পাটিগণিত

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু ।
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: কোন কলেজের একটি শ্রেণিকক্ষে ছাত্র ও ছাত্রীদের অনুপাত ৩ : ৫ । যদি শ্রেণিকক্ষে ২ জন শিক্ষক এবং ১৪ জন কর্মচারীসহ মোট ১৪৪ জন লোক থাকে, তবে শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা কতজন?

সমাধান:
ছাত্র-ছাত্রীর অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৫
= ৮

শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = ১৪৪ - (২ + ১৪) জন
= ১২৮ জন।

∴ শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা = ১২৮ × (৫/৮) জন
= ৮০ জন।

প্রশ্ন: ৩, ৫, ১৫ এর সমানুপাতিক কোনটি?

সমাধান:
আমরা খুঁজছি এমন সংখ্যা ক, 
৩ : ৫ = ১৫ : ক
৩ × ক = ৫ × ১৫ [ক্রস-গুণ করি] 
৩ক = ৭৫
ক = ৭৫/৩
ক = ২৫ 

প্রশ্ন: যদি a : b = 3 : 5 এবং b : c = 5 : 6 হয়, তবে a : c = কত? 

সমাধান: 
a : b = 3 : 5 = 12 : 20
b : c = 5 : 6 = 20 : 24
সুতরাং, a : b : c = 12 : 20 : 24
∴ a : c = 12 : 24
= 1 : 2

প্রশ্ন: .০২ × .০০৫ × .০০৬ = ?

সমাধান:
.০২ × .০০৫ × .০০৬ = ০.০০০০০০৬

বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের উভয় দিকের প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক আমগাছ আছে।
∴ প্রত্যেক সারিতে আম গাছের সংখ্যা হবে ১২৯৬ এর বর্গমূল।
সুতরাং, আমগাছের নির্ণেয় সংখ্যা = √১২৯৬ = ৩৬

২৪। ৩০ । ১
     ২৪
    ____
      ৬ । ২৪ । ৪
           ২৪
          ____
             ০
∴ ২৪ ও ৩০ এর গ.সা.গু. = ৬
অনুরূপ ভাবে, ২৪, ৩০ এবং ৭৭ এর গ.সা.গু. হবে ১

প্রশ্ন: নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটির ভাজক সংখ্যা বিজোড়?
​
​সমাধান:
​পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড়। উপর্যুক্ত সংখ্যার মধ্যে শুধুমাত্র ১০২৪ পূর্ণবর্গ সংখ্যা। 
​∴ √(১০২৪) = ৩২
​সুতরাং ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় সংখ্যা হবে। 
​এখন,১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করি: 
​১০২৪ = ১ × ১০২৪
​= ২ × ৫১২
​= ৪ × ২৫৬
​= ৮ × ১২৮
​= ১৬ × ৬৪
​= ৩২ × ৩২
​
​∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪ = ১১ টি।

প্রশ্ন: যদি P এবং Q দুটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিম্নের কোনটি অবশ্যই জোড় হবে?

সমাধান:
ধরি, P = 1 এবং Q = 1 (যেহেতু P এবং Q দুটিই বিজোড় সংখ্যা)।

এখন অপশনগুলোতে মান বসিয়ে পাই,
(ক) P² + 2Q = 1² + 2(1) = 1 + 2 = 3 (বিজোড়)

(খ) 2P² + Q = 2(1²) + 1 = 2 + 1 = 3 (বিজোড়)

(গ) 3Q + 1 = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4 (জোড়)

(ঘ) 2Q + P = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 (বিজোড়)

∴ সঠিক উত্তর: (গ) 3Q + 1

প্রশ্ন দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৭০ ও অন্তর ১০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান
ধরি,
দুইটি সংখ্যা হলো ক ও খ, যেখানে ক > খ

দেওয়া আছে,
ক + খ = ৭০.........(১)
ক - খ = ১০..........(২)

দুটি সমীকরণ যোগ করলে,
২ক = ৮০
⇒ ক = ৮০/২
ক = ৪০

∴ বড় সংখ্যাটি ৪০

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে চলে। ট্রেনটি একটি খুঁটি ৯ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ ঘণ্টা = (৬০ × ৬০) সেকেন্ড = ৩৬০০ সেকেন্ড 
আবার, 
৬০ কি.মি. = (৬০ × ১০০০) মিটার = ৬০০০০ মিটার 

এখন,
ট্রেনটি ৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৬০০০০ মিটার 
∴ ট্রেনটি ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৬০০০০/৩৬০০ মিটার 
∴ ট্রেনটি ৯ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৬০০০০ × ৯)/৩৬০০ মিটার 
= ১৫০ মিটার 

∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার।

প্রশ্ন: ৫/৮ এর শতকরা কত ৩/৪ হবে?

