পাটিগণিত

প্রশ্ন: নিচের কোন পরিমাপটি সঠিক?

সমাধান:
১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ
১০ মিলিয়ন = ১ কোটি
১০০ মিলিয়ন = ১০ কোটি
১০০০ মিলিয়ন = ১০০ কোটি

Question: When 18 is subtracted from 6 times a number, the result becomes 12 more than three times the same number.

Solution:
The equation:
6x - 18 = 3x + 12
⇒ 3x - 18 = 12
⇒ 3x = 30
⇒ x = 30/3
x = 10

∴ The number is 10

প্রশ্ন: ৪ দিনে একটি কাজের ১/১২ অংশ শেষ হয়। তাহলে ঐ কাজের ২ গুন কাজ করতে কত দিন লাগবে?

সমাধান:
১/১২ অংশ কাজ করে ৪ দিনে
১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (৪ × ১২) = ৪৮ দিনে

তাহলে, দ্বিগুণ কাজ করে = (৪৮ × ২) = ৯৬ দিনে

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭২ এবং গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/৪ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৪ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ৩ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু

∴ ৪ক × ৩ক = ৭২ × ৬
⇒ ১২ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/১২
⇒ ক^২ = ৩৬
∴  ক = ৬

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক = ৩ × ৬ = ১৮

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী একটি শার্ট ৩৫০ টাকায় ক্রয় করে ৩৮৫ টাকায় বিক্রি করলে তার শতকরা লাভের পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক্রয়মূল্য = ৩৫০ টাকা
বিক্রয়মূল্য = ৩৮৫ টাকা

আমরা জানি, 
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ৩৮৫ - ৩৫০
= ৩৫ টাকা

∴ শতকরা লাভ = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০
= (৩৫/৩৫০) × ১০০
= (১/১০) × ১০০
= ১০%

সুতরাং, তার শতকরা লাভের পরিমাণ ১০%। 

প্রশ্ন: আরিফ ১০ টি লেবু ৩০ টাকায় ক্রয় প্রতি ডজন ৪২ টাকায় বিক্রয় করেছিলেন। আরিফের শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো?

সমাধান:
১০ টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
∴ ১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ৩০/১০ টাকা = ৩ টাকা।

আবার,
১২ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ৪২ টাকা
১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ৪২/১২ = ৭/২ = ৩.৫ টাকা

∴ লাভ = ৩.৫ - ৩ = ০.৫ টাকা 

∴ ৩ টাকায় লাভ হয় = ০.৫ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ০.৫/৩ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় =(০.৫ × ১০০)/৩ = ৫০/৩ 
= ১৬.৬৭ টাকা

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ৯০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ৯০

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ভাগফল/৩ = ৯০/৩ = ৩০

এবং ভাগশেষ = ভাজক/২ = ৩০/২ = ১৫

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ 
= (৯০ × ৩০) + ১৫
= ২৭০০ + ১৫ 
= ২৭১৫ 

চতুর্থ সমানুপাতিক x হলে, 
3 × x = 9 × 4
⇒ x = (9 × 4) / 3
∴ x = 12

প্রশ্ন: পানিভর্তি একটি বালতির ওজন ১২ কেজি। বালতির অর্ধেক পানিভর্তি হলে তার ওজন ৭ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
খালি বালতির ওজন = x কেজি
পূর্ণ পানির ওজন = y কেজি

প্রথম শর্ত অনুসারে: x + y = ১২ ...... (1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে: x + y/২ = ৭ ...... (2)

সমীকরণ (1) - সমীকরণ (2) ⇒
(x + y) - (x + y/২) = ১২ - ৭ 
বা, y - y/২ = ৫
বা, y/২ = ৫
বা, y = ১০ কেজি

সমীকরণ (1) থেকে.
x + ১০ = ১২
বা, x = ২ কেজি

সুতরাং, খালি বালতির ওজন = ২ কেজি

প্রশ্ন: চা পাতার মূল্য ২০% কমে যাওয়ায় কোন পরিবারের চা পাতার ব্যবহার শতকরা কত ভাগ বাড়ালে চা পাতা বাবদ খরচ একই থাকবে?

