পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩২ থেকে যত বেশি ৭৮ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ৩২ = ৭৮ - x
বা, x + x = ৩২ + ৭৮
বা, ২x = ১১০
বা, x = ১১০/২
∴ x = ৫৫

∴ সংখ্যাটি = ৫৫

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার সাতগুণের সাথে সেই সংখ্যার চারগুণ যোগ করলে ২৭৫ হয়। সংখ্যাটি কত?
 
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা ক 

প্রশ্নমতে, 
৭ক + ৪ক = ২৭৫
⇒ ১১ক = ২৭৫
⇒ ক = ২৭৫/১১ 
∴ ক = ২৫ 

সুতরাং, সংখ্যাটি = ২৫

৩০ সের ছোলা খায় ৬ টি ঘোড়া
∴ ২৫ সের ছোলা খায় ৬ × ২৫ / ৩০ = ৫ টি ঘোড়া

ক্ষুদ্রতর অংশ = ৬০০০ এর ১/(১+২+৩+৪+৫) = ৪০০ টাকা এবং বৃহত্তর অংশ = ৬০০০ এর ৫/(১+২+৩+৪+৫) = ২০০০ টাকা।
সুতরাং বৃহত্তর এবং ক্ষুদ্রতর অংশের পার্থক্য = ২০০০ - ৪০০ = ১৬০০ টাকা।

চতুর্থ সমানুপাতিক x হলে
3 × x = 9 × 4
⇒ x = (9 × 4) / 3
∴ x = 12

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ৪০টি প্রশ্ন আছে। প্রতিটি সঠিক উত্তরে ৩ নম্বর এবং ভুল উত্তরে ১ নম্বর কাটা হয়। শিক্ষার্থী ৭০% নম্বর পেতে চাইলে সর্বোচ্চ কতটি ভুল উত্তর দিতে পারবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রতিটি সঠিক প্রশ্নের উত্তরের মান = ৩
প্রতিটি ভুল উত্তরে কাটা যাবে = ১

তাহলে ৪০ টি প্রশ্নের পূর্ণমান হবে = ৪০ × ৩ = ১২০

৭০% নম্বর পেতে হলে (৭০ × ১২০)/১০০ = ৮৪ নম্বর পেতে হবে।

ধরি,
ভুল উত্তরের সংখ্যা = ক
∴ সঠিক উত্তরের সংখ্যা = ৪০ - ক

প্রশ্নমতে,
৩(৪০ - ক) - (ক× ১) = ৮৪
বা, ১২০ - ৩ক - ক = ৮৪
বা, ১২০ - ৪ক = ৮৪
বা, ৪ক = ১২০ - ৮৪
বা, ৪ক = ৩৬
বা, ক = ৯

∴ ৭০% নম্বর পেতে চাইলে সর্বোচ্চ ৯ টি ভুল উত্তর দিতে পারবে।

মনে করি, উৎপাদন খরচ = x টাকা
∴ উৎপাদন কারীর বিক্রয়মূল্য = ১১০x/১০০
পাইকারী বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য = ১১০x/১০০ × ১২০/১০০
∴ ক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১১০x/১০০ × ১২০/১০০ × ১০৫/১০০ = ২৭৭২
বা, x = (১০০×১০০×১০০×২৭৭২)/(১১০×১২০×১০৫)
= ২০০০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. 3 এবং ল.সা.গু. 11880। একটি সংখ্যা 120 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = 11880 × 3
বা, 120 × অপর সংখ্যা = 35640
বা, অপর সংখ্যা = 35640 ÷ 120 = 297

∴ অপর সংখ্যা = 297

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: শূণ্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমনঃ 0, 1, 2, -1, -2, √2, √5, 22/7

অপশন ক, খ, ঘ তিনটিই বাস্তব সংখ্যা।

কিন্তু,
অপশন (গ) এর √-৩৬ একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ,
√-৩৬ = √(-১ × ৩৬) = √-১ × √৩৬ = i × ৬ = ৬i, বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৫ দিন পরে ৩ জন চলে গেলে কাজটি শেষ করতে বাকি লোকের কতদিন লাগবে?

সমাধান:
মনে করি ,
সম্পূর্ন কাজটি = ৮০ একক।

দেয়া আছে,
৮ জনের
২০ দিনে শেষ হয় = ৮০ একক।
∴ ৫ দিনে শেষ হয় = ৮০×৫/২০ একক।
= ২০ একক।

কাজ বাকি থাকে = ৮০ - ২০ একক
= ৬০ একক, যা (৮-৩) বা ৫ জন লোক শেষ করে। 

এখন,
৮ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০ দিনে
∴ ১ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০×৮ দিনে
∴ ৫ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০×৮/৫ দিনে
∴ ৫ জন লোক ১ একক কাজ করে = (২০×৮)/(৫×৮০) দিনে
∴ ৫ জন লোক ৬০ একক কাজ করে = (২০×৮×৬০)/(৫×৮০) দিনে
= ২৪ দিনে

উত্তর: ২৪ দিনে

বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৬২০)/৮০ = ৭৭৫ টাকা

প্রশ্ন: ১৩৫০ টাকায় একটি পণ্য বিক্রয় করা হলে লাভ হয় ২০% , পণ্যটি ৩৬% লাভে বিক্রয় করলে, বিক্রয়মূল্য কত হত?

