পাটিগণিত

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা ২০% ক্ষতিতে একটি টেবিল বিক্রয় করেন। যদি তিনি টেবিলটি ২৪০ টাকা বেশী মূল্যে বিক্রয় করতেন তাহলে তার ১০% লাভ হতো। টেবিলের ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ১০% = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা
এবং
২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০০ এর ২০% = (১০০ - ২০) টাকা = ৮০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশী হয় = (১১০ - ৮০) টাকা = ৩০ টাকা 

এখন,
বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা বেশী হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশী হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৩০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ২৪০ টাকা বেশী হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২৪০)/৩০ টাকা = ৮০০ টাকা 

সুতরাং টেবিলের ক্রয়মূল্য = ৮০০ টাকা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্ক দুইটির অন্তর 5। অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
একক স্থানীয় অঙ্ক = y + 5

∴ সংখ্যাটি = 11y + 5
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে = 11y + 50

প্রশ্নমতে,
2(11y + 5) + 18 = 11y + 50
বা, 22y + 10 + 18 = 11y + 50
বা, 22y + 28 = 11y + 50
বা, 11y = 22
বা, y = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 11 × 2 + 5
= 22 + 5 = 27

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার ছয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x,
সুতরাং পরবর্তী সংখ্যাটি = x + 1

প্রশ্নমতে,
x² + x = 6(x + 1)
⇒ x² + x - 6x - 6 = 0
⇒ x(x + 1) - 6(x + 1) = 0
⇒  (x + 1)(x - 6) = 0

হয়,
⇒  x - 6 = 0
∴  x = 6
অথবা 
⇒  x + 1 = 0
∴ x = - 1 [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, সংখ্যাটি 6.

প্রশ্ন: (a - b), a² - ab, a² - b² এর ল.সা.গু কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = (a - b)

২য় রাশি = a² - ab
= a(a - b)

৩য় রাশি = a² - b²
= (a + b)(a - b) 

ল.সা.গু = a(a + b)(a - b) = a(a² - b²)

প্রশ্ন: ৭, ০, ২, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
৭, ০, ২, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৫৭

∴ এদের অন্তর = ৭৫২০ - ২০৫৭ = ৫৪৬৩

ক : খ = ১ : ৪
অনুপাতের যোগফল = ১ + ৪ = ৫
খ পায় = [১০০০এর (৪/৫)] = ৮০০ টাকা
খ : মা : মেয়ে = ২ :১ : ১
অনুপাতের যোগফল = (২ + ১ + ১) = ৪
মেয়ে পায় = ৮০০এর (১/৪) = ২০০টাকা

ধরি, বিক্রি করতে হবে = x টি
প্রশ্নমতে,
(15 - x)/x = 25%
বা, (15 - x)/x = 25/100
বা, (15 - x)/x = 1/4
বা, 60 - 4x = x
বা, 5x = 60
বা, x = 12 টি

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এবং পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান: 
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০ 
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯ 

অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১

খ ১ দিনে করে কাজটির ১/১৪ অংশ
∴ খ ১০〃 〃 〃 ১০/১৪ 〃
= ৫/৭ অংশ
∴ ক ১০ দিনে করে কাজটির (১ - ৫/৭) বা ২/৭ অংশ
ক ২/৭ অংশ কাজ করে ১০ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ 〃 〃 ১০ × ৭/২ বা ৩৫ দিনে।

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২,৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ = ৮ টি

প্রশ্ন: রফিক ও শফিক একটি কাজ যথাক্রমে ১২ দিনে ও ৬ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
রফিক ১ দিনে করে = ১/১২ অংশ
শফিক ১ দিনে করে = ১/৬ অংশ

দুই জনে একত্রে ১ দিনে করে = (১/১২ + ১/৬) অংশ
= (১ + ২)/১২ অংশ
= ৩/১২ অংশ
= ১/৪ অংশ

∴ দুই জনে একত্রে ১/৪ অংশ কাজ করে ১ দিনে
∴ দুই জনে একত্রে সম্পূর্ণ (১ অংশ) কাজ করে (১ × ৪) দিনে
= ৪ দিনে

