পাটিগণিত

এখানে, ১ম রাশি = ১০
২য় রাশি = ৪০
৩য় রাশি = ৬০
আমরা জানি, ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
৪র্থ রাশি = ( ৪০ × ৬০ )/১০ = ২৪০
∴চতুর্থ সমানুপাতিক = ২৪০ 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬৩০ থেকে যত কম, ৪৫০ থেকে তত বেশি। সংখ্যাটি কত?

 সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
৬৩০ - ক = ক - ৪৫০
⇒ ৬৩০ + ৪৫০ = ক + ক
⇒ ২ক = ১০৮০
⇒ ক = ১০৮০/২
∴ ক = ৫৪০

∴ সংখ্যাটি = ৫৪০

প্রশ্ন:

সমাধান:

(১৫ + ১৭ + ১৯)/৩ = (১৩ + ২১ + ক)/৩
বা, ১৫ + ১৭ + ১৯ = ১৩ + ২১ + ক
বা, ৫১ = ৩৪ + ক
বা, ক = ৫১ - ৩৪
বা, ক = ১৭

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা হয়।
যেহেতু √৯ = ৩, সুতরাং √৯ একটি মূলদ সংখ্যা।
আর পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ৩৪৮ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ৩৪৮ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৯, ১২ এবং ১৫ এর ল.সা.গু বের করে ৩৪৮ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

এখন, ৯, ১২ এবং ১৫ এর ল.সা.গু = ১৮০

৩৪৮ কে ১৮০ দ্বারা ভাগ করলে,
১৮০ × ১ = ১৮০
∴ অবশিষ্ট = ৩৪৮ - ১৮০ = ১৬৮

যেহেতু ১৮০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ১৮০ - ১৬৮ = ১২

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ১২

প্রশ্ন: বার্ষিক ১৫% সরল মুনাফায় ৮,০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ৮,০০০ টাকা
সুদের হার, r = ১৫%
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
I = Pnr/১০০
∴ মুনাফা = (৮,০০০ × ১৫ × ৩)/১০০
= ৩৬০০ টাকা

ট্রেনটি যেতে মোট সময় লাগে ৮ ঘন্টা।
৮ ঘন্টায় অতিক্রম করে ৩০০ কিমি
∴ ১ 〃 〃 〃 ৩০০/৮ 〃
= ৩৭.৫ কিমি

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের যোগফল ৪ বছর পর পুত্রের বয়সের তিনগুণ। পুত্রের বর্তমান বয়স ১৫ বছর হলে পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স = ক বছর 
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের যোগফল = (ক + ১৫) বছর 

৪ বছর পর পুত্রের বয়স হবে = (১৫ + ৪) বছর = ১৯ বছর 

প্রশ্নমতে,
ক + ১৫ = ৩ × ১৯
⇒ ক + ১৫ = ৫৭
⇒ ক = ৫৭ - ১৫
⇒ ক = ৪২ 

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৪২ বছর 

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৪২ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৭২। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি তিনটি সংখ্যা ক, খ, গ

দেওয়া আছে:
ক × খ = ৪২ , খ × গ = ৭২ 

৪২ এবং ৭২ এর সাধারণ গুণক হলো ৬।
তাই খ = ৬

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৬

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৫, বিয়োগফল ১৩, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যা = x এবং ছোট সংখ্যা = y

প্রশ্নমতে,
x + y = ১৫ ...... (১)
x - y = ১৩ ....... (২)

সমীকরণ (১) + সমীকরণ (২) ⇒ 
(x + y) + (x - y) = ১৫ + ১৩
 বা, ২x = ২৮
বা, x = ১৪

সমীকরণ (১) থেকে পাই,
১৪ + y = ১৫
বা, y = ১

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি = ১

প্রশ্ন: পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে -

সমাধান: 

এখানে,
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ৪ × ৬ × ৫ 

সুতরাং,
সংখ্যা তিনটি ৪, ৫, ৬ 

এদের যোগফল, ৪ + ৫ + ৬ 
= ১৫ 

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর। ১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মনে করি, 
​বর্তমানে পুত্রের বয়স = ক বছর।
তাহলে, বর্তমানে পিতার বয়স = (৫০ - ক) বছর।

