পাটিগণিত

Sum of marks in 4 subjects = 75×4 = 300
Sum of marks in 5 subjects = 300+80 = 380
∴ New average = 380/5 = 76

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণের ওজন ৪৮ গ্রাম। এতে রূপা ও তামার অনুপাত ৫ : ৩। কত গ্রাম রূপা যোগ করলে অনুপাত ৭ : ৩ হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রূপা ও তামার অনুপাত ৫ : ৩ 
∴ অনুপাত দুটির যোগফল = (৫ + ৩) = ৮  
∴ অনুপাতে রূপার পরিমাণ = ৪৮ × (৫/৮) গ্রাম = ৩০ গ্রাম 
∴ অনুপাতে তামার পরিমাণ = ৪৮ × (৩/৮) গ্রাম = ১৮ গ্রাম 

ধরি, 
রূপা মিশাতে হবে = ক গ্রাম 

শর্তমতে, 
(৩০ + ক)/১৮ = ৭/৩  
⇒ ৯০ + ৩ক = ৭ × ১৮
⇒ ৩ক  = ১২৬ - ৯০ 
⇒ ৩ক = ৩৬ 
⇒ ক = ৩৬/৩ 
∴ ক = ১২ 

∴ রূপা মিশাতে হবে ১২ গ্রাম। 

প্রশ্ন: সিয়াম প্রতি ডজন ৩৬০ টাকা দরে ​​১০ ডজন খেলনা কিনেছিল। সে প্রতিটি খেলনা ৩৬ টাকা দরে ​​বিক্রি করলে তার শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান: 
একটি খেলনার বিক্রয়মূল্য = ৩৬ টাকা 
একটি খেলনার ক্রয়মূল্য = ৩৬০/১২ = ৩০ টাকা

∴ লাভ = (৩৬ - ৩০) টাকা
= ৬ টাকা

অতএব, শতকরা লাভ = [(৬/৩০) × ১০০]%
= ২০% 

বাঁশের দৈর্ঘ্য x ফুট হলে, x/2 + x/3 + 4 = x
(3x + 2x + 24)/6 = x
5x - 6x = -24
x = 24

৩০ মিনিটে বা ১/২ ঘন্টায় লঞ্চটি যায় ১৫ মাইল
∴ ১ ঘন্টায় লঞ্চটি যায় ১৫ × ২ = ৩০ মাইল
ঘন্টায় লঞ্চটির গড় গতিবেগ = ৩০ মাইল

0.3
√0.3 = 0.55
1/3 = 0.33
2/5 = 0.40

So, √0.3 is the biggest number

৮ জনে আয় করে ৫ দিনে
১ জনে আয় করে ৮ × ৫ দিনে
∴ ১০ জনে আয় করে (৫ × ৮) / ১০
= ৪ দিনে

প্রশ্ন: ১০% হার মুনাফায় ৫,০০০ টাকায় ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
এখানে, মূলধন, P = ৫০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৫০০০ × (১ + ১/১০)^২
= ৫০০০ × (১১/১০)^২
= ৫০০০ × ১১/১০ × ১১/১০
= ৫০০০ × ১২১/১০০
= ৬,০৫০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ২/৫ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ৮ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার।

কাদায় আছে = ক এর ২/৫ = ২ক/৫ মিটার
পানিতে আছে = ক এর ১/৩ = ক/৩ মিটার

∴ খুঁটিটির কাদায় ও পানিতে মোট আছে = (২ক/৫) + (ক/৩) মিটার
= (৬ক + ৫ক)/১৫ মিটার
= ১১ক/১৫ মিটার

∴ পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = ক - (১১ক/১৫) মিটার
= (১৫ক - ১১ক)/১৫ মিটার
= ৪ক/১৫ মিটার

প্রশ্নমতে, পানির উপরে অবশিষ্ট অংশ ৮ মিটার।
∴ ৪ক/১৫ = ৮
⇒ ৪ক = ৮ × ১৫
⇒ ৪ক = ১২০
⇒ ক = ৩০

