পাটিগণিত

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩০ এবং গ.সা.গু. ৫। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ২ক/৩ 

প্রশ্নমতে,
ক × (২ক/৩) =  ৩০ × ৫
⇒ ২ক^২ = ৩০ × ৫ × ৩
⇒ ক^২ = ৪৫০/২
⇒ ক^২ = ২২৫
⇒ ক = ১৫

∴ বড় সংখ্যাটি = ১৫ 
ছোট সংখ্যাটি = (২ × ১৫)/৩ = ৩০/৩ = ১০ 

∴ সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর = ১৫ - ১০ = ৫

মূলধনের অনুপাত ২ঃ৩ঃ৫
অনুপাতের সমষ্টি = ২ + ২ + ৫
= ১০
∴ গ এর লাভ = ১৮৫০ × ৫/১০
= ৯২৫ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ২৫২০ এবং সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ১৬৮ হলে গ.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ গ.সা.গু = গুণফল/ল.সা.গু 
= ২৫২০/১৬৮
= ১৫

বৃদ্ধির হার = ৮% - ৩% = ৫%
এখন, ৫% = ৪০০
∴ ১০০% = (৪০০×১০০)/৫
= ৮০০০ জন

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য এবং ক্রয়মূল্যের পার্থক্য ২৪০ টাকা। একজন যদি ১৫% হারে লাভ করতে চায় তবে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
১৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১৫) টাকা = ১১৫ টাকা
∴ লাভ = (১১৫ - ১০০) = ১৫ টাকা

এখন,
১৫ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা
∴ ১ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫/১৫ টাকা
∴ ২৪০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = (২৪০ × ১১৫)/১৫) টাকা
= (৮০ × ২৩) টাকা = ১৮৪০ টাকা

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ১০ ইনিংস রানের গড় ৪৫.৫। ১১ তম ইনিংসে কত রান করে আউট হলে সব ইনিংসে মিলিয়ে তার রানের গড় ৫০ হবে? 

সমাধান: 
১০ ইনিংসের রানের গড় = ৪৫.৫
∴ ১০ ইনিংসের মোট রান = (১০ × ৪৫.৫)
= ৪৫৫ রান

আবার,
১১ ইনিংসের রানের গড় = ৫০.০
∴ ১১ ইনিংসের মোট রান = (১১ × ৫০.০)
= ৫৫০ রান

∴ ১১ তম ইনিংসের রান = (৫৫০ - ৪৫৫)
= ৯৫ রান ।

১ টি কলমের ক্রয় মূল্য (১০০/১০) = ১০ টাকা
১টি কলমের বিক্রয় মূল্য (১০০/৮) = ১২.৫ টাকা
সুতরাং, ১০ টাকায় লাভ হয় (১২.৫-১০) = ২.৫ টাকা
        ∴ ১০০ 〃    〃   〃 (২.৫×১০০)/১০ 〃
                               = ২৫ টাকা

Let the required time = T years
Then, (500×4×6.25)/100 = (400×5×T)/100
⇒ T = (500×4×6.25)/(400×5) years = 6(1/4) years

প্রশ্ন: একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ১৫ লিটার বেশি হয়, তবে পানির পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুধ : পানি = ৫ : ২

ধরি,
দুধের পরিমাণ = ৫ক লিটার
এবং পানির পরিমাণ = ২ক লিটার

শর্তমতে,
৫ক - ২ক = ১৫
বা, ৩ক = ১৫
বা, ক = ১৫/৩
∴ ক = ৫

∴ পানির পরিমাণ = ২ক = ২ × ৫ = ১০ লিটার।

প্রশ্ন: (১৮)^৭ কে সর্বনিম্ন কত দিয়ে গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
(১৮)^৭ 
= (২ × ৯)^৭
= (২ × ৩^২)^৭
= ২^৭ × ৩^১৪
কোনো সংখ্যার ঘাত জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
৩^১৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ।

কিন্তু ২^৭ এর ঘাত বিজোড় হওয়ায় সেটি পূর্ণবর্গ নয়।
তবে ২^৭ কে ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফল হবে,
(২^{৭ × ২})
= ২^৮ যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

অর্থাৎ (১৮)^৭ এর সাথে সর্বনিম্ন ২ দ্বারা গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে। 

প্রশ্ন: রাহুল ও সুমিতের বয়সের অনুপাত বর্তমানে 4 : 3। যদি রাহুলের বয়স 24 বছর হয়, কত বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 5 : 4 হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
রাহুল ও সুমিতের বয়সের অনুপাত 4 : 3
রাহুলের বয়স 24 বছর।

ধরি,
সুমিতের বয়স = x

শর্তানুসারে,
24 : x = 4 : 3
⇒ 24/x = 4/3
⇒ x = (24 × 3)/4 
∴ x = 18

আবার,
ধরি,
y বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 5 : 4 হবে।
শর্তানুসারে,
⇒ (24 + y) : (18 + y) = 5 : 4
⇒ (24 + y)/(18 + y) = 5/4
⇒ 90 + 5y = 96 + 4y
∴ y = 6

∴ 6 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 5 : 4 হবে। 

প্রশ্ন: হাসান ২৫% কমিশনে ৪৫০ টাকা দিয়ে একটি কলম সেট ক্রয় করলো। কলম সেটটির লিখিত মূল্য কত?

