পাটিগণিত

প্রশ্ন: ০.০২ এর ৫% কত?

সমাধান:
শতাংশ নির্ণয়ের সূত্র:
শতাংশ = মূল সংখ্যা × শতকরা / ১০০
= ০.০২ × ৫/১০০
​= ০.০২ × ০.০৫
= ০.০০১ 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4. সংখ্যা দুটি থেকে 2 করে কমালে অনুপাত হয় 2 : 3. সংখ্যা দুটির সাথে 4 যোগ করলে তাদের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি 3x ও 4x

প্রশ্নমতে,
(3x - 2)/(4x - 2) = 2/3
⇒ 9x - 6 = 8x - 4
⇒ x = 2
সংখ্যা দুটি: 3 × 2 = 6 ও 4 × 2 = 8 
সংখ্যা দুটির সাথে 4 যোগ করলে: 6 + 4 = 10 ও 8 + 4 = 12

∴ সংখ্যা দুটির অনুপাত = 10 : 12 = 5 : 6

মুনাফা ১৬ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ মুনাফা ১ টাকা হলে আসল ১০০/১৬ টাকা
∴ মুনাফা ১৭০০ টাকা হলে আসল (১০০ x ১৭০০)/১৬ টাকা
= ১০৬২৫ টাকা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
√x + ১০ = ১৬ 
বা, √x = ১৬ - ১০ 
বা, √x = ৬ 
বা, (√x)^২ = (৬)^২ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬ । 

প্রশ্ন: করিম সাহেব ১৬১ টাকায় শার্ট বিক্রি করে ক্রয়মূল্যের ১/৬ অংশ লাভ করেন। শার্টটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিক্রয়মূল্য = ১৬১ টাকা
লাভ = ক্রয়মূল্যের ১/৬​ অংশ

ধরি,
ক্রয়মূল্য = ক টাকা
∴ লাভ = ক/৬

আমরা জানি, 
বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ
⇒ ১৬১ = ক + (ক/৬)
⇒ (৬ক + ক)/৬ = ১৬১
⇒ ৭ক = ১৬১ × ৬
⇒ ক = (১৬১ × ৬)/৭ 
⇒ ক = ২৩ × ৬
∴ ক = ১৩৮ টাকা 

সুতরাং, শার্টটির ক্রয়মূল্য ১৩৮ টাকা। 

প্রশ্ন: কোনো আসল সরল সুদে ৪ বছরে সুদে-আসলে ১০৮০ টাকা এবং ১০ বছরে সুদে-আসলে ১৩৮০ টাকা হয়। আসল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৪ বছরে সুদে-আসল = ১০৮০ টাকা
১০ বছরে সুদে-আসল = ১৩৮০ টাকা

∴ ১০ বছর ও ৪ বছরের মধ্যে পার্থক্য = ৬ বছরের সুদ
∴ ৬ বছরের সুদ = ১৩৮০ - ১০৮০ = ৩০০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ৩০০/৬ = ৫০ টাকা
∴ ৪ বছরের সুদ = ৪ × ৫০ = ২০০ টাকা

∴ আসল = ৪ বছরের সুদে-আসল - ৪ বছরের সুদ
= ১০৮০ - ২০০
= ৮৮০ টাকা

অতএব, আসল = ৮৮০ টাকা।

প্রশ্ন: ১০ টি ভেড়ার মূল্য ৩ টি গরুর মূল্যের সমান। ২ টি গরুর মূল্য ১০০,০০০ টাকা হলে ৫ টি ভেড়ার মূল্য কত?

সমাধান:
২ টি গরুর মূল্য ১০০,০০০ টাকা
১ টি গরুর মূল্য ১০০,০০০/২ টাকা
৩ টি গরুর মূল্য (১০০,০০০ × ৩)/২
= ১৫০,০০০ টাকা

 ১০ টি ভেড়ার মূল্য ১৫০,০০০ টাকা
১ টি ভেড়ার মূল্য ১৫০,০০০/১০ টাকা
৫ টি ভেড়ার মূল্য (১৫০,০০০ × ৫)/১০
=৭৫,০০০ টাকা

2/11 = 0.18
3/11 = 0.27
2/13 = 0.15
4/15 = 0.27

 সবচেয়ে ছোট = 2/13

প্রশ্ন: ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে, একটি অপরটির সম্পূরক কোণ হয়।
∴ ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৭০° = ১১০°

প্রতি ডজন কলা ৪৮ টাকায় কিনলে একটি কলার ক্রয়মূল্য = ৪৮/১২ = ৪ টাকা
৪ টাকায় কেনা ১ টি কলা ২৫% লাভে বিক্রয় করলে বিক্রয়মূল্য হবে = ৪ + ৪×২৫/১০০ =  ৫ টাকা

সুতরাং, ৫০ টাকায় বিক্রি করতে হবে ৫০/৫ = ১০ টি কলা 

প্রশ্ন: x² - 3x, x² - 9, x² - 4x + 3 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 3x
= x(x - 3)

২য় রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)
               
৩য় রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = x(x - 3)(x - 1)(x + 3)
= x(x² - 9) (x - 1)

১০৬ টাকায় কমাতে হবে ৬ টাকা।
∴ ১০০ টাকায় কমাতে হবে = (৬ X ১০০) / ১০৬ টাকা।
= ৫.৬৬ টাকা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২  ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (১৮০ - ১২) = ১৬৮ এবং (২৫২ - ১২) = ২৪০ এর গ.সা.গু এর সমান।

∴ ১৬৮ এবং ২৪০ এর গ.সা.গু হলো = ২৪

∴  নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও ৭ পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন √২ = ১.৪১৪২১৩....., √৩ = ১.৭৩২....... ইত্যাদি। 

এখন, অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ১৬/২৫ = ০.৬৪
এটি একটি ভগ্নাংশ, এবং এটি মূলদ সংখ্যা। 

খ) √১২১ = ১১ ; এটি মূলদ সংখ্যা।

গ) ৩√৪/২
= (৩ × ২)/২
= ৩  ; এটি মূলদ সংখ্যা
অর্থাৎ, এখানে কোন অমূলদ সংখ্যা নাই। 

সুতরাং, সঠিক উত্তর কোনটিই নয়। 

p = ১০০০০ টাকা,
r = ৪%,
n = ৩ বছর
∴ সবৃদ্ধিমুল = p(১ + (r/১০০))ⁿ
= ১০০০০(১ + (৪/১০০))^৩
= ১০০০০ × ১০৪/১০০ × ১০৪/১০০ × ১০৪/১০০
= ১১২৪৮.৬৪ টাকা
∴ সুদ = (১১২৪৮.৬৪ - ১০০০০০) টাকা
= ১২৪৮.৬৪ টাকা।

সঞ্চয় = ৪৫০০-৩০০০ = ১৫০০ টাকা।
∴ আয় ∶ সঞ্চয় = ৪৫০০ ∶ ১৫০০ = ৩ ∶ ১

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৭ টাকা হার সরল মুনাফায় ৬৫০ টাকা ৬ বছরের মুনাফা কত টাকা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৬৫০ টাকা
হার, r = ৭/১০০
সময়, n = ৬ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা, I = Pnr

∴ I = ৬৫০ × (৭/১০০) × ৬
= (৬৫০ × ৭ × ৬) / ১০০
= ২৭৩০০ / ১০০
= ২৭৩

অতএব,
৬ বছরের মুনাফা = ২৭৩ টাকা

সঠিক উত্তর:
ক) ২৭৩ টাকা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
√x + ১০ = ১৬ 
বা, √x = ১৬ - ১০ 
বা, √x = ৬ 
বা, (√x)^২ = (৬)^২ 
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬ । 

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই নিচের কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

কারণ হলো:
2 দ্বারা বিভাজ্যতা: পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে অন্তত একটি জোড় সংখ্যা থাকে, যা 2 দ্বারা বিভাজ্য।  
3 দ্বারা বিভাজ্যতা: পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে অন্তত একটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।  
6 দ্বারা বিভাজ্যতা: যেহেতু গুণফলটি 2 এবং 3 উভয় দ্বারাই বিভাজ্য, তাই এটি 2 × 3 = 6 দ্বারাও বিভাজ্য হবে।  
 
যেমন:
1 × 2 × 3 = 6 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)
2 × 3 × 4 = 24 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)
3 × 4 × 5 = 60 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)

সুতরাং, তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হয়। 

যখন ৪ ফুট ছায়া হয় তখন বাশের উচ্চতা = ৬ ফুট
সুতরাং, যখন ৬৪ ফুট ছায়া হয় তখন বাশের উচ্চতা = (৬ × ৬৪) / ৪ = ৯৬ ফুট

