পাটিগণিত

প্রশ্ন: পাঁচ অংকের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 12, 15 এবং 18 দ্বারা বিভাজ্য হবে? 

সমাধান:
12, 15, 18 এর ল.সা.গু = 180
পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 10000

10000 কে 180 দিয়ে ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে 100 

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 10000 + (180 - 100)
= 10000 + 80
= 10080

Sum of the present ages of husband, wife and child
= (27 x 3 + 3 x 3) years
= 90 years
Sum of the present ages of wife and child
= (20 x 2 + 5 x 2) years
= 50 years
∴ Husband's present age
= (90 - 50) years
= 40 years

প্রশ্ন: ৪৯ : ৮১ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়। 

এখন 
৪৯ : ৮১ এর দ্বিভাজিত অনুপাত =√৪৯ : √৮১ = ৭ : ৯

যুক্তিঃ ১টির ক্রয়মূল্য ১/৬ টাকা
ক্রয়মল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মল্য ১২০ টাকা
∴ ” ১/৬ ” ” ” ১২০/(১০০ × ৬) = ১/৫ টাকা
এখন, ১/৫ টাকা বিক্রয় করে ১টি
∴ ১ ” ” ” (১ × ৫)/১ = ৫টি।

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১ হলে‌ অর্থাৎ ১ ভিন্ন কোন সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে তাদেরকে একত্রে সহ-মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন- (৩, ৪), (৮, ৯), (৬, ১৩) (৯,১৬), (১৬, ২৫) ইত্যাদি।
এখানে, ৯ = ১ × ৩ × ৩
১৬ = ১ × ২ × ২ × ২ × ২
যেহেতু ১ ভিন্ন কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই সুতরাং (৯, ১৬) পরস্পর সহ-মৌলিক।

প্রশ্ন: আটার দাম ২৫% বেড়ে গেলে, মাসিক ব্যয় অপরিবর্তিত রেখে আটার ব্যবহার শতকরা কত কমাতে হবে? 

সমাধান:
২৫% বৃদ্ধিতে আটার বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা 
= ১২৫ টাকা

বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০ টাকা 
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা 
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা = ৮০ টাকা 

∴ আটার ব্যবহার কমাতে হবে = (১০০ - ৮০)%
= ২০% 

প্রশ্ন: কোনো আসল ৩ বছর সুদ আসলে ৪৬০ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে আসলে ৫০০ টাকা হলে, আসল কত?

সমাধান:
আসল + ৫ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ = ৪৬০ টাকা
(বিয়োগ করে), ২ বছরের সুদ = ৪০ টাকা

২ বছরের সুদ = ৪০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ৪০/২ টাকা
∴ ৫ বছরের সুদ = (৪০ × ৫)/২ টাকা
= ১০০ টাকা

অর্থাৎ, ৫ বছরের সুদ ১০০ টাকা হলে,
আসল = (৫০০ - ১০০) টাকা = ৪০০ টাকা

এখানে,
৯১ এর উৎপাদক = ১, ৭, ১৩, ৯১
৮৭ এর উৎপাদক = ১, ৩, ২৯, ৮৭
৫১ এর উৎপাদক = ১, ৩, ১৭,৫১
৫৯ এর উৎপাদক = ১, ৫৯
∴ ৫৯ মৌলিক সংখ্যা।

ধরি, সংখ্যাটি = ক
∴ শর্তমতে, ক এর ৩/৪ অংশ এর ১/৫ অংশ = ৬০
বা, (ক × ৩ × ১)/৪ × ৫ = ৬০
বা, ৩ক / ২০ = ৬০
বা, ক = (৬০ × ২০)/৩
বা, ক = ৪০০
∴ সংখ্যাটি ৪০০

এখানে,
অনুপাতের রাশিদ্বয়ের সমষ্টি = ৩ + ৪ = ৭
∴ ১৫৪ ÷ ৭
= ২২
সুতরাং সংখ্যাটিকে ৩ : ৪ অনুপাতে বিভক্ত করা যায়

x মৌলিক সংখ্যা।
y, x দ্বারা বিভাজ্য নয়।
∴ ল.সা.গু. = xy.

প্রশ্ন: টাকায় ৩টি করে আম ক্রয় করে টাকায় ২টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
৩টি আমের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা

আবার, 
২টি আমের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা

∴ লাভ = (১/২) - (১/৩) 
= (৩ - ২)/৬
= ১/৬ টাকা

∴ ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় (১ × ৩)/৬ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (১ × ৩ × ১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা

∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

স্ত্রী আর ছেলে পায় = (২৪ + ৪৪)% = ৬৮%
মেয়ে পায় = (১০০ - ৬৮)% = ৩২%
৩২% = ৩,৫২,০০০ টাকা
∴ ১০০% = (৩,৫২,০০০×১০০)/৩২
= ১১,০০,০০০/-

অপু ৬ দিনে করে ১ অংশ কাজ
∴ সে ১ দিনে করে ১/৬ অংশ কাজ

দীপু ৮ দিনে করে ১ অংশ কাজ
∴ সে ১ দিনে করে ১/৮ অংশ কাজ

নিপু ১২ দিনে করে ১ অংশ কাজ
∴ সে ১ দিনে করে ১/১২ অংশ কাজ

অর্থাৎ তারা একত্রে ১ দিনে করে = ১/৬ + ১/৮ + ১/১২ অংশ কাজ।
= (৪ + ৩ + ২)/২৪ অংশ কাজ।
= ৯/২৪ অংশ কাজ।

সুতরাং তারা একত্রে সম্পূর্ণ কাজটি করতে পারবে = (১ x ২৪)/৯ দিনে।
= ৮/৩ দিনে।
= ২(২/৩) দিনে।

প্রশ্ন: কোনো একটি শ্রেণিতে ৮ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ জন বছর। ৪ জন শিক্ষার্থী নতুন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় হলো ১৫ বছর। নতুন ৪ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি কত বছর?

সমাধান:
৮ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স = ১৪ বছর
∴ তাদের মোট বয়স =৮ × ১৪ = ১১২ বছর

৪ শিক্ষার্থী নতুন আসায় মোট শিক্ষার্থী = ৮ + ৪ জন
= ১২ জন

নতুন গড় বয়স = ১৫ বছর
∴ ১২ জনের মোট বয়স = ১২ × ১৫ = ১৮০ বছর

∴ নতুন ৪ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = ১৮০ - ১১২ বছর
= ৬৮ বছর

∴ নতুন ৪ শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = ৬৮ বছর

প্রশ্ন: ৫% সরল মুনাফা হারে কত বছরে ১০০০ টাকার মুনাফা ২০০ টাকা হবে? 

সমাধান: 
এখানে, 
মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০ 
সময়, n = ? 
আসল, P = ১০০০ টাকা 
মুনাফা, I = ২০০ টাকা 

আমরা জানি, 
I = Pnr 
∴ n = I/Pr 
= ২০০/{১০০০ × (১/২০)} 
= ২০০/৫০ 
= ৪ বছর ।

2/x= 3; y = 12
x = 2/3
(3 + y)/(x - 4) = (3 + 12)/(2/3 - 4)
= -( 15 × 3)/10 = - 4.5

প্রশ্ন: একটি শহরে ৬,০০০ জন বাসিন্দা আছে। এদের মধ্যে ৬৫% ব্যবসার সাথে জড়িত। শহরে কতজন বাসিন্দা ব্যবসার সাথে জড়িত নয়?

সমাধান:
মোট বাসিন্দা = ৬,০০০ জন  
ব্যবসার সাথে জড়িত = ৬৫%  

∴ ব্যবসার সাথে জড়িত আছে = ৬,০০০ এর ৬৫%  
= ৬,০০০ × (৬৫/১০০)  
= ৩,৯০০ জন  

∴ ব্যবসার সাথে জড়িত নয় = ৬,০০০ − ৩,৯০০  
= ২,১০০ জন

০.০১ × ০.০০১০ × ০.০০০৫ × ০.০০০০২
= ১/১০০ × ১/১০০০ × ৫/১০০০০ × ১/১০০০০০
= ১০/১০০০০০০০০০০০০০০
= ০.০০০০০০০০০০০০১

ধরি, আসল = ৮ টাকা
তাহলে, মুনাফা = ৩ টাকা
সুতরাং, মুনাফা-আসল = ১১ টাকা
এখন,
মুনাফা-আসল ১১ টাকা হলে মুনাফা = ৩ টাকা
∴ মুনাফা-আসল ৫৫০০ টাকা হলে মুনাফা = (৩×৫৫০০)/১১ টাকা
= ১৫০০ টাকা
তাহলে আসল = ৫৫০০ - ১৫০০ = ৪০০০ টাকা।
মুনাফার হার = (১৫০০×১০০) / (৪০০০×৩) = ১২.৫%

তিন ভাইয়ের বয়সের সমষ্টি = ৩ × ১৭ = ৫১
পিতা এবং তিন ভাইয়ের বয়সের সমষ্টি = ৪ × ২৬ = ১০৪
সুতরাং, পিতার বয়স = ১০৪ - ৫১ = ৫৩ বছর

প্রশ্ন: একজন ডিম বিক্রেতা প্রতি ডজন ডিম ৪৮ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি হালি ডিম ২৪ টাকা দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ ডজন ডিমের ক্রয়মূল্য ৪৮ টাকা
১ হালি ডিমের বিক্রয়মূল্য ২৪ টাকা

আমরা জানি,
১ ডজন = ১২ টি
এবং ১ হালি = ৪ টি

এখন, ১২ টি ডিমের ক্রয়মূল্য ৪৮ টাকা
∴ ১ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = (৪৮/১২) = ৪ টাকা

আবার, ৪ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য ২৪ টাকা
∴ ১ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = (২৪/৪) = ৬ টাকা

∴ লাভ = (৬ - ৪) টাকা = ২ টাকা

তাহলে,
৪ টাকায় লাভ হয় ২ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় (২/৪) টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (২/৪) × ১০০ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ শতকরা ৫০% লাভ হয়।

প্রশ্ন: তিনজন মেয়ে একটি বৃত্তাকার মাঠের চারিদিক বরাবর একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দৌড়ানো শুরু করল এবং প্রত্যেকে একটি পাক যথাক্রমে 24 সেকেন্ড, 36 সেকেন্ড এবং 48 সেকেন্ড পূর্ণ করে। কত সময় পর তারা একই স্থানে মিলিত হবে?

সমাধান:

প্রথম মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 24 সেকেন্ডে
দ্বিতীয় মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 36 সেকেন্ডে
তৃতীয় মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 48 সেকেন্ডে

24, 36 এবং 48 এর ল.সা.গু (LCM) বের করতে হবে। 

প্রথমে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3

LCM (ল.সা.গু) = সর্বোচ্চ ঘাতসহ সকল মৌলিক উৎপাদকের গুণফল

LCM(ল.সা.গু) = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

অতএব, 144 সেকেন্ড বা 2 মিনিট 24 সেকেন্ড পর তারা একই স্থানে মিলিত হবে।