১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = (ক - ১০) বছর।
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = (৫০ - ক) - ১০ = (৪০ - ক) বছর।

প্রশ্নমতে,
৪০ - ক = ৪(ক - ১০)
বা, ৪০ - ক = ৪ক - ৪০
বা, ৪০ + ৪০ = ৪ক + ক
বা, ৮০ = ৫ক
বা, ক = ৮০/৫
∴ ক = ১৬

পুত্রের বর্তমান বয়স = ১৬ বছর।
পিতার বর্তমান বয়স = ৫০ - ১৬ = ৩৪ বছর।

∴ বর্তমানে পুত্রের বয়স ১৬ বছর এবং পিতার বয়স ৩৪ বছর।

মূলধনের অনুপাত = ৩২০০ঃ৪০০০ঃ৪৮০০
= ৩২ঃ৪০ঃ৪৮
= ৪ঃ৫ঃ৬
অনুপাতের সমষ্টি = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫
∴ ক এর লাভ ৩০০০ × (৪/১৫)
= ৮০০ টাকা
∴ লাভের হার = (৮০০×১০০)/৩২০০
= ২৫%

আমরা জানি,
সুদাসল C, মুলধন P, সুদের হার r, এবং সময় n হলে

C = P (১ + nr/১০০)
⇒ ৫৮৫ = ৪৫০ (১ + n × ৬ ∕ ১০০)
⇒ ৫৮৫ = ৪৫০ ((১০০ + ৬n) ∕ ১০০)
⇒ ৫৮৫০০ ∕ ৪৫০ = ১০০ + ৬n
⇒ ৬n = ১৩০ - ১০০
⇒ n = ৩০ ∕ ৬

∴ n = ৫ বছর

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৫০ থেকে যত ছোট, ৩৫০ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
৪৫০ - ক = ক - ৩৫০
⇒ ক + ক = ৪৫০ + ৩৫০
⇒ ২ক = ৮০০
⇒ ক = ৮০০/২
∴ ক = ৪০০

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ৪০০। 

শর্টকাট: 
সংখ্যাটি = (৪৫০ + ৩৫০)/২ = ৮০০/২ = ৪০০

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৩ : ২। যদি ঐ মিশ্রণে ২০ লিটার পানি যোগ করা হয়, তাহলে অনুপাত হয় ৩: ৪। প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত ?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩ক 
এবং পানির পরিমাণ = ২ক

২০ লিটার পানি যোগ করার পর পানির পরিমাণ = ২ক + ২০

প্রশ্নমতে,
৩ক : (২ক + ২০) = ৩ : ৪
বা, ৩ক/(২ক + ২০) = ৩/৪
বা, ৩ক × ৪ = ৩ × (২ক + ২০)
বা, ১২ক = ৬ক + ৬০
বা, ১২ক − ৬ক = ৬০
বা, ৬ক = ৬০
∴ ক = ১০

∴ প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩ × ১০ = ৩০ লিটার

কমিশন বেশি পাওয়া যায় = ৬ - ৪ = ২%
প্রশ্নমতে,
বইয়ের প্রকৃত মূল্য এর ২% = ৩০
বা, বইয়ের প্রকৃত মূল্য এর ২/১০০ = ৩০
সুতরাং বইয়ের প্রকৃত মূল্য = ১৫০০ টাকা

মনে করি,
ছাগলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০-১০) টাকা = ৯০ টাকা।
এবং ৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০+৫) টাকা = ১০৫ টাকা।

সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি = (১০৫-৯০) = ১৫ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০×৪৫/১৫ টাকা
= ৩০০ টাকা।

দেওয়া আছে, মূলধন,
P = ৫০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
সুদের হার, r = ৫/১০০
আমরা জানি সরল মুনাফা,
I = Pnr = ৫০০ × ২ × ৫/১০০ = ৫০ এবং
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(1+r)ⁿ
= ৫০০(১+৫/১০০)^২
= ৫০০ × ১০৫/১০০ × ১০৫/১০০
= ৫৫১.২৫ এখন,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৫৫১.২৫ - ৫০০
= ৫১.২৫ টাকা।
সুতরাং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (৫১.২৫ - ৫০) টাকা
= ১.২৫ টাকা।