প্রশ্ন: x² - 8x + 15,  x² - 25, x² + 2x - 15 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 8x + 15
= x² - 8x + 15
= x² - 3x - 5x + 15
= x(x - 3) - 5(x - 3)
= (x - 3) (x - 5)

২য় রাশি = x² - 25
= x² - 5²
= (x - 5) (x + 5)

৩য় রাশি = x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5) (x - 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = 1

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট হার সরল সুদে ৭৫০০ টাকা ৪ বছরে সুদে-আসলে ১০৫০০ টাকা হয়। সুদের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৭৫০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর
সুদ-আসল, A = ১০৫০০ টাকা
সুদ, I = (১০৫০০ - ৭৫০০) টাকা
= ৩০০০ টাকা
সুদের হার = r

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/Pn
= (৩০০০ × ১০০)/(৭৫০০ × ৪)
= ১০

∴ সুদের হার ১০% 

প্রশ্ন: একটি হুইলচেয়ার ৯৯০ টাকায় বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হলো, হুইলচেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা 
= ৯০ টাকা 

এখন, 
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৯৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৯৯০)/৯০ টাকা 
= ১১০০ টাকা 

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ১১০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সেনাবাহিনীর গুদামে ১২০০ সৈনিকের ৪০ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। ১০ দিন পর কিছু সৈনিক অন্য জায়গায় চলে গেল। বাকি খাদ্য অবশিষ্ট সৈনিকদের আরো ৪৫ দিন চললো। কতজন সৈনিক অন্য জায়গায় চলে গিয়েছিল?

সমাধান:
 দিন বাকি = ৪০ – ১০ = ৩০ দিন

৩০ দিনের খাবার আছে ১২০০ জনের
∴ ১ দিনের খাবার আছে (১২০০ × ৩০) জনের
∴ ৪৫ দিনের খাবার আছে {(১২০০ × ৩০)/৪৫}  জনের
= ৮০০ জনের

∴ সৈনিক চলে গিয়েছিল = (১২০০ – ৮০০) জন
= ৪০০ জন

মোট পরীক্ষার্থীর (৮৫-৭৮)% ; বা, ৭% = ২১ জন
মোট পরীক্ষার্থীর ১% = ৩ জন
সুতরাং মোট পরীক্ষার্থীর ১০০% = ৩০০ জন।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ? 

সমাধান: 
ক) ২/৯ = ০.২২২ (বৃহত্তম)
খ) ৭/৩৬ = ০.১৯৪ (বৃহত্তম) 
গ) ৫/২৭ = ০.১৮৫ (ক্ষুদ্রতম) 
ঘ) ১১/৪৫ = ০.২৪৪ (বৃহত্তম) 

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫/২৭ । 

সুদ = সুদাসল - আসল = ১৭৭৭৬ - ৮৮৮৮ = ৮৮৮৮
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × বছর × সুদের হার)/১০০
বাঁ, বছর = (সুদ × ১০০) / (আসল × সুদের হার)
= (৮৮৮৮ × ১০০) / (৮৮৮৮ × ১০)
= ১০ বছর

ধরি, আসল = ১০০
সুদ আসলের সমান হলে সুদ = ১০০ টাকা
৮ টাকা সুদ হয় = ১ বছর
১ টাকা সুদ হয় = ১/৮ বছরে
১০০ টাকায় সুদ হয় = ১০০/৮ বছরে
= ১২(১/২) বছরে।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯০ কিলোমিটার গতিতে একটি সেতু ৬০ সেকেন্ডে পার হয়। ট্রেনের দৈর্ঘ্য ৯০০ মিটার হলে সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের গতি = ৯০ কিলোমিটার/ঘণ্টা
সময় = ৬০ সেকেন্ড
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৯০০ মিটার

আমরা জানি,
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড

সুতরাং, ৯০ কিলোমিটার/ঘণ্টা = (৯০ × ১০০০) মিটার/৩৬০০ সেকেন্ড
= ৯০০০০/৩৬০০ মিটার/সেকেন্ড
= ২৫ মিটার/সেকেন্ড

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = গতি × সময়
= ২৫ মিটার/সেকেন্ড × ৬০ সেকেন্ড
= ১৫০০ মিটার

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য
বা, ১৫০০ মিটার = ৯০০ মিটার + সেতুর দৈর্ঘ্য
বা, সেতুটির দৈর্ঘ্য = ১৫০০ মিটার - ৯০০ মিটার
= ৬০০ মিটার

সুতরাং, সেতুটির দৈর্ঘ্য ৬০০ মিটার।