সমাধান:
২৫% কমিশনে,
কলম সেটটির ক্রয়মূল্য = (১০০ - ২৫) = ৭৫ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে লিখিত মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে লিখিত মূল্য = (১০০/৭৫) টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৪৫০ টাকা হলে লিখিত মূল্য = (১০০ × ৪৫০)/৭৫ = ৬০০ টাকা

∴ কলম সেটটির লিখিত মূল্য = ৬০০ টাকা।

প্রশ্ন: ঢাকা থেকে খুলনার দূরত্ব প্রায় ২২০ কিলোমিটার। একটি বাস ৪ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে খুলনা চলে আসলে বাসটির গড় গতিবেগ কত কিলোমিটার/ঘণ্টা।

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ২২০ কিলোমিটার
সময় = ৪ ঘণ্টা

বাসটির গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব)/(মোট সময়)
= ২২০/৪ 
= ৫৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা 

প্রশ্ন: যদি A অর্থ ÷, B অর্থ +, C অর্থ - এবং D অর্থ × হয়, তাহলে-
24 A 8 D 24 B 8 C 9 = ?

সমাধান:
24 A 8 D 24 B 8 C 9
= 24 ÷ 8 × 24 + 8 - 9
= 3 × 24 + 8 - 9
= 72 + 8 - 9
= 80 -  9
= 71

মোট পরীক্ষার্থী, n(S) = ১০০%
গণিতে পাশ, n(M) = ৭০%
বাংলায় পাশ, n(B) = ৮০%
গণিত এবং বাংলায় পাশ, n(M∩B) = ৭০%
গণিত অথবা বাংলায় পাশ, n(M∪B) = ?
আমরা জানি,
n(M∪B) = n(M) + n(B) - n(M∩B)
= ৭০% + ৮০% - ৭০%
= ৮০%
সুতরাং গণিত অথবা বাংলা দুটি বিষয়েই ফেল = ১০০% - ৮০%
= ২০%

সংখ্যাটি = (৩১ + ৫৫) / ২ = ৪৩

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ৩। ২০ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ২ : ১। ১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
পিতার বয়স ৫ক বছর
পুত্রের বয়স ৩ক বছর

শর্তমতে,
(৫ক - ২০) : (৩ক - ২০) = ২ : ১
বা, (৫ক - ২০)/(৩ক - ২০) = ২/১ 
বা, ৫ক - ২০ = ৬ক - ৪০ 
বা, - ক = - ৪০ + ২০ 
বা, ক = ২০ 

∴ পিতার বয়স ৫ × ২০ বছর = ১০০ বছর
∴ পুত্রের বয়স ৩ × ২০ বছর = ৬০ বছর

১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = ১০০ + ১০ : ৬০ + ১০ = ১১০ : ৭০
= ১১ : ৭

৫% হার সুদে ৯৫০ টাকার ৬ বছরের সুদ = ৯৫০ × ৬ × (৫/১০০)
= ২৮৫ টাকা
৬% হার সুদে,
৬ টাকা ১ বছরে সুদ হয় আসল = ১০০ টাকায়
১ টাকা ১ বছরে সুদ হয় আসল = ১০০/৬
২৮৫ টাকা ৫ বছরে সুদ হয় আসল = (২৮৫×১০০)/(৬×৫)
= ৯৫০ টাকা

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দু’জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশী লাগবে?

সমাধান: 
২ জন লোক কমে যাওয়ায় মোট লোক হয় =(৮ - ২)= ৬জন।

৮ জন লোক একটি কাজ করে = ১২ দিনে
১ জন লোক একটি কাজ করে = ৮ × ১২ দিনে
৬ জন লোক একটি কাজ করে = (৮ × ১২)/৬ দিনে
= ১৬

পূর্বের চেয়ে সময় বেশি লাগে =(১৬ - ১২) = ৪দিন

শতকরা সময় বেশি লাগে = {(৪/১২) × ১০০}% = (১০০/৩)% 

প্রশ্ন: ৪৫ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৪: ৫। মিশ্রণটিতে কী পরিমাণ দুধ মেশালে দুধ ও পানির অনুপাত ৩: ২ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুধ ও পানির অনুপাত ৪: ৫

