পাটিগণিত

প্রশ্ন: প্রতি প্যাকেট চিপস ৭ টাকা করে ক্রয় করে ৮.৫০ টাকা করে বিক্রয় করে ৩০০ টাকা লাভ হলো। মোট কত প্যাকেট চিপস ক্রয় করা হয়েছিল?

সমাধান:
১ প্যাকেট চিপসে লাভ হয় = (৮.৫০ - ৭) = ১.৫০ টাকা

১.৫০ টাকা লাভ হয় ১ প্যাকেট চিপসে
১ টাকা লাভ হয় (১/১.৫০) প্যাকেট চিপসে
∴ ৩০০ টাকা লাভ হয় = (১/১.৫০) × ৩০০ প্যাকেট চিপসে
= (১০ × ৩০০)/১৫০ প্যাকেট চিপসে
= ২০০ প্যাকেট চিপসে

প্রশ্ন: দুধের দাম ২০% বেড়ে গেলে, মাসিক ব্যয় অপরিবর্তিত রেখে দুধের ব্যবহার শতকরা কত কমাতে হবে? 

সমাধান:
মাসিক ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে হলে দুধের ব্যবহার কমাতে হবে। 

২০% বৃদ্ধিতে দুধের বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা 
= ১২০ টাকা

বর্তমান মূল্য ১২০ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০ টাকা 
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০/১২০ টাকা 
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = (১০০ × ১০০)/১২০ টাকা = ৮৩.৩৩ টাকা 

∴ দুধের ব্যবহার কমিয়েছেন = (১০০ - ৮৩.৩৩)% = ১৬.৬৭% ।  

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১৩ : ৪। পিতার বয়স ৫২ বছর হলে, পুত্রের বয়স কত?

সমাধান,
মনেকরি,
পুত্রের বয়স = পিতার বয়সের ৪/১৩ গুণ।

প্রশ্নমতে,
 পুত্রের বয়স = (৫২ এর ৪/১৩) বছর
= ১৬ বছর

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত ১০ : ১১ হলে শতকরা লাভ কত? 

সমাধান:
মনেকরি,
ক্রয়মূল্য = ১০ক টাকা এবং বিক্রয়মূল্য = ১১ক টাকা

∴ লাভ = (১১ক - ১০ক) টাকা = ক টাকা।
                      
∴ ১০ক টাকায় লাভ হয়  = ক টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয়  = ক/১০ক টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয়  = ১০০/১০ = ১০ টাকা

সুতরাং, শতকরা লাভ ১০%

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি খালি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১২ মিনিটে ও ১৫ মিনিটে পানি-পূর্ণ করা যায়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুটি নল এক সাথে খুলে দেওয়া হলো। প্রথম নলটি কখন বন্ধ করলে চৌবাচ্চাটি ১০ মিনিটে পানি-পূর্ণ হবে?

সমাধান:
২য় নল দ্বারা ১৫ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় ১ অংশ
∴ ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ
∴ ২য় নল দ্বারা ১০ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় ১০/১৫ অংশ
= ২/৩ অংশ

∴ অবশিষ্ট থাকে = (১ - ২/৩) অংশ
= ১/৩ অংশ

১ম নল দ্বারা ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় ১২ মিনিটে
∴ ১ম নল দ্বারা ১/৩ অংশ পূর্ণ হয় (১২ × ১/৩) মিনিটে
= ৪ মিনিটে

∴ প্রথম নলটি ৪ মিনিট পরে বন্ধ করতে হবে।

প্রশ্ন: একটি পণ্যের মূল্য ৪০% কমে যাওয়ায় ১০,০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ৮ কুইন্টাল পণ্য বেশি পাওয়া যায়। ৩০ কেজি পণ্যের বর্তমান মূল্য কত?

