পাটিগণিত

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x ও y

প্রশ্নমতে,
x² + y² = ৮০
এবং (x - y)² = ১৬

এখন, 
(x - y)² = ১৬
⇒ x² - ২xy + y² = ১৬
⇒ x² + y² - ২xy = ১৬
⇒ ৮০ - ২xy = ১৬ [x² + y² = 80] 
⇒ ২xy = ৮০ - ১৬ = ৬৪
⇒ xy = ৩২

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ -এর মূলধন সমান কিন্তু গ -এর মূলধন ২০ টাকা কম। মোট ৫৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে? 

সমাধান: 
ধরি,
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = (x - ২০) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + x + (x - ২০) = ২৮০
বা, x + x + x - ২০ = ২৮০
বা, ৩x = ২৮০ + ২০
বা, ৩x = ৩০০
বা, x = ৩০০/৩
∴ x = ১০০

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x - ২০)
= ১০০ : ১০০ : (১০০ - ২০)
= ১০০ : ১০০ : ৮০
= ৫ : ৫ : ৪
∴ অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৫ + ৪)
= ১৪

∴ গ লাভ পাবে = {৫৬ × (৪/১৪)} টাকা
= ১৬ টাকা ।

প্রশ্ন: A এর গতিবেগ B এর গতিবেগের দ্বিগুণ, আবার B এর গতিবেগ C এর গতিবেগের ৩ গুণ। যদি কোন পথ যেতে C এর ৪২ মিনিট সময় লাগে তবে উক্ত পথ যেতে A এর কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A এর গতিবেগ = ২ × B এর গতিবেগ
B এর গতিবেগ = ৩ × C এর গতিবেগ
সুতরাং,
A এর গতিবেগ = ২ × (৩ × C এর গতিবেগ) = ৬ × C এর গতিবেগ
অর্থাৎ A এর গতিবেগ C এর গতিবেগের ৬ গুণ।

আবার, একই পথ যেতে, C এর সময় = ৪২ মিনিট
যেহেতু গতিবেগ বেশি হলে সময় কম লাগে, এবং সময় গতিবেগের ব্যস্তানুপাতিক। 

∴ A এর সময় = C এর সময়​/৬ = ৪২/৬ = ৭ মিনিট

অতএব, উক্ত পথ যেতে A এর ৭ মিনিট সময় লাগবে।

প্রশ্ন: একজন দৌড়বিদ ১০ মিটার/সেকেন্ড বেগে দৌড়ালে ২.৫ কি.মি. দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার কত মিনিট সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গতিবেগ = ১০ মিটার/সেকেন্ড
দূরত্ব = ২.৫ কি.মি. = (২.৫ × ১০০০) মিটার = ২৫০০ মিটার

∴ গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
বা, সময় = দূরত্ব/গতিবেগ = (২৫০০/১০) সেকেন্ড = ২৫০ সেকেন্ড

আমরা জানি,
৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট

এখন,
২৫০ সেকেন্ড = ৪ মিনিট + ১০ সেকেন্ড

অর্থাৎ, দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার ৪ মিনিট ১০ সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: ১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number): ১ থেকে বড় যে সকল সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না এবং শুধুমাত্র দুটি উৎপাদক থাকবে তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

এখন, 
১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা আছে ২১টি। যথা
১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩, ১২৭, ১৩১, ১৩৭, ১৩৯, ১৪৯, ১৫১, ১৫৭, ১৬৩, ১৬৭, ১৭৩, ১৭৯, ১৮১, ১৯১, ১৯৩, ১৯৭, ১৯৯

ধরি,
আসল ক টাকা।
সুতরাং সুদাসল ৪ক টাকা।
সুদ = ৪ক - ক
= ৩ক
আমরা জানি,
সুদ = আসল × সময় × সুদের হার/১০০
সুদের হার = সুদ × ১০০/(আসল × সময়)
= ৩ক × ১০০/ক × ২৫
= ১২%

ধরি, সংখ্যাদ্বয় x ও (x + 1)
প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 199
⇒ x² + 2x + 1 - x² = 199
⇒ 2x = 199 - 1
⇒ x = 198/2 = 99

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে চিনি ও দুধের অনুপাত ৩ : ২। যদি মিশ্রণের মোট ওজন ৫০ কেজি হয়, তবে চিনির পরিমাণ কত কেজি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
চিনি ও দুধের অনুপাত ৩ : ২
অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ২ = ৫

∴ চিনির পরিমাণ = (৩/৫) × ৫০ = ৩০ কেজি

প্রশ্ন: একটি কলম এবং একটি বইয়ের মোট মূল্য ১২০ টাকা। যদি কলমের মূল্য ২০ টাকা কমানো হয় এবং বইয়ের মূল্য ১০ টাকা কমানো হয়, তাহলে বইয়ের মূল্য কলমের মূল্যের দ্বিগুণ হবে। তাহলে বইটির মূল মূল্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
কলমের মূল্য = x টাকা এবং 
বইয়ের মূল্য = (১২০ - x) টাকা 

