পাটিগণিত

ধরি, ২৫০ এর ক% =  ১০ টাকা
বা, ২৫০ × ক/১০০ = ১০
বা, ক = (১০×১০০) / ২৫০ = ৪% 

মনে করি,
আগের বেতন x টাকা
তাহলে,
1.11x = 72150
=> x = 65000
তাহলে, বর্তমান বেতন = 65000 * 1.09 = 70850 টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু এবং ল. সা. গু যথাক্রমে ১৫ ও ২২৫। একটি সংখ্যা ৪৫ হলে অপরটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার গ সা গু ১৫
ল সা গু ২২৫
এবং একটি সংখ্যা ৪৫ 

আমরা জানি,
গ. সা. গু × ল. সা. গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
১৫ × ২২৫ = ৪৫ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (১৫ × ২২৫)/৪৫ 
= ৭৫ 

অতএব, অপর সংখ্যা = ৭৫

প্রশ্ন: 7 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 33 হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
সবচেয়ে ছোট ক্রমিক সংখ্যা x হলে -
ক্রমিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), (x + 4), (x + 5), (x + 6)

∴ ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6)
= x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6
= 7x + 21
= 7(x + 3)

শর্তমতে, 
7(x + 3) = 33 × 7
বা, x + 3 = (33 × 7)/7
বা, x + 3 = 33
বা, x = 33 - 3
∴ x = 30

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = x + 6
= 30 + 6
= 36

১৪% লাভে বিক্রয়মূল্য = ৩০০ + ৩০০ এর ১৪% = ৩৪২ টাকা।
ধরি, ৫% কমিশনে ধার্যমূল্য = x টাকা
প্রশ্নমতে,
x - x এর ৫% = ৩৪২
বা, x - ০.০৫x = ৩৪২
বা, ০.৯৫x = ৩৪২
বা, x = ৩৪২/০.৯৫ = ৩৬০ টাকা।

প্রশ্ন: ৬, ১০ ও ১২ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
৬ × ৪র্থ সংখ্যা = ১০ × ১২
৪র্থ সংখ্যা = (১০ × ১২)/৬
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ২০

∴ ৬, ১০ ও ১২ এর চতুর্থ সমানুপাতিক সংখ্যা হবে ২০।

(5/38) / (25/19)
= (5/38) X (19/25)
= 1/10

ধরি, আবুলের সাপ্তাহিক মূল বেতন ১০০ টাকা।
১৬% বৃদ্ধিতে সাপ্তাহিক বেতন = ১০০+১৬ =১১৬ টাকা।
:.১০% বৃদ্ধিতে সাপ্তাহিক বেতন =১১০ টাকা।
এখন,
সাপ্তাহিক বেতন ১১৬ টাকা হলে মাসিক উপার্জন ৮১২ টাকা।
সাপ্তাহিক বেতন ১ টাকা হলে মাসিক উপার্জন ৮১২/১১৬ টাকা।
সাপ্তাহিক বেতন ১১০ টাকা হলে মাসিক উপার্জন (৮১২X১১০)/১১৬ টাকা।
= ৭৭০ টাকা।

ধরি,
১ম, ২য়, ৩য় অংশ যথাক্রমে x, ৫x, ৪x
প্রশ্নমতে,
x + ৫x + ৪x = ৫০
বা, ১০x = ৫০
বা, x = ৫০/১০
= ৫
∴ প্রথম টুকরার দৈর্ঘ্য = ৫
২য় টুকরার দৈর্ঘ্য = ৫ × ৫ = ২৫
৩য় টুকরার দৈর্ঘ্য = ৪ × ৫ = ২০

প্রশ্ন: কোনো খুঁটির এক-চতুর্থাংশ ভূমির নিচে, এক-পঞ্চমাংশ পানির মধ্যে এবং ৫.৫ মিটার পানির উপরে দৃশ্যমান হলে খুঁটিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (ক/৪) + (ক/৫) অংশ
= (৫ক + ৪ক)/২০ অংশ
= ৯ক/২০ অংশ

আবার, পানির উপরে আছে = ক - (৯ক/২০)
= ১১ক/২০ অংশ

শর্তমতে,
১১ক/২০ = ৫.৫ মিটার
⇒ ক = (৫.৫ × ২০)/১১
⇒ ক = ১১০/১১ 
∴ ক = ১০ মিটার

অতএব, খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য ১০ মিটার।

১২ এর ২৪%
= (১২ × ২৪)/১০০
= ২.৮৮

প্রশ্ন: ২৫ এর কত শতাংশ ৬৫ হবে?

