পাটিগণিত

√(x²) = x

সমীকরণের চলকের ক্ষেত্রে যেকোনো চলকের বর্গমূল ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দুইটাই ধরা হয়ে থাকে। তবে, যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার মূল (Principal Square Root) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
অর্থাৎ,
√(x²) এর মান হবে x

(√x)² = ±x

এক্ষেত্রে, x এর মান ঋণাত্মক হলে জটিল সংখ্যা চলে আসবে।
x = -3 হলে,
(√-1)²  (√3)²
= (i)² (√3)²
= -1 (√3)²
= -3
অর্থাৎ,
(√x)² এর মান x বা -x যেকোনো একটা হতে পারে।

গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু./হরগুলোর ল.সা.গু.
= ২, ২, ৬ এর গ.সা.গু./৩, ৫, ২০ এর ল.সা.গু.
= ২/৬০
= ১/৩০

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, ৯ ও ১৬ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
অতএব ৯ ও ১৬ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

পদসংখ্যা= {(শেষ পদ-প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
               ={(৯৬ - ১২)/৪} + ১
               = (৮৪/৪) + ১
               =২১ + ১
               = ২২

প্রশ্ন: ক : খ = ৭ : ৫, খ : গ = ৩ : ৪; যদি ক-এর ৬৯৩ টাকা থাকে, তবে গ-এর টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক : খ = ৭ : ৫
খ : গ = ৩ : ৪

∴ ক : খ : গ = (৭ × ৩) : (৫ × ৩) : (৪ × ৫)
= ২১ : ১৫ : ২০
অতএব, ক : খ : গ = ২১ : ১৫ : ২০

∴ ক-এর ২১ অংশ = ৬৯৩ টাকা
∴ ক-এর ১ অংশ = ৬৯৩/২১ = ৩৩ টাকা

∴ গ-এর ২০ অংশ = ২০ × ৩৩ = ৬৬০ টাকা

সুতরাং, গ-এর টাকার পরিমাণ ৬৬০ টাকা।

বাসটি ৫০ মাইল যায় ১ ঘণ্টায়
∴ ১৮৫ মাইল যায় = (১৮৫ X ৬০)/ ৫০ মিনিটে
= ২২২ মিনিটে।

পরবর্তী ১০০ মাইল যেতে সময় লাগবে = ২২২ - ১২০ = ১০২ মিনিট।

প্রশ্ন: X এবং Y, ৫ : ৮ অনুপাতে কিছু টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করে। যদি বছরের শেষে ৫ : ৪ অনুপাতে লাভ ভাগ করা হয় এবং X, ১২ মাসের জন্য বিনিয়োগ করে, তবে Y কত মাসের জন্য বিনিয়োগ করেছিল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
X এবং Y-এর বিনিয়োগের অনুপাত = ৫ : ৮
লাভ ভাগের অনুপাত = ৫ : ৪
X বিনিয়োগ করেছে ১২ মাস
এবং Y বিনিয়োগ করেছে = m মাস 

আমরা জানি, 
ব্যবসায় লাভের ভাগাভাগি হয় = বিনিয়োগ × সময় ; অর্থাৎ মূলধন × সময় অনুপাতে।

লাভের অনুপাত = (X-এর বিনিয়োগ × X-এর সময়) : (Y-এর বিনিয়োগ × Y-এর সময়)
⇒ ৫ : ৪ = (৫ × ১২) : (৮ × m)
⇒ ৫/৪ = ৬০/৮m
⇒ ৫ × ৮m = ৪ × ৬০
⇒ ৪০m = ২৪০
⇒ m = ২৪০/৪০
∴ m = ৬

উত্রাং, Y, ৬ মাসের জন্য বিনিয়োগ করেছিল।

প্রশ্ন: ক, খ ও গ-এর বেতনের অনুপাত ৫ : ৭ : ৯। ক ও গ-এর বেতনের যোগফল খ-এর বেতনের চেয়ে ২১০০ টাকা বেশি। খ-এর বেতন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ : গ = ৫ : ৭ : ৯