সমাধান:
১০০ টাকায় কমে = ৪০ টাকা
∴ ১ টাকায় কমে = ৪০/১০০ টাকা
∴ ১০,০০০ টাকায় কমে = (৪০ × ১০,০০০)/১০০ টাকা
= ৪,০০০ টাকা

আমরা জানি,
১ কুইন্টাল = ১০০ কেজি
∴ ৮ কুইন্টাল = ৮০০ কেজি

৮০০ কেজি পণ্যের দাম = ৪,০০০ টাকা
∴ ১ কেজি পণ্যের দাম = ৪,০০০/৮০০ টাকা = ৫ টাকা
∴ ৩০ কেজি পণ্যের দাম = (৫ × ৩০) টাকা
= ১৫০ টাকা

শর্টকাট টেকনিকঃ
5x - 2x = 6
বা, x = 2
সুতরাং, পানির পরিমাণ = 2x = 2×2 = 4 লিটার

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে ৫ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ৩ হয় এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান ৪ হয়। তাহলে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
ভগ্নাংশটি = x/y  ; [যেখানে x = লব, y = হর]

দেওয়া শর্ত দুটি, লবের সাথে ৫ যোগ করলে মান ৩ হয়
⇒ (x + ৫)/y = ৩
⇒ x + ৫ = ৩y
∴ x = ৩y - ৫ ……… (১)

এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে মান ৪ হয়
⇒ x/(y - ৪) = ৪
⇒ x = ৪(y - ৪)  
⇒ ৩y - ৫ = ৪(y - ৪)
⇒ ৩y - ৫ = ৪y - ১৬ 
⇒ ৪y - ৩y = ১৬ - ৫ 
∴ y = ১১

(১) নং হতে পাই, 
⇒ x = ৩y - ৫
⇒ x = ৩৩ - ৫ 
∴ x = ২৮ 

সুতরাং ভগ্নাংশটি = ২৮/১১

প্রশ্ন: সরল মুনাফার হার শতকরা কত টাকা হলে যে কোন আসল ১৫ বছরে মুনাফা-আসলে চারগুণ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল P = ১০০ টাকা
∴ মুনাফা আসল =(৪ × ১০০) টাকা
 = ৪০০ টাকা
 
∴ মুনাফা I =৪০০ - ১০০ = ৩০০ টাকা

সময় n = ১৫ বছর
মুনাফার হার r = ?

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
r = (I × ১০০)/Pn
r = (৩০০ × ১০০)/(১০০ × ১৫)
∴ r = ২০%

∴ মুনাফার হার ২০% ।

প্রশ্ন: কোনো শ্রেণীতে ২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১২ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১৩ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১২ বছর

∴ ২৫ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২৫ × ১২) বছর
= ৩০০ বছর

শিক্ষকসহ মোট সদস্য সংখ্যা = ২৫ জন ছাত্র + ১ জন শিক্ষক
= ২৬ জন

শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় = ১৩ বছর
∴ শিক্ষকসহ ২৬ জনের মোট বয়স = (২৬ × ১৩) বছর
= ৩৩৮ বছর

∴  শিক্ষকের বয়স = (শিক্ষকসহ মোট বয়স) - (২৫ জন ছাত্রের মোট বয়স)
= (৩৩৮ - ৩০০) বছর
= ৩৮ বছর।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য এবং ক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১৫০ টাকা। একজন যদি ২৫% হারে লাভ করতে চান তবে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
২৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা

∴ লাভ = (১২৫ - ১০০) = ২৫ টাকা

এখন,
২৫ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
∴ ১ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫/২৫ = ৫ টাকা
∴ ১৫০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = (১৫০ × ৫) টাকা
= ৭৫০ টাকা

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতহীন জলে নৌকা চালিয়ে সকালে ঘাঁট থেকে বাজারের দিকে ৬ কি.মি/ঘণ্টা বেগে যান এবং বিকেলে বাজার থেকে ঘাঁটে ফেরার সময় তার নৌকার গতি হয় ৪ কি.মি/ঘণ্টা। ফেরার পথে যেতে আসার চেয়ে ১ ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব কত কি.মি? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব = ক কি.মি 
বাজারে যেতে সময় লাগে = ক/৬ ঘণ্টা 
আবার, 
বাজার থেকে ফিরতে সময় লাগে = ক/৪ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে, 
(ক/৪) - (ক/৬) = ১ 
⇒ (৬ক - ৪ক)/২৪ = ১ 
⇒ ২ক/২৪ = ১ 
⇒ ক/১২ = ১ 
∴ ক = ১২ 

∴ ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব = ১২ কি.মি। 

পাশ করে = ৮০ - ৪৪ = ৩৬ জন
সুতরাং পাশের হার = ৩৬/৮০ × ১০০
= ৪৫%

প্রশ্ন: 1 ডজন ডিমের দাম 90 টাকা হলে, 55 টাকার কয়টি ডিম পাওয়া যাবে?