সমাধান:
মনে করি, 
২৫ এর ক% = ৬৫ 
⇒ ২৫ × (ক/১০০) = ৬৫ 
⇒ ২৫ক = ৬৫ × ১০০ 
⇒ ক = (৬৫ × ১০০)/২৫ 
⇒ ক = ৬৫ × ৪
∴ ক = ২৬০%

২৫ এর ৬৫ হলো ২৬০%

প্রশ্ন: ২০ জনে একটি কাজের এক-তৃতীয়াংশ করতে পারে ৮ দিনে। ঐ কাজটি করতে ৬ জনের কতদিন লাগবে?

সমাধান:
২০ জনে ১/৩ অংশ কাজ করে ৮ দিনে
∴ ২০ জনে ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে = ৮ × ৩ দিনে
∴ ১ জনে ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে = ৮ × ৩ × ২০ দিনে
∴ ৬ জনে ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে = (৮ × ৩ × ২০)/৬ দিনে
= ৮০ দিনে

সমাধান:
এখানে, সংখ্যা দুটি ৫x এবং ৬x এর গ. সা. গু = x ∴ গ. সা. গু. x = ৪

এখন,
সাধারণ নিয়মে প্রথম সংখ্যটি ৫ × ৪ = ২০ এবং ২য় সংখ্যাটি ৬ × ৪ = ২৪

∴ ২০ ও ২৪ এর ল. সা. গু = ১২০

ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে, ১০ এর ৩০% = x এর ১০%
বা ১০ এর ৩০/১০০ = x এর ১০/১০০
বা ৩ = x/১০
বা x = ৩০

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি খেলনা ৯০০ টাকায় বিক্রি করায় তার কিছু ক্ষতি হলো। যদি তিনি খেলনাটি ১২০০ টাকায় বিক্রি করতেন, তবে তার যত টাকা ক্ষতি হয়েছিলো তার ২০০% লাভ হতো। খেলনাটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সমাধান: 
ধরি,
৯০০ টাকায় বিক্রি করলে ক টাকা ক্ষতি হয়।
∴ ক্রয়মূল্য = (৯০০ + ক) টাকা

আবার, 
১২০০ টাকায় বিক্রয় করায় লাভ হয় = (ক এর ২০০/১০০)টাকা = ২ক টাকা
∴ ক্রয়মূল্য = ১২০০ - ২ক

প্রশ্নমতে,
৯০০ + ক = ১২০০ - ২ক
⇒ ক + ২ক = ১২০০ - ৯০০
⇒ ৩ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০/৩ 
∴ ক = ১০০

∴ ক্রয়মূল্য = ৯০০ + ১০০ = ১০০০ টাকা

সুতরাং, খেলনাটির ক্রয়মূল্য = ১০০০ টাকা। 

লব ক হলে হর ক+২,
সুতরাং ভগ্নাংশটি ক/(ক+২)

প্রশ্নমতে, {(ক - ৩)/(ক + ২ - ৩)} + ১/৪ = ১
বা, (ক - ৩)/(ক - ১) = ১ - (১/৪) = ৩/৪
বা, ৪ক - ১২ = ৩ক - ৩
বা, ক = ৯
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ ৯/(৯ + ২) = ৯/১১

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাস করে? 

সমাধান: 
শুধু বিজ্ঞানে ফেল করে = (৫২ - ২৭)% 
= ২৫% 

আবার, 
শুধু অঙ্কে ফেল করে = (৪০ - ২৭)% 
= ১৩% 

∴ শুধু বিজ্ঞান অথবা অঙ্ক বা উভয় বিষয়ে মোট ফেল করে = (২৫ + ১৩ + ২৭)% 
= ৬৫% 

∴ শতকরা পাস করে = (১০০ - ৬৫)% 
= ৩৫% ।

প্রশ্ন: ২০-এর কত শতাংশ ৩০ হবে?

সমাধান:
ধরি, ২০-এর ক শতাংশ = ৩০

তাহলে, (২০ × ক)/১০০ = ৩০
⇒ ক = (৩০ × ১০০)/২০

∴ ক = ১৫০%

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা বেশি হলে বিক্রেতার ১০% লাভ হতো। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
১৫% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১৫ = ৮৫ টাকা
১০% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১১০ - ৮৫ = ২৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ২৫ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = ১০০/২৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩৬০)/২৫ টাকা
= ১৪৪০ টাকা

Ratio of the speed of A, B and C = 6 : 3 : 1
Then, ratio of time taken= 1/6 : 1/3 : 1 = 1 : 2 : 6
Hence, time taken by A = 72/6 = 12 minutes.

