পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ মূলধন সরল সুদে ১০ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হলে, সুদের হার কত?

সমাধান: 
মূলধন সরল সুদে ১০ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হয়।
ধরি, 
আসল = P
সুদ-আসল = ৩P
মুনাফা = ৩P - P = ২P
সময়, n = ১০ বছর 

আমরা জানি, 
মুনাফা = (P × r × n)/১০০
⇒ ২P = (P × r × ১০)/১০০
⇒ ২ = (১০r)/১০০
⇒ ১০r = ২০০
⇒ r = ২০০/১০ 
∴ r = ২০%

সুতরাং, সুদের হার ২০%। 

১ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = ১০০/১০ = ১০ টাকা
১ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ১০০/৮ = ২৫/২ টাকা
১ টি ডিমে লাভ হয় = ২৫/২ - ১০ = ৫/২ টাকা
১০০ টি ডিমে লাভ হয় ২৫ টাকা
অতএব লাভ = ২৫%

ধরি,
আসল = ১০০ টাকা,
সুদাসল = ২ × ১০০ = ২০০ টাকা
∴ সুদ = ২০০ - ১০০ = ১০০ টাকা
∴ সুদের হার = ১০০/১০ = ১০%

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বড়?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলো সম-লববিশিষ্ট হলে ক্ষুদ্রতম হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশটি বৃহত্তম হবে। 

এখন, 
২/৩ > ২/৭ > ২/১১ > ২/১৩ 

সঠিক উত্তর খ) ২/৩ 

প্রশ্ন: ৯০ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার = ?

সমাধান: 

ধরি, সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
⇒ ২ক/৩ = ৯০ 
⇒ ক = (৯০ × ৩)/২ 
⇒ ক = ৪৫ × ৩
∴ ক = ১৩৫ 

সুতরাং, সংখ্যাটি ১৩৫

প্রশ্ন: (2/5), (3/5) ও (6/15) ভগ্নাংশগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) হবে: 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু) 

এখন, 
ভগ্নাংশগুলোর লব(2, 3, 6) এর ল.সা.গু = 6
ভগ্নাংশগুলোর হর(5, 5, 15) এর গ.সা.গু = 5

∴ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = 6/5

অতএব, (2/5), (3/5) ও (6/15) ভগ্নাংশগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) হবে 6/5.

মনে করি ছাত্র সংখ্যা x
মোট বেঞ্চের সংখ্যা = x /4 + 3
শর্তমতে,
x/4 + 3 = (x - 6)/3
x = 60
তাহলে বেঞ্চের সংখ্যা = 60/4 + 3 = 18 টি

প্রশ্ন: ৭২ লিটার মিশ্রণে তেল ও পানির অনুপাত ৫: ৪। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ তেল মেশালে তেল ও পানির অনুপাত ৩: ২ হবে?

সমাধান:
তেল : পানি = ৫ : ৪
∴ অনুপাত রাশির যোগফল = ৫ + ৪ = ৯

তেলের পরিমাণ = ৭২ × (৫/৯) = ৪০ লিটার
পানির পরিমাণ = ৭২ × (৪/৯) = ৩২ লিটার

মনে করি, ক লিটার তেল মিশাতে হবে।
প্রশ্নমতে,
(৪০ + ক)/৩২ = ৩/২
⇒ ২ × (৪০ + ক) = ৩ × ৩২
⇒ ৮০ + ২ক = ৯৬
⇒ ২ক = ৯৬ - ৮০
⇒ ২ক = ১৬
⇒ ক = ৮

∴ ৮ লিটার তেল মিশাতে হবে।

সংখ্যাটি x হলে,
২x + ৩x = ৯০
৫x = ৯০
∴ x = ১৮

প্রশ্ন: ৮০ থেকে বড় এবং ১০০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
৮০ থেকে বড় এবং ১০০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৮৩, ৮৯ এবং ৯৭

∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৮৩ + ৮৯ + ৯৭ = ২৬৯

প্রশ্ন: ক এর বেতন খ এর বেতনের থেকে শতকরা ২০ টাকা কম হলে, খ এর বেতন ক অপেক্ষা শতকরা কত টাকা বেশি?

