পাটিগণিত

প্রশ্ন: রাকিব ইংরেজি ও গণিতে মোট ১৭৬ নম্বর পেয়েছে। সে ইংরেজি অপেক্ষা গণিতে ১০ নম্বর বেশি পেয়েছে। সে গণিতে কত পেয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
ইংরেজিতে পেয়েছে ক নম্বর।
তাহলে গণিতে পেয়েছে = ক + ১০ নম্বর।

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১০) = ১৭৬
⇒ ২ক  + ১০  = ১৭৬ 
⇒ ২ক = ১৬৬
∴ ক = ৮৩ 

∴ গণিতে নম্বর = ৮৩  + ১০ = ৯৩ 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে ৭ যোগ করলে ফলাফল সংখ্যাটির তিনগুণের সমান হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ২ক + ৭ = ক × ৩
বা, ২ক + ৭ = ৩ক
বা, ৩ক - ২ক = ৭
∴  ক = ৭

∴ সংখ্যাটি = ৭ ।

এখানে, ১ ঘন্টা ৪০ মিনিট ৪৮ সেকেন্ড = ৬০৪৮ সেকন্ড।

ধরি,
গাড়ির মূল গতি = x কি.মি/ঘন্টা
∴ গাড়ির বর্তমান গতি = ৭x/৮ কি.মি/ঘন্টা

গাড়িটি ৩৬০০ সেকেন্ডে যায় ৭x/৮ কি.মি
∴ ১ সেকেন্ডে যায় = ৭x/(৮ × ৩৬০০) কি.মি
∴ ৬০৪৮ সেকেন্ডে যায় = (৭x × ৬০৪৮)/(৮ × ৩৬০০) কি.মি
বা, ১.৪৭x কি.মি

প্রশ্নমতে,
১.৪৭x = ৪২
∴ x = ৪২/১.৪৭ = ২৮.৫৭ কি.মি

অর্থ্যাৎ, গাড়ির মূল গতি ২৮ কি.মি/ঘন্টা (প্রায়)

প্রশ্ন: ৮৪০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রথমে সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করতে হবে।
৮৪০  = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ 
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১ × ৭^১

আমরা জানি, 
কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করতে হলে এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচকের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴ ৮৪০ -এর মোট ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)× (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২ × ২
= ৩২ 

সুতরাং, ৮৪০ সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা = ৩২

প্রশ্ন: সালমান সাহেবের বাৎসরিক আয় ৫,৫০,২০০ টাকা। তিনি ৩ মাসে যা খরচ করেন, ২ মাসে তা আয় করেন। তার বাৎসরিক সঞ্চয় কত টাকা হবে?

সমাধান:
সালমান সাহেবের,
৩ মাসের ব্যয় = ২ মাসের আয়
বাৎসরিক আয় : বাৎসরিক ব্যায় = ৩ : ২ 

ধরি,
বাৎসরিক আয় = ৩ক
বাৎসরিক ব্যায় = ২ক 
∴ বাৎসরিক সঞ্চয় = (৩ক - ২ক) টাকা = ক টাকা 

প্রশ্নমতে,
৩ক = ৫৫০২০০
⇒ ক = ৫৫০২০০/৩
⇒ ক = ১৮৩৪০০ 

∴ সালমান সাহেবের বাৎসরিক সঞ্চয় = ১৮৩৪০০ টাকা 

১ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০ টাকা
১ টি কমলার বিক্রয়মূল্য = ২২ টাকা
∴ কমলা প্রতি লাভ = ২ টাকা
∴ লাভের হার = (২ × ১০০)/২০ = ১০%

প্রশ্ন: ১৩৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
১৩৫০ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই, 
১৩৫০ = ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫
 = ২ × ৩^৩  × ৫^২ 
জোড়া গঠন করে পাই = ২ × (৩ × ৩) × ৩ × (৫ × ৫)

এখানে, জোড়া বিহীন সংখ্যা = ২ × ৩ = ৬ 
সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ১৩৫০ কে ৬ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ৬ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু-এর গুণফল 240। সংখ্যা দুটির পার্থক্য 8 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি x এবং y