সমাধান: 
90 টাকায় ডিম পাওয়া যায় = 12টি
55 টাকায় ডিম পাওয়া যায় = (12 × 55)/90টি
= 7.33333 টি

উল্লেখ্য, 7.33 ডিম , ডিম কখনো ভগ্নাংশে কেনা যায় না। 
কিন্তু অপশনের মধ্যে সবচেয়ে কাছাকাছি মান 8টি ডিম (কারণ 8 × 7.5 = 60 টাকা, যা সামান্য বেশি, কিন্তু সবচেয়ে কাছাকাছি পূর্ণসংখ্যা)

প্রশ্ন: স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে যেতে তার অর্ধেক সময় লাগে। যাতায়াতে যদি ১২ ঘণ্টা সময় লাগে তাহলে স্রোতের অনুকূলে যেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
মনে করি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
x + ২x = ১২
বা, ৩x = ১২
বা, x = ১২/৩
∴ x = ৪

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = ৪ ঘণ্টা।

দেওয়া আছে,
কঃখ = ২ঃ৩ = ৮ঃ১২ (৪ দ্বারা গুণ করে)
এবং খঃগ = ৪ঃ৫ = ১২ঃ১৫ = (৩ দ্বারা গুণ করে)
সুতরাং কঃখঃগ = ৮ঃ১২ঃ১৫।

প্রশ্ন: ১০ জনে একটি কাজের অর্ধেক করতে পারে ৯ দিনে। ঐ কাজটি ৫ জনে করতে কতদিন সময় লাগবে?

সমাধান:
১০ জনে ১/২ অংশ কাজ করে ৯ দিনে
∴ ১ জনে ১/২ অংশ কাজ করে (৯ × ১০) দিনে
∴ ১ জনে ১ অংশ কাজ করে (৯ × ১০ × ২) দিনে
∴ ৫ জনে ১ অংশ কাজ করে {(৯ × ১০ × ২)/৫} দিনে
= ৩৬ দিন

x³ + x²y = x²(x + y)
x²y + xy² = xy(x + y)

∴ রাশিদ্বয়ের লসাগু = x²y(x + y)

প্রশ্ন: ৯৬ সংখ্যাটির মোট কয়টি ভাজক আছে?

সমাধান:
প্রথমে ৯৬ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ 
= ২^৫ × ৩^১ 

এখন, ৯৬ ভাজক আছে = (৫ + ১) × (১ + ১) 
= ৬ × ২ 
= ১২ 

সুতরাং, ৯৬ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে। 

মনে করি, সংখ্যাদ্বয় ৩a, ৫a
∴ (৩a - ৪) / (৫a - ৪) = ৪/৭
বা, ২১a - ২৮ = ২০a - ১৬
∴ a = ১২
∴ বড় সংখ্যাটি = ৫ × ১২ = ৬০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে 5 ও 240. একটি সংখ্যা 15 হলে, অপর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যা = X 
ল.সা.গু × গ.সা.গু = একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা
⇒ 240 × 5 = 15 × X
⇒ X = 80

প্রশ্নঃ A একটি কাজ ৮ দিনে এবং B একই কাজ ১২ দিনে করতে পারে। তারা একসাথে কাজ করলে কাজটি কত দিনে শেষ হবে?