প্রশ্নমতে, 
২(x - ২০) = (১২০ - x) - ১০
বা, ২x - ৪০ = ১২০ - x - ১০ 
বা, x + ২x = ১১০ + ৪০
বা, ৩x = ১৫০
বা, x = ১৫০/৩ 
∴ x = ৫০ 

∴ বইটির মূল্য = (১২০ - ৫০) টাকা 
= ৭০ টাকা ।

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা।
যেহেতু √৬২৫ = ২৫
সুতরাং √৬২৫ একটি মূলদ সংখ্যা।

ল.সা.গু. = (লবগুলোর ল.সা.গু.)/(হরগুলোর গ.সা.গু.)
= ({২, ৩, ২} এর ল.সা.গু.)/({৫, ৫, ৩}এর গ.সা.গু.)
= ৬/১
= ৬

প্রশ্ন: 2n + 1 সর্বদা মৌলিক সংখ্যা না হলে, n এর ক্ষুদ্রতম মান কত? (যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা)  

সমাধান:
এখানে 
n স্বাভাবিক সংখ্যা
⇒ n = 1, 2, 3,….........

n = 1 হলে: 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3 (মৌলিক) 
n = 2 হলে: 2n + 1 = 2(2) + 1 = 5(মৌলিক)
n = 3 হলে: 2n + 1 = 2(3) + 1 = 7 (মৌলিক)
n = 4 হলে: 2n + 1 = 2(4) + 1 = 9(মৌলিক নয়) 

n-এর ক্ষুদ্রতম মান = 4

প্রশ্ন: ১ ÷ (৮/৯){(৫/৮) + (৩/৮)} = কত ?

সমাধান: 
১ ÷ (৮/৯){(৫/৮) + (৩/৮)} 
= ১ ÷ (৮/৯){(৫ + ৩)/৮}
= ১ ÷ (৮/৯)×(৮/৮)
= ১  ÷ (৮/৯)
= ১ × (৯/৮)
= ৯/৮

১ম বছর শেষে সুদাসল = ২০০০ × ১১০/১০০
২য় বছর শেষে সুদাসল = ২০০০ × ১১০/১০০ × ১০৫/১০০
= ২৩১০টাকা

উত্তীর্ণ শিক্ষার্থীর হার ৬০%
∴ অনুত্তীর্ণ শিক্ষার্থীর হার
= (১০০ - ৬০)%
= ৪০%
∴ অনুত্তীর্ণ শিক্ষার্থীর সংখ্য
= ৪০০ × ৪০%
= ৪০০ × ৪০/১০০
= ১৬০

প্রশ্ন: একই সরল সুদে ১২০০ টাকার ৪ বছরের সুদ এবং ১৬০০ টাকার ৩ বছরের সুদ একত্রে ১৯২০ টাকা হলে সুদের হার কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সরল সুদ, I = Pnr/১০০
যেখানে, P = আসল, n = সময় এবং r = সুদের হার।

১ম ক্ষেত্রে:
P = ১২০০ টাকা, n = ৪ বছর
 সুদ, I₁ = (১২০০ × ৪ × r)/১০০
= ৪৮r টাকা

২য় ক্ষেত্রে:
P = ১৬০০ টাকা, n = ৩ বছর
সুদ, I₂ = (১৬০০ × ৩ × r)/১০০
= ৪৮r টাকা

প্রশ্নমতে,
I₁ + I₂ = ১৯২০
⇒ ৪৮r + ৪৮r = ১৯২০
⇒ ৯৬r = ১৯২০
⇒ r = ১৯২০/৯৬
⇒ r = ২০

∴ সুদের হার ২০%।

প্রশ্ন: ৩৫ গ্রাম ওজনের একটি সোনার গহনায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪ : ১। গহনাটিতে আর কতটুকু সোনা মেশালে এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৬ : ১ হবে?

সমাধান:
১ম অংশে,
সোনার পরিমাণ = (৩৫/৫) × ৪ = ২৮ গ্রাম
এবং তামার পরিমাণ = ৩৫ - ২৮ = ৭ গ্রাম

২য় অংশে,
তামা মেশানো হয়নি, তাই ১ম অংশে তামার পরিমাণ ৭ গ্রাম হলে, ২য় অংশেও তামার পরিমাণ হবে ৭ গ্রাম।

দেওয়া আছে,
সোনা : তামা = ৬ : ১
তার মানে, সোনার ভাগ ৬ টি ও তামার ভাগ ১ টি

এখন,
তামার ১ ভাগ = ৭ গ্রাম
∴ সোনা ৬ ভাগ = (৬ × ৭) = ৪২ গ্রাম

∴ সোনা মেশানো হয়েছে = (৪২ - ২৮) = ১৪ গ্রাম

প্রশ্ন: যে কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে যোগফল কী হব? 