মোট অংশ = (৪ + ৫) = ৯

∴ মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৪৫ × (৪/৯) লিটার = ২০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৪৫ × (৫/৯) লিটার = ২৫ লিটার

ধরি, দুধ মেশাতে হবে x লিটার

প্রশ্নমতে,
(২০ + x) : ২৫ = ৩ : ২
⇒ (২০ + x)/২৫ = ৩/২
⇒ ২(২০ + x) = ৩ × ২৫
⇒ ৪০ + ২x = ৭৫
⇒ ২x = ৭৫ - ৪০
⇒ ২x = ৩৫
⇒ x = ৩৫/২
⇒ x = ১৭.৫

∴ দুধ মেশাতে হবে ১৭.৫ লিটার।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৫৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ১০ হবে?

সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু.।
সুতরাং ১৬, ২৪, ৩৬ ও ৫৪ এর ল.সা.গু. এর সাথে ভাগশেষ ১০ (দশ) যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১৬ = ২^৪
২৪ = ২^৩ × ৩
৩৬ = ২^২ × ৩^২
৫৪ = ২ × ৩^৩

ল.সা.গু. = ২^৪ × ৩^৩
= ৪৩২

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু. + ভাগশেষ
= ৪৩২ + ১০
= ৪৪২

৫০ পয়সার ৫০ দিনের সুদ ৫০ পয়সা
‌৫০ পয়সার ১ দিনের সুদ ৫০/৫০ পয়সা = ১ পয়সা = ১/১০০ = ০.০১ টাকা।

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট?
 
সমাধান:
এখানে,
৩/৫ = ০.৬
এবং ৬/৭ = ০.৮৫৭

​৭/৮ = ০.৮৭৫
২/৩ = ০.৬৬৭
১/৩ = ০.৩৩৩
১/২ = ০.৫

উপরের মান গুলো হতে দেখা যায় যে, ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট ভগ্নাংশটি ২/৩।

ধরি,
গ.সা.গু. a
∴ ল.সা.গু. = ৩ × ৫ × a
= ১৮১৫
∴ a = ১২১

৩০ জন শ্রমিকের প্রয়োজন = ২০ দিন
১ জন শ্রমিকের প্রয়োজন = ২০×৩০ দিন
∴ ২০ জন শ্রমিকের প্রয়োজন = (২০×৩০)/২০
= ৩০ দিন

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ৮৫% পরীক্ষার্থী বাংলায় এবং ৬০% পরীক্ষার্থী বিজ্ঞানে পাশ করল। যদি ৫৫% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
বাংলায় পাশ = ৮৫%
বিজ্ঞানে পাশ = ৬০%
উভয় বিষয়ে পাশ = ৫৫%

∴ কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ = (৮৫ + ৬০ - ৫৫)% = ৯০%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল = ১০০ - ৯০ = ১০%

অতএব, ১০% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়েই ফেল করেছে।

প্রশ্ন: চার বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিলো পিতার বয়সের এক-সপ্তমাংশ। চার বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের তিনগুণ হলে পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স = ক বছর 
পুত্রের বর্তমান বয়স = খ বছর

প্রশ্নমতে,
(খ - ৪) = (ক - ৪)/৭
⇒ ৭(খ - ৪) = ক - ৪
⇒ ৭খ - ২৮ = ক - ৪
⇒ ক - ৭খ = - ২৮ + ৪
⇒ ক - ৭খ =  - ২৪ ....................... (১)

আবার,
৪ বছর পরে,
(ক + ৪) = ৩(খ + ৪)
⇒ ক + ৪ = ৩খ + ১২
⇒ ক - ৩খ =  ১২ - ৪
⇒ ক - ৩খ = ৮ ............ (২)

(১) নং সমীকরণ থেকে (২) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(ক - ৭খ) - (ক - ৩খ) = - ২৪ - ৮
⇒ ক - ৭খ - ক + ৩খ = - ৩২
⇒ - ৪খ = - ৩২
⇒ খ = (- ৩২)/(- ৪)
⇒ খ = ৮

খ এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ক - (৩ × ৮) = ৮
⇒ ক - ২৪ = ৮ 
⇒ ক = ৮ + ২৪
⇒ ক = ৩২

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৩২ বছর 

প্রশ্ন: যদি P একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে (5P + 6) থেকে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা এবং (3P + 13) থেকে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যার পার্থক্য কত?
সমাধান:
5P + 6 এর চেয়ে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা = 5P + 6 + 2 = 5P + 8
 3P + 13 এর চেয়ে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যা = 3P + 13 -1 = 3P + 12

∴ পার্থক্য = 5P + 8 - (3P + 12)
= 5P + 8 - 3P - 12
= 2P - 4