∴ তারা একত্রে কাজটি ৪ দিনে করতে পারবে।

ধরি,
একটি ক্রমিক সংখ্যা = a
অন্যটি = a + ১

প্রশ্নমতে,
তাদের বর্গের অন্তর = (a + ১)^২ - a^২
= a^২ + ২a + ১ - a^২
= ২a + ১
= ২x যে কোন পূর্ণ সংখ্যা + ১
= জোড় সংখ্যা + ১
= বিজোড় সংখ্যা

প্রশ্ন: ঘণ্টায় a মাইল বেগে b দূরত্ব অতিক্রম করতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
বেগ = a মাইল/ঘণ্টা
 দূরত্ব = b মাইল 

a মাইল যায় 1 ঘণ্টায়
1 মাইল যায় 1/a ঘণ্টায়
b মাইল যায় b/a ঘণ্টায়

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% সরল সুদে কত বছরে ৮০০ টাকার সুদ ৪০০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল (P) = ৮০০ টাকা
সুদের হার (r) = ১০% 
সুদ (I) = ৪০০ টাকা
সময় = n বছর

আমরা জানি,
SI = (P × r × n)/১০০
⇒ ৪০০ = (৮০০ × ১০ × n)/১০০
⇒ ৪০০ = (৮০০০ × n)/১০০
⇒ ৪০০ = ৮০n
⇒ n = ৪০০/৮০
∴ n = ৫ বছর

∴ সময় = ৫ বছর

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে নৌকা চালিয়ে ৫ ঘণ্টায় ৬০ কি.মি যান। যদি নদীতে স্রোতের বেগ ৩ কিমি/ঘণ্টা হয়, তাহলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৬০ কি.মি
সময় = ৫ ঘণ্টা

∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = দূরত্ব ÷ সময় = ৬০ ÷ ৫ = ১২ কি.মি/ঘন্টা

আমরা জানি,
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = স্থির পানিতে নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ

∴ স্থির পানিতে নৌকার বেগ = স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ
= ১২ + ৩
= ১৫ কি.মি/ঘন্টা

প্রশ্ন: ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ১০০০০ টাকার ২ বছরের সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, আসল, P = ১০০০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P{১ + (r/১০০)ⁿ টাকা
= ১০০০০{১ + (১০/১০০)^২ টাকা
= ১০০০০(১১০/১০০)^২ টাকা
= ১০০০০ × (১১০/১০০) × (১১০/১০০) টাকা
= ১২১০০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ = (১২১০০ - ১০০০০) টাকা = ২১০০ টাকা

A:B = 4:5 = (4 × 5 ) : ( 5 × 5 ) = 20:25
A:C = 5:7 = (5 × 4 ) : ( 7 × 4 ) = 20:28
∴ A:B:C = 20:25:28

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ১৩ এবং ১৯ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
১২ - ৭ = ৫
১৮ - ১৩ = ৫
২৪ - ১৯ = ৫

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. অপেক্ষা ৫ কম।

১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. = ৭২ 

∴ সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে= ৭২ - ৫ = ৬৭

প্রশ্ন: রবিন একা একটি কাজ ৪ ঘন্টায় এবং রাহাত ঐ কাজটি একা ৫ ঘন্টায় করতে পারে। দুজনে মিলে একসাথে শুরু করে ২ ঘন্টা কাজ করার পর রবিন চলে গেলে, রাহাতের কাজটি শেষ করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
রবিন ৪ ঘন্টায় করে কাজের ১ অংশ 
রবিন ১ ঘন্টায় করে কাজের ১/৪ অংশ।

আবার, 
রাহাত ৫ ঘন্টায় করে কাজের ১ অংশ 
রাহাত ১ ঘন্টায় করে কাজের ১/৫ অংশ

∴ তারা একসাথে করে = (১/৪) + (১/৫)  = (৫ + ৪)/২০ অংশ 
= ৯/২০ অংশ।

∴ দুই ঘন্টা কাজ করার পর কাজ = (৯/২০) × ২ অংশ = ৯/১০ অংশ

সুতরাং, কাজ বাকি থাকে = ১ - (৯/১০) = ১/১০ অংশ।

∴ রাহাতের ১ অংশ করতে লাগে ৫ ঘন্টা 
∴ রাহাতের ১/১০ করতে লাগে = ৫ × (১/১০) ঘন্টা = ১/২ ঘন্টা

আমরা জানি,
১ ঘন্টা = ৬০ মিনিট
∴ ১/২ ঘন্টা = (১/২) × ৬০ = ৩০ মিনিট।

সুতরাং, রাহাত কাজটি একা শেষ করতে ৩০ মিনিট লাগবে। 

১ কিলোগ্রামে কম দেয় (১০০০ - ৯৫০) = ৫০ গ্রাম
∴ ২৫ কিলোগ্রামে কম দেয় = ২৫ × ৫০ = ১২৫০ গ্রাম = ১.২৫ কিলোগ্রাম

ধরি, সংখ্যাদ্বয় x ও (x + 1)
প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 199
⇒ x² + 2x + 1 - x² = 199
⇒ 2x = 199 - 1
⇒ x = 198/2 = 99
∴ বড় সংখ্যাটি = 99 + 1 = 100

 প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে ৪৫ কি.মি. পথ ১৫ ঘণ্টায় অতিক্রম করেন। স্থির পানিতে একই সময়ে ২ গুণ দূরত্ব অতিক্রম করতে পারেন। স্রোতের অনুকূলে একই পথ অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি = (৪৫/১৫) কি.মি./ঘন্টা
= ৩ কি.মি./ঘন্টা

স্থির পানিতে নৌকার গতি = ২ × স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি
= ২ × ৩
= ৬ কি.মি./ঘন্টা

নদীর স্রোতের গতি = স্থির পানিতে নৌকার গতি - স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি
= ৬ - ৩ কি.মি./ঘন্টা
= ৩ কি.মি./ঘন্টা

অনুকূলের গতি = স্থির পানিতে নৌকার গতি + নদীর স্রোতের গতি
= ৬ + ৩ কি.মি./ঘন্টা
= ৯ কি.মি./ঘন্টা

একই পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ৪৫/৯ ঘন্টা
= ৫ ঘন্টা

∴ একই পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে ৫ ঘন্টা।

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। যদি মিশ্রণে আরও ৮ লিটার পানি যোগ করা হয়, তবে দুধ ও পানির নতুন অনুপাত হয় ৭ : ৫। মিশ্রণে পানির পরিমাণ কত লিটার?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩

মনে করি,
মিশ্রণে দুধের পরিমাণ ৭ক লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ ৩ক লিটার

যদি মিশ্রণে আরও ৮ লিটার পানি যোগ করা হয়,
তাহলে, মিশ্রণে পানির পরিমাণ (৩ক + ৮) লিটার

মিশ্রণে দুধ ও পানির নতুন অনুপাত = ৭ : ৫

প্রশ্নমতে,
৭ক : (৩ক + ৮) = ৭ : ৫
⇒ ৭ক/(৩ক + ৮) = ৭/৫
⇒ ৩৫ক = ২১ক + ৫৬
⇒ ৩৫ক - ২১ক = ৫৬
⇒ ১৪ক = ৫৬
⇒ ক = ৫৬/১৪
∴ ক = ৪

∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = (৩ × ৪) = ১২ লিটার।

প্রশ্ন: ছয়টি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ২, ৪, ৬, ৮, ১০ এবং ১২ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৬০ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?

সমাধান:
​২ = ২ 
​৪ = ২ × ২ 
​৬ = ২ × ৩ 
​৮ = ২ × ২ × ২
​১০ = ২ × ৫ 
​১২ = ২ × ২  × ৩
​
∴ ​২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২  × ৩ × ৫ = ১২০
​
তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১২০ সেকেন্ড বা, ২ মিনিট পর একসাথে বাজবে।

∴ ৬০ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে (৬০/২) + ১ = ৩০ + ১ = ৩১ বার

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফল, ভাজ্য এবং ভাগশেষ যথাক্রমে ১৫, ৯৪০ এবং ২৫ হলে, ভাজক কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ১৫
ভাজ্য = ৯৪০
ভাগশেষ = ২৫
ধরি, ভাজক = ক