সমাধান:
মনে করি, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে x, x + 1, x + 2, x + 3
ক্রমিক সংখ্যা চারটির গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে পাওয়া যায়,
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
= x(x + 3){(x + 1)(x + 2)} + 1
= (x² + 3x)(x² + 3x + 2) + 1

ধরি, 
x² + 3x = a

প্রদত্ত রাশি, 
a(a + 2) + 1
= a² + 2a + 1
= (a + 1)²
= (x² + 3x + 1)² ; [a এর মান বসিয়ে]
যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং যে কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ১০% লাভে একটি কলম বিক্রয় করলেন। যদি বিক্রয়মূল্যের উপর লাভের হিসাব করা হতো, তবে লাভের হার কত হতো?

সমাধান: 
ধরি, কলমটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
১০% লাভে  বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা।

∴ ১১০ টাকায় লাভ হয় = ১০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ১০/১১০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০ × ১০০)/১১০ = ১০০/১১ = ৯.০৯ টাকা

সুতরাং, লাভের হার ৯.০৯%। 

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

১০০ টাকার ১০ বছরের সুদ = ১০০×১.৫ = ১৫০ টাকা।
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ১৫০/১০ টাকা।
= ১৫%

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত যথাক্রমে ৩২০ : ৪০০ : ৪৮০ = ৪ঃ৫ঃ৬
অনুপাতগুলাের যােগফল = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫
ক পায় ৩০০ এর ৪/১৫ = ৮০ টাকা
এবং গ পায় ৩০০ এর ৬/১৫ = ১২০ টাকা
সুতরা, ক অপেক্ষা গ বেশি পাবে (১২০- ৮০) টাকা = ৪০ টাকা।

প্রশ্ন: যদি Q একটি মৌলিক সংখ্যা হয়  তাহলে √Q কী হবে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: x : y এর ব্যস্তানুপাত কোনটি?

সমাধান:
ব্যস্তানুপাত: সরল অনুপাতের উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি এবং পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি ধরে যে অনুপাত পাওয়া যায়, তাকেই ব্যস্ত অনুপাত বলে।  

যেমন,
4 : 9 এর ব্যস্ত অনুপাত হলো  9 : 4।
একইভাবে, x : y এর ব্যস্তানুপাত y : x

সুতরাং, সঠিক উত্তর ক) y : x

প্রশ্ন: একটি ক্লাবে প্রত্যেকে ২০ টাকা করে চাঁদা দিলে মোট ৯৪০ টাকা হয়। ক্লাবের সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সদস্য সংখ্যা = ক জন

প্রত্যেকে ২০ টাকা করে দিলে মোট চাঁদা = ২০ × ক = ২০ক টাকা

প্রশ্নমতে, ২০ক = ৯৪০
⇒ ক = ৯৪০/২০
= ৪৭

∴ সদস্য সংখ্যা = ৪৭ জন

প্রশ্ন: ৮, ১০ ও ১৬ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
প্রথম রাশি : দ্বিতীয় রাশি = তৃতীয় রাশি : চতুর্থ রাশি
বা, প্রথম রাশি × চতুর্থ রাশি = দ্বিতীয় রাশি × তৃতীয় রাশি

এখানে, প্রথম রাশি = ৮, দ্বিতীয় রাশি = ১০ এবং তৃতীয় রাশি = ১৬

সূত্রমতে,
৮ × চতুর্থ রাশি = ১০ × ১৬
⇒ ৮ × চতুর্থ রাশি = ১৬০
⇒ চতুর্থ রাশি = ১৬০/৮
∴ চতুর্থ রাশি = ২০

অর্থাৎ, চতুর্থ সমানুপাতিক সংখ্যাটি ২০

Back Solving Method/Option Test:
18+9 = 27 ≠ 30
10+3 = 13 ≠ 30
63+3= 66 ≠ 30
16+7 = 23 ≠ 30
অপশন গুলোর কোনটিই প্রশ্নের দ্বিতীয় শর্ত মানছে না। তাই সঠিক উত্তর কোনটিই নয়।

এখানে,
এসিডঃপানি = ৩ঃ১
তাহলে এসিডের পরিমাণ = ৩/৪ × ৩২ লিটার
= ২৪ লিটার।
এবং পানির পরিমাণ = ১/৪ × ৩২ লিটার
= ৮ লিটার।