সমাধান:
১০০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = (১০০ × ৭০) = ৭০০০
এবং ৬০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৭৫ × ৬০) = ৪৫০০

∴ ছাত্র সংখ্যা = (১০০ - ৬০) = ৪০ জন
∴ ৪০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭০০০ - ৪৫০০) = ২৫০০

∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ২৫০০/৪০ = ৬২.৫

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার বেগ ৮ কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ ২.৫ কি.মি./ঘণ্টা। একজন ব্যক্তি ১০৫ কি.মি. দূরত্বের একটি স্থানে নৌকা বেয়ে যায় এবং আবার শুরুর স্থানে ফিরে আসে। তার মোট সময় কত লাগবে?

সমাধান: 

স্থির পানিতে নৌকার বেগ = ৮ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = ২.৫ কি.মি./ঘণ্টা
দূরত্ব = ১০৫ কি.মি.

স্রোতের অনুকূলে বেগ = ৮ + ২.৫ = ১০.৫ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = ৮ − ২.৫ = ৫.৫ কি.মি./ঘণ্টা

যাওয়ার সময় = (১০৫/১০.৫) ঘণ্টা
= ১০ ঘণ্টা
আসার সময় = (১০৫/৫.৫) ঘণ্টা
= ১৯.০৯ ঘণ্টা

মোট সময় = (১০ + ১৯.০৯) ঘণ্টা
= ২৯.০৯ ঘণ্টা (প্রায়)   

একটি দ্রব্যের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ২৫% লাভে এর বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা
ক্রয়মূল্য : বিক্রয়ময়ল্য = ১০০ : ১২৫ = ৪ : ৫

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কত জন সৈন্য ছিল? 

সমাধান: 
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন
= ৫৮৯ জন।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ১২০ এবং গ.সা.গু ২০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/২ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৩ক/২ = ১.৫ক
∴ সংখ্যা দুইটির গুণফল = ১.৫ক^২

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১.৫ক^২ = ১২০ × ২০ 
⇒ ১.৫ক^২ = ২৪০০ 
⇒ ক^২ = ২৪০০/১.৫
⇒ ক^২ = ১৬০০ 
⇒ ক = √১৬০০
∴ ক = ৪০

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৪০

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১২০ টাকায় বিক্রয় করলে যত ক্ষতি হয়, ২৪০ টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হয়। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, ঘড়ির ক্রয়মূল্য = ক টাকা

১২০ টাকায় বিক্রয়ে,
বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
ক্ষতি = ক - ১২০ টাকা

২৪০ টাকায় বিক্রয়ে,
বিক্রয়মূল্য = ২৪০ টাকা
লাভ = ২৪০ - ক টাকা

প্রশ্নমতে,
২৪০ - ক = ২(ক - ১২০)
⇒ ২৪০ - ক = ২ক - ২৪০
⇒ ২৪০ + ২৪০ = ২ক + ক
⇒ ৪৮০ = ৩ক
⇒ ক = ১৬০

অতএব, ঘড়ির ক্রয়মূল্য = ১৬০ টাকা।

প্রশ্ন: কমিশনের হার ৩% হলে ২২০০ টাকা মূল্যের জিনিস বিক্রি করলে কত কমিশন হবে?

সমাধান: 
১০০ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = ৩ টাকা 
∴ ১ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = ৩/১০০ টাকা 
∴ ২২০০ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = (৩ × ২২০০)/১০০ টাকা 
= ৬৬ টাকা । 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা তৃতীয় একটি সংখ্যার তুলনায় প্রথম সংখ্যা ১৫% কম এবং দ্বিতীয় সংখ্যা ২৫% বেশি। এই দুই সংখ্যার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি, 
তৃতীয় সংখ্যা = ১০০

তাহলে, প্রথম সংখ্যা = ১০০ - ১৫% এর ১০০
= ১০০ - ১৫
= ৮৫

এবং দ্বিতীয় সংখ্যা = ১০০ + ২৫% এর ১০০
= ১০০ + ২৫
= ১২৫ 

∴ প্রথম সংখ্যা : দ্বিতীয় সংখ্যা = ৮৫ : ১২৫
= ১৭ : ২৫ ; [উভয়কে ৫ দিয়ে ভাগ করে পাই] 

সুতরাং, সংখ্যা দুইটির অনুপাত ১৭ : ২৫

প্রশ্ন: 2024 সালে একটি স্কুলে মোট 1000 জন শিক্ষার্থী ছিল। 2025 সালে ছেলেদের মধ্যে 5% স্কুল ছেড়ে যায় এবং নতুন করে 15% মেয়ে শিক্ষার্থী স্কুলে ভর্তি হয়। তবে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকে। 2024 সালে স্কুলে কতজন মেয়ে শিক্ষার্থী ছিল? 

