পাটিগণিত

প্রশ্ন:

সমাধান:

পিতা, মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = ৩০ × ৩ = ৯০ বছর
মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = ২৫ × ২ = ৫০ বছর
∴ পিতার বয়স = ৯০ - ৫০ = ৪০ বছর 

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোকে তুলনা করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সেগুলোকে দশমিকে রূপান্তর করা।
 ২/৫ = ০.৪
 ১/২ = ০.৫
 ৪/৫ = ০.৮
 ৪/৯ = ০.৪৪...

দশমিক মানগুলো তুলনা করলে আমরা দেখতে পাই যে ০.৮ সবচেয়ে বড়।

সুতরাং, ৪/৫ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫: ১২ এবং তাদের ল.সা.গু ৩০০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ১২ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = (৫ × ১২)ক = ৬০ক

প্রশ্নমতে,
৬০ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০/৬০
⇒ ক = ৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ × ক = ১২ × ৫ = ৬০

৬৬(২/৩)%
= (২০০/৩)%
= (২০০/৩) × (১/১০০)
= ২/৩

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৪৮ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৮৪। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে, প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪৮
এবং দ্বিতীয় সংখ্যা × তৃতীয় সংখ্যা = ৮৪
দেখা যাচ্ছে যে, 'দ্বিতীয় সংখ্যা' উভয় গুণফলের মধ্যেই সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বিদ্যমান।

∴ ২য় সংখ্যাটি হবে ৪৮ এবং ৮৪ এর গ.সা.গু

৪৮ এবং ৮৪ এর গ.সা.গু বের করি:

৪৮ = ২^৪ × ৩
৮৪ = ২^২ × ৩ × ৭
সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক = ২^২ × ৩ = ১২
∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ১২

প্রশ্ন: ২৩৪ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৮, ১২ এবং ১৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:

সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ২৩৪ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৮, ১২ ও ১৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৮, ১২ ও ১৮ এর ল.সা.গু বের করে ২৩৪ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

এখন, ৮, ১২ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ৭২

২৩৪ কে ৭২ দ্বারা ভাগ করলে,
৭২ × ৩ = ২১৬
অবশিষ্ট = ২৩৪ - ২১৬ = ১৮

যেহেতু ৭২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ৭২ - ১৮ = ৫৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৫৪ ।

বিজয়ী প্রার্থী পায় ৫৫% ভোট আর পরাজিত প্রার্থী পায় ৪৫% ভোট। সুতরাং ভোটের পার্থক্য = (৫৫-৪৫)% = ১০%
এখানে ১০% = ১০,০০০
তাহলে ১০০% = ১,০০,০০।

প্রশ্ন: টাকায় ৭টি করে পণ্য ক্রয় করে টাকায় ৫টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হয়?

সমাধান:
৭টি পণ্যের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১ টি পণ্যের ক্রয়মূল্য = ১/৭ টাকা

আবার, 
৫টি পণ্যের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
∴ ১টি পণ্যের বিক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা

∴ লাভ = (১/৫) - (১/৭) টাকা
= (৭ - ৫)/৩৫
= ২/৩৫ টাকা

∴ শতকরা লাভ = (২/৩৫)/(১/৭) × ১০০%
= (২/৫) × ১০০%
= ৪০%

সুতরাং, শতকরা ৪০% লাভ হয়। 

প্রশ্নমতে, (৩ক + ১০)/(৭ক + ১০) = ১/২
বা, ৬ক + ২০ = ৭ক + ১০
বা, ক = ১০
সুতরাং, ছোটো সংখ্যাটি = ৩ক = ৩০

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা এক পাইপ দিয়ে ৬ ঘণ্টায় ভর্তি করা যায়। দ্বিতীয় পাইপ দিয়ে ৪ ঘণ্টায়। দুইটি পাইপ একসাথে ব্যবহার করে চৌবাচ্চার ১/২ অংশ ভর্তি করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম পাইপ এবং ২য় পাইপ ১ ঘণ্টায় পূর্ন করে = (১/৬) + (১/৪)
= (২ + ৩)/১২ = ৫/১২ অংশ

এখন, 
৫/১২ অংশ পূর্ন করে = ১ ঘণ্টায়
∴ ১ অংশ পূর্ন করে = ১২/৫ ঘণ্টায়
∴ ১/২ অংশ পূর্ন করে = (১২/৫) × ১/২ = ৬/৫ ঘণ্টায়

সুররাং, ১/২ অংশ ভর্তি করতে সময় লাগবে ৬/৫ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪.৫% সরল সুদে কত টাকা বিনিয়োগ করলে ৪ বছরে তা ৮২৬ টাকা হবে?