ধরি, ক-এর বেতন = ৫x
খ-এর বেতন = ৭x
গ-এর বেতন = ৯x

তাহলে,
ক ও গ-এর মোট বেতন = ৫x + ৯x = ১৪x

প্রশ্ন অনুযায়ী,
ক ও গ মিলে খ-এর চেয়ে ২১০০ টাকা বেশি পায়
অর্থাৎ,
⇒ ১৪x - ৭x = ২১০০ 
⇒ ৭x = ২১০০ 
⇒ x = ২১০০/৭ 
∴ x = ৩০০ টাকা 

∴ খ-এর বেতন = ৭ × ৩০০ = ২১০০ টাকা।

সুতরাং, খ-এর বেতন ২১০০ টাকা। 

মনে করি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, ক - ১৭৫ + ১৩০ = ২৯৭
বা, ক = ২৯৭ + ১৭৫ - ১৩০
∴ ক = ৩৪২

প্রশ্ন: একটি খুঁটির অর্ধাংশ মাটির নীচে, এক তৃতীয়াংশ পানি মধ্যে এবং ১২ ফুট পানির উপরে আছে, খুঁটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = ক ফুট।

প্রশ্ন অনুযায়ী,
মাটির নিচে = ১/২ ক
পানির মধ্যে = ১/৩ ক
পানির উপরে = ১২ ফুট

সব অংশ যোগ করলে মোট দৈর্ঘ্য হবে,
ক = ১/২ক + ১/৩ক + ১২
⇒ ক - ৫/৬ক = ১২
⇒ ১/৬ক = ১২
⇒ ক = ১২ × ৬
ক = ৭২

∴ খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = ৭২ ফুট।

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১৩০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১৩০/১০০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১৫০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১৩০ X ১৫০ / ১০০ টাকা।
= ১৯৫ টাকা।

ধরি,
খালেকের বয়স - ক
সুতরাং, তার বাবার বয়স = ক + ২৮
প্রশ্নমতে, ক + ক + ২৮ = ৪০
২ক = ১২
ক = ৬
অর্থাৎ, খালেকের বয়স = ৬ ও তার বাবার বয়স = (৪০ - ৬) = ৩৪
১৩ বছর পর তাদের বয়স হবে, (৬ +১৩) + (৩৪ + ১৩)
= ৬৬
--------
অন্যভাবে করলে,
১৩ বছর পরে দুইজনেরই বয়স ১৩ X ২ = ২৬ বছর বাড়বে।
অর্থাৎ, ১৩ বছর পরে বয়সের সমষ্টি হবে (৪০+২৬) = ৬৬ বছর।

বর্তমান বেতন ১২০ টাকা হলে আগের বেতন ১০০ টাকা।
বর্তমান বেতন ১ টাকা হলে আগের বেতন ১০০/১২০ টাকা।
বর্তমান বেতন ১১৪০০ টাকা হলে আগের বেতন (১০০ Χ ১১৪০০)/১২০ টাকা = ৯৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৪০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯০ কিলোমিটার বেগে একটি বৈদ্যুতিক খুঁটিকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করলে ট্রেনটি খুঁটিকে অতিক্রম করবে। 
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার 
∴ ​৯০ কিলোমিটার = (৯০ × ১০০০) মিটার 
​= ৯০০০০ মিটার 
​
৯০০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
​∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৯০০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৪০০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪০০)/৯০০০০ সেকেন্ডে 
= ১৬ সেকেন্ডে

∴ ট্রেনটি খুঁটিকে অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ১৬ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: একজন ব্যাটসম্যান প্রথম তিনটি T-20 খেলায় ৮২, ৮৫ ও ৯২ রান করেন। চতুর্থ খেলায় কত রান করলে, তার গড় রান ৮৭ হবে?