∴ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার।

x² - 8x - 8y + 16 + y²
= (x + y - 4)² - 2xy

∴ প্রদত্ত রাশি থেকে -2xy বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণ বর্গ হবে।

১ টির ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
১ টিতে লাভ হয় ১/২-১/৩=১/৬টাকা
১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৩×১০০)/৬= ৫০ টাকা=৫০%

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ১২ মিনিট, ১৫ মিনিট ও ১৮ মিনিট অন্তর অন্তর বাজে। সকাল ৭ : ৩০ মিনিটে তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ১২ মিনিট ১৫ মিনিট ও ১৮ মিনিট অন্তর অন্তর বাজে।
সকাল ৭ : ৩০ মিনিটে তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজে।

∴ ১২, ১৫ ও ১৮ এর ল.সা.গু হবে ঘণ্টা তিনটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।

১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
১৮ = ২ × ৩ × ৩

∴ ১২, ১৫ ও ১৮ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০

তাহলে,
ঘণ্টাগুলো ১৮০ মিনিট (১৮০ ÷ ৬০) বা ৩ ঘণ্টা পর পুনরায় একত্রে বাজবে।

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = (৭ : ৩০ মিনিট + ৩ : ০০ মিনিট) =  সকাল ১০ : ৩০ মিনিট

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৫ ও ৪৫ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ৫
৩য় রাশি = ৪৫

আমরা জানি,
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ৫ × ৪৫
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ২২৫
⇒ মধ্য রাশি = √২২৫
∴ মধ্য রাশি = ১৫

প্রশ্ন: ৩০০ থেকে ৪০০ এর মধ্যে কয়টি সংখ্যা তিন দিয়ে বিভাজ্য?

সমাধান:
৩০০ থেকে ৪০০ এর মধ্যে সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য:

ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা ≥ ৩০০ যা ৩: ৩০০ দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু ৩০০ ÷ ৩ = ১০০)

এবং, 
বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা ≤ ৪০০ যা ৩: ৩৯৯ দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু ৩৯৯ ÷ ৩ = ১৩৩)।
এগুলো পাটিগণিত ক্রম গঠন করে ৩০০, ৩০৩, ..., ৩৯৯ যার সাধারণ পার্থক্য ৩।

∴ তিন দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে = (১৩৩ - ১০০) + ১ = ৩৩ + ১ = ৩৪ টি 

∴ ৩০০ থেকে ৪০০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য ৩৪টি সংখ্যা আছে।

অথবা, 
n দ্বারা প্রদত্ত পদ n এর সংখ্যা = ((শেষ - প্রথম)/পার্থক্য) + ১ = ((৩৯৯ - ৩০০)/৩) + ১ = (৯৯/৩) + ১ = ৩৩ + ১ = ৩৪ ।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৭২ কিলোমিটার গতিতে একটি সেতু ৬০ সেকেন্ডে পার হয়। ট্রেনের দৈর্ঘ্য ৭০০ মিটার হলে সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার? 

সমাধান:
সেতুটি ৬০ সেকেন্ডে অতিক্রম করতে হলে ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য ও প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য ৬০ সেকেন্ডে অতিক্রম করতে হবে। 
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার 
∴ ৭২ কিলোমিটার = ৭২০০০ মিটার 

ট্রেনটি ৬০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৭২০০০ মিটার 
∴ ট্রেনটি ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৭২০০০/৬০ মিটার 
 = ১২০০ মিটার 

∴ সেতুটির দৈর্ঘ্য = (১২০০ - ৭০০) মিটার 
= ৫০০ মিটার  ।

ধরি, স্থান দুটির দুরত্ব = ক
যাবার সময় ৪ কি.মি. যায় ১ ঘণ্টায়
∴ যাবার সময় ক কি.মি. যায় ক/৪ ঘণ্টায়
তদ্রুপ আসার সময় ক কি.মি. আসে ক/৫ ঘণ্টায়
প্রশ্নমতে,
ক/৪ - ক/৫ = ১/২
বা, (৫ক - ৪ক)/২০ = ১/২
বা, ক/২০ = ১/২
∴ ক = ১০ কি. মি

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৪০ জন ছাত্রের ৩০ দিনের খাবার আছে। ৫ দিন পর আরও ১০ জন ছাত্র আসলে অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের কত দিন চলবে? 