সমাধানঃ 
ধরি
পণ্যের ক্রয়মূল্য = C টাকা 

প্রথম বিক্রয়মূল্য = ১৩৫০ টাকা, লাভ = ২০% 

তাহলে ক্রয়মূল্য, 
১৩৫০ =  C × {১ + (২০/১০০)}
⇒ ১৩৫০ = ১.২C 
⇒ C = ১৩৫০/১.২
∴ C = ১১২৫ টাকা

৩৬% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১১২৫ × (১ + ৩৬/১০০)
= ১১২৫ × ১.৩৬
= ১৫৩০ টাকা 

∴ ৩৬% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১৫৩০ টাকা 

এখানে,
আসল p = ৩২০০ টাকা,
সময় n = ২ বছর,
সুদের হার r = ৮%
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = p(১ + r/১০০)ⁿ
= ৩২০০ × (১ + ৮/১০০)^২
= ৩২০০ × (১০৮×১০৮)/(১০০×১০০)
= ৩৭৩২.৪৮ টাকা
∴ সুদ = ৩৭৩২.৪৮ - ৩২০০
= ৫৩২.৪৮ টাকা

সংখ্যার 1ম অংকটি 4 দিয়ে পূর্ন করতে হবে। অবশিষ্ট 3 টি অংক দিয়ে পূর্ন করা যায় = 3! = 6 উপায়ে
∴ গঠিত সংখ্যা = 1 × 6 = 6 উপায়ে

এখানে, (৩+৭+১০) = ২০
∴ ১ম টুকরোটির দৈর্ঘ্য = ৬০ × ৩/২০ = ৯ মিটার
   ২য় 〃 〃 = ৬০ × ৭/২০ = ২১ মিটার
   ৩য় 〃 〃 = ৬০ × ১০/২০ = ৩০ মিটার

প্রশ্ন: ১৭৬ কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
১৭৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ১১
= ( ২ × ২) × (২ × ২) × ১১

এখানে, ১১ জোড়া বিহীন
∴ ১১ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩৫ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৭০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম সংখ্যা = ক 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ - (ক/৩) = ৪(৯৫ - ক) - ৭০
⇒ (১০৫ - ক)/৩ = ৩৮০ - ৪ক - ৭০
⇒ (১০৫ - ক)/৩ = ৩১০ - ৪ক
⇒ ১০৫ - ক = ৩(৩১০ - ৪ক)
⇒ ১০৫ - ক = ৯৩০ - ১২ক
⇒ ১২ক - ক = ৯৩০ - ১০৫
⇒ ১১ক = ৮২৫
⇒ ক = ৮২৫/১১
∴ ক = ৭৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ৭৫ = ২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ২০

প্রশ্ন: কোনো ভাগ অঙ্কের ভাজক হলো ভাগফলের দশগুণ এবং ভাগশেষের পাঁচগুণ। যদি ভাগশেষ ৪৬ হয়, তবে ভাজ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভাগশেষ = ৪৬
ভাজক = ভাগফলের ১০ গুণ
ভাজক = ভাগশেষের ৫ গুণ

∴ ভাজক = ভাগশেষের ৫ গুণ
= ৪৬ × ৫
= ২৩০

আবার, 
ভাজক = ভাগফলের ১০ গুণ
⇒ ২৩০ = ভাগফল × ১০
∴ ভাগফল = ২৩০/১০
= ২৩

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৩০ × ২৩) + ৪৬
= ৫২৯০ + ৪৬
= ৫৩৩৬

∴ ভাজ্য = ৫৩৩৬

প্রশ্ন: ২৫ কেজি চাল যে দরে কেনা যায়, ২০ কেজি চাল সে দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হয়?