সমাধান: 
তিনটি খেলায় মোট রান = ৮২ + ৮৫ + ৯২ = ২৫৯
চারটি খেলায় মোট রান = ৮৭ × ৪ = ৩৪৮

∴ চতুর্থ খেলায় রান করতে হবে = ৩৪৮ - ২৫৯ = ৮৯

সুতরাং, চতুর্থ খেলায় ৮৯ রান করতে হবে। 

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১

এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৫ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ২ × ৩ × ৫ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১০৮০ × ৩০ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে।

সুমন মোট বিনিয়োগ করে = (৫০০০ × ১২) + (১০০০ × ৯) = ৬৯০০০ টাকা
জামাল মোট বিনিয়োগ করে = ৪০০০ × ১২ = ৪৮০০০ টাকা
দিলীপ মোট বিনিয়োগ করে = ৭০০০ × ৯ = ৬৩০০০ টাকা
∴ তাদের বিনিয়োগের অনুপাত = ৬৯০০০ : ৪৮০০০ : ৬৩০০০ = ২৩ : ১৬ : ২১
এখন,
সুমন পাবে = ৩৯০০ × ২৩/৬০ = ১৪৯৫ টাকা

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা হয়।
যেহেতু √৪ = ২
সুতরাং √৪ একটি মূলদ সংখ্যা।
আর পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা হয়।

পিতা, মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = ৩২ × ৩ = ৯৬ বছর
মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = ২৬ × ২ = ৫২ বছর
∴ পিতার বয়স = ৯৬ - ৫২ = ৪৪ বছর 

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০,০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯,৯৯৯
∴ পার্থক্য = ১০০,০০০ - ৯৯,৯৯৯ = ১

প্রশ্ন: বার্ষিক ১২% মুনাফায় কত বছরে ১০,০০০ টাকার মুনাফা ৪,৮০০ টাকা হবে? 

সমাধান:
বার্ষিক সাদামাটা মুনাফা (Simple Interest) সূত্র:
SI = (P × R × T)/১০০

দেওয়া আছে,
SI = ৪৮০০, P = ১০০০০, R = ১২%

সমীকরণে বসাই:
৪৮০০ = (১০০০০ × ১২ × T​)/ ১০০
⇒ ৪৮০০ = ১২০০ × T
⇒ T = ৪৮০০/১২০০
T = ৪

∴ ৪ বছর। 

প্রশ্ন: ৪/৯, ২/৫ ও ৪/৯ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)
এখানে,
লব ৪, ২ ও ৪ এর গ.সা.গু. = ২
এবং হর ৯, ৫ ও ৯ এর ল.সা.গু. = ৪৫

∴ গ.সা.গু. = ২/৪৫

প্রশ্ন: রহমান সাহেব একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা ৮ মাসের জন্য ধার নিয়েছেন। তিনি বার্ষিক ১২% হারে সরল সুদ হিসেবে ১২০০ টাকা পরিশোধ করেছেন। তিনি মূলত কত টাকা (মূলধন) ধার নিয়েছিলেন?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সরল সুদ, SI = ১,২০০ টাকা
সুদের হার, r = ১২%
সময়, n = ৮ মাস = ৮/১২ = ২/৩ বছর

আমরা জানি, 
সরল সুদ, SI = (P × r × n)/১০০
১২০০ = (P × ১২ × ২/৩)/১০০
⇒ ১২০০ = (P × ৮)/১০০
⇒ P = (১২০০ × ১০০) / ৮
⇒ P = ১২০০০০/৮
∴ P = ১৫০০০ টাকা

∴ তিনি মূলত ১৫০০০ টাকা ধার নিয়েছিলেন। 

প্রশ্ন: করিম সাহেব ১০% লাভে বিক্রি করার পরিবর্তে ১০% ক্ষতিতে বিক্রি করলে ৪৮ টাকা কম পায়। তার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ক টাকা  

১০% লাভে বিক্রি করলে বিক্রয়মূল্য = ক × (১১০/১০০) = ১১০ক/১০০  
১০% ক্ষতিতে বিক্রি করলে বিক্রয়মূল্য = ক × (৯০/১০০) = ৯০ক/১০০   

যেহেতু দুটি বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ৪৮ টাকা কম পাওয়া গেছে।  

∴ (১১০ক/১০০) - (৯০ক/১০০) = ৪৮  
⇒ (১১০ক - ৯০ক)/১০০ = ৪৮  
⇒ ২০ক/১০০ = ৪৮
⇒ ক/৫ = ৪৮ 
⇒ ক = ৪৮ × ৫
∴ ক = ২৪০ টাকা

∴ তার ক্রয়মূল্য  ২৪০ টাকা। 

p = ১০,০০০/=, r = ২০%, n = ২
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = p(১ + (r/১০০))ⁿ
= ১০০০০(১ + (২০/১০০))^২
= ১৪,৪০০
∴ সুদ = ১৪,৪০০ - ১০,০০০ = ৪,৪০০/=

12 সদস্য বিশিষ্ট কোন কমিটির মধ্যে 9 জন মহিলা হলে পুরুষ হবে 3 জন
অর্থাৎ, পুরুষের সংখ্যা শতকরা = 3/12 × 100 = 25%

(০.১)^২
= (১ / ১০)^২
= ১ / ১০০

প্রশ্ন: কামাল একটি সঞ্চয় স্কিমে ৯ মাসে ৪৫০ টাকা মুনাফা পেল। সরল মুনাফার হার ৬% হলে, কামাল ওই স্কিমে কত টাকা জমা রেখেছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মুনাফা, I = ৪৫০ টাকা
সময়, n = ৯ মাস = ৯/১২ বছর = ৩/৪ বছর
মুনাফার হার, r = ৬%

আমরা জানি,
I = (P × r × n)/১০০
⇒ ৪৫০ = {P × ৬ × (৩/৪)}/১০০
⇒ ৪৫০ × ১০০ = P × (১৮/৪)
⇒ P = (৪৫০ × ১০০ × ৪)/১৮  
∴ P = ১০০০০

অর্থাৎ, কামাল ১০০০০ টাকা জমা রেখেছিল।

প্রশ্ন: একটি পণ্যের মূল্য প্রথমে ২৫% বৃদ্ধি পায় এবং পরে ২০% হ্রাস পায়। পণ্যটির মূল্যের সামগ্রিক পরিবর্তন-

সমাধান:
ধরি, পণ্যটির মূল্য = ১০০ টাকা

২৫% বৃদ্ধিতে, পণ্যটির মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা

২০% হ্রাসে,
১০০ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা
∴ ১ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = ৮০/১০০ টাকা
∴ ১২৫ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = (৮০/১০০) × ১২৫ টাকা = ১০০ টাকা

∴ পরিবর্তন = ১০০ - ১০০ = ০ টাকা

∴ কোন পরিবর্তন নেই।

প্রশ্ন: একটি সিএনজি প্রথম ২ কিমি পথের জন্য ৬০ টাকা এবং পরবর্তী প্রতি ১/২ কিমি পথের জন্য ১০ টাকা ভাড়া নেয়। তাহলে ৬ কিমি পথের জন্য মোট ভাড়া কত হবে?

সমাধান:
মোট পথ = ৬ কিমি
প্রথম ২ কিমি পথের ভাড়া = ৬০ টাকা
বাকি পথ = ৬ − ২ = ৪ কিমি

১/২ কিমি পথের জন্য ভাড়া = ১০ টাকা
∴ ১ কিমি পথের জন্য ভাড়া = ১০ ÷ (১/২) টাকা
∴ ৪ কিমি পথের জন্য ভাড়া = (১০ × ২ × ৪) টাকা
                                     = ৮০ টাকা

∴সর্বমোট ভাড়া = ৬০ + ৮০ = ১৪০ টাকা

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি প্রতিমাসে 1400 টাকা সঞ্চয় করেন এবং তার মাসিক আয়ের 80% খরচ করেন। তবে মাসিক আয় কত টাকা?