সমাধান:
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ (৪.৫ × ৪) টাকা = ১৮ টাকা

সুদাসল = (১০০ + ১৮ টাকা) = ১১৮ টাকা

∴ সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ১ টাকা হলে আসল ১০০ টাক
∴ সুদাসল ৮২৬ টাকা হলে আসল = (১০০ × ৮২৬)/১১৮ টাকা
=  ৭০০ টাকা।

প্রশ্ন: ২০ লিটার মিশ্রনে ২০% অ্যালকোহল এবং বাকিটা পানি আছে। যদি মিশ্রনে ৫ লিটার পানি যোগ করা হয় তবে মিশ্রনে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট মিশ্রণ = ২০ লিটার
অ্যালকোহল = ২০%
পানি = (১০০ - ২০)% = ৮০% 

∴ মিশ্রণে অ্যালকোহলের পরিমাণ = ২০ এর ২০%
= ২০ এর ২০/১০০ = ৪ লিটার 

∴ পানির পরিমাণ = ২০ - ৪ = ১৬ লিটার

আবার,
৫ লিটার জল যোগ করার পর, 
নতুন পানি  = ১৬ + ৫ = ২১ লিটার
নতুন মোট মিশ্রণ = ৪ + ২১ = ২৫ লিটার

∴ নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ = (৪/২৫) × ১০০% = ১৬% 

∴ নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ = ১৬%

এখানে, ক × ৩/১০০ = ০.৩
বা, ৩ক = ৩০
বা, ক = ৩০/৩
বা, ক = ১০

প্রশ্ন: মনিরা বার্ষিক পরীক্ষায় ৮০% নম্বর পেয়েছে। পরীক্ষায় মোট নম্বর ৮০০ হলে, মনিরা পরীক্ষায় মোট কত নম্বর পেয়েছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরীক্ষায় মোট নম্বর = ৮০০
মনিরা পেয়েছে ৮০% নম্বর

আমরা জানি,
৮০% অর্থ হলো ১০০ নম্বরের মধ্যে ৮০ নম্বর।

সুতরাং,
১০০ এর মধ্যে নম্বর পায় ৮০
∴ ১ এর মধ্যে নম্বর পায় ৮০/১০০
∴ ৮০০ এর মধ্যে নম্বর পায় (৮০ × ৮০০)/১০০
= ৮০ × ৮
= ৬৪০

সুতরাং, মনিরা পরীক্ষায় মোট ৬৪০ নম্বর পেয়েছে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৬ এবং ল.সা.গু ১৮০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো ক।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু।
⇒ ৩০ × ক = ১৮০ × ৬
⇒ ক = (১৮০ × ৬) / ৩০
⇒ ক = ৬ × ৬
⇒ ক = ৩৬

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৩৬

২টি সংখ্যার গুন ফল = ল.সা.গু.×গ.সা.গু.
ল.সা.গু. = ২টি সংখ্যার গুনফল ÷ গ.সা.গু.
∴লসাগু = ৮৮৪০/২০ = ৪৪২

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ৭০। প্রথম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যাটি = ২ক
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৫ক 

∴ ২ক ও ৫ক এর ল.সা.গু = ১০ক

শর্তমতে,
১০ক = ৭০
⇒ ক = ৭০/১০
⇒ ক = ৭

∴ প্রথম সংখ্যা = ২ক = ২ × ৭ = ১৪

প্রশ্ন: ২৫ ইনিংসে গড় ৫০ রান। সর্বোচ্চ স্কোর সর্বনিম্ন স্কোরের চেয়ে ১৯০ রান বেশি। দুটি ইনিংস বাদ দিলে বাকি ২৩ ইনিংসের গড় ৪৬ রান হয়। সর্বোচ্চ স্কোর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
২৫ ইনিংসে গড় ৫০ রান
∴ ২৫ ইনিংসের মোট = গড় × ইনিংস সংখ্যা
= ৫০ × ২৫
= ১২৫০ রান

আবার, 
দুটি ইনিংস বাদ দিলে বাকি ২৩ ইনিংসের গড় ৪৬ রান
২৩ ইনিংসের মোট = ৪৬ × ২৩ = ১০৫৮ রান

∴ দুটি বিশেষ ইনিংসের (সর্বোচ্চ + সর্বনিম্ন) মোট = ১২৫০ - ১০৫৮ = ১৯২ রান

ধরি,
সর্বনিম্ন স্কোর = ক রান
সর্বোচ্চ স্কোর = ক + ১৯০ রান
তাহলে:
ক + (ক + ১৯০) = ১৯২
⇒ ২ক + ১৯০ = ১৯২
⇒ ২ক = ১৯২ - ১৯০
⇒ ২ক = ২
⇒ ক = ১

সুতরাং সর্বোচ্চ স্কোর = ক + ১৯০
= ১ + ১৯০
= ১৯১ রান

অতএব, খেলোয়াড়ের সর্বোচ্চ স্কোর ১৯১ রান 

সোনাঃতামা = ৩ঃ১
∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ১ = ৪
∴ গয়নায়,
সোনার পরিমাণ = ৩২ × ৩/৪ = ২৪ গ্রাম
তামার পরিমাণ = ৩২ × ১/৪ = ৮ গ্রাম
ধরি,
a গ্রাম সোনা মিশাতে হবে।
∴ (২৪ + a):৮ = ৪ঃ১
বা, (২৪ + a)/৮ = ৪/১
বা, ২৪ + a = ৩২
∴ a = ৮

প্রশ্ন:  (০.০০২)/(০.১ × ০.২) = কত? 