সমাধান:
২৫ কেজি চালের ক্রয়মূল্য ক টাকা 
১ কেজি চালের ক্রয়মূল্য ক/২৫ টাকা 

২০ কেজি চালের বিক্রয়মূল্য ক টাকা 
১ কেজি চালের বিক্রয়মূল্য ক/২০ টাকা 

লাভ = (ক/২০) - (ক/২৫)
= (৫ক - ৪ক)/১০০
= ক/১০০

ক/২৫ টাকায় লাভ হয় = ক /১০০ টাকা 
১ টাকায় লাভ হয় = (ক /১০০) × (২৫/ক) টাকা 
১০০ টাকায় লাভ হয় = {(ক /১০০) × (২৫/ক) × ১০০} টাকা =২৫%

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 265 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
ছোট সংখ্যা = x
তাহলে বড় সংখ্যা = x + 1

প্রশ্ন অনুযায়ী,
x² + (x + 1)² = 265
⇒ x² + x² + 2x + 1 = 265
⇒ 2x² + 2x + 1 = 265
⇒ 2x² + 2x - 264 = 0
⇒ x² + x - 132 = 0
⇒ x² + 12x - 11x - 132 = 0
⇒ x(x + 12) - 11(x + 12) = 0
⇒ (x - 11)(x + 12) = 0
হয়, 
x - 11 = 0
∴ x = 11
অথবা, 
x + 12 = 0
∴ x = - 12 ; যা গ্রহণযোগ্য নয় 

সুতরাং, ছোট সংখ্যা = 11
এবং বড় সংখ্যা = 11 + 1 = 12

প্রশ্ন: পিতা ও ৩ পুত্রের বয়স অপেক্ষা মাতা ও উক্ত ৩ পুত্রের বয়সের গড় ৩/২ বছর কম। মাতার বয়স ৩০ বছর হলে পিতার বয়স কত?

সমাধান: 
ধরি, 
পিতা ও ৩ পুত্রের বয়সের গড় = ক  বছর 
∴ পিতা ও ৩ পুত্রের মোট বয়স  = ৪ক বছর 

মাতা ও উক্ত ৩ পুত্রের বয়সের গড় = (ক  - ৩/২) বছর
মাতা ও উক্ত ৩ পুত্রের  মোট বয়স = ৪ক  - ৬ বছর 

এখন, ৩ পুত্রের মোট বয়স = ৪ক  - ৬ - ৩০
= ৪ক  - ৩৬ বছর 

∴ পিতার বয়স =  ৪ক - (৪ক  - ৩৬ )
= ৪ক  - ৪ক + ৩৬
= ৩৬ বছর

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে ৬৩ লিটার রস আছে। কমলা ও লেবুর অনুপাত ৫ : ৪। লেবুর রস ১৮ লিটার কমিয়ে দিলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, মোট মিশ্রণ ৬৩ লিটার। কমলা ও লেবুর রসের অনুপাত = ৫ : ৪

অনুপাতের যোগফল = (৫ + ৪) = ৯

সুতরাং, কমলার রসের পরিমাণ = (৬৩ এর ৫/৯ অংশ)
= (৬৩ × ৫)/৯ = ৩৫ লিটার

এবং, লেবুর রসের পরিমাণ = (৬৩ এর ৪/৯ অংশ)
= (৬৩ × ৪)/৯ = ২৮ লিটার

এখন, লেবুর রস ১৮ লিটার কমিয়ে দিলে,
নতুন পরিমাণ হবে = (২৮ - ১৮) = ১০ লিটার।

কমলার রসের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে, অর্থাৎ ৩৫ লিটার।

সুতরাং, নতুন অনুপাত হবে, = ৩৫ : ১০ = ৭ : ২

প্রশ্ন: ৭২০ এর ৬.৫% কত?

সমাধান: 
৭২০ এর ৬.৫% 
= ৭২০ এর ৬.৫/১০০
= ৭২০ এর ৬৫/(১০০ × ১০) 
= ৪৬.৮ 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
0.25, √36, √50, (√81)/9.

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যা p/q​ আকারে লেখা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলে।
উদাহরণ: 1/2, 3, 0.25, √36, (√81)/9.

অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যা p/q আকারে লেখা যায় না এবং যাদের দশমিকের পর অসীম সংখ্যক অঙ্ক থাকে এবং কোনো অঙ্ক বা অঙ্কসমষ্টির পুনরাবৃত্তি ঘটে না সেগুলোকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
উদাহরণ: √2, √3, √50, π.

এখানে,
0.25 = 25/100 = 1/4, যা একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা।
√36 = √(6²) = 6, যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2, যা ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না।
এবং,
(√81)/9 = √(9²)/9 = 9/9 = 1, যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

∴ 0.25, √36, (√81)/9 মূলদ সংখ্যা এবং √50 অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্নঃ রহিম, করিম ও মিরাজের আয়ের অনুপাত যথাক্রমে ১২ : ১৫ : ২০। যদি মিরাজের আয় ১৯০০ টাকা হয়, তবে রহিম ও করিমের আয় কত?