সমাধান:
ধরি, ৫/৮ এর ক% = ৩/৪
⇒ (৫/৮) × (ক/১০০) = ৩/৪
⇒ (৫ক/৮০০) = ৩/৪
⇒ ৫ক = (৩ × ৮০০)/৪
⇒ ক = (৩ × ৮০০)/(৪ × ৫)
∴ ক = ১২০

সুতরাং, ৫/৮ এর ১২০% হলে সেটা ৩/৪ হয়।

প্রথম ক্ষেত্রে, মুনাফা = আসল × সময় × সুদের হার/১০০
বা, মুনাফা = ৬০০ × ১ × ১০/১০০
বা, মুনাফা = ৬০ টাকা

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, মুনাফা = আসল × সময় × সুদের হার/১০০
বা, মুনাফা = ৭০০ × ১ × ১৫/১০০
বা, মুনাফা = ১০৫ টাকা

সুতরাং মোট সুদ = (৬০ + ১০৫) টাকা
= ১৬৫ টাকা।

২৮, ১০০৮ এর একটি উৎপাদক
∴ যে সংখ্যা ১০০৮ দ্বারা বিভাজ্য ঐ সংখ্যা ২৮ দ্বারাও বিভাজ্য।

ধরি, পুত্রের বয়স ক বছর, তাহলে পিতার বয়স ৩ক বছর
প্রশ্নমতে, ক + ৩ক = ৮০
বাঁ, ৪ক = ৮০
বাঁ, ক  = ২০
অর্থাৎ, পুত্রের বয়স ২০ বছর

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে লাল, হলুদ এবং নীল মার্বেলের সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ : ৭। যদি ১০ টি লাল মার্বেল, ১৫ টি হলুদ মার্বেল এবং কিছু সংখ্যক নীল মার্বেল যোগ করা হয়, তাহলে অনুপাতটি ৩ : ৪ : ৫ হয়। কতটি নীল মার্বেল যোগ করা হয়েছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
অনুপাত ৪ : ৫ : ৭
ধরি, লাল মার্বেল = ৪k টি, হলুদ মার্বেল = ৫k টি এবং নীল মার্বেল = ৭k টি

এখন, 
যোগ করার পর মার্বেলের সংখ্যা হয়,লাল = ৪k + ১০, হলুদ = ৫k + ১৫ এবং নীল = ৭k + x  ; [x = যোগকৃত নীল মার্বেল] 

প্রশ্নমতে, 
(৪k + ১০) : (৫k + ১৫) : (৭k + x) = ৩ : ৪ : ৫

প্রথম দুটি অংশের অনুপাত থেকে পাই, 
⇒ (৪k + ১০)/(৫k + ১৫) = ৩/৪
⇒ ৪(৪k + ১০) = ৩(৫k + ১৫)
⇒ ১৬k + ৪০ = ১৫k + ৪৫
⇒ ১৬k - ১৫k = ৪৫ - ৪০
∴ k = ৫

আবার, 
k = ৫ এর মান দ্বিতীয় ও তৃতীয় অংশের বসিয়ে পাই,
⇒ (৫k + ১৫)/(৭k + x) = ৪/৫
⇒ (৫ × ৫ + ১৫)/(৭ × ৫ + x) = ৪/৫
⇒ ৪০/(৩৫ + x) = ৪/৫
⇒ ৪০ × ৫ = ৪(৩৫ + x)
⇒ ২০০ = ১৪০ + ৪x
⇒ ৪x = ৬০
∴ x = ১৫

সুতরাং, যোগ করা নীল মার্বেলের সংখ্যা = ১৫টি

৬% হারে ৫০০০ টাকায় ৫ বছরের মুনাফা = ৬×৫০০×৫ / ১০০ = ১৫০০ টাকা
১৫০০০ টাকায় ২ বছরের সুদ = ১৫০০ টাকা
১০০ “ ১ “ “ = ১০০×১৫০০ / ১৫০০০×২
= ৫ টাকা

আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লব গুলোর গ.সা.গু/ হর গুলোর ল.সা.গু
তাহলে ভগ্নাংশদ্বয়ের লব ৪ ও ২ এর গ.সা.গু ২।
আবার, ৫ ও ৭ হরগুলোর ল.সা.গু ৩৫। সুতরাং ৪/৫ এবং ২/৭ ভগ্নাংশদ্বয়ের গ.সা.গু = ২/৩৫।