সহমৌলিক সংখ্যা হল এমন দুইটি ধনাত্মক সংখ্যা যাদের মধ্যে ১ ব্যতিত কোন সাধারন উৎপাদক নেই।
৩=১×৩
৬=১×২×৩
এখানে, ৩ ও ৬ এর সাধারন উৎপাদক ১ ও ৩ তাই এরা সহমৌলিক নয়।

প্রশ্ন: ৮৪ কেজি ধাতু গলিয়ে ৪০০০০ পিন তৈরি করা হলে, প্রতিটি পিনের ওজন কত কেজি হবে?

সমাধান:
এখানে,
ধাতু = ৮৪ কেজি
পিন সংখ্যা = ৪০,০০০

৮৪ কেজি ÷ ৪০,০০০ = ৮৪ কেজি/৪০,০০০
= ২১ কেজি/১০০০০
= ০.০০২১ কেজি

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটির ভাজক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি?

সমাধান:
৬৮ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ২, ৪, ১৭, ৩৪, ৬৮

৮০ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ২, ৪, ৫, ৮, ১০, ১৬, ২০, ৪০, ৮০

১২৫ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ৫, ২৫, ১২৫

২২৫ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ২৫, ৪৫, ৭৫, ২২৫

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ৮০ সংখ্যাটির ভাজক সবচেয়ে বেশি অর্থাৎ ১০ টি।

সুদ = ৫০০০০ × ১.২৫ = ৬২৫০০ টাকা
১০ বছরের সুদ ৬২৫০০ টাকা
∴ ১   〃    〃 ৬২৫০   〃
৫০০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৬২৫০ টাকা
∴ ১০০ 〃 ১ 〃 〃 (৬২৫০×১০০)/৫০০০০ টাকা
                    = ১২.৫ টাকা

প্রশ্ন: একটি বাস ঘণ্টায় 25 কি.মি. গতিবেগে ঢাকার গাবতলী থেকে আরিচা পৌঁছাল। আবার বাসটি  ঘণ্টায় 30 কি.মি. গতিবেগে আরিচা থেকে গাবতলী ফিরে এলো। যাতায়াতে বাসটির মোট 11 ঘণ্টা সময় লাগল। গাবতলী থেকে আরিচার দূরত্ব কত?

সমাধান:
মনে করি,
গাবতলী থেকে আরিচার দূরত্ব d কি.মি.।

গাবতলী থেকে আরিচা যেতে সময় লাগে (d/25) ঘণ্টা।
আবার,
আরিচা থেকে গাবতলী ফিরে আসতে সময় লাগে (d/30) ঘণ্টা।

∴ যাতায়াতে বাসটির মোট সময় লাগল {(d/25) + d/30)} ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
{(d/25) + d/30)} = 11
বা, (6d + 5d)/150 = 11
বা, 11d/150 = 11
বা, 11d = 11 × 150
বা, d = (11 × 150)/11
∴ d = 150

∴ গাবতলী থেকে আরিচার দূরত্ব 150 কি.মি.।

প্রশ্ন: দৈনিক ৮ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৪০ জন লোক একটি কাজ ১০ দিনে করতে পারে। দৈনিক কত ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৫০ জন লোক ১৬ দিনে ঐ কাজটি করতে পারে?

সমাধান:
৪০ জন লোক ১০ দিনে কাজটি করে দৈনিক ৮ ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ১ জন লোক ১০ দিনে কাজটি করে দৈনিক (৮ × ৪০) ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ১ জন লোক ১ দিনে কাজটি করে দৈনিক (৮ × ৪০ × ১০) ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ৫০ জন লোক ১ দিনে কাজটি করে দৈনিক {(৮ × ৪০ × ১০)/৫০} ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ৫০ জন লোক ১৬ দিনে কাজটি করে দৈনিক {(৮ × ৪০ × ১০)/(৫০ × ১৬)} = ৪ ঘণ্টা পরিশ্রম করে

∴ নির্ণেয় সময় ৪ ঘণ্টা।