প্রশ্নমতে,
xy = 240 (ল.সা.গু * গ.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল)
এবং
সংখ্যা দুটির পার্থক্য, x - y = 8 .........(1) 

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 8² + 4 × 240 = 64 + 960 = 1024
⇒ (x + y)² = 32²
∴ x + y = 32 .......... (2)

এখন,
(1) + (2)
⇒ x + y + x - y = 32 + 8
⇒ 2x = 40
∴ x = 20
(2) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
y = 32 - 20
∴  y = 12

সংখ্যা দুটি 20 ও 12

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা: 
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি। 
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫ টি। যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭। 

∴ ৪৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।

পাস করতে পারে নি (১০০-৫০)% = ৫০%
৫০% পরীক্ষার্থী(যারা পাশ করে নি+যারা অংশগ্রহণ করে নি) = ৩০+১০= ৪০জন
∴১০০% = (৪০х১০০)/৫০ = ৮০
∴পাস করেছে ৮০ এর ৫০% = ৪০ জন

আমরা জানি, I = pnr
বা, n = I/pr
= ৬০০০ / (১০,০০০ × ১/১০)
= ৬ বছর

প্রশ্ন: চাঁদপুর থেকে চট্টগ্রাম যাওয়ার সময় একটি ট্রেনের গতিবেগ ছিল ১২০ কি.মি./ঘণ্টা এবং চট্টগ্রাম থেকে চাঁদপুর ফিরে আসার সময় এর গতিবেগ ছিল ৮০ কি.মি./ঘণ্টা। পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ = ২ × x × y/(x + y)
= (২ × ১২০ × ৮০)/(১২০ + ৮০)
= (২ × ১২০ × ৮০)/২০০ 
= ৯৬ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ ৯৬ কি.মি./ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: রাকিব সাহেব ও তার দুই ছেলের বয়সের সমষ্টি ৪৯ বছর। ৭ বছর পরে তাদের বয়সের সমষ্টি কত বছর হবে?

সমাধান:
রাকিব সাহেব ও তার দুই ছেলের বয়সের সমষ্টি ৪৯ বছর
∴ ৭ বছর পরে তাদের বয়সের সমষ্টি হবে = {৪৯ + (৩ × ৭)} বছর
 = (৪৯ + ২১) বছর
= ৭০ বছর  

প্রশ্ন: একই হার মুনাফায় কোনো আসল ৬ বছরে মুনাফা-আসলে দ্বিগুণ হলে, কত বছরে তা মুনাফা-আসলে তিনগুণ হবে? 

সমাধান: 
আসল ১০০ টাকা হলে, 
৬ বছরে মুনাফা-আসলে = (১০০ × ২) টাকা = ২০০ টাকা 
৬ বছরে মুনাফা = (২০০ - ১০০) টাকা
= ১০০ টাকা 

আবার, 
মুনাফা-আসলে তিনগুণ হলে মুনাফা = (৩০০ - ১০০) টাকা
= ২০০ টাকা 

১০০ টাকা মুনাফা হয় = ৬ বছরে 
∴ ১ টাকা মুনাফা হয় = ৬/১০০ বছরে 
∴ ২০০ টাকা মুনাফা হয় = (৬ × ২০০)/১০০ বছরে 
= ১২ বছরে ।

প্রশ্ন: ৫% হারে ৩০০ টাকায় ৫ বছরের সুদাসল কত টাকা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৩০০ টাকা
সুদের হার, r = ৫%
সময়, n = ৫ বছর

আমরা জানি,
সরল সুদ, I = Prn
= (৩০০ × ৫ × ৫)/১০০ = ৭৫ 
∴ সরল সুদ = ৭৫ টাকা 

∴ সুদাসল = আসল + সুদ = ৩০০ + ৭৫ = ৩৭৫ টাকা 

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা নির্দিষ্ট পরিমাণ ছাড় দিয়ে একটি ব্যাগ ৩৬০ টাকায় বিক্রয় করেন। ব্যাগটির প্রকৃত মূল্য ৪৫০ টাকা হলে ছাড় এর শতকরা পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাগের প্রকৃত মূল্য = ৪৫০ টাকা
ছাড় দিয়ে বিক্রয়মূল্য = ৩৬০ টাকা
∴ ছাড় এর পরিমাণ = ৪৫০ - ৩৬০ = ৯০ টাকা