সমাধান:
ধরি,
খ এর বেতন = ১০০ টাকা
∴ ক এর বেতন = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা

৮০ টাকায় খ এর বেতন বেশি ২০ টাকা
∴ ১ টাকায় খ এর বেতন বেশি (২০/৮০) টাকা
∴ ১০০ টাকায় খ এর বেতন বেশি (২০ × ১০০)/৮০
= ২৫ টাকা

∴ খ এর বেতন ক এর বেতনের থেকে ২৫% বেশি।

এখানে,
P = ৬৪০০০০০
r = ২.৫
n = ২
C = ?
আমরা জানি,
C = P (১+(r/১০০))ⁿ
= ৬৪০০০০০(১+(২.৫/১০০))^২
= ৬৪০০০০০((১০০+২.৫)/১০০)^২
= ৬৪০০০০০(১০২.৫/১০০)^২
= ৬৪০০০০০×(১.০২৫)^২
= ৬৪০০০০০×১.০৫০৬২৫
= ৬৭২৪০০০

২০% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১২০ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমুল্য = (১০০×১০০)/১২০ = ৮৩.৩৩ টাকা
∴ ঐ পরিবার চিনি খাওয়া কমালো (১০০ - ৮৩.৩৩) = ১৬.৬৭%

১২% কমিশনে বিক্রয় মূল্য = ২২৫ × (৮৮/১০০)
= ১৯৮ টাকা

১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১০/১২ টাকা বা ৫/৬ টাকা
এবং ১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য ১০/৮ বা ৫/৪ টাকা
∴ ১ টি লেবুতে লাভ হয় (৫/৪ - ৫/৬) টাকা বা ৫/১২ টাকা
৫/৬ টাকায় লাভ হয় ৫/১২ টাকা
∴ ১০০ 〃 〃 〃(৫×৬/১২×৫)×১০০ টাকা
                 = ৫০ টাকা

প্রশ্ন: একটি ওয়ার্কশপে সকল শ্রমিকের গড় বেতন ৮,০০০ টাকা। ৭ জন টেকনিশিয়ানের গড় বেতন ১২,০০০ টাকা এবং বাকিদের গড় বেতন ৬,০০০ টাকা। ওয়ার্কশপে মোট শ্রমিকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
৭ জন টেকনিশিয়ানের গড় বেতন ১২,০০০ টাকা
৭ জন টেকনিশিয়ানের মোট বেতন (১২,০০০ × ৭) = ৮৪০০০ টাকা

মনে করি,
বাকি শ্রমিকের সংখ্যা x
x জন শ্রমিকের গড় বেতন ৬০০০ টাকা
x জন শ্রমিকের মোট বেতন = (৬০০০ × x) = ৬০০০x টাকা

মোট শ্রমিকের সংখ্যা = (৭ + x) জন

(৭ + x) জন শ্রমিকের গড় বেতন ৮,০০০ টাকা
(৭ + x) জন শ্রমিকের মোট বেতন ৮,০০০ × (৭ + x) টাকা

প্রশ্নমতে,
৮,০০০ × (৭ + x) = ৮৪০০০ + ৬০০০x
⇒ ৫৬০০০ + ৮০০০x = ৮৪০০০ + ৬০০০x
⇒ ৮০০০x - ৬০০০x = ৮৪০০০ - ৫৬০০০
⇒ ২০০০x = ২৮০০০
⇒ x = ২৮০০০/২০০০
∴ x = ১৪

∴ মোট শ্রমিকের সংখ্যা = (৭ + ১৪) জন = ২১ জন

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ১২০০ জন শিক্ষার্থী আছে যার মধ্যে ৩৫% ছেলে, সেই স্কুলে মেয়ের সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, মোট শিক্ষার্থী = ১২০০ জন

∴ স্কুলে ছেলের সংখ্যা = ১২০০ এর ৩৫%
= ১২০০ এর ৩৫/১০০
= ১২০০ × (৩৫/১০০)
= ৪২০ জন

∴ স্কুলে মেয়ের সংখ্যা = (১২০০ - ৪২০) জন
= ৭৮০ জন।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুটি নল দ্বারা যথাক্রমে ১০ মিনিটে এবং ১৫ মিনিটে পূর্ণ করতে পারে। নল দুটি একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
প্রথম নল দ্বারা, 
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১০ অংশ 

আবার, দ্বিতীয় নল দ্বারা, 
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১৫ অংশ 

∴ দুটি নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = (১/১০ + ১/১৫) অংশ 
= (৩ + ২)/৩০ অংশ 
= ৫/৩০ অংশ 
= ১/৬ অংশ 

এখন,
চৌবাচ্চার ১/৬ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে 
∴ চৌবাচ্চার ১ বা সম্পন্ন অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৬) মিনিটে 
= ৬ মিনিটে 

∴ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = ৬ মিনিটে।

প্রশ্ন: ৯৪৫ টাকাকