পাটিগণিত

প্রশ্ন: এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করুন, যা তার বর্গের থেকে ৭২ কম।

 সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x² - x = 72
⇒ x² - x - 72 = 0
⇒ x² - 9x + 8x - 72 = 0 
⇒ x(x - 9) + 8(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 8) = 0
হয়, 
x - 9 = 0
∴ x = 9   ; [ধনাত্মক সংখ্যা]
অথবা,
x + 8 = 0
∴ x = - 8   ;[যা গ্রহণযোগ্য নয়] 

∴ সংখ্যাটি হলো 9।

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের এক-চতুর্থাংশ। ভাগফল ৭২ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের একতৃতীয়াংশ = ৭২/৩ = ২৪
ভাগশেষ = ভাজকের একচতুর্থাংশ = ২৪/৪ = ৬

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৪ × ৭২) + ৬
= ১৭২৮ + ৬
= ১৭৩৪

সুতরাং, ভাজ্য = ১৭৩৪।

প্রশ্ন: ৩০০০ টাকার ৪ বছরের সরল সুদ ৭২০ টাকা হলে, বার্ষিক শতকরা সুদের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৩০০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর
মুনাফা, I = ৭২০ টাকা
মুনাফার হার, r =?

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
বা, r = (I × ১০০)/Pn
বা, r = (৭২০ × ১০০)/(৩০০০ × ৪) 
বা, r = ৭২/১২
∴ r = ৬

∴ বার্ষিক সুদের হার ৬%

3/x = 1 এবং y/4 = 3
∴ x = 3 এবং y = 12
∴ (3+y)/(x+2) = (3+12)/(3+2)
= 15/5
= 3

প্রশ্ন: পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের গড় ৩৭ বছর। মাতার বয়স কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
পিতা, মাতা ও পুত্র তিনজনের গড় বয়স ৪০ বছর
∴ তিনজনের মোট বয়স = ৩ × ৪০ = ১২০ বছর ……(১)

আবার, 
পিতা + পুত্র দুজনের গড় বয়স ৩৭ বছর
∴ দুইজনের মোট বয়স = ২ × ৩৭ = ৭৪ বছর ……(২)

এখন (১) থেকে (২) বিয়োগ করলে শুধু মাতার বয়স পাওয়া যাবে। 
∴ মাতার বয়স = ১২০ - ৭৪ = ৪৬ বছর

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু) 
এখানে,
২, ৩, ৫ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩০
এবং
৫, ৪, ৭ হরগুলোর গ.সা.গু = ১ 

∴ ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = ৩০/১ 
= ৩০ ।

প্রশ্ন: 10% হারে 1000 টাকার 4 বছরের সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আসল, P = 1000 টাকা
মুনাফার হার, r = 10% = 10/100 = 1/10
সময়, n = 4 বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = Prn = 1000 × (1/10) × 4
= 400 টাকা 

আবার, 
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P(1 + r)ⁿ - P
= 1000(1 + 1/10)⁴ - 1000
= 1000(11/10)⁴ - 1000
= 1000 × (11/10) × (11/10) × (11/10) × (11/10) - 1000
= (14641/10) - 1000
= 1464.1 - 1000
= 464.1 টাকা

∴ পার্থক্য = 464.1 - 400 = 64.1 টাকা

১২% লাভে,
১১২ টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
তাহলে, ২৫৭৬ টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ২৫৭৬)/১১২ টাকা = ২৩০০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা কম হলে ক্রয়মূল্য হত (২৩০০ - ১০০)টাকা = ২২০০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ২২০০ টাকা হলে লাভ (২৫৭৬ - ২২০০) = ৩৭৬ টাকা
প্রশ্নমতে, ২২০০ টাকায় লাভ হয় ৩৭৬ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৩৭৬ × ১০০)/২২০০ টাকা = ১৮৮/১১ টাকা।
সুতরাং শতকরা লাভ = ১৮৮/১১

