পাটিগণিত

প্রশ্নঃ কফির মূল্য 20% বৃদ্ধি পেল, একই সাথে কফির ব্যবহারও 20% বৃদ্ধি পেল। তাহলে কফি বাবদ ব্যয় শতকরা কত বৃদ্ধি পেল?

সমাধানঃ
মনে করি, কফির পূর্বমূল্য= 100 টাকা

20% বৃদ্ধিতে কফির মূল্য = (100 + 20) টাকা = 120 টাকা

তাহলে,
100 টাকার স্থলে কফির ব্যবহার হবে 120 টাকার
∴ 1 টাকার স্থলে কফির ব্যবহার হবে (120/100) টাকার
∴ 120 টাকার স্থলে কফির ব্যবহার হবে (120 × 120) /100 = 144 টাকার

কফি বাবদ ব্যয় শতকরা কত বৃদ্ধি পেল = (144 - 100) টাকা = 44 টাকা

প্রশ্ন: ১২ এর কত শতাংশ ১৮ হবে?

সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী,
১২ এর ক% = ১৮
⇒ (ক/১০০) × ১২ = ১৮ 
⇒ ক = (১০০ × ১৮) / ১২
ক = ১৫০% 

∴ ১২ এর ১৫০% হলো ১৮

প্রশ্ন: একটি মোটর গাড়ি এবং একটি টেলিভিশনের দামের অনুপাত 7 : 4 । যদি টেলিভিশনের চাইতে মোটর গাড়ির দাম 6000 টাকা বেশি হয় তাহলে টেলিভিশনের দাম কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি মোটর গাড়ি এবং একটি টেলিভিশনের দামের অনুপাত 7 : 4
টেলিভিশনের চাইতে মোটর গাড়ির দাম 6000 টাকা বেশি

ধরি,
মোটর গাড়ির দাম = 7x টাকা
টেলিভিশনের দাম = 4x টাকা

প্রশ্নানুযায়ী,
 7x − 4x = 6000
বা, 3x = 6000
বা, x = 6000/3 = 2000 টাকা

এখন, টেলিভিশনের দাম = 4x = (4 × 2000) = 8000 টাকা

প্রশ্ন: ৬ জন লোক একটি কাজ ১৬ দিনে করতে পারে। ২ জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশি সময় লাগবে?

সমাধান:
এখানে, M₁ = ৬, M₂ = (৬ - ২) = ৪, D₁ = ১৬ , W₁ = W₂ = ১

∴ (M₁ × D₁)/(M₂ × D₂) = W₁/W₂
⇒ (৬ × ১৬)/(৪ × D₂) = ১
⇒ ২৪/D₂ = ১ 
⇒ D₂ = ২৪ 

∴ অতিরিক্ত সময় লাগবে (২৪ - ১৬) দিন 
= ৮ দিন

∴ শতকরা সময় বেশি লাগবে = {(৮/১৬) × ১০০}%
= {(১/২) × ১০০}% 
= ৫০%

৫/৩ এর ১/৫ ÷ ১/৯
= ৫/৩ এর ১/৫ ÷ ১/৯
= ১/৩ ÷ ১/৯
= ১/৩ ÷ ৯/১
= ৩

প্রশ্ন: - (- ২) - ২ + (- ২) - {- (২)} - ২ + ২ - (- ২) = ?

সমাধান:
- (- ২) - ২ + (- ২) - {- (২)} - ২ + ২ - (- ২)
= ২ - ২ - ২ + ২ - ২ + ২ + ২
= ২ + ২ + ২ + ২ - ২ - ২ - ২
= ৮ - ৬
= ২

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ৬০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। দুই বছর শেষে ঐ ব্যক্তি সুদসহ কত টাকা পাবেন?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৬০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C =?

