পাটিগণিত

১) ১.৯৮ = ১.৯৮
২) ৩ এর ৬০% = ৩ X ০.৬ = ১.৮
৩) √৩ = ১.৭৩
সুতরাং মানের উর্ধবক্রমানুসারে সাজালে পাই, √৩, ৩ এর ৬০%, ১.৯৮।

প্রশ্ন: B-এর বয়স A-এর দ্বিগুণ, কিন্তু E-এর বয়সের অর্ধেক। C-এর বয়স A-এর অর্ধেক, কিন্তু D-এর বয়সের দ্বিগুণ। সবচেয়ে বেশী বয়স্ক কে?

সমাধান:
ধরি, A = x
তাহলে, B = 2x
এবং B হলো E-এর বয়সের অর্ধেক
 ∴ E = 4x
আবার, C = x/2
এবং C হলো D-এর বয়সের দ্বিগুণ
 ∴ D = x/4

∴ সবচেয়ে বেশী বয়স্ক হচ্ছে E

৯ মাস পর পানির বিল = ৭২০ + (৭২০ এর ২০%) = ৮৬৪ টাকা
আরও ১৫ মাস পর পানির বিল হবে = ৮৬৪ + ৮৬৪ এর ২৫% = ১০৮০ টাকা
অতএব, ২ বছর পর আপনার মাসিক বিল ১০৮০ টাকাই থাকবে।

সরল সুদ, I = Pnr = (৬০০০ × ২ × ১০/১০০) = ১২০০
চক্রবৃদ্ধি সুদাসল C = P (১ + (r/১০০))ⁿ
= ৬০০০ (১ + (১০/১০০))^২
= ৬০০০ × ১১০/১০০ × ১১০/১০০
= ৭২৬০
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ = ৭২৬০ - ৬০০০ = ১২৬০
∴ সুদের পার্থক্য = ১২৬০ - ১২০০ = ৬০ টাকা

(x - 1)(x² + x + 1) = x³ - 1 
∴ বিয়োগফল = x³ - 1 - x³
= -1

এখানে, ক × ২/১০০ = ০.০৩
বা, ২ক = ৩
বা, ক = ৩/২
বা, ক = ১.৫

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে নৌকা চালিয়ে ৪ ঘণ্টায় ৪৮ কি.মি যান। যদি নদীতে স্রোতের বেগ ২ কিমি/ঘণ্টা হয়, তাহলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৪৮ কি.মি
সময় = ৪ ঘণ্টা 

∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = দূরত্ব/সময় = ৪৮/৪ = ১২ কি.মি/ঘণ্টা 

আমরা জানি,
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = স্থির পানিতে নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ 
বা, স্থির পানিতে নৌকার বেগ = স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ
= (১২ কি.মি/ঘন্টা + ২ কি.মি/ঘন্টা)
= ১৪ কি.মি/ঘন্টা

প্রশ্ন: কোনো আসল ৪ বছরে সুদে-আসলে ৫৬০ টাকা এবং ৬ বছরে সুদে-আসলে ৬৪০ টাকা হয়। সুদের শতকরা হার কত?

সমাধান:
৬ বছরের সুদ + আসল = ৬৪০ টাকা
৪ বছরে সুদ + আসল = ৫৬০ টাকা
_{‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾}
২ বছরের সুদ = ৮০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ৮০/২ = ৪০ টাকা
∴ ৪ বছরের সুদ = ৪০ × ৪ = ১৬০ টাকা

∴ আসল, P = ৫৬০ - ১৬০ = ৪০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
বা, r = (I × ১০০)/(P × n)
বা, r = (১৬০ × ১০০)/(৪০০ × ৪)
বা, r = ১৬০০০/১৬০০
∴ r = ১০%

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ২৮ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
ক ও খ একত্রে ১২ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ 
ক ও খ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজের ১/১২ অংশ 

ক একা ২৮ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ
ক একা ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/২৮ অংশ

খ একা ১ দিনে করতে পারবে = (১/১২ - ১/২৮) অংশ
= (৭ - ৩)/৮৪ অংশ 
= ৪/৮৪ অংশ
= ১/২১ অংশ

খ একা ১/২১ অংশ করতে পারে ১ দিনে 
∴ খ একা সম্পূর্ণ অংশ করতে পারে ২১ দিনে 

অপু ৬ দিনে করে ১ অংশ কাজ
∴ সে ১ দিনে করে ১/৬ অংশ কাজ
দীপু ১০ দিনে করে ১ অংশ কাজ
∴ সে ১ দিনে করে ১/১০ অংশ কাজ
দীপু ১৫ দিনে করে ১ অংশ কাজ
∴ সে ১ দিনে করে ১/১৫ অংশ কাজ
অর্থাৎ তারা একত্রে ১ দিনে করে = ১/৬ + ১/১০ + ১/১৫ অংশ কাজ।
= (৫ + ৩ + ২) / ৩০ অংশ কাজ।
= ১০/৩০ অংশ কাজ।
= ১/৩ অংশ কাজ।
সুতরাং তারা একত্রে সম্পূর্ণ কাজটি করতে পারবে = (১ x ৩)/১ দিনে।
= ৩ দিনে।

মনে করি,সংখ্যাটি = x 
প্রশ্নমতে, x-৫০১=৫৮১-x বা,২x=১০৮২
সুতরাং, x=৫৪১

প্রশ্ন: ৩ এবং ২৭ এর মধ্য সমানুপাতটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ৩
৩য় রাশি = ২৭
মধ্য সমানুপাত = ?