৯৬ এর বর্গ = ৯২১৬
তাহলে সৈন্য সরাতে হবে = (৯২২২ - ৯২১৬) জন
= ৬ জন।

প্রশ্ন: ১২ জন লোক একটি কাজের অর্ধেক অংশ ৭ দিনে করতে পারে। ঐ কাজটি ৪ জন লোক কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান:
১২ জন লোক অর্ধেক কাজ করতে পারে = ৭ দিনে 
∴ ১২ জন লোক সম্পূর্ণ কাজ করতে পারে = ৭ × ২ = ১৪ দিনে 

এখন,
১২ জন লোক কাজটি করতে পারে = ১৪ দিনে 
∴ ১ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১৪ × ১২) দিনে 
∴ ৪ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১৪ × ১২)/৪ = ৪২ দিনে 

২০১২ সাল অধিবর্ষ, তাই ফেব্রুয়ারি মাস ২৯ দিনে।
প্রতিদিনের বেতন = ৩০,০০০/২৯ টাকা।
= ১০৩৪.৪৮ টাকা
তিনি ঐ মাসে বেতন পাবেন (২৯-৬)×১০৩৪.৪৮ টাকা
= ২৩৭৯৩.০৪ টাকা
≈ ২৩৭৯৩.১০ টাকা

৭, ৫, ৯, ৩ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৩১৫
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৭ × ৩১৫
= ৩ × ৪৫
= ১৩৫
আবার,
২/৫ × ৩১৫ = ২ × ৬৩
= ১২৬
আবার, ৪/৯ × ৩১৫ = ৪ × ৩৫
= ১৪০ এবং ২/৩ × ৩১৫
= ২ × ১০৫
= ২১০
সুতরাং সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ২/৩।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ১৪০% হলে, সংখ্যা দুটির অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা P
∴ অপর একটি সংখ্যা = P × ১৪০%
= P × ১৪০/১০০
= ৭P/৫

∴ সংখ্যা দুটির অনুপাত = P : ৭P/৫
= ৫P : ৭P
= ৫ : ৭

প্রশ্ন: ৩৬০ সংখ্যাটির কতগুলো ভাজক আছে?

সমাধান:
৩৬০-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^২ × ৫^১

কোনো সংখ্যার ভাজক সংখ্যা বের করার জন্য, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১)(২ + ১)(১ + ১)
= ৪ × ৩ × ২
= ২৪

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ৩০০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক এবং ৬ক।
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৫ × ৬) × ক = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ৩০০
⇒ ক = ১০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৬ক = ৬ × ১০ = ৬০

প্রশ্ন: একটি সোনার গয়নার ওজন ১৪০ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২। এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৭ : ৪ হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
গয়নার ওজন = ১৪০ গ্রাম

 সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ২ = ৫
 
∴ সোনার পরিমাণ = (১৪০ × ৩)/৫ = ৮৪ গ্রাম 
∴ তামার পরিমাণ = (১৪০ × ২)/৫ = ৫৬ গ্রাম 

ধরি, 
সোনা মেশাতে হবে = ক গ্রাম 

প্রশ্নমতে, 
(৮৪ + ক) : ৫৬ = ৭ : ৪ 
বা, (৮৪ + ক)/৫৬ = ৭/৪
বা, ৩৩৬ + ৪ক = ৩৯২
বা, ৪ক = ৩৯২ - ৩৩৬
বা, ৪ক = ৫৬
বা, ক = ৫৬/৪
∴ ক = ১৪

∴ সোনা মেশাতে হবে = ১৪ গ্রাম।

প্রশ্ন: রহিম ৮০ টাকায় একটি বই বিক্রয় করায় কিছু টাকা ক্ষতি হয়। যদি সে বইটি ১৮৫ টাকায় বিক্রয় করতো তাহলে তাঁর পূর্বের ক্ষতির দ্বিগুণ লাভ হতো। বইটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
ধরি, বইটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা

৮০ টাকায় বিক্রয়ে ক্ষতি = ক - ৮০ টাকা
এবং ১৮৫ টাকায় বিক্রয়ে লাভ = ১৮৫ - ক টাকা