সুতরাং শর্তমতে,
দ্বিতীয় অনুপাতে এসিডের পরিমাণ একই থাকবে এবং শুধু পানির পরিমাণ পরিবর্তন হবে।
২৪/(৮ + ক) = ৩/২
বা, ৮/(৮ + ক) = ১/২
বা, ৮ + ক = ১৮
বা, ক = ৮ লিটার।

প্রশ্ন: রফিক সাহেব তার বেতনের ১/৪ অংশ বাড়িভাড়া, ১/১০ অংশ যাতায়াত, এবং ১/৫ অংশ খাদ্যে ব্যয় করেন। তাহলে তার আয়ের শতকরা কত ভাগ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
ধরি, মোট বেতন = ১ অংশ

মোট ব্যয় = (১/৪) + (১/১০) + (১/৫)
= (৫ + ২ + ৪)/২০
= ১১/২০

∴ অবশিষ্ট থাকে = ১ - (১১/২০) = ৯/২০

∴ শতকরা অবশিষ্ট থাকে = (৯/২০)/১ × ১০০ 
= (৯ × ১০০)/২০ 
= (৯ × ৫)% 
= ৪৫%

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ৪৪০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম জোড় সংখ্যা = ক
∴ দ্বিতীয় ক্রমিক জোড় সংখ্যা = ক + ২
∴ তৃতীয় ক্রমিক জোড় সংখ্যা = ক + ৪

শর্তমতে,
ক^২ + (ক + ২)^২ + (ক + ৪)^২ = ৪৪০
⇒ ক^২ + ক^২ + ৪ক + ৪ + ক^২ + ৮ক + ১৬ = ৪৪০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক + ২০ = ৪৪০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক = ৪২০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক - ৪২০ = ০
⇒ ক^২ + ৪ক - ১৪০ = ০
⇒ ক^২ + ১৪ক - ১০ক - ১৪০ = ০
⇒ ক(ক + ১৪) - ১০(ক + ১৪) = ০
⇒ (ক + ১৪)(ক - ১০) = ০

∴ ক = ১০ (যেহেতু ক = - ১৪ ঋণাত্মক, তাই গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ প্রথম জোড় সংখ্যা = ১০
∴ দ্বিতীয় জোড় সংখ্যা = ১২
∴ তৃতীয় জোড় সংখ্যা = ১৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১৪

অতএব, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১৪

√8/2 = 2√2/2 = √2 যা অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি বইয়ের মূল্য ২০% কমে যাওয়ায় ৯৬০ টাকায় পূর্বের তুলনায় ৪টি বই বেশি কেনা গেল। প্রতিটি বইয়ের পূর্বমূল্য কত ছিল?

সমাধান:
২০% হ্রাসে,
বর্তমান মূল্য ৮০ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য (১০০/৮০) টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ৯৬০ টাকা হলে পূর্বমূল্য (১০০ × ৯৬০)/৮০ টাকা
= ১২০০ টাকা

৯৬০ টাকায় পূর্বের তুলনায় ৪টি বই বেশি কেনা যায়।

∴ ৪টি বইয়ের পূর্বমূল্য = (১২০০ - ৯৬০) = ২৪০ টাকা 
∴ ১টি বইয়ের পূর্বমূল্য = (২৪০/৪) = ৬০ টাকা 

∴ প্রতিটি বইয়ের পূর্বমূল্য = ৬০ টাকা।

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ২১ বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

শর্তমতে, 
(ক/২) + ৬ = ২ক - ২১ 
⇒ (ক + ১২)/২ = ২ক - ২১ 
⇒ ক + ১২ = ২ × (২ক - ২১) 
⇒ ক + ১২ = ৪ক - ৪২ 
⇒ ৪ক - ক = ১২ + ৪২ 
⇒ ৩ক = ৫৪ 
⇒ ক = ৫৪/৩ 
∴ ক = ১৮ 

∴ সংখ্যাটি = ১৮

প্রশ্ন: ৫ এর প্রথম পাচঁটি বিজোড় গুণিতকের গড় কত?

সমাধান:
৫ এর প্রথম পাচঁটি বিজোড় গুণিতক = ৫, ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫
∴ সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫ + ১৫ + ২৫ + ৩৫ + ৪৫ 
= ১২৫

∴ নির্ণেয় গড় = ১২৫/৫
= ২৫

৭/৯ = ০.৭৮
৩/৪ = ০.৭৫
৪/৯ = ০.৪৪
৯/১৩ = ০.৬৯
সুতরাং, বৃহত্তম ভগ্নাংশ = ৭/৯

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ১৫ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ৯৬০ হলে তাদের  ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = ক 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু  = ১৫ক 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল 
∴ ১৫ক × ক = ৯৬০
⇒  ১৫ক^২ = ৯৬০ 
⇒  ক^২ = ৬৪  
⇒ ক^২ = ৮^২ 
∴ ক = ৮ 

∴ ল.সা.গু = ১৫ × ৮ = ১২০