এখন,
৪৫০ টাকায় ছাড় দেওয়া হয় = ৯০ টাকা
∴ ১ টাকায় ছাড় দেওয়া হয় = ৯০/৪৫০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ছাড় দেওয়া হয় = (৯০ × ১০০)/৪৫০ = ২০ টাকা

অর্থাৎ ছাড় এর শতকরা পরিমাণ ২০%

প্রশ্ন: ২২০ সংখ্যাটির ভাজকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
২২০ এর মৌলিক উৎপাদকসমূহ = ২ × ২ × ৫ × ১১
= ২^২ × ৫^১ × ১১^১ 

আমরা জানি, কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করার সূত্র হলো এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত বা পাওয়ারের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণফল নির্ণয় করা।
এখানে ঘাতসমূহ হলো ২, ১ এবং ১।

∴ ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ২ × ২
= ১২ টি

প্রশ্ন: একজন শ্রমিক ৩০ দিনে একটি কাজের ৩/১০ অংশ শেষ করতে পারে। এই হারে কাজ করলে সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে তার কতদিন লাগবে?

সমাধান:
একজন শ্রমিক কাজটির ৩/১০ অংশ শেষ করতে পারে = ৩০ দিনে।
∴ সম্পূর্ণ কাজ (১ অংশ) শেষ করতে সময় লাগবে = (৩০ × ১০)/৩ দিনে
 = ১০০ দিনে

প্রশ্ন: ১ হেক্টর = কত একর?

সমাধান:
১ হেক্টর = ১০,০০০ বর্গমিটার।
১ হেক্টর = ২.৪৭ একর (প্রায়)।
১ বর্গ ইঞ্চি = ৬.৪৫ বর্গ সে.মি.।
১ বর্গফুট = ৯২৯ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: ৯৬ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ৮০%?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৮০% = ৯৬
⇒ ক × (৮০/১০০) = ৯৬
⇒ ক × ৮০ = ৯৬ × ১০০
⇒ ক = (৯৬ × ১০০)/৮০
⇒ ক = ৯৬০/৮
∴ ক = ১২০

∴ সংখ্যাটি = ১২০ 

প্রশ্ন: ১৮০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে ২২০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম অতিক্রম করতে কত মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২২০ মিটার
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৮০ মিটার

∴ মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য 
= ১৮০ + ২২০
= ৪০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি হোস্টেলে ৩৬০ ছাত্রে ৩৫ দিনের খাদ্য মজুদ রয়েছে। যদি ৫ দিন পর ৯০ জন নতুন ছাত্র আসে, তবে বাকি খাদ্য কত দিন চলবে?

সমাধান:
দিন অবশিষ্ট থাকে (৩৫ - ৫) দিন = ৩০ দিন
∴ মোট ছাত্র সংখ্যা = (৩৬০ + ৯০) জন = ৪৫০ জন

৩৬০ জনের খাদ্য মজুদ আছে ৩০ দিনের
∴ ১ জনের খাদ্য মজুদ আছে = (৩০ × ৩৬০) দিনের
∴ ৪৫০ জনের খাদ্য মজুদ আছে (৩০ × ৩৬০)/৪৫০ দিনের
= ২৪ দিনের

∴ অবশিষ্ট খাদ্যে চলবে = ২৪ দিন

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘণ্টায় ৬ কি.মি. বেগে দৌড়ে কোন স্থানে গেলেন এবং ঘণ্টায় ৩ কি.মি. বেগে ফিরে আসলেন। যাত্রাপথে তার গড় গতি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
গন্তব্যস্থলের দূরত্ব = ক কি.মি. 
∴ ব্যক্তিটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ক + ক = ২ক কি.মি. 

যাওয়ার সময় ব্যক্তিটির সময় লাগে = ক/৬ ঘণ্টা 
ফিরে আসতে ব্যক্তিটির সময় লাগে = ক/৩ ঘণ্টা 

∴ গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময় 
= ২ক/{(ক/৬) + (ক/৩)}
= ২ক/{(ক + ২ক)/৬}
= ২ক/(৩ক/৬)
= ২ক/(ক/২)
= ২ক × (২/ক)
= ৪ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্ন: ২০/২১ এর মধ্যে ২০/৬৩ কতবার আছে?