আমরা জানি,
(মধ্য সমানুপাত)^২ =১ম রাশি ⨯ ৩য় রাশি
বা,(মধ্য সমানুপাত )^২ = ৩ ⨯ ২৭
বা,(মধ্য সমানুপাত ^)২ = ৮১
বা, মধ্য সমানুপাত = √৮১
∴  মধ্য সমানুপাত = ৯

2, 3 এবং 4 দ্বারা তিন অংকের কতটি বিজোড় সংখ্যার শেষ অংকটি হবে 3
তাহলে প্রথম দুইটি অংক হয় 2, 4 অথবা 4, 2 দিয়ে পূরণ করতে হবে
অর্থাৎ, 2, 3 এবং 4 দিয়ে তিন অংকের দুইটি বিজোড় সংখ্যা তৈরী করা যাবে

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্ন: সম্পূর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি পাইপ দিয়ে ৫ ঘণ্টায় সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। দ্বিতীয় একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে ৩ ঘণ্টা সময় লাগে। দুটি পাইপ একসাথে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটির ২/৩ অংশ পূর্ণ করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
প্রথম পাইপ দ্বারা, ১ ঘণ্টায় ভর্তি হয় = ১/৫ অংশ
দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা, ১ ঘণ্টায় ভর্তি হয় = ১/৩ অংশ
দুটি পাইপ দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় ভর্তি করে = (১/৫ + ১/৩) অংশ = ৮/১৫ অংশ 

৮/১৫ অংশ চৌবাচ্চা ভর্তি হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ২/৩ অংশ চৌবাচ্চা ভর্তি হয় = (১৫ × ২)/(৮ × ৩) ঘণ্টায় 
= ৫/৪ ঘণ্টায়।

সুতরাং, চৌবাচ্চার ২/৩ অংশ পূর্ণ হতে লাগবে ৫/৪ ঘণ্টা সময় লাগবে। 

এখানে,
২৭ - ৩ = ২৪
৪০ - ৪ = ৩৬
৬৫ - ৫ = ৬০
সুতরাং ২৪, ৩৬, ৬০ এর গ.সা.গু = ১২
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১২

এখানে সংখ্যাগুলো এভাবে নির্ণয় করা হয়েছে
২+৩ = ৫
৩+৫ = ৮
৫+৮ = ১৩
অর্থাৎ, প্রতিটি সংখ্যা তার আগের সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল।
সেহেতু উক্ত ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হবে ১৩ + ২১ = ৩৪

১০% বৃদ্ধিতে,
বর্তমানে বেতন ১১০ টাকায় পূর্ব বেতন ১০০টাকা
∴ বর্তমানে বেতন ১৬৫০ টাকায় পূর্ব বেতন (১০০ × ১৬৫০)/১১০
= ১৫০০টাকা

প্রশ্ন: দুধ এবং পানির মিশ্রণ ৯ : ১ অনুপাতে মিশ্রিত করা হয়েছে এবং এর খরচ ৭২০ টাকা। ৬ লিটার পানি যোগ করলে লাভ হয়। লাভের শতকরা পরিমাণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
দুধ = ৯ লিটার
পানি = ১ লিটার
মূল মিশ্রণের পরিমাণ = ১০ লিটার
মূল মিশ্রণের খরচ = ৭২০ টাকা
লিটার প্রতি খরচ = ৭২০/১০ = ৭২ টাকা

আবার, 
যোগ করা পানি = ৬ লিটার
∴ নতুন পানির পরিমাণ = ৬ + ১ = ৭ লিটার
দুধের পরিমাণ অপরিবর্তিত = ৯ লিটার
∴ নতুন মোট মিশ্রণ = ৯ + ৭ = ১৬ লিটার

∴ মোট বিক্রয়মূল্য = ১৬ × ৭২ = ১১৫২ টাকা

∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য - খরচ
= ১১৫২ - ৭২০ = ৪৩২ টাকা

∴ লাভের শতকরা = (লাভ ÷ খরচ) × ১০০
= (৪৩২ ÷ ৭২০) × ১০০
= ৬০%

সুতরাং, লাভের শতকরা পরিমাণ ৬০%।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: লেবুর দাম ১০% কমে যাওয়ায় ২০ টাকায় পূর্ব অপেক্ষা ৩টি লেবু বেশি পাওয়া গেলে বর্তমানে এক ডজন লেবুর দাম কত?

সমাধান:
১০% কমে,
১০০ টাকায় কমে ১০ টাকা
১ টাকায় কমে (১০/১০০) টাকা
২০ টাকায় কমে {(২০ × ১০)/১০০} টাকা = ২ টাকা

শর্তমতে,
লেবুর দাম ২ টাকা কমে যাওয়ায় ৩ টি লেবু বেশি পাওয়া যায়।

আমরা জানি, ১ ডজন = ১২টি

∴ ৩টি লেবুর দাম = ২ টাকা 
১টি লেবুর দাম = ২/৩ টাকা
১২টি লেবুর দাম = (২ × ১২)/৩ টাকা
= ৮ টাকা

১টি আমলকির ক্রয়মূল্য = ৫/৮ টাকা
১টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = ৫/৬ টাকা
∴ লাভ = ৫/৬ - ৫/৮
= (২০ - ১৫)/২৪
= ৫/২৪ টাকা
∴ লাভের হার = (৫/২৪ × ১০০)/(৫/৮)
= (৫×১০০×৮)/(৫×২৪)
= ৩৩.৩৩%

প্রশ্ন: ৮০ গ্যালন অকটেন মিশ্রিত পেট্রোলে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৭ : ১। এতে আরও কত অকটেন মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৫ : ২ হবে?

সমাধান:
প্রাথমিক অনুপাত: পেট্রোল ∶ অকটেন = ৭ ∶ ১
অনুপাতের যোগফল = ৭ + ১ = ৮

∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৮০ × (৭/৮) = ৭০ গ্যালন
∴ অকটেনের পরিমাণ = ৮০ × (১/৮) = ১০ গ্যালন

ধরা যাক আরও x গ্যালন অকটেন মেশানো হবে।

নতুন অনুপাত হবে:
৭০ : (১০ + x) = ৫ : ২
⇒ ৭০ / (১০ + x) = ৫ / ২
⇒ ২ × ৭০ = ৫ × (১০ + x)
⇒ ১৪০ = ৫০ + ৫x
⇒ ৫x = ৯০
⇒ x = ১৮ গ্যালন

সুতরাং, ১৮ গ্যালন অকটেন আরও মিশালে অনুপাত ৫ : ২ হবে।

প্রশ্ন: এক জন রস বিক্রেতার কাছে দুটি রসের ক্যান আছে। প্রথমটি ৩০% পানি এবং বাকি অংশ রস। দ্বিতীয়টি ৬০% পানি রয়েছে। তাকে কতটুকু রস প্রতিটি ক্যান থেকে মিশাতে হবে, যাতে মোট ১৮ লিটার রস পাওয়া যায় এবং পানির সাথে রসের অনুপাত ১:২ হয়?

সমাধান:
ধরি,
এক লিটার বিশুদ্ধ রসের মূল্য ১ টাকা

প্রথম ক্যান থেকে ১ লিটার মিশ্রণে রস = ৭/১০ লিটার; প্রথম ক্যানের ১ লিটার মিশ্রণের খরচ ৭/১০ টাকা

দ্বিতীয় ক্যান থেকে ১ লিটার মিশ্রণে রস = ৪/১০ লিটার; দ্বিতীয় ক্যানের ১ লিটার মিশ্রণের খরচ ৪/১০ টাকা

মিশ্রণের ১ লিটার রসে রস = ২/৩ লিটার; চূড়ান্ত মিশ্রণের ১ লিটারের খরচ = ২/৩ টাকা

অ্যালিগেশন নিয়মে, আমরা পাই,
সস্তা/ মহার মূল্য সম্পর্কিত পরিমাণ = (মহারের খরচ - গড় মূল্য) / (গড় মূল্য - সস্তার খরচ)
⇒ দ্বিতীয় ক্যানের পরিমাণ : প্রথম ক্যানের পরিমাণ = {(৭/১০) - (২/৩)} : {(২/৩) - (৪/১০)}
= (২১ - ২০)/৩০ : (২০ - ১২)/৩০
= (১/৩০) : (৮/৩০)
= ১ : ৮

অতএব, প্রথম ক্যান থেকে পরিমাণ = (১/৯) × ১৮ = ২
দ্বিতীয় ক্যান থেকে পরিমাণ = (৮/৯) × ১৮= ১৬

১৮ লিটার রস পানির সাথে রসের অনুপাত ১:২ রাখতে, বিক্রেতাকে প্রথম ক্যান থেকে ২ লিটার এবং দ্বিতীয় ক্যান থেকে ১৬ লিটার মিশাতে হবে।