প্রশ্নমতে,
২(ক - ৮০) = ১৮৫ - ক
⇒ ২ক - ১৬০ = ১৮৫ - ক
⇒ ২ক + ক = ১৮৫ + ১৬০
⇒ ৩ক = ৩৪৫
∴ ক = ১১৫

অতএব, বইটির ক্রয়মূল্য ১১৫ টাকা।

প্রশ্ন: ৮/১৫, ১২/২৫ ও ১৬/৩৫ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লব গুলোর গ.সা.গু)/(হর গুলোর ল.সা.গু)

লব ৮, ১২ ও ১৬ এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৮ = ২^৩
১২ = ২^২ × ৩
১৬ = ২^৪
∴ গ.সা.গু = ২^২ = ৪

হর ১৫, ২৫ ও ৩৫ এর ল.সা.গু নির্ণয়:
১৫ = ৩ × ৫
২৫ = ৫^২
৩৫ = ৫ × ৭
∴ ল.সা.গু = ৩ × ৫^২ × ৭ = ৫২৫

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ৪/৫২৫

প্রশ্ন: ৭৫ থকে ১২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
৭৫ থকে ১২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭, ১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩ ।

অর্থাৎ,  ৭৫ থেকে ১২০ এর মধ্যে মোট ৯টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৬০ হলে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫

মনেকরি
একটি সংখ্যা = ৪ক
অপর সংখ্যা = ৫ক
৪ক ও ৫ক এর ল.সা.গু. = ২০ক

প্রশ্নমতে
২০ক = ১৬০
বা, ক = ১৬০/২০
ক = ৮

ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি = ৪ × ৮ = ৩২ 

সংখ্যাটি = (৫৭০+৭৫০)/২ = ৬৬০

সংখ্যা ২টি ৩x, ৮x
∴ (৩x + ২)/(৮x + ২) = ২/৫
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ১০
বা, ১৬x - ১৫x = ১০ - ৪
∴ x = ৬
∴ বড় সংখ্যাটি = ৮x
= ৮ × ৬
= ৪৮

২০ এর ২০%
= ২০ × ২০/১০০
= ৪

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৫০০ জন ছাত্র-ছাত্রী আছে যার মধ্যে ৪০% ছাত্র, সেই ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মোট ছাত্র-ছাত্রী = ৫০০ জন 

∴ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা = ৫০০ এর ৪০% 
= ৫০০ এর ৪০/১০০ 
= ২০০ জন

∴ ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা = (৫০০ - ২০০) জন
= ৩০০ জন।

১৫, ২৭, ৪৫ এর ল.সা.গু. = ১৩৫
∴ লঘিষ্ট সংখ্যাটি = ১৩৫ - ৫
= ১৩০

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৯৯৯ থেকে যত ছোট, ৭৭৭ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
৯৯৯ - ক = ক - ৭৭৭
⇒ ৯৯৯ + ৭৭৭ = ক + ক
⇒ ১৭৭৬ = ২ক
⇒ ক = ১৭৭৬/২
∴ ক = ৮৮৮

অতএব, সংখ্যাটি = ৮৮৮

৪০% কমে যাওয়ার পেট্রোলের পূর্ব মূল্য ১০০ টাকা
হলে বর্তমান মূল্য = (১০০-৪০) টাকা = ৬০ টাকা
প্রশ্নমতে,
বর্তমানে ৫ লিটার পেট্রোলের দাম ৪০ টাকা
বর্তমানে ১ লিটার পেট্রোলের দাম ৪০/৫ = ৮ টাকা
আবার,
বর্তমান মূল্য ৬০ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০/৬০ টাকা
বর্তমান মূল্য ৮ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০×৮/৬০ টাকা
=১৩.৩৩ টাকা

প্রশ্ন: রহিমের মাসিক আয় করিমের মাসিক আয়ের ২৫% কম এবং জামালের আয়ের ৩/৫ অংশ। করিমের মাসিক আয় ৮০০০ টাকা হলে তিনজনের মোট মাসিক আয় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
করিমের মাসিক আয় = ৮০০০ টাকা
রহিমের আয় = করিমের আয়ের ২৫% কম
= ৮০০০ - (২৫% × ৮০০০)
= ৮০০০ - (২৫/১০০) × ৮০০০
= ৮০০০ - ২০০০
= ৬০০০ টাকা