সমাধান:
(২০/২১) ÷ (২০/৬৩)
= (২০/২১) × (৬৩/২০)
= ৬৩/২১
= ৩

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৩/২, ৩/৪, ১.৩ ইত্যাদি

অমূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৩, π ইত্যাদি।

এখানে,
ক) ২/৭ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √১৪৪ = ১২ এটি একটি পূর্ণসংখ্যা। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
গ) ৭/৩ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √৫; ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা এবং পূর্ণবর্গ নয়। √৫ = ২.২৩৬০৬৭৯৭৭........... এটি একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক। এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং এটি অমূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, √৫ অমূলদ সংখ্যা।

১০০ টাকায় ১ বছরে লাভ হয় = ৮.৫০ টাকা
∴ ১ টাকায় ১ বছরে লাভ হয় ৮.৫০/১০০ টাকা
∴ ১০০০ টাকায় ১ বছরে লাভ হয় (৮.৫০ × ১০০০)/১০০ টাকা
∴ ১০০০ টাকায় ২ বছরে লাভ হয় (৮.৫০ × ২ × ১০০০)/১০০ টাকা = ১৭০ টাকা
অতএব, মোট টাকা পাবে (১০০০ + ১৭০) = ১১৭০ টাকা

প্রশ্ন: ১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৫ গুণ ছিল। ৫ বছর পরে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণ হবে। বর্তমানে পুত্রের বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স = ক বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = খ বছর
১ম শর্তানুসারে,
ক - ১০ = ৫(খ - ১০)
⇒ ক - ১০ = ৫খ - ৫০
∴ ক = ৫খ - ৪০ ........ (১)

২য় শর্তানুসারে,
ক + ৫ = ৩(খ + ৫)
⇒ ক + ৫ = ৩খ + ১৫
∴ ক = ৩খ + ১০ ........ (২)

(১) ও (২) সমীকরণ তুলনা করে,
৫খ - ৪০ = ৩খ + ১০
⇒ ৫খ - ৩খ = ১০ + ৪০
⇒ ২খ = ৫০
∴ খ = ২৫

অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স = ২৫ বছর।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১২ সেকেন্ডে একটি খুঁটি এবং ৩০ সেকেন্ডে একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার হলে, প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনটি একটি খুঁটি অতিক্রম করে ১২ সেকেন্ডে
একই ট্রেন একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে ৩০ সেকেন্ডে
এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার

এখন, 
খুঁটি অতিক্রম করার বেগ = দূরত্ব/সময়
= ২০০/১২
= ২০০/১২
= ৫০/৩ মি./সে.

আবার, 
৩ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৫০ মিটার
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৫০/৩ মিটার
∴ ৩০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৫০ × ৩০)/৩ = ৫০০ মিটার

∴ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে মোট দূরত্ব = ৫০০ মিটার

আমরা জানি, 
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
⇒ ৫০০ = ২০০ + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
⇒ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৫০০ - ২০০ মিটার
∴ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার

প্রশ্ন: m ও n উভয়ে বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড়?

সমাধান:
ধরি, m = 1 এবং n = 3, দুটোই বিজোড় সংখ্যা।
এখন,
ক) mn = 1 × 3 = 3  ⇒ বিজোড়
খ) mn + 2 = (1 × 3) + 2 = 5  ⇒ বিজোড়
গ) mn + 4 = (1 × 3) + 4 = 7  ⇒ বিজোড়
অতএব 
সঠিক উত্তর: ঘ)সবকটি

প্রশ্ন: বার্ষিক 8% সুদে 625 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি ও সরল মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সরল মুনাফা, I = Pnr
= 625 × 2 ×  8/100 
= 100

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = p(1 + r)ⁿ - p
= 625 {1 + (8/100)}² - 625
= 625{1 + (2/25)}² - 625
= 625(27/25)² - 625
= 625{(729/625) - 1}
= 625{(729 - 625)/625}
= 104

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (104 - 100) টাকা
= 4 টাকা