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
⇒ ৯৪০ = (ক × ১৫) + ২৫
⇒ ৯৪০ - ২৫ = ক × ১৫
⇒ ক × ১৫ = ৯১৫
⇒ ক = ৯১৫/১৫
∴ ক = ৬১

∴ ভাজক হলো ৬১

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি সাইকেলে করে ৩৪ কি.মি./ঘন্টা গতিতে একটি সেতু ৬ মিনিটে অতিক্রম করেন। সেতুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সাইকেলের গতি = ৩৪ কি.মি./ঘন্টা 
সেতু অতিক্রম করতে সময় = ৬ মিনিট = ৬/৬০ ঘন্টা = ১/১০ ঘন্টা

আমরা জানি,
দূরত্ব = গতি × সময়
⇒ দূরত্ব = ৩৪ × ১/১০
∴ দূরত্ব = ৩.৪ কি.মি.

∴ সেতুর দৈর্ঘ্য ৩.৪ কি.মি.। 

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% সুদে ৪৫০ টাকা কত বছরে সুদে-আসলে ৫৯৪ টাকা হবে?

সমাধান: 
সুদ = সুদাসল - আসল 
= (৫৯৪ - ৪৫০) টাকা 
= ১৪৪ টাকা 

আমরা জানি, 
সময় = (সুদ × ১০০)/(আসল × সুদের হার) 
= (১৪৪ × ১০০)/(৪৫০ × ৮) 
= ১৪৪০০/৩৬০০
= ৪ বছর। 

প্রশ্ন: A, B এবং C মিলে একটি ব্যবসায় ৫৩০০০ টাকা বিনিয়োগ করেন। A, B-এর চেয়ে ৫০০০ টাকা বেশি এবং B, C-এর চেয়ে ৬০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন। মোট ৩১৮০০ টাকা লাভ হলে B-এর লাভের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
C-এর বিনিয়োগ = x টাকা
তাহলে,
B, C-এর চেয়ে ৬,০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন
∴ B = x + ৬০০০
A, B-এর চেয়ে ৫,০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন
∴ A = (x + ৬০০০) + ৫০০০ = x + ১১০০০

মোট বিনিয়োগ,
A + B + C = ৫৩০০০
⇒ (x + ১১০০০) + (x + ৬০০০) + x = ৫৩০০০
⇒ ৩x + ১৭০০০ = ৫৩০০০
⇒ ৩x = ৩৬০০০
∴ x = ১২০০০

এখন,
C = x = ১২০০০ টাকা
B = ১২০০০ + ৬০০০ = ১৮০০০ টাকা
A = ১২০০০ + ১১০০০ = ২৩০০০ টাকা

∴ লাভের অনুপাত A : B : C = ২৩০০০ : ১৮০০০ : ১২০০০ = ২৩ : ১৮ : ১২

∴ B-এর অংশ = ৩১৮০০ × (১৮/৫৩) = ১০৮০০ টাকা

সুতরাং, B-এর লাভের পরিমাণ ১০৮০০ টাকা।

২০% কমে যাওয়ায় চিনির বর্তমান মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা
চিনির ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায়, বর্তমানে চিনি ব্যবহৃত হয় = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

১০০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় ১২০ টাকার চিনি
১ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় = ১২০/১০০ টাকার চিনি।
৮০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় = (১২০× ৮০)/১০০
= ৯৬ টাকা।

চিনি বাবদ শতকরা ব্যয় কমে (১০০ - ৯৬)= ৪ টাকা
∴ ৪% ব্যয় কমলো।

Shortcut: ২০ - ২০ + {(২০×(-২০)}/১০০ = -৪% 

১ম ১২ বা ১ বছরে মাসে মুনাফা = pnr = ২৮০০ × ১ × ১০/১০০ = ২৮০ টাকা
সুদ-আসল = ২৮০ + ২৮০০ = ৩০৮০ টাকা
২য় ৬ মাসে মুনাফা = ৩০৮০ × ১/২ × ১০/১০০ = ১৫৪ টাকা
মোট মুনাফা = ( ২৮০ + ১৫৪) = ৪৩৪ টাকা