সমাধান:
মনেকরি,
চা পাতার মূল্য ১০০ টাকা
২০% কমে চা পাতার মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা

বর্তমান মূল্য ৮০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/৮০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য =  (১০০ × ১০০)/৮০
= ১২৫ টাকা

∴ চা পাতার ব্যবহার বাড়াতে হবে = (১২৫ - ১০০) টাকা
= ২৫ টাকা

প্রশ্ন: একজন ছাত্র ১৮ টি প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করে ৬০% নম্বর পেল। ৯০% নম্বর পেতে হলে তাকে কতটি প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে? 

সমাধান: 
৬০% নম্বর পায় প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে = ১৮ টি 
∴ ১% নম্বর পায় প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে = ১৮/৬০ টি 
∴ ৯০% নম্বর পায় প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে = (১৮ ×৯০)/ ৬০ টি 
= ২৭ টি 

∴ ছাত্রটির প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে = ২৭ টি ।

প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৪, ৬ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৪, ৬ ও ১২ এর ল.সা.গু = ১২

এখন,
১০০০ ÷ ১২ ⇒
ভাগফল = ৮৩
 ভাগশেষ = ৪

নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ৪

ছাত্র সংখ্যা = ১৮০০ জনের ৫৫/১০০
= ৯৯০ জন।
∴ ছাত্রী সংখ্যা = (১৮০০ - ৯৯০)
= ৮১০ জন
বর্তমান ছাত্র সংখ্যা = ৯৯০ জনের ৯০/১০০
= ৮৯১ জন
বর্তমান ছাত্রী সংখ্যা = ৮১০ জনের ১১০/১০০
= ৮৯১ জন
∴ বর্তমান ছাত্রছাত্রী = ৮৯১ + ৮৯১ = ১৭৮২ জন।
ছাত্রছাত্রী কমে = (১৮০০ - ১৭৮২) = ১৮ জন।
শতকরা কমে = (১০০ × ১৮)/১০০
= ১ জন।
অর্থ্যাৎ, ১% কমে।

প্রশ্ন: ৩ জন শ্রমিক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। শ্রমিকদের মধ্যে ২ জন প্রত্যেক তৃতীয় শ্রমিকের চেয়ে দ্বিগুণ দ্রুততায় কাজ করতে পারে। একজন দ্রুততর শ্রমিক একাকী কাজটি কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
মনে করি, 
৩য় শ্রমিক কাজটি করে ২x দিনে
১ম শ্রমিক কাজটি করে x দিনে
২য় শ্রমিক কাজটি করে x দিনে

৩য় শ্রমিক ২x দিনে করে ১ অংশ
∴ ৩য় শ্রমিক ১ দিনে করে ১/২x অংশ

১ম শ্রমিক x দিনে করে ১ অংশ
∴ ১ম শ্রমিক ১ দিনে করে ১/x অংশ

২য় শ্রমিক x দিনে করে ১ অংশ
∴ ২য় শ্রমিক ১ দিনে করে ১/x অংশ

অতএব, তারা একত্রে ১ দিনে করে {(১/২x) + (১/x) +(১/x)} অংশ
= (১ + ২ + ২)/২x অংশ
= ৫/২x অংশ
 
আবার, তারা একত্রে ১২ দিনে করে ১ (সম্পূর্ণ) কাজ
∴ তারা একত্রে ১ দিনে করে ১/১২ অংশ কাজ

প্রশ্নমতে, ৫/২x = ১/১২
⇒ ২x = ১২ × ৫
⇒ x = ৬০/২
∴ x = ৩০

∴ একজন দ্রুততর শ্রমিক একাকী কাজটি ৩০ দিনে শেষ করতে পারবে।

প্রশ্ন: নিম্নলিখিত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
৫/৬, ৭/৯, ৮/১১, ৯/১০

সমাধান:
প্রত্যেকটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে রূপান্তর করি-
৫/৬ = ০.৮৩৩
৭/৯ ≈ ০.৭৭৭
৮/১১ ≈ ০.৭২৭
৯/১০ = ০.৯০০

তুলনা:
০.৮৩৩, ০.৭৭৭, ০.৭২৭, ০.৯০০

∴ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ৯/১০ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: ক: খ = ৫ : ৬ এবং খ : গ =৩ : ১০ হলে ক : গ =কত?

