পাটিগণিত

(৩/৪÷৩/২)×১০০/১০০
=৩/৪×২/৩×১০০/১০০
=৫০%

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৪০ হলে সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৪ক ও ৫ক।

∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৪ × ৫ × ক) = ২০ক।

প্রশ্নমতে,
২০ক = ১৪০
⇒ ক = ১৪০/২০
⇒ ক = ৭

সংখ্যা দুটি হলো: (৪ × ৭) = ২৮ এবং (৫ × ৭) = ৩৫

∴ সংখ্যা দুটির যোগফল = ২৮ + ৩৫ = ৬৩

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কতজন সৈন্য ছিল? 

সমাধান: 
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০ 
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন 
= ৫৮৯ জন।

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৪ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
কলমের মূল্য = x টাকা এবং
বইয়ের মূল্য = (৯৫ - x) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + ১৫ = ২ {(৯৫ - x) - ১৪}
বা, x + ১৫ = ১৯০ - ২x -২৮
বা, x + ২x = ১৬২ - ১৫
বা, ৩x = ১৪৭
বা, x = ১৪৭/৩
∴ x = ৪৯

∴ বইটির মূল্য = (৯৫ - ৪৯) টাকা
= ৪৬ টাকা।

প্রশ্ন: একটি বাইসাইকেল ৮ ঘণ্টায় ২৪ কিমি পথ অতিক্রম করে, ৩ ঘণ্টায় কত মিটার পথ অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৮ ঘণ্টায় অতিক্রম করে ২৪ কিমি
∴ ১ ঘণ্টায় অতিক্রম করে ২৪ ÷ ৮ = ৩ কিমি
∴ ৩ ঘণ্টায় অতিক্রম করে ৩ × ৩ = ৯ কিমি
= ৯ × ১০০০ মিটার
= ৯০০০ মিটার

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৫ : ৬ । যদি প্রথম ট্রেনটি ৫ ঘণ্টায় ৩৭৫ কি.মি. যায়। তাহলে, দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুটি ট্রেনের গতিবেগের = ৫ : ৬ 

​ধরি, 
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৫ক 
২য় ট্রেনের গতিবেগ = ৬ক 

আবার
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৩৭৫/৫ কি.মি./ঘণ্টা 
= ৭৫ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে 
৫ক = ৭৫
∴ ক = ১৫ 

∴ ২য় ট্রেনের গতিবেগ = (৬ × ১৫) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৯০ কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি,
ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য
বা, ২৫ = ক্রয়মূল্য - ৪৭৫
বা, ক্রয়মূল্য = ৪৭৫+২৫
বা, ক্রয়মূল্য = ৫০০ টাকা।
সুতরাং শতকরা ক্ষতি = ক্ষতি/ক্রয়মূল্য × ১০০
= ২৫/৫০০ × ১০০
= ৫%

A's 1 day's work = 1/(T+3)
B's 1 day's work = 1/(T+12)
(A + B)'s 1 day's work = 1/T

∴ 1/(T+3) + 1/(T+12) = 1/T ⇒ (2T+15)/((T+3)(T+12)) = 1/T
⇒ 2T²+15T = T²+15T+36
⇒ T² = 36
⇒ T = 6 days

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ৫৮৫ এবং ১৩। সংখ্যা দুটির মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
গ.সা.গু = ১৩ এবং ল.সা.গু = ৫৮৫

ধরি,
সংখ্যাটি হলো  ১৩ক এবং ১৩খ   ; [ যেখানে ক এবং খ হল সহ-মৌলিক সংখ্যা।]
∴ ১৩ক এবং ১৩খ এর ল.সা.গু = ১৩কখ

প্রশ্নমতে,
১৩কখ = ৫৮৫
⇒ কখ = ৫৮৫/১৩
⇒ কখ = ৪৫ = ৫ × ৯ 

∴ ক = ৫ এবং খ = ৯  অথবা ক = ৯ এবং খ = ৫

∴  প্রথম সংখ্যা = ১৩ক = ১৩ × ৫ = ৬৫
∴  দ্বিতীয় সংখ্যা = ১৩খ = ১৩ × ৯ = ১১৭ 

∴ সংখ্যা দুটির পার্থক্য = ১১৭ - ৬৫ = ৫২ 

অতএব, সংখ্যা দুটির পার্থক্য ৫২

প্রশ্ন: একজন চাকুরিজীবীর মাসিক আয়ের ১/৪ অংশ বাসা ভাড়ায়, ২/৫ অংশ খাদ্যে এবং ১/১০ অংশ যাতায়াতে ব্যয় হয়। তার আয়ের শতকরা কত ভাগ সঞ্চয় হয়? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাসা ভাড়া = ১/৪ অংশ
খাদ্য = ২/৫ অংশ
যাতায়াত = ১/১০ অংশ