ধরি,
ক্রয়মূল্য = x টাকা
প্রশ্নমতে,
x - xএর 20% = 600
বা, x - 0.2x = 600
বা, 0.8x = 600
বা, x = 600/0.8 = 750

প্রশ্ন: ১০ টি সংখ্যার গড় ২০। একটি সংখ্যা আরও যোগ করলে গড় হয় ২২, নতুন সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
১০ টি সংখ্যার গড় = ২০
∴ ১০ টি সংখ্যার যোগফল = ২০ × ১০ = ২০০

নতুন সংখ্যা যুক্ত করার পর ১১ টি সংখ্যার গড় = ২২
∴ ১১ টি সংখ্যার যোগফল = ২২ × ১১ = ২৪২

∴ নতুন সংখ্যাটি = ২৪২ - ২০০
= ৪২

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ১৫% এর সাথে ৩৪ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নানুসারে, 
ক-এর ১৫% এর সাথে ৩৪ যোগ করলে যোগফল ক হয়।
অর্থাৎ, 
১৫% এর ক + ৩৪ = ক
⇒ (১৫/১০০) × ক + ৩৪ = ক
⇒ (৩/২০) × ক + ৩৪ = ক
⇒ ক - (৩ক/২০) = ৩৪ 
⇒ ১৭ক/২০ = ৩৪ 
⇒ ক = (৩৪ × ২০)/১৭ 
∴ ক = ৪০ 

৬% হার মুনাফায় x টাকার বার্ষিক মুনাফা = ৬x/১০০ টাকা
আবার ৪% হার মুনাফায় y টাকার বার্ষিক মুনাফা = ৪y/১০০ টাকা
প্রশ্নমতে,
x+y = ৫৬০০০ ...... (i)
এবং (৬x/১০০)+(৪y/১০০) = ২৮৪০
∴ ৩x + ২y = ১৪২০০০ ...... (ii)
(i) এবং (ii) সমাধান করে পাই,
y = ২৬০০০
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই x = ৩০০০০
∴ x = ৩০,০০০ এবং y = ২৬০০০

প্রশ্ন: রিনার জন্মের সময় তার বাবার বয়স ছিল ৩৮ বছর, আর তার ৪ বছরের ছোট ভাইয়ের জন্মের সময় তার মায়ের বয়স ছিল ৩৬ বছর। তাদের বাবা-মায়ের বয়সের পার্থক্য কত?

সমাধান:
রিনার জন্মের সময় তার বাবার বয়স ছিল ৩৮ বছর

ছোট ভাইয়ের জন্মের সময় তার মায়ের বয়স ছিল ৩৬ বছর

রিনার ভাই তার থেকে ৪ বছরের ছোট।
অর্থাৎ, ভাইয়ের জন্মের ৪ বছর আগে রিনা জন্মেছিল।

∴ রিনার জন্মের সময় তার মায়ের বয়স ছিল = (৩৬ - ৪) = ৩২ বছর

∴ তাদের বাবা-মায়ের বয়সের পার্থক্য = (৩৮ - ৩২) = ৬ বছর

ক এর একদিনের কাজ = ১/১০ অংশ
খ এর একদিনের কাজ = ১/১৫ অংশ

∴ ক ও খ একসাথে একত্রে ১ দিনে করে কাজটির = (১/১০) + (১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০ = ৫/৩০
= ১/৬
∴ ক ও খ একসাথে একত্রে ৫ দিনে করে কাজটির = ৫/৬ অংশ

∴ বাকি থাকে কাজটির = ১ - (৫/৬) = (৬ - ৫)/৬ = ১/৬ অংশ

∴ গ সম্পন্ন করে কাজটির ১/৬ অংশ।

প্রশ্ন: নয়টি সংখ্যার গড় ৮। যদি প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করা হয় তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
নয়টি সংখ্যার গড় ৮
৯ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৯ × ৮ = ৭২ 

আবার, 
প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করলে নতুন নয়টি সংখ্যার সমষ্টি হবে = ৭২ - (৯ × ৪) = ৭২ - ৩৬ = ৩৬ 

∴ নতুন নয়টি সংখ্যার গড় = ৩৬ ÷ ৯ = ৪ 

ধরি, চিনি ও দুধের মোট পরিমাণ অর্থাৎ ক্ষীরের পরিমাণ = ক কেজি
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ ক্ষীরে চিনির পরিমাণ = ক এর (১/৪)
বা, ২ = ক এর (১/৪)
বা, ক = (৪×১)/১ = ৮ কেজি
∴ ক্ষীরের পরিমাণ = ৮ কেজি