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P (১ + r)ⁿ
= ৬০০ × (১ + ১০%)^২
= ৬০০ × (১ + ১০/১০০)^২
= ৬০০ × (১ + ১/১০)^২
= ৬০০ × {(১০ + ১)/১০}^২
= ৬০০ × (১১/১০)^২
= ৬০০ × ১১/১০ × ১১/১০
= ৭২৬ টাকা

∴ সুদসহ পাবেন = ৭২৬ টাকা।

ধরি, ক্রয়মূল্য = a টাকা,
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ৯০a/১০০ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০৫a/১০০ টাকা
∴ ১০৫a/১০০ - ৯০a/১০০ = ৩০
বা, (১০৫a - ৯০a)/১০০ = ৩০
বা, ১৫a/১০০ = ৩০
∴ a = ২০০ টাকা

এখানে,
৫১ঃ৬৮ = ৫১/৬৮
= (৫১ × ১০০/৬৮)%
= ৭৫%

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু ১৮০ হলে সংখ্যা দুটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি ৩ক ও ৪ক 
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১২ক 

শর্তমতে, 
১২ক = ১৮০ 
বা, ক = ১৮০/১২ 
∴ ক = ১৫ 
সুতরাং, ৩ক = ৩ × ১৫ = ৪৫
৪ক = ৪ × ১৫ = ৬০ 

∴ সংখ্যা দুটি = ৪৫ ও ৬০ ।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ, সা, গু, অন্তর ও ল, সা, গু যথাক্রমে ১২, ২৪ ও ১৮০ হলে  সংখ্যা দুটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
গ.সা.গু = ১২
ল.সা.গু = ১৮০
দুটি সংখ্যার অন্তর = ২৪

আমরা জানি, 
 দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
= ১২ × ১৮০
= ২১৬০ 

ধরি, সংখ্যা দুটি  ১২x এবং ১২y  ;  [যেখানে x ও y সহমৌলিক]

শর্তমতে, 
১২x × ১২y = ২১৬০
⇒ ১৪৪xy = ২১৬০
⇒ xy = ২১৬০/১৪৪ 
∴ xy = ১৫ ......(১) 

আবার, সংখ্যাটির অন্তরফল = ২৪ 
১২y - ১২x = ২৪ 
⇒ ১২(y - x) = ২৪ 
⇒ y - x = ২৪/১২ 
⇒ y - x = ২ 
∴ y = ২ + x .........(২) 

(১) নং হতে পাই, 
xy = ১৫
⇒ x(২ + x) = ১৫ 
⇒ x^২ + ২x - ১৫ = ০ 
⇒ x^২ + ৫x - ৩x - ১৫ = ০ 
⇒ x(x + ৫) - ৩(x + ৫) = ০ 
⇒ (x + ৫)(x - ৩) = ০ 

∴ x = - ৫ এবং x = ৩ 

(২) নং হতে পাই,
∴y = ২ + x = ২ + ৩ = ৫ 

∴ সংখ্যা দুটি = ১২ × ৩ = ৩৬ এবং ১২  × ৫ = ৬০ 
সুতরাং, সংখ্যা দুটি = ৩৬ এবং ৬০

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় শতকরা ৮৫ জন গণিতে পাস করেছে। গণিতে ফেলের মোট সংখ্যা ৭৫ জন হলে, পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
১০০ জনে ফেল করে = (১০০ - ৮৫) জন 
= ১৫ জন 

১৫ জন গণিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = ১০০ জন 
∴ ১ জন গণিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = ১০০/১৫ জন 
∴ ৭৫ জন গণিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = (১০০ × ৭৫)/১৫ জন 
= ৫০০ জন 

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫০০ জন ।

প্রশ্ন: ১ থেকে ১২ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১২ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১ 
∴ গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১ 
= ৬ × ৩৫ × ১১ 
= ২৩১০ ।

প্রশ্ন: ০.২ × ৪.২৫ × ৬.৪ = ?