∴ রহিমের আয় = জামালের আয়ের ৩/৫ অংশ
অর্থাৎ, রহিমের আয় = (৩/৫) × জামালের আয়
⇒ ৬০০০ = (৩/৫) × জামালের আয়
⇒ জামালের আয় = ৬০০০ × (৫/৩)
⇒ জামালের আয় = ২০০০ × ৫
∴ জামালের আয় = ১০০০০ টাকা

∴ তিনজনের মোট মাসিক আয় = রহিম + করিম + জামাল
= ৬০০০ + ৮০০০ + ১০০০০
= ২৪০০০ টাকা

সুতরাং, তিনজনের মোট মাসিক আয় ২৪০০০ টাকা।

1/y - 1/x = 3
বা, (x - y)/xy = 3
∴ xy/(x - y) = 1/3

০.০৫ এর ৩%
= ০.০৫ × ৩/১০০
= ০.০০১৫

এখন,
০.১৫% = ০.১৫/১০০
          = ০.০০১৫

পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানে ০, ১, ৪, ৫, ৬ বা ৯ বসতে পারে।
যেমন - ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫, ২৫৬ ইত্যাদি।
পূর্ণ বর্গ সংখ্যার একক স্থানে কখনোই ২, ৩, ৭ বা ৮ বসতে পারবে না।
কিন্তু যে সংখ্যাগুলো বর্গ সংখ্যা নয় তাদের একক স্থানে ২, ৩, ৭ বা ৮ অবশ্যই বসবে।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ২০% সরল সুদে ৭০০ টাকা এবং ১০% সরল সুদে ৫০০ টাকা বিনিয়োগ করলে দুই বছর পর তিনি কত টাকা সুদ পাবেন?  

সমাধান:
এখানে,
I₁ = p₁n₁r₁
= (৭০০ × ২ × ২০)/১০০ 
= ২৮০ টাকা 

আবার,
I₂ = p₂n₂r₂
= (৫০০ × ২ × ১০)/১০০ 
= ১০০ টাকা

∴ মোট সুদ = (২৮০ + ১০০) টাকা
= ৩৮০ টাকা

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ২৪/৩৫। এদের একটি ৮/৫ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২৪/৩৫
একটি ভগ্নাংশ = ৮/৫

∴ অপর ভগ্নাংশ = ভগ্নাংশ দুটির গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ
= (২৪/৩৫) ÷ (৮/৫)
= (২৪/৩৫) × (৫/৮)
= ৩/৭

ধরি সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ৩ক + ২ক = ৯০
বা, ৫ক = ৯০
∴ ক = ১৮

যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব < হর
যেমন: ৩/৪, ৭/১৮
সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১

এবং, যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ অপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব > হর
যেমন: ৪/৩, ১৮/৭
সুতরাং, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ > ১

প্রশ্ন: ১০টি বানর ১ মিনিটে ১০টি কলা খেতে পারে। ৫০টি বানরের ৫০টি কলা খেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
১০টি বানর ১০টি কলা খেতে পারে ১ মিনিটে
১টি বানর ১টি কলা খেতে পারে (১ × ১০)/১০ মিনিটে
৫০টি বানর ৫০টি কলা খেতে পারে (১ × ১০ × ৫০)/(১০ × ৫০) মিনিটে
= ১ মিনিটে

তামাঃদস্তা = ১ঃ২
= ৩ঃ৬ [ উভয় রাশিকে ৩ দিয়ে গুন করে ]
দস্তাঃরুপা = ৩ঃ৫
= ৬ঃ১০ [ উভয় রাশিকে ২ দিয়ে গুন করে ]
∴ তামাঃদস্তাঃরুপা = ৩ঃ৬ঃ১০
অনুপাতের যোগফল = ১৯ 
তাই অনুপাতে রুপা আছে ১০ গ্রাম।