সংখ্যা, অর্থাৎ 2, 4, 6, 8 …
সীমা: 1 ≤ y ≤ 7
তাই তালিকার প্রথম কয়েকটি উপাদান হবে: 2, 4, 6, 

∴ সঠিক তালিকার প্রথম তিনটি উপাদান হলো {2, 4, 6}

প্রশ্ন: যদি A = {x : x, 10 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 2 এর গুনিতক এবং x ≤ 8} হয়, তবে A - B = কত?

সমাধান:
এখানে,
A = {x : x, 10 এর গুণনীয়কসমূহ}
10 এর গুণনীয়কসমূহ হলো 1, 2, 5, 10
∴ A = {1, 2, 5, 10}

B = {x : x, 2 এর গুনিতক এবং x ≤ 8}
2 এর গুনিতক যা 8 বা তার কম তা হলো 2, 4, 6, 8
∴ B = {2, 4, 6, 8}

A - B = {1, 2, 5, 10} - {2, 4, 6, 8}
= {1, 5, 10}

প্রশ্ন:  U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, X = {2, 4, 6, 8, 10}, Y = {1, 2, 3, 4} হলে, X´ ∩ Y´ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
X = {2, 4, 6, 8, 10}
Y = {1, 2, 3, 4}

তাহলে, 
X′ = U - X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {2, 4, 6, 8, 10} 
= {1, 3, 5, 7, 9}

Y′ = U - Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {1, 2, 3, 4} 
= {5, 6, 7, 8, 9, 10}

প্রদত্ত রাশি, 
X′ ∩ Y′ = {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {5, 6, 7, 8, 9, 10} 
= {5, 7, 9}

∴ X′ ∩ Y′ = {5, 7, 9} 

B - A = B তে আছে কিন্তু A তে নাই এমন উপাদানের সেট = {7, 9}

এখানে, Fibonacci সংখ্যা 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13................
এখানে, 8³ = 512
∴ {0, 1, 1, 2, 3, 5}
= {0, 1, 2, 3, 5}, n(A) = 5
∴ n{P(A)} = 2⁵ = 32

প্রশ্ন: যদি M = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8} হয়, তবে M এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
M = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8}
M = {2, 4, 6, 8}
M এর উপাদান সংখ্যা, n = 4

M এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 
= 2⁴ - 1
= 16 - 1 
= 15

ধরি, f(p) = p² + 7p + c
f(p), (p-5) দ্বারা বিভাজ্য হলে f(5) = 0 হবে।
এখন, f(5) = 5² + 7.5 + c
প্রশ্নমতে,
5² + 7.5 + c = ০
25+ 35 + c = 0
C = - 60

8 এর গু্ণনীয়ক = 1, 2, 4, 8
∴ সেট = {1, 2, 4, 8}

প্রশ্ন: f(x) = x³ - x - 24 হলে, x এর কোন মানের জন্য  f(x) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
f(x) = x³ - x - 24 
⇒ x³ - x - 24 = 0   ;  [f(x) = 0]
⇒ x³ - 3x² + 3x² - 9x + 8x - 24 = 0 
⇒ x²(x - 3) + 3x(x - 3) + 8(x - 3) = 0
∴ (x - 3)(x² + 3x + 8) = 0
হয়, x - 3 = 0
∴ x = 3
অথবা, x² + 3x + 8 = 0 

অতএব, x = 3 হলে f(x) = 0 হবে।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ২৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১৫০ জন পদার্থবিজ্ঞানে, ১৭০ জন রসায়নে এবং ১২০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থী = ২৫০ জন

শুধুমাত্র পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে = (১৫০ - ১২০) জন = ৩০ জন
শুধুমাত্র রসায়নে পাস করেছে = (১৭০ - ১২০) জন = ৫০ জন

যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (৩০ + ৫০ + ১২০) জন = ২০০ জন

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (মোট শিক্ষার্থী - যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থী)
= (২৫০ - ২০০) জন = ৫০ জন

সুতরাং, ৫০ জন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (২০ - ১১)%
= ৯%
শুধু গণিতে ফেল করে = (১৮ - ১১)%
= ৭%
ইংরেজি, গণিত এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = (৯ + ৭ + ১১)%
= ২৭%
∴ উভয় বিষয়ে পাস করে = (১০০ - ২৭)%
= ৭৩%

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 5 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 12} হলে A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 5 ≤ x < 11}
এখানে, x এর মান 5 এর সমান বা বড় এবং 11 এর ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

আবার,
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 12}
এখানে, x এর মান 12 এর ছোট স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা।
∴ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

প্রদত্ত রাশি,
A ∩ B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {5, 7, 9}

∴ A ∩ B এর মান {5, 7, 9}

প্রশ্ন: U সার্বিক সেট ও A, B, C সেটগুলো U এর উপসেট হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান: 
যেকোনো সেটের সাথে সার্বিক সেটের সম্মিলন সবসময় সার্বিক সেট হয়। 
∴ A ∪ U = U

এবং যেকোনো সেটের সাথে সার্বিক সেটের ছেদ সবসময় সেই সেট হয়। 
∴ A ∩ U = A

∴ সঠিক উত্তর খ) A ∪ U = U, A ∩ U = A