সমাধান:
০.২ × ৪.২৫ × ৬.৪
= (২/১০) × (৪২৫/১০০) × (৬৪/১০)
= (২ × ৪২৫ × ৬৪) ÷ (১০ × ১০০ × ১০)
= ৫৪৪০০ ÷ ১০০০০
= ৫.৪৪

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৮ ও ৩২ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ৮ 
৩য় রাশি = ৩২ 

আমরা জানি, 
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি 
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ৮ × ৩২
⇒ মধ্য রাশি = √২৫৬
∴ মধ্য রাশি = ১৬ 

ধরি, সংখ্যা দুটি x ও y
প্রশ্নমতে, x²+y² = 85 এবং xy = 42
সূত্রানুসারে,
x²-y² = √{(x²+y²)² - 4x²y²}
⇒ x²-y² = √{(85)² - 4(42)²}
⇒ x²-y² = √(7225- 4×1764)
⇒ x²-y² = √(7225 -7056)
⇒ x²-y² = √169
∴ x²-y² = 13

প্রশ্ন: আলী ২০% কমিশনে একটি বই ক্রয় করে দোকানদারকে ১৬০ টাকা দিলো। বইটির প্রকৃত মূল্য কত?

সমাধান:
২০% কমিশনে ক্রয়মূল্য দাড়ায় = (১০০ - ২০) টাকা
= ৮০ টাকা

বইয়ের ক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = ১০০ টাকা 
বইয়ের ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = ১০০/৮০ টাকা
বইয়ের ক্রয়মূল্য ১৬০ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = (১০০ × ১৬০)/৮০ টাকা 
= ২০০ টাকা

সুতরাং, বইটির প্রকৃত মূল্য ২০০ টাকা

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়?

সমাধান:
প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে প্রকাশ করি:

৫/৮ = ০.৬২৫
২/৩ = ০.৬৬৬........
৩/৪ = ০.৭৫
৭/৮ = ০.৮৭৫

∴ তুলনা করলে দেখা যায়,
৭/৮ >  ৩/৪  > ২/৩ > ৫/৮

∴ ৭/৮ ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়।

প্রশ্নঃ ৯০ লিটার দুধের মিশ্রণে আগে থেকেই ১০ লিটার পানি মিশানো আছে, দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২ করতে চাইলে আরও কত লিটার পানি মিশানো যাবে?

সমাধানঃ
মোট মিশ্রণ = ৯০ লিটার
মিশ্রণে পানি = ১০ লিটার
নতুন দুধ : পানি অনুপাত = ৫ : ২

মোট মিশ্রণে দুধ আছে = ৯০ - ১০
= ৮০ লিটার

নতুন অনুপাত,
৮০/নতুন পানি = ৫/২
⇒ ১৬০ = ৫ × নতুন পানি
⇒ নতুন পানি = ১৬০ / ৫
= ৩২ লিটার

∴ আরও পানি মিশানোর পরিমাণ (৩২ - ১০) লিটার
= ২২ লিটার

প্রতি তরমুজে লাভ = ৮০ - ৭৫ = ৫ টাকা
∴ মোট তরমুজ সংখ্যা = ৫০০/৫ = ১০০ টি

প্রশ্ন:


সমাধান: 

।x + 5। = 3
x + 5 = 3
x = -2
আবার, -(x + 5) = 3
x = - 8
এবং
।2y -1।/3 = 5
2y = 15 + 1
y = 8
আবার,
-(2y - 1)/3 = 5
2y = -14
y = -7
∴ x = - 2, y = 8 হলে ।x + y। = 6
x = - 2, y = - 7 হলে ।x + y। = 9
x = - 8, y = 8 হলে ।x + y। = 0
x = - 8, y = -7 হলে ।x + y। = 15
8 হওয়া সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: 3A = 2B ; 3B = 5C এবং 4C = 5D হলে, A : B : C : D = কত?