সমাধানঃ
A কাজটি করতে পারে = ৮ দিনে
B কাজটি করতে পারে = ১২ দিনে
একসাথে ১ দিনে কাজের পরিমাণঃ
(১/৮) + (১/১২) = ৫/২৪

অতএব, পুরো কাজ শেষ করতে সময় লাগবে:
১/(৫/২৪) = ২৪/৫ = ৪.৮ দিনে

প্রশ্ন: একটি বাড়ির ছাদের ট্যাঙ্ক একটি নল দ্বারা ২৫ মিনিটে পূর্ণ হয়। আবার বাড়ির ব্যবহারের জন্য ট্যাঙ্কটির যে নল আছে তা খুলে দিলে তা ৫০ মিনিটে সম্পূর্ণ হয়ে খালি হয়ে যায়। ট্যাঙ্কটি অর্ধপূর্ণ থাকা অবস্থায় দুটি নল একসঙ্গে কাজ করলে ট্যাঙ্কটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
২৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/২৫ অংশ

২য় নল দ্বারা,
৫০ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১/৫০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/২৫ - ১/৫০) অংশ
= (২ - ১)/৫০ অংশ
= ১/৫০ অংশ

যেহেতু ট্যাঙ্কটি অর্ধপূর্ণ
সুতরাং বাকি অংশ = ১ - ১/২ = ১/২ অংশ

এখন,
১/৫০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৫০) মিনিটে
∴ ১/২ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৫০)/২ মিনিটে
= ২৫ মিনিটে

ধরি, প্রতিটি আপেলের মূল্য = x টাকা এবং প্রতিটি পেয়ারার মূল্য = y টাকা।
প্রশ্নমতে,
10x + 12y = 960……(1)
এবং 8x + 20y = 1000…….(2)
(1) ও (2) সমাধান করে পাই,
x = 69.23 এবং y = 22. 3
সুতরাং পার্থক্য = 69.23 - 22.3 = 46.93 টাকা।

আমরা জানি,
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
সুতরাং হাবিবের লাভ = (৬০০-৫০০) = ১০০ টাকা।
সুতরাং শতকরা লাভ = লাভ/ক্রয়মূল্য × ১০০
= ১০০/৫০০ × ১০০
= ২০%

২ বছরে সুদ বাড়ে ৪০ টাকা।
তাহলে প্রতিবছরে সুদের পরিমাণ ২০ টাকা।
আসলের পরিমাণ = ৪৬০ - (৩ × ২০) = ৪০০ টাকা।
∴ ৩ বছরের সুদের পরিমাণ = ৪৬০ - ৪০০ = ৬০ টাকা 
∴ r = (৬০ × ১০০)/(৪০০ × ৩) = ৫%

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৭ বেশী, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক/২ = ক/৩ + ১৭
বা, ক/২ - ক/৩ = ১৭
বা, (৩ক - ২ক)/৬ = ১৭
বা, ক/৬ = ১৭
বা, ক = ১৭ × ৬
বা, ক = ১০২

সুতরাং, সংখ্যাটি = ১০২

প্রশ্ন: রূপা পানির তুলনায় ১৭ গুণ ভারী এবং তামা পানির তুলনায় ৭ গুণ ভারী। এদের কোন অনুপাতে মিশ্রিত করলে একটি সংকর ধাতু পাওয়া যাবে যা পানির তুলনায় ১৩ গুণ ভারী হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রূপা পানির তুলনায় ১৭ গুণ ভারী
তামা পানির তুলনায় ৭ গুণ ভারী
মিশ্রণ পানির তুলনায় ১৩ গুণ ভারী

ধরি, রূপার ওজন = ক
তামার ওজন = খ

∴ মিশ্রণের মোট ওজন = ক + খ

প্রশ্নমতে, 
(১৭ক + ৭খ)/(ক + খ) = ১৩
⇒ ১৭ক + ৭খ = ১৩(ক + খ)
⇒ ১৭ক + ৭খ = ১৩ক + ১৩খ
⇒ ১৭ক - ১৩ক = ১৩খ - ৭খ
⇒ ৪ক = ৬খ
⇒ ক/খ = ৬/৪
⇒ ক/খ = ৩/২
∴ ক : খ = ৩ : ২

সুতরাং, রূপা ও তামাকে ৩ : ২ অনুপাতে মিশাতে হবে।

প্রশ্ন: কোনো আসল ৫ বছরে মুনাফা-সহ মোট ৯৭৫০ টাকা হয়। মুনাফা, আসলের ৩/১০ অংশ হলে, আসল কত টাকা?

সমাধান: 
ধরি,
আসল = P টাকা
মুনাফা = (৩P)/১০ টাকা

প্রশ্নমতে,
P + (৩P)/১০ = ৯৭৫০
বা, ১০P + ৩P = ৯৭৫০ × ১০
বা, ১৩P = ৯৭৫০০
বা, P = ৯৭৫০০/১৩
∴ P = ৭৫০০

∴ আসল ৭৫০০ টাকা। 

প্রশ্ন: চিনির মূল্য ৬% বেড়ে যাওয়ায় ১০৬০ টাকার পূর্বে যত কেজি চিনি কেনা যেত এখন তার চেয়ে ৩ কেজি চিনি কম কেনা যায়। পূর্বে চিনির দাম কেজি প্রতি কত ছিল?

সমাধান: 
মনে করি,
পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
আবার,
১০৬০ টাকার ৬% = ১০৬০ × (৬/১০০) = ৬৩.৬০ টাকা

বর্তমানে ৩ কেজি চিনির দাম ৬৩.৬০ টাকা
বর্তমানে ১ কেজি চিনির দাম ৬৩.৬০/৩ = ২১.২০ টাকা

আবার, 
 ৬% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = ১০০ + ৬ = ১০৬ টাকা

এখন,
১০৬ টাকা বর্তমান দর হলে পূর্ব দর = ১০০ টাকা
∴ ১ টাকা বর্তমান দর হলে পূর্ব দর = ১০০/১০৬ টাকা
∴ ২১.২০ টাকা বর্তমান দর হলে পূর্ব দর = (১০০ × ২১.২০)/১০৬ টাকা
= ২০ টাকা

সুতরাং, পূর্বে চিনির দাম কেজি প্রতি ২০ টাকা। 

ধরি, প্রাথমিক অবস্থায় শেয়ারের দাম ১০০ টাকা।
শেয়ারের দাম ২৫% বৃদ্ধিতে গতকালের মূল্য(১০০ + ২৫) = ১২৫ টাকা
২৫% কমায় আজকের মূল্য ১২৫ - (১২৫ × ২৫)/১০০ = ১২৫ - ১২৫/৪ = (৫০০ - ১২৫)/৪ = ৩৭৫/৪ টাকা
∴ দাম কমেছে ১০০ - ৩৭৫/৪ টাকা = (৪০০ - ৩৭৫)/৪ টাকা = ৬.২৫ টাকা

প্রশ্ন: একটি ঘড়ির ধার্যমূল্য ১০০০ টাকা। ঘড়িটি ১৮% কমিশনে বিক্রয় হয়। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে, এতে শতকরা কত লাভ হয়?

সমাধান:
ধার্যমূল্য = ১০০০ টাকা

কমিশন = ১০০০ টাকার ১৮%
= (১০০০ × ১৮) ÷ ১০০ = ১৮০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য = ১০০০ - ১৮০ = ৮২০ টাকা

∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ৮২০ - ৫০০ = ৩২০ টাকা

৫০০ টাকায় লাভ হয় ৩২০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় ৩২০ ÷ ৫০০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৩২০ ÷ ৫০০) × ১০০ টাকা
= ৬৪ টাকা

∴ শতকরা ৬৪% লাভ হয়।

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ পানিতে, ২/৩ অংশ মাটিতে এবং অবশিষ্ট ২ মিটার পানির উপরে আছে।  সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

পানিতে ও মাটিতে আছে= {(ক/৫) + (২ক/৩)} অংশ
= {(৩ক + ১০ক)/১৫} অংশ
= ১৩ক/১৫ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (১৩ক/১৫)
= (১৫ক - ১৩ক)/১৫ অংশ
= ২ক/১৫ অংশ

প্রশ্নমতে,
২ক/১৫ = ২ মিটার
বা, ২ক = ২ × ১৫
বা, ২ক = ৩০
বা, ক = ৩০/২
বা, ক = ১৫

অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি মেসে ৫২ জনের ২৬ দিনের খাদ্য আছে। ৫ দিন পর ঐ মেসে ৩২ জন লোক আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে? 