সমাধানঃ
মিরাজের ২০ অংশ = ১৯০০ টাকা
মিরাজের ১ অংশ = ১৯০০ ÷ ২০
= ৯৫ টাকা

তাহলে,
রহিমের ১২ অংশ = ৯৫ × ১২
= ১১৪০ টাকা
করিমের ১৫ অংশ = ৯৫ × ১৫
= ১৪২৫

∴ রহিমের আয় ১১৪০ ও করিমের আয় ১৪২৫। 

প্রশ্ন: ১২, ১৮ এবং ৩০ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

তিনটি সংখ্যার মধ্যে ২ এবং ৩ সাধারণ গুণনীয়ক

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ৩ = ৬

প্রশ্ন: ৫ টি ২ টাকার নোট এবং ১০ টি ৩ টাকার নোট একত্রে ১০ টি ১০ টাকার নোটের কত অংশ?

সমাধান:
৫ টি ২ টাকার নোট = ৫ × ২ = ১০ টাকা
১০ টি ৩ টাকার নোট = ১০ × ৩ = ৩০ টাকা

 ∴ মোট টাকা = ১০ + ৩০ = ৪০ টাকা

আবার,
১০ টি ১০ টাকার নোট = ১০ × ১০ = ১০০ টাকা

∴ (৫ টি ২ টাকার নোট + ১০ টি ৩ টাকার নোট)/১০ টি ১০ টাকার নোট
= ৪০/১০০
= ২/৫ অংশ

∴ ৫ টি ২ টাকার নোট এবং ১০ টি ৩ টাকার নোট একত্রে ১০ টি ১০ টাকার নোটের ২/৫ অংশ।

প্রশ্ন: সাকিনের মাসিক আয় ৮০০০ টাকা এবং ব্যয় ৬৪০০ টাকা। তার মাসিক ব্যয় মাসিক আয়ের শতকরা কত টাকা?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সাকিনের মাসিক আয় ৮০০০ টাকা
এবং ব্যয় ৬৪০০ টাকা

∴ সাকিনের মাসিক ব্যয় মাসিক আয়ের শতকরা = (৬৪০০ × ১০০)/৮০০০
= ৬৪০/৮
= ৮০%

ধরি, সংখ্যাটি ক 
∴ ক এর ২৫% = ১৩০
⇒ ক = ৫২০
এখন
৫২০ এর ১২০% হল = (৫২০ × ১২০)/১০০= ৬২৪

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৭৫% শিক্ষার্থী বাংলায় এবং ৬৫% শিক্ষার্থী গণিতে পাশ করল। যদি ৬০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
বাংলায় পাশ করেছে = ৭৫%
গণিতে পাশ করেছে = ৬৫%
​উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০%

শুধুমাত্র বাংলায় পাশ করেছে = (৭৫ - ৬০)% = ১৫%
শুধুমাত্র গণিতে পাশ করেছে = (৬৫ - ৬০)% = ৫%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে = (শুধুমাত্র বাংলায় পাশ + শুধুমাত্র গণিতে পাশ + উভয় বিষয়ে পাশ) 
​= (১৫ + ৫ + ৬০)% = ৮০%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী - কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে)
​ = (১০০ - ৮০)% = ২০%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ২০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

মনেকরি,
৪টি লিচুর ক্রয়মূল্য = a টাকা
∴ ১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = a/৪ টাকা
আবার,
৫টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = a টাকা
∴ ১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = a/৫ টাকা
∴ ক্ষতি = a/৪ - a/৫
= (৫a - ৪a)/২০
= a/২০
∴ ক্ষতির হার = (a × ৪ × ১০০)/(২০ × a)
= ২০%

প্রশ্ন: যদি কোনো মূলধন সরল সুদে ৩ বছরে ৬৮০০ টাকা এবং ৫ বছরে ৮০০০ টাকা হয়, তবে সুদের হার নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
এখানে,
আসল + ৫ বছরের সুদ = ৮০০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৮০০ টাকা
∴ ২ বছরের সুদ = (৮০০০ - ৬৮০০) টাকা
= ১২০০ টাকা

∴ ৩ বছরের সুদ = (১২০০ × ৩)/২ টাকা
= ১৮০০ টাকা

∴ আসল = (৬৮০০ - ১৮০০) টাকা
= ৫০০০ টাকা

৫০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = ১৮০০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ১৮০০/(৫০০০ × ৩) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (১৮০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৩)
= ১২%

প্রশ্ন: কোনো একটি সংখ্যার ৪০ শতাংশ হলো ৭২। তাহলে সেই সংখ্যার ৭৫ শতাংশ কত হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
ক এর ৪০% = ৭২ 
⇒ ক × (৪০/১০০) = ৭২ 
⇒ ক = (৭২ × ১০)/৪ 
⇒ ক = ১৮ × ১০
∴ ক = ১৮০ 

আবার, 
১৮০ এর ৭৫ শতাংশ = ১৮০ × (৭৫/১০০) 
= ১৮ × (১৫/২) 
= ৯ × ১৫ 
= ১৩৫ 

অতএব, সেই সংখ্যার ৭৫ শতাংশ হলো ১৩৫।