সমাধান:
3A = 2B
A/B = 2/3
A : B = 2 : 3

3B = 5C
B/C = 5/3
B : C = 5 : 3

4C = 5D
C/D =5/4
C : D = 5 : 4 

A : B = 2 : 3 = 10 : 15
B : C = 5 : 3 = 15 : 9
A : B : C = 10 : 15 : 9

B : C = 5 : 3 = 25 : 15
C : D = 5 : 4 = 15 : 12
B : C : D = 25 : 15 : 12

A : B : C = 10 : 15 : 9 = 50 : 75 : 45
B : C : D = 25 : 15 : 12 = 75 : 45 : 36
 A : B : C : D = 50 : 75 : 45 : 36

100 জন শিক্ষার্থীর মোট ওজন = (100 × 48) = 4800 কেজি।
60 জন ছাত্রের মোট ওজন = (60 × 50) = 3000 কেজি।
সুতরাং, 40 জন ছাত্রীর মোট ওজন = (4800 - 3000) = 1800 কেজি।

∴ ছাত্রীদের গড় ওজন = 1800/40 = 45 কেজি।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়-
p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.

ক) ০.১২
০.১২ = ১২/১০০ = ৩/২৫
এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √৭২
√৭২ = √(36×2) = 6√2
√2 অমূলদ সংখ্যা, তাই 6√2  অমূলদ সংখ্যা।
গ) √৪৯
√৪৯ = ৭
এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √২৫
√২৫ = ৫
এটিও একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

ধরি সংখ্যাটি = x
শর্তমতে,
3.5 x (560 - x) = x - 380
⇒1960 - 3.5x = x - 380
⇒ 4.5x = 2340
∴ x = 520

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল তাদের বিয়োগফলের ৪ গুণ। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,সংখ্যা দুইটি ক এবং খ
যোগফল = ক + খ 
বিয়োগফল = ক - খ 

প্রশ্নমতে,
 ক + খ = ৪ (ক - খ)
বা, ক + খ = ৪ক - ৪খ 
বা, ৩ক = ৫খ 
বা, ক/খ = ৫/৩
= ৫ : ৩

∴ সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৫ : ৩

প্রশ্ন: একই হার মুনাফায় কোনো মূলধনের এক বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৯৬০ টাকা ও দুই বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন ১০০৮ টাকা হলে, মুনাফার হার কত?

সমাধান:
মনেকরি,
মুনাফার হার = r%

প্রশ্নমতে,
P(১ + r/১০০)^১ = ৯৬০ ............(১)
P(১ + r/১০০)^২ = ১০০৮ ..........(২)

(২) ÷ (১) ⇒
(1 + r/১০০) = ১০০৮/৯৬০
⇒ r/১০০ = (১০০৮/৯৬০) - ১
⇒ r/১০০ = (১০০৮ - ৯৬০)/৯৬০
⇒ r/১০০ = ৪৮/৯৬০
⇒ r/১০০ = ১/২০
⇒ r = ১০০/২০
∴ r = ৫

∴ মুনাফা হার ৫%

প্রশ্ন: ৬০ গ্যালন অকটেন মিশ্রিত পেট্রোলে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৩ : ১। এতে আর কত অকটেন মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৫ : ২ হবে?

সমাধান:
পেট্রোল ∶ অকটেন = ৩ ∶ ১
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪

∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৬০ এর ৩/৪ = ৪৫ গ্যালন
∴ অকটেনের পরিমাণ = ৬০ এর ১/৪ = ১৫ গ্যালন

মনেকরি
অকটেন মেশাতে হবে ক গ্যালন 

প্রশ্নমতে, 
৪৫ : (১৫ + ক) = ৫ : ২ 
⇒ ৪৫/ (১৫ + ক) = ৫/২ 
⇒ ৭৫ + ৫ক = ৯০ 
⇒ ৫ক = ৯০ - ৭৫
⇒ ৫ক = ১৫ 
∴ ক = ৩ 

সুতরাং, ৩ গ্যালন অকটেন আরও মিশালে অনুপাত ৫ : ২ হবে।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৯, ১২, ১৮ এবং ৩০ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৯, ১২, ১৮ এবং ৩০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি,
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫

যেহেতু ছাত্রদেরকে বর্গের আকারে সাজানো যায় তাই ল.সা.গু এর সাথে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ২ × ২ × ৩ × ৩ x ৫ × ৫ = ৯০০ জন

60 = 5 × 12
= 5 × 4 × 3
= 3 × 4 × 5
∴ বৃহত্তম সংখ্যা + ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 5 + 3 = 8