সমাধান:
ধরি, 2024 সালে ছাত্রীর সংখ্যা ছিল x 
এবং ছাত্রের সংখ্যা ছিল (1000 - x)
প্রশ্ন অনুযায়ী, 2025 সালে ছাত্রীর সংখ্যা বৃদ্ধি পায় 15% এবং ছাত্রের সংখ্যা হ্রাস পায় 5%। কিন্তু মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকে।

প্রশ্নমতে,
(x + x এর 15%) + {(1000 - x) - (1000 - x) এর 5%} = 1000
⇒ x + (15x/100) + (1000 - x) - {5(1000 - x)/100} = 1000
⇒ 15x/100 - 5(1000 - x)/100 = 0
⇒ 15x - 5(1000 - x) = 0
⇒ 15x - 5000 + 5x = 0
⇒ 20x = 5000
⇒ x = 5000/20
⇒ x = 250

সুতরাং, 2024 সালে স্কুলে ছাত্রীর সংখ্যা ছিল 250 জন।

প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার। ২৮০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে প্ল্যাটফর্মটি অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৮০ মিটার
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার

আমরা জানি,
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ও ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

∴ ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = (প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য + ট্রেনের দৈর্ঘ্য)
= (১৫০ + ২৮০) মিটার
 = ৪৩০ মিটার

∴ ট্রেনটিকে ৪৩০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে।

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একই সময়ে বাজতে শুরু করে। ঘণ্টা চারটি যথাক্রমে প্রতি ৮ সেকেন্ড, ১২ সেকেন্ড, ১৮ সেকেন্ড এবং ২৪ সেকেন্ডের ব্যবধানে বাজে। ঘণ্টা চারটি ৩ ঘণ্টার মধ্যে কতবার একসাথে বাজবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘণ্টাগুলির সময়কাল যথাক্রমে ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ সেকেন্ড।

৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২ সেকেন্ড
অর্থাৎ, ঘণ্টাগুলো প্রতি ৭২ সেকেন্ড অন্তর একত্রে বাজে।

এখন,
৩ ঘণ্টা = ৩ × ৬০ × ৬০ = ১০৮০০ সেকেন্ড
∴ ৩ ঘণ্টায় ঘণ্টাগুলো একত্রে বাজবে = (১০৮০০ / ৭২) বার + ১ বার (শুরুতে বাজার জন্য)
= ১৫০ + ১
= ১৫১ বার

∴ ৩ ঘণ্টার মধ্যে ঘণ্টা চারটি একত্রে ১৫১ বার বাজবে।

প্রশ্ন: ১২^৩ কে সর্বনিম্ন কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১২^৩
= (৩ × ৪)^৩
= (৩^৩) × (৪^৩)
= (৩^৩) × (২^২)^৩
= (৩^৩) × (২^৬)
কোনো সংখ্যার ঘাত জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
∴ ২^৬ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ ,
কিন্তু ৩^৩ সংখ্যাটির ঘাত বিজোড় হওয়ায় তা পূর্ণবর্গ নয়।

৩^৩ এর সাথে ৩ গুণ করলে গুণফল হবে,
 (৩^৩) × ৩
= ৩^৪  যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। 

∴ ১২^৩ কে সর্বনিম্ন ৩ দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে।

একটি দ্রব্য ৮০০ টাকায় ক্রয় করে ১৫% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির ক্রয় মূল্য ২০% কম হলে কত টাকা লাভ হবে?

সমাধান:
১৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১৫ × ৮০০)/১০০ টাকা
= ৯২০ টাকা

আবার,
ক্রয়মূল্য ২০% কম হলে দাম হত = ৮০০ - ৮০০ এর ২০%
= ৮০০ - {৮০০ × (২০/১০০)}
= ৮০০ - ১৬০
= ৬৪০ টাকা

∴ লাভ = (৯২০ - ৬৪০) টাকা = ২৮০ টাকা