সমাধান: 
অবশিষ্ট দিন থাকে = (৩০ - ৫) দিন 
= ২৫ দিন 
মোট লোক = (৪০ + ১০) জন 
= ৫০ জন 

এখন,
৪০ জন ছাত্রের খাবার আছে = ২৫ দিনের 
∴ ১ জন ছাত্রের খাবার আছে = (৪০ × ২৫) দিনের 
∴ ৫০ জন ছাত্রের খাবার আছে = (৪০ × ২৫)/৫০ দিনের 
= ২০ দিনের 

∴ অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ২০ দিন চলবে।

প্রশ্ন: এক বর্গকিলোমিটার কত বর্গমিটারের সমান হয়?

সমাধান:
আমরা জানি, 
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার
∴ ১ বর্গকিলোমিটার = (১ কিলোমিটার) × (১ কিলোমিটার)
= (১০০০ × ১০০০) মিটার
= ১০,০০,০০০ বর্গমিটার
= ১০ লক্ষ বর্গমিটার

যে বাস্তব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
আবার অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
এখানে,
³√8
= ³√2³
= 2 ; যা একটি মূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন: যদি 'ক' এবং 'খ' উভয়ই জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক = ৪, খ = ৬ (উভয় জোড়)

ক) ৪ + ২ × ৬ = ১৬ → জোড়

খ) ৪ × ৬ + ১ = ২৫ → বিজোড়

গ) ৪ + ৬ = ১০ → জোড়

ঘ) ২ × ৪ + ৬ = ১৪ → জোড়

সুতরাং, কখ + ১ অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে। 

প্রশ্ন: ফারিহা বার্ষিক পরীক্ষায় ৭০% নম্বর পেয়েছে। পরীক্ষায় মোট নম্বর ৭০০ হলে, ফারিহা পরীক্ষায় মোট কত নম্বর পেয়েছে?

সমাধান:
ফারিহার প্রাপ্ত নম্বর = ৭০০ এর ৭০%
= ৭০০ × (৭০/১০০)
= ৪৯০

∴ ফারিহার প্রাপ্ত নম্বর ৪৯০

প্রশ্ন: একটি বইয়ের ৩/৮ অংশ পড়তে ৪৫ মিনিট লাগে। বাকি অংশ পড়তে কত মিনিট লাগবে?

সমাধান:
বইয়ের ৩/৮ অংশ পড়তে সময় লাগে = ৪৫ মিনিট
∴ ১ বা পুরো অংশ পড়তে সময় লাগবে = ৪৫ × (৮/৩) মিনিট
= (১৫ × ৮) মিনিট
= ১২০ মিনিট

∴ বাকি অংশ = পুরো বই - ৩/৮ অংশ = ১ - (৩/৮) = (৮ - ৩)/৮ = ৫/৮ অংশ

∴ ৫/৮ অংশ পড়তে সময় লাগবে = ১২০ × (৫/৮) মিনিট
= (১৫ × ৫) মিনিট
= ৭৫ মিনিট

সুতরাং বাকি অংশ পড়তে ৭৫ মিনিট লাগবে।

৪৯/১২১ এর বর্গ মূল = √(৪৯/১২১) = ৭/১১

প্রশ্ন: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা ৪১ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০ 
∴ ৪১) ১০০০০(২৪৩
            ৮২
     ______________
            ১৮০
            ১৬৪
    _______________
               ১৬০
               ১২৩
   _______________
                 ৩৭