আমরা জানি, যে সব সংখ্যার বর্গমূল করা যায়, তার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
এখানে, √১০২৪ = ৩২
সুতরাং, ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড়।

ধরি x ও y প্রত্যেকের মান ১ ; ৩×১+৩×১=৬

রাসেল ২০ দিনে ১ অংশ করতে পারে।
২৫% দক্ষ হওয়ার কারনে রকি ২০ দিনে করতে পারে ১.২৫ অংশ।
প্রশ্নমতে, রকি ১.২৫ অংশ করে ২০ দিনে
∴ রকি ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করবে = ২০/১.২৫ = ১৬ দিনে।

প্রশ্ন: ক একটি কাজ ৯ দিনে এবং খ ১৮ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি শুরু করে এবং কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজ খ ৬ দিনে শেষ করে। মোট কতদিনে কাজটি সম্পূর্ণ হয়?

সমাধান:
খ ১ দিনে করে কাজটির ১/১৮ অংশ
খ ৬ দিনে করে কাজটির (১ × ৬)/১৮ অংশ
= ১/৩ অংশ

∴ বাকি কাজ = (১ - ১/৩) = (৩ - ১)/৩ = ২/৩ অংশ

আবার,
ক ১ দিনে করে কাজটির ১/৯ অংশ
খ ১ দিনে করে কাজটির ১/১৮ অংশ

∴ (ক + খ) ১ দিনে করে কাজটির (১/৯ + ১/১৮) অংশ 
= (২ + ১)/১৮ অংশ
= ৩/১৮ অংশ
= ১/৬ অংশ

এখন, (ক + খ) একত্রে,
১/৬ অংশ করে ১ দিনে
∴ ১ অংশ করে ১× ৬ দিনে
∴ ২/৩ অংশ করে (১ × ৬ × ২)/৩ দিনে
= ৪ দিনে

∴  (ক + খ) একত্রে কাজটি করে ৪ দিনে
এবং খ একা কাজটি করে ৬ দিনে

∴ মোট সময় = (৪ + ৬) = ১০ দিন

88 = 2 × 2 × 2 × 11
Divisors= 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88
91 = 7 × 13
Divisors = 7, 13, 91
95 = 5 × 19
Divisors = 5, 19, 95
99 = 3 × 3 × 11
Divisors = 3, 9, 11, 33, 99

প্রশ্ন: একটি ৪০ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = (ক এর ২/৩)
= ২ক/৩ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (২ক/৩) = ৪০
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৪০
বা, ৫ক = ১২০
বা, ক = ১২০/৫
∴ ক = ২৪

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২ × ২৪)/৩
= ১৬ ফুট ।

প্রশ্ন: ১০% হারে কোনো টাকার ২ বছরের সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ১৮ টাকা হলে আসল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য = ১৮ টাকা
মুনাফার হার r = ১০%
সময় n = ২ বছর
ধরি, আসল = P টাকা

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা, SI = Prn/১০০
= (P × ১০ × ২)/১০০
= P/৫
= ০.২P

আবার, 
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, CI = P(১ + r)ⁿ - P
= P[(১.১)^২ - ১]
= ০.২১P

∴ পার্থক্য CI - SI = ১৮
⇒ ০.২১P - ০.২P = ১৮
⇒ P(০.২১ - ০.২) = ১৮
⇒ P × ০.০১ = ১৮
⇒ P = ১৮/০.০১ = (১৮ × ১০০) 
∴ P = ১৮০০ টাকা

সুতরাং, আসল ১৮০০ টাকা। 

প্রশ্ন: m ও n দুটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোন সংখ্যাটি অবশ্যই বিজোড় হবে?

সমাধান:
ধরা যাক, m = 1 এবং n = 3 (যেকোনো দুটি বিজোড় সংখ্যা)

এখন,
ক) m + n = 1 + 3 = 4 (জোড়)
খ) m² + n² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10 (জোড়)
গ) (m + n)² = (1 + 3)² = 4² = 16 (জোড়)
ঘ) mn + 2 = (1 × 3) + 2 = 3 + 2 = 5 (বিজোড়)

∴ সঠিক উত্তর হলো ঘ) mn + 2

প্রশ্ন: ৪৫, ৬০ ও ৭৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫
৭৫ =  ৩ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৩ × ৫ = ১৫

প্রশ্ন: তুষার সাহেব ৭,২০০ টাকা বার্ষিক সরল মুনাফা হারে বিনিয়োগ করে। ৮ মাস পর মুনাফার পরিমাণ ৬০০ টাকা হলে, বার্ষিক সরল মুনাফার হার কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সরল সুদ, I = prn
⇒ ৬০০ = ৭২০০ × ৮/১২ × r
⇒ r = (১/৮) × ১০০%
⇒ r = ১০০/৮%
∴ r = ১২.৫০%