সমাধান: 
ক : খ = ৫ : ৬ = ৫ : ৬
খ : গ =৩ : ১০ = ৬ : ২০ [২ দ্বারা গুণ করে]

ক : গ = ৫ : ২০ 

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

এখানে, 
১২৯ -এ ১ + ২ + ৯ = ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
১৪৪ -এ ১ + ৪ + ৪ = ৯, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
৩২৭ -এ ৩ + ২ + ৭ = ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
১৫৮ -এ ১ + ৫ + ৮ = ১৪, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ ১৫৮ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

ধরি, গ.সা.গু = x
অতএব সংখ্যা দুটি = ৫x, ৬x
আমরা জানি, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৩০
প্রশ্নমতে, ৩০x = ১২০
অতএব x = ৪

৪ এর ক% = ৫
বা, ৪ এর ক/১০০ = ৫
বা, ৪ক = ৫০০
বা, ক = ১২৫

প্রশ্ন: 4% হার মুনাফায় কোনো টাকার 2 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য 1 টাকা হলে আসল কত?

সমাধান: 
মনেকরি,
মূলধন P 

এখানে,
মুনাফার হার r = 4%
সময় n = 2 বছর 

সরলমুনাফা = Pnr 
= P × 2 × 4/100
= 2P/25

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P{1 + (4/100)}² - P
= P{1 + (1/25)}² - P
= P(26/25)² - P
=(676P/625) - P 
= (676P - 625P)/625
= 51P/625

প্রশ্নমতে,
 (51P/625) - (2P/25) = 1
(51P - 50P)/625 = 1
P/625 = 1
P = 625 

প্রশ্ন: মাসিক গ্যাস বিল ১,০০০ টাকা। ৬ মাস পরে গ্যাস বিল ৫% বৃদ্ধি পায়। এর আরও ৬ মাস পরে, পূর্বের বর্ধিত মূল্যের উপর আরও ৮% বিল বৃদ্ধি পায়। ১ বছর পর মাসিক গ্যাস বিল কত টাকা হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
প্রাথমিক মাসিক গ্যাস বিল = ১০০০ টাকা
৬ মাস পর ৫% বৃদ্ধি
আরও ৬ মাস পর ৮% বৃদ্ধি
 
এখন, 
প্রথম ৫% বৃদ্ধিতে,
নতুন বিল = ১০০০ + ১০০০ এর ৫%
= ১০০০ + ৫০ = ১০৫০ টাকা 

এবং আরও ৬ মাস পর ৮% বৃদ্ধিতে, 
নতুন বিল = ১০৫০ + (৮/১০০) × ১০৫০
= ১০৫০ + ৮৪ = ১১৩৪ টাকা 

সুতরাং, ১ বছর পরে মাসিক গ্যাস বিল ১১৩৪ টাকা

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কত দিনে করতে পারে?

সমাধান:
ক ও খ একত্রে ৮ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ
ক ও খ একত্রে ১ দিনে করতে পারে (১/৮) অংশ

ক একা ১২ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ
ক একা ১দিনে করতে পারে   (১/১২) অংশ

∴ খ একা ১ দিনে করতে পারে = (১/৮ - ১/১২) অংশ
= ১/২৪ অংশ

খ একা ১/২৪ অংশ করতে পারে ১ দিনে
খ একা ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করতে পারে = ২৪ দিনে 

প্রশ্ন: কোন বইয়ের ৮৪ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৩/১০ অংশ পড়তে বাকি থাকলে বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