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (১০০০০ - ৩৭) + ৪১
= ১০০০৪ ।

শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (১৮ - ১২)%
= ৬%
শুধু গণিতে ফেল করে = (১৫ - ১২)%
= ৩%
ইংরেজি, গণিত এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = (৬ + ৩ + ১২)%
= ২১%
∴ উভয় বিষয়ে পাস করে = (১০০ - ২১)%
= ৭৯%

একটি কারখানায় ৫ দিনে ২৪৫০ টি মোটরসাইকেল তৈরি হয়
তাহলে সেই কারখানায় ১ দিনে তৈরি হয় ২৪৫০/৫ = ৪৯০ টি
∴ ৪ সপ্তাহ বা ২৮ দিনে তৈরি হবে = ২৮ × ৪৯০ = ১৩৭২০ টি

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা টাকায় ২ টি কলা ক্রয় করে ৪ টাকায় ৫ টি কলা বিক্রয় করল। তার শতকরা লাভ কত?

সমাধান: 
ধরি, ফল বিক্রেতা ১০০ টি কলা ক্রয় করেছেন।

২ টি কলার ক্রয় মূল্য ১ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয় মূল্য (১/২) টাকা
∴ ১০০ টি কলার ক্রয় মূল্য (১০০/২) টাকা = ৫০ টাকা 

৫ টি কলার বিক্রয় মূল্য ৪ টাকা
∴ ১ টি কলার বিক্রয় মূল্য (৪/৫) টাকা
∴ ১০০ টি কলার বিক্রয় মূল্য {(১০০ × ৪)/৫} টাকা = ৮০ টাকা 

∴ লাভ = ৮০ - ৫০ = ৩০ টাকা 

৫০ টাকায় লাভ হয় ৩০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় (৩০/৫০) টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় {(১০০ × ৩০)/৫০} টাকা = ৬০ টাকা

প্রশ্ন: ১৮টি আমের ক্রয়মূল্য যদি ২৪টি আমের বিক্রয়মূল্যের সমান হয়, তাহলে শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
১৮টি আমের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

আবার,
২৪টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ১টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১০০/২৪ টাকা
∴ ১৮টি আমের বিক্রয়মূল্য = (১০০ × ১৮)/২৪ টাকা
= ৭৫ টাকা 

শতকরা ক্ষতি = ১০০ - ৭৫ টাকা
= ২৫ টাকা

∴ শতকরা ২৫% ক্ষতি হয়।

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের চারগুণ। পাঁচ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৭ : ১। পাঁচ বছর পর পিতা পুত্রের বয়সের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক
পিতার বর্তমান বয়স = ৪ক

প্রশ্নমতে,
৪ক - ৫ : ক - ৫ = ৭ : ১
বা, ৭ক - ৩৫ = ৪ক - ৫
বা, ৩ক = ৩০
∴ ক = ১০

পুত্রের বর্তমান বয়স = ১০ বছর
পিতার বর্তমান বয়স = (৪ × ১০) = ৪০ বছর

পাঁচ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = ৪৫ : ১৫ = ৩ : ১

ধরি, সংখ্যাটি x
∴ x × 125% = 100 
⇒ 125x/100 = 100
⇒ x = 100×100/125 = 80

ধরি, সংখ্যা দুইটি 9x ও 5x
প্রশ্নমতে,
9x - 5x = 44
⇒ 4x = 44
∴ x = 11
∴ সংখ্যা দুইটি (9×11) = 99 এবং, (5×11) = 55
∴ বড় সংখ্যাটি 99

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার যোগফল ৫২০। এদের প্রথম চারটির গড় ৪৮ এবং শেষ পাঁচটির গড় ৩৮ হলে, পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
পঞ্চম সংখ্যাটি = ৫২০ - {(৪৮ × ৪) + (৩৮ × ৫)}
= ৫২০ - (১৯২ + ১৯০)
= ৫২০ - ৩৮২
= ১৩৮