মোট ব্যয় = (১/৪) + (২/৫) + (১/১০)
= (৫ + ৮ + ২)/২০ 
= ১৫/২০
= ৩/৪ অংশ

∴ সঞ্চয়ের অংশ = মোট আয় - মোট ব্যয়
= ১ - (৩/৪)
= ১/৪ অংশ

∴ শতকরা সঞ্চয় = (১/৪) × ১০০% = ২৫%

সুতরাং, তার আয়ের শতকরা ২৫ ভাগ সঞ্চয় হয়। 

রানা + রনি = ৫x × ২ = ১০x বছর
রনি + জনি = ১৩x/২ × ২ = ১৩x বছর
---------------------------------------
∴ রানা + ২×রনি + জনি = ২৩x বছর (যোগ করে)
আবার, রানা + রনি + জনি = ১৫x বছর
∴ রনির বয়স = ৮x বছর

প্রশ্নমতে,
৮x = ১৬ বছর
∴ x = ২

∴ তিনজনের বয়সের গড় = ৫ × ২ = ১০ বছর।

প্রশ্ন: ৫% বার্ষিক হারে ২ বছরের জন্য কোনো আসলের উপর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ৫০ টাকা হলে, আসল কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল = P টাকা
হার, r = ৫%
সময়, n = ২ বছর

∴ সরল মুনাফা I = Pnr = P × ২ × (৫/১০০) = P/১০ = ০. P

∴ যৌগিক মুনাফা = C - P = P(১ + ৫/১০০)^২ - P = P(১.০৫)^২ - P = ১.১০২৫P - P = ০.১০২৫P

প্রশ্নমতে,
০.১০২৫P - ০. P = ৫০
⇒ ০.০০২৫P = ৫০
⇒  P = ৫০/(০.০০২৫)
∴ P = ২০০০০

সুতরাং, আসল ২০০০০ টাকা । 

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগশেষ ভাজকের এক-চতুর্থাংশ এবং ভাগফল ভাজকের দ্বিগুণ। ভাজক ১২ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, ভাজক = ১২
ভাগশেষ = ভাজকের এক-চতুর্থাংশ = ১২/৪ = ৩
ভাগফল = ভাজকের দ্বিগুণ = ১২ × ২ = ২৪

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (১২ × ২৪) + ৩
= ২৮৮ + ৩
= ২৯১

∴ ভাজ্য = ২৯১

প্রশ্ন: একটি পণ্য ৪০০০ টাকায় বিক্রি করায় কিছু ক্ষতি হলো। ঐ পণ্যটি ৫০০০ টাকায় বিক্রি করলে যত ক্ষতি হয়েছিল তার (২০০/৩)% লাভ হতো। পণ্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
পণ্যটির ক্রয়মূল্য 'ক' টাকা
৪০০০ টাকায় বিক্রয়ে ক্ষতি = (ক - ৪০০০) টাকা
৫০০০ বিক্রয়ে লাভ = (৫০০০ - ক)

প্রশ্নমতে,
(৫০০০ - ক) = (ক - ৪০০০) × (২০০/৩)%
⇒ (৫০০০ - ক) = (ক - ৪০০০)  × (২০০/৩)  × (১/১০০)
⇒ (৫০০০ - ক) = (ক - ৪০০০)  × (২/৩)
⇒ ১৫০০০ - ৩ক = ২ক - ৮০০০
⇒ ৫ক = ২৩০০০
⇒ ক = ২৩০০০/৫
∴ ক = ৪৬০০

সুতরাং, পণ্যটির ক্রয়মূল্য ৪৬০০ টাকা।

প্রশ্ন: কালাম সাহেব একটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা জমা রেখেছিলেন। মেয়াদ শেষে তিনি মোট ৪২,০০০ টাকা পান, যেখানে সুদ ও মূলধনের অনুপাত ছিল ২ : ৫। যদি সরল সুদের হার ৪% হয়, তবে কত সময়ের জন্য টাকা বিনিয়োগ করা হয়েছিল তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:

ধরি,
সময় = n বছর।

এই অনুপাতগুলোর যোগফল = ২ + ৫ = ৭

আমাদের দেওয়া আছে, সুদ ও বিনিয়োগের অনুপাত = ২ : ৫

অতএব, সুদের পরিমাণ
= ৪২০০০ × (২/৭) = ১২,০০০ টাকা।

বিনিয়োগের পরিমাণ
= ৪২০০০ × (৫/৭) = ৩০,০০০ টাকা।

আমরা জানি,
মূলধন × সুদের হার × সময় = মোট সুদ

⇒ ৩০,০০০ × ৪% × n = ১২,০০০
⇒ n = (১২,০০০ × ১০০) / (৩০,০০০ × ৪) = ১০

সুতরাং, টাকাটি ১০ বছর বিনিয়োগ করা হয়েছিল।

এখানে,
√27/3 = 3√3/3
= √3 যা অমূলদ সংখ্যা।

√8/√2 = 2
5√16/8 = 5/2
³√125/5 = 1
সুতরাং, এগুলো মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১২ এর কত শতাংশ ১৮ হবে?

[মাদকদ্রব্য নিয়ন্ত্রণ অধিদপ্তর পদের নাম: অফিস সহায়ক]
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী,
১২ এর ক% = ১৮
⇒ (ক/১০০) × ১২ = ১৮ 
⇒ ক = (১০০ × ১৮)/১২
∴ ক = ১৫০% 

∴ ১২ এর ১৫০% হলো ১৮

প্রশ্ন: রাকিবের বাবা বর্তমানে তার বয়সের তিনগুণ বড়। ৮ বছর পরে, তার বয়স রাকিবের বয়সের আড়াই গুণ হবে। আরও ৮ বছর পরে, তখন তিনি রাকিবের বয়সের কত গুণ হবেন?

সমাধান:
ধরি,
রাকিবের বর্তমান বয়স x বছর।
তাহলে, বাবার বর্তমান বয়স = (x + ৩x) বছর = ৪x বছর

প্রশ্নমতে,
(৪x + ৮) = (৫/২) (x + ৮)
⇒ ৪x + ১৬ = ৫x + 80
⇒ ৩x = ২৪
⇒ x = ৮

অতএব, প্রয়োজনীয় অনুপাত = (৪x + ১৬)/(x + ১৬) = ৪৮/২৪ = ২

∴ রাকিবের বাবা রাকিবের বয়সের ২ গুণ হবেন।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬০, ১৫০ এবং ৩০০ নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান: 
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা হবে ৬০, ১৫০ এবং ৩০০ এর গ.সা.গু
৬০ = ৩ × ২ × ৫ × ৫ × ২
১৫০ = ২ × ৫ × ৩ × ৫
৩০০ = ২ × ৫ × ৫ × ৩ × ২

∴ প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ = ৩০

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ৩০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ab এবং গ.সা.গু. cd। একটি সংখ্যা m হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু. = ab এবং গ.সা.গু. = cd
একটি সংখ্যা = m

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.

অপর সংখ্যাটি × m = ab × cd

∴ অপর সংখ্যা = abcd/m

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ (৪.৫ × ৪) টাকা =১৮ টাকা
তাহলে সুদাসল = (১০০ + ১৮ টাকা) = ১১৮ টাকা
সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৮২৬ টাকা হলে আসল (১০০/১১৮) × ৮২৬ টাকা
= ৭০০ টাকা।

প্রশ্ন: কিছু টাকা ক ও খ -এর মধ্যে ৫ : ৩ অনুপাতে ভাগ করায় খ অপেক্ষা ক, ২০ টাকা বেশি পায়। দুজনের মধ্যে কত টাকা ভাগ করা হয়েছিল?

সমাধান:
ক ও খ-এর মধ্যে টাকা ৫ : ৩ অনুপাতে ভাগ করা হয়েছে।
অর্থাৎ, ক পায় = ৫x
খ পায় = ৩x

প্রশ্ন অনুযায়ী, 
৫x = ৩x + ২০
⇒ ৫x - ৩x = ২০
⇒ ২x = ২০
⇒ x = ২০/২ = ১০
∴ x = ১০ 

∴ মোট টাকা = ৫x + ৩x
= ৮x
= ৮ × ১০
= ৮০ টাকা

সুতরাং, দুজনের মধ্যে মোট ভাগ করা হয়েছিল ৮০ টাকা। 

দেওয়া আছে, হাইড্রোজেন : অক্সিজেন = ১  : ২
আবার, হাইড্রোজেন  : কার্বন = ১  : ৩
অর্থাৎ, হাইড্রোজেন  : অক্সিজেন  : কার্বন = ১  : ২  : ৩