সমাধান: 
দিন বাকী আছে (২৬ - ৫) দিন
= ২১ দিন 

এবং মোট লোক সংখ্যা হলো = (৫২ + ৩২) জন
= ৮৪ জন 

এখন,
৫২ জন লোকের চলে = ২১ দিন 
∴ ১ জন লোকের চলে = (২১ × ৫২) দিন 
∴ ৮৪ জন লোকের চলে = (২১ × ৫২)/৮৪ দিন 
= ১৩ দিন। 

অতএব, অবশিষ্ট খাদ্য ৮৪ জন লোকের ১৩ দিন চলবে। 

প্রশ্ন: রহিম ও করিম একত্রে একটি কাজ ৪ দিনে করতে পারে। করিম একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। কাজটির অর্ধেক করতে রহিমের কত দিন লাগবে?

সমাধান:
রহিম ও করিম একত্রে ১ দিনে করে ১/৪ অংশ
করিম ১ দিনে করে ১/১২ অংশ

∴ রহিম ১ দিনে করে (১/৪ - ১/১২) অংশ
= (৩ - ১)/১২ অংশ
= ২/১২ অংশ
= ১/৬ অংশ

রহিম ১/৬ অংশ করে ১ দিনে
∴ রহিম ১ অংশ করে (১ × ৬) দিনে
∴ ১/২ অংশ করে (১ × ৬)/২ দিনে
= ৩ দিনে

প্রশ্ন: ১২টি সংখ্যার যোগফল ৭২০। প্রথম ৫টি সংখ্যার গড় ৫০ এবং শেষ ৬টি সংখ্যার গড় ৬০। ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
১২টি সংখ্যার যোগফল ৭২০

এখন,
প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৫ × ৫০ = ২৫০ 
শেষ ৬টি সংখ্যার যোগফল = ৬ × ৬০ = ৩৬০ 

প্রশ্নমতে,
মোট ১২টির যোগফল = প্রথম ৫টি + ষষ্ঠ + শেষ ৬টি
⇒ ৭২০ = ২৫০ + ষষ্ঠ + ৩৬০ 
⇒ ষষ্ঠ = ৭২০ - ৬১০ 
∴ ষষ্ঠ = ১১০ 

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ : ৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৬৩০ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩ক, ৫ক এবং ৬ক 

প্রশ্নমতে,
(৩ক)^২ + (৫ক)^২ + (৬ক)^২ = ৬৩০ 
বা, ৯ক^২ + ২৫ক^২ + ৩৬ক^২ = ৬৩০
বা, ৭০ক^২ = ৬৩০
বা, ক^২ = ৬৩০/৭০
বা, ক^২ = ৯
∴ ক = ৩

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
= ৩ × ৩
= ৯ ।

প্রশ্ন: এককের আন্তর্জাতিক পদ্ধতি
i. এর বৈশিষ্ট্য দশ গুণোত্তর
ii. অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে প্রথম চালু হয়
iii. বাংলাদেশে ১ লা জুলাই ১৯৮১ সালে চালু হয়
নিচের কোন উত্তরটি সঠিক?

সমাধান:
বিভিন্ন দেশে পরিমাপের জন্য বিভিন্ন পরিমাপ পদ্ধতি প্রচলিত থাকায় আন্তর্জাতিক ব্যবসাবাণিজ্যে ও আদানপ্রদানে অসুবিধা হয়। তাই ব্যবসাবাণিজ্যে ও আদানপ্রদানের ক্ষেত্রে পরিমাপ করার জন্য আন্তর্জাতিক রীতি তথা মেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহৃত হয় ।

এ পরিমাপের বৈশিষ্ট্য হলো:
- এটা দশগুণোত্তর । দশমিক ভগ্নাংশের দ্বারা এ পদ্ধতিতে পরিমাপ সহজে প্রকাশ করা যায়।
- অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে প্রথম এ পদ্ধতির প্রবর্তন করা হয়।
- বাংলাদেশে ১লা জুলাই, ১৯৮২ সাল থেকে এ মেট্রিক পদ্ধতি চালু করা হয়।
এখন দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল, ওজন ও তরল পদার্থের আয়তন প্রতিটি পরিমাপেই এ পদ্ধতি পুরোপুরি প্রচলিত রয়েছে ।

উৎস: গণিত, অষ্টম শ্রেণি।