সমাধান:

মনেকরি, 
তার মাসিক আয় = x টাকা
সঞ্চয় = x এর (100 - 80)%
= x × 20% = 20x/100
= x/5

প্রশ্নমতে,
⇒ x/5 = 1400
∴ x = 7000
∴ তার মাসিক আয় = 7000 টাকা

মোট ছাত্র = ৭০ জন, ফেল করে = ২১ জন
∴ পাশ করে = (৭০ - ২১) = ৪৯ জন
∴ পাশের হার = (৪৯ × ১০০)/৭০ = ৭০%

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৭ এবং ল.সা.গু ৭১৪ হলে, সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?  

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১৭ক এবং ১৭খ  ; [কারণ গ.সা.গু = ১৭]

তাহলে,
১৭কখ = ৭১৪ 
⇒ কখ = ৭১৪/১৭ 
⇒ কখ = ৪২ 

এখন ৪২-এর সহমৌলিক গুণনীয়ক জোড়াগুলো, 
(১, ৪২), (২, ২১), (৩, ১৪), (৬, ৭)

∴ তিন অঙ্কের সংখ্যা গুলো হলো,
১৭ × ৬ = ১০২ এবং ১৭ × ৭ = ১১৯ 

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ১০২ + ১১৯ = ২২১ 

মনে করি,
আসল x টাকা
তাহলে প্রশ্নমতে,
x টাকা ৬ বছরে সুদে আসলে দ্বিগুণ অর্থাৎ 2x টাকা হয়েছে
তাই,
৬ বছরে সুদ এসেছে (2x - x) = x টাকা

এখন, সুদে আসলে তিনগুণ হতে হলে আমাদের সুদ লাগবে ২ক টাকা

তাহলে,
ক টাকা সুদ আসে ৬ বছরে
সুতরাং, ২ক টাকা সুদ আসবে (৬ × ২) = ১২ বছরে

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি টাকায় ১৫টি হিসাবে কতগুলো লেবু ক্রয় করে এবং টাকায় ১২টি হিসাবে বিক্রয় করায় তার ৪ টাকা লাভ হলো। সে কতগুলো লেবু ক্রয় করেছিল? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১৫টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১ টাকা।
∴ ১টি লেবুর ক্রয়মূল্য  = ১/১৫ টাকা।

আবার,
১২টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা।
∴ ১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য  = ১/১২ টাকা

আমরা জানি,
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= (১/১২) - (১/১৫) 
= (৫ - ৪)/৬০ 
= ১/৬০ 

এখন, 
১/৬০ টাকা লাভ হয় = ১টি লেবুতে  
∴ ১ টাকা লাভ হয় = ১/(১/৬০) = ৬০টি লেবুতে
∴ ৪ টাকা লাভ হয় = (৬০ × ৪) = ২৪০টি লেবুতে

সুতরাং, সে মোট ২৪০টি লেবু ক্রয় করেছিল।

মনেকরি,
রুমার আয় ৫a টাকা
∴ সুমার আয় ৭a টাকা
রুমার আয় ৫a টাকার ৩৫% = (৫a × ৩৫)/১০০ টাকা
যা ৭a টাকার {(৫a × ৩৫ × ১০০)/(১০০ × ৭a)}%
= ২৫%

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-ষষ্ঠাংশের এক-চতুর্থাংশ ১২ হলে, সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(১/৬) × (১/৪) × ক = ১২
⇒ ক/২৪ = ১২
⇒ ক = ১২ × ২৪
∴ ক = ২৮৮

∴ সংখ্যাটি = ২৮৮
∴ সংখ্যাটির অর্ধেক = ২৮৮/২ = ১৪৪

∴ ১৪৪ এর তিন-অষ্টমাংশ = ১৪৪ × (৩/৮)= ৫৪

 ∴ সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ = ৫৪