১৮০ গ্রাম যৌগে হাইড্রোজেনের পরিমাণ = {১৮০ × ১/(১ + ২ + ৩)} = ৩০ গ্রাম

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা থেকে ৩৫ বিয়োগ করলে তা কমে সংখ্যাটির ৮০% এর সমান হয়। সংখ্যাটির চার-পঞ্চমাংশের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x − ৩৫ = x এর ৮০% 
বা, x − ৩৫ = x × ৮০/১০০ 
বা, ১০০x − ৩৫০০ = ৮০x
বা, ১০০x − ৮০x = ৩৫০০ 
বা, ২০x = ৩৫০০ 
বা, x = ৩৫০০/২০ 
∴ x = ১৭৫ 

∴ সংখ্যাটির চার-পঞ্চমাংশ = ১৭৫ × (৪/৫) 
= ১৪০ ।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির ২০ জন ছাত্রী ও ৩০ জন ছাত্র একটি বনভোজনের আয়োজন করল। ৩০% ছাত্রী এবং ৪০% ছাত্র বনভোজনে অংশগ্রহণ করল। শতকরা কতজন ছাত্র-ছাত্রী বনভোজনে অংশগ্রহণ করল? 

সমাধান: 
বনভোজনে অংশগ্রহণকারী ছাত্রীসংখ্যা = {২০ × (৩০/১০০)} জন = ৬ জন 
বনভোজনে অংশগ্রহণকারী ছাত্রসংখ্যা = {৩০ × (৪০/১০০)} জন = ১২ জন 
∴ বনভোজনে সর্বমোট অংশগ্রহণ করে = (১২ + ৬) জন 
= ১৮ জন 
শ্রেণিতে সর্বমোট শিক্ষার্থী = (২০ + ৩০) জন 
= ৫০ জন 

৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে বনভোজনে অংশগ্রহণ করে = ১৮ জন 
∴ ১ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে বনভোজনে অংশগ্রহণ করে = ১৮/৫০ জন 
∴ ১০০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে বনভোজনে অংশগ্রহণ করে = (১৮ × ১০০)৫০ জন 
= ৩৬ জন 

∴ শতকরা বনভোজনে অংশগ্রহণকারী ছাত্র-ছাত্রী = ৩৬%। 

প্রশ্ন: আরিফ ১০ টি লেবু ৫০ টাকায় ক্রয় করে প্রতি ডজন ৭৫ টাকায় বিক্রয় করেছিলেন। আরিফের শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো?

সমাধান:
১০ টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ৫০ টাকা
∴ ১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ৫০/১০ টাকা = ৫ টাকা।

আবার,
১২ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ৭৫ টাকা
১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ৭৫/১২ = ৬.২৫ টাকা

∴ লাভ = ৬.২৫ - ৫ = ১.২৫ টাকা 

∴ ৫ টাকায় লাভ হয় = ১.২৫ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ১.২৫/৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় =(১.২৫ × ১০০)/৫
= ২৫ টাকা

∴ শতকরা ২৫% লাভ হলো।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ৪০,০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৪০,০০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
বার্ষিক সুদের হার, r = ১০%
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = ?

আমরা জানি,
C = P(1 + r/১০০)ⁿ
⇒ C = ৪০,০০০ × {1 + (১০/১০০)}^২
= ৪০,০০০ × (১১০/১০০)^২
= ৪০,০০০ × (১.১০)^২
= ৪০,০০০ × ১.২১
= ৪৮,৪০০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৪৮,৪০০ টাকা।

প্রশ্ন: জাবেদ মোবাইলে ৫ মিনিট কথা বলল। প্রতি মিনিটের মূল্য ১.৫০ টাকা এবং ভ্যাট ১৫% হলে মোট কত টাকা বিল দিবে?  

সমাধান: 
১ মিনিটের মূল্য = ১.৫০ টাকা
∴ ৫ মিনিটের মোট মূল্য = ১.৫০ × ৫ = ৭.৫০ টাকা

আবার, 
ভ্যাটের হার = ১৫%
∴ ভ্যাটের পরিমাণ = (৭.৫০ × ১৫)/১০০ = ১.১২৫ টাকা

∴ মোট বিল = ৭.৫০ + ১.১২৫ = ৮.৬২৫ টাকা 

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
আবার ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
∴ (২০০০ + ৩০০০) = ৫০০০ টাকা।;

৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (৫০০×১০০)/৫০০০
= ১০%