সমাধান:
পড়া হয়েছে = ১ - (৩/১০) = ৭/১০ অংশ

প্রশ্নমতে,
৭/১০ অংশ = ৮৪ পৃষ্ঠা
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ বইটি = (৮৪ × ১০)/৭ = ১২০ পৃষ্ঠা

প্রশ্ন: 2x + y = 7, 2x - y = 13 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ,
(১) 2x + y = 7
(২) 2x - y = 13

দুটি সমীকরণ যোগ করলে:
(2x + y) + (2x - y) = 7 + 13
⇒ 4x = 20
⇒ x = 20/4
x = 5

এবার x = 5 মানটি (১) নম্বর সমীকরণে বসাই:
⇒ 2(5) + y = 7
⇒ 10 + y = 7
⇒ y = 7 - 10
y = - 3

∴ x = 5 এবং y = - 3

১০০ = ৪×২৫ = ২^২×৫^২
∴ ১০০ এর ভাজক সংখ্যা = (২+১)(২+১) = ৩×৩ = ৯

প্রশ্ন: কুমিল্লায় বর্তমান জনসংখ্যা ২৪ লক্ষ। শহরটির জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার প্রতি হাজারে ৩০ জন হলে, ২ বছর পর কুমিল্লা শহরের জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
শহরটির বর্তমান জনসংখ্যা, P = ২৪০০০০০
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার, r = ৩০/১০০০ = ৩/১০০
সময়, n = ২ বছর
 
সুতরাং ২ বছর পর মোট জনসংখ্যা হবে, C = ২৪০০০০০{১ + (৩/১০০)}^২
= ২৪০০০০০ × (১০৩/১০০)× (১০৩/১০০) 
= ২৫,৪৬,১৬০ জন

প্রশ্ন:  রকিব একটি কাজ আকাশের চেয়ে ৭৫ দিন কম সময়ে করতে পারে। রকিবের কাজের গতি যদি আকাশের কাজের গতির ৪ গুণ হয় তবে রকিব একা ঐ কাজ কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
ধরি,
আকাশের কাজটি করতে লাগে ৪ক দিন
রকিব কাজটি করতে লাগে ক দিন

এখন,
৪ক - ক = ৭৫
⇒ ৩ক = ৭৫
⇒ ক = ৭৫/৩
∴ ক = ২৫

∴ রকিব একা কাজটি ২৫ দিনে শেষ করতে পারবে।

প্রশ্ন: ৫০০ টাকা বার্ষিক ৬% সরল সুদে কত বছরে সুদে-আসলে ৬৫০ টাকা হবে?

সমাধান:
সুদ = সুদাসল - আসল
= (৬৫০ - ৫০০)
= ১৫০ টাকা

আমরা জানি,
সময় = (সুদ × ১০০)/(আসল × সুদের হার)
= (১৫০ × ১০০)/(৫০০ × ৬)
= ৫ বছর

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ২৪০ হলে সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৪

ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক এবং ৪ক
∴ তাদের ল.সা.গু = ৩ × ৪ × ক = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ২৪০
∴ ক = ২০

∴ সংখ্যা দুটি = ৩ × ২০ = ৬০
এবং ৪ × ২০ = ৮০

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১১৪ এবং ১৯। যদি একটি সংখ্যা ৩৮ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১১৪ এবং ১৯
এবং, একটি সংখ্যা ৩৮

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = তাদের ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৮  × অপর সংখ্যা = ১১৪ × ১৯ 
⇒ অপর সংখ্যা = (১১৪ × ১৯)/৩৮ 
∴ অপর সংখ্যা =  ৫৭

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৫৭। 

মনে করি, সংখ্যাটি ক।
শর্তমতে, ক এর ৬০% - ৬০ = ৬০
বা, ক এর ৬০/১০০ = ১২০
বা, ৬০ক = ১২০০০
বা, ক = ২০০

অনুপাতগুলোর যোগফল ৭+৮+১০ = ২৫
∴ টুকরোগুলোর সাইজ = (৭x৫০)/২৫ = ১৪
= (৮x৫০)/২৫ = ১৬
= (১০x৫০)/২৫ = ২০