সমাধান:
(০.০০২)/(০.১ × ০.২) 
= (০.০০২)/(০.০২)
= (২ × ১০০)/(২ × ১০০০)
= ১/১০
= ০.১

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ : ৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৬৩০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩ক, ৫ক ও ৬ক 

প্রশ্নমতে,
(৩ক)^২ + (৫ক)^২ + (৬ক)^২ = ৬৩০ 
বা, ৯ক^২ + ২৫ক^২ + ৩৬ক^২ = ৬৩০
বা, ৭০ক^২ = ৬৩০
বা, ক^২ = ৬৩০/৭০
বা, ক^২ = ৯
∴ ক = ৩

∴ বড় সংখ্যাটি = ৬ক
= ৬ × ৩
= ১৮ ।

প্রশ্ন: শতকরা ৬ টাকা হার সুদে কত বছরে ৫০০ টাকা সুদে-মূলে ৮০০ টাকা হয়?

সমাধান: 
এখানে, 
আসল, P = ৫০০ টাকা
সুদ, I = (৮০০ - ৫০০) টাকা = ৩০০ টাকা
সুদের হার, r = ৬%

আমরা জানি, 
I = Pnr/১০০
বা, n = (I × ১০০)/Pr
বা, n = (৩০০ × ১০০)/(৫০০ × ৬)
∴ n = ১০ বছর

অপর সংখ্যাটি a হলে,
২৪a = ১২০ × ৩
∴ a = (১২০ × ৩)/২৪
a = ১৫

0 = 0 × 1
2 = 2 × 1
6 = 3 × 2 × 1
9 = 3 × 3 × 1
এখানে সাধারন উৎপাদক = 1
∴ গ.সা.গু. = 1

প্রশ্ন: (√9 - i²) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, √9 = √(3)² 
= 3
এবং  i² = - 1       [এখানে, i হচ্ছে জটিল সংখ্যা]

∴ প্রদত্ত রাশি, (√9 - i²) = 3 - (- 1)
= 3 + 1
= 4

অপর সংখ্যাটি × c = a × b
∴ অপর সংখ্যা = ab/c

প্রশ্ন: পাঁচটি গরুর মূল্য কুড়িটি ছাগলের মূল্যের সমান। একটি গরুর মূল্য ৫০০০ টাকা হলে, দশটি ছাগলের মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
১টি গরুর মূল্য ৫০০০ টাকা
৫টি গরুর মূল্য ৫০০০ × ৫ টাকা
= ২৫০০০ টাকা 

২০ টি ছাগলের মূল্য ২৫০০০ টাকা 
১ টি ছাগলের মূল্য ২৫০০০/২০ টাকা
১০ টি ছাগলের মূল্য (২৫০০০ × ১০)/২০ টাকা
= ১২,৫০০ টাকা

সরল করুন: ১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৮ - ৪) × ২}]

সমাধান:
১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৮ - ৪) × ২}]
= ১ - [১ - {২ + (- ১) × ২}]
= ১ - [১ - {২ - ২}]
= ১ - [১ - ০]
= ১ - ১
= ০

সমাধান:
নির্ণেয় সর্বোচ্চ মার্বেল সংখ্যা হবে ৭২ এবং ১০৮ এর গ. সা. গু
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩

∴ গ. সা. গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬ 

সুতরাং নির্ণেয় সর্বোচ্চ মার্বেল সংখ্যা ৩৬ টি।

প্রশ্ন: আজিজ, করিমের চেয়ে বয়সে বড় এবং আজিজ ও করিমের একত্রে বয়স ৫৩ বছর। কিন্তু তাদের বয়সের পার্থক্য যদি ১৭ বছর হয় তবে কার বয়স কত? 

সমাধান:
ধরি, আজিজের বয়স ক বছর ও করিমের বয়স খ বছর
এখানে, আজিজ করিমের চেয়ে বয়সে বড়
 ∴ ক + খ = ৫৩ ..............................(১)
এবং ক - খ = ১৭ ............................(২)
 
(১) + (২)
২ক = ৫৩ + ১৭
⇒ ক = ৭০/২
⇒ ক = ৩৫

(১) থেকে, ৩৫ + খ = ৫৩
⇒ খ = ৫৩ - ৩৫
⇒ খ = ১৮  

∴ আজিজের বয়স ৩৫ বছর ও করিমের বয়স ১৮ বছর।

১ টি লেবুর ক্রয় মূল্য = ১/৬ টাকা।
১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = ১/৫ টাকা।
∴ লাভ হয় = ১/৫ - ১/৬ = ১/৩০
এখন,
১/৬ টাকায় লাভ হয় ১/৩০ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় ৬/৩০ টাকা।
১০০ টাকায় লাভ হয় (৬×১০০)/৩০ টাকা।
= ২০ টাকা।

বইটিতে কমিশন পায় = ১২০ - ৮৪ = ৩৬ টাকা
তাহলে ১২০ টাকায় কমিশন পায় = ৩৬ টাকা
∴ ১০০ টাকায় কমিশন পায় = ৩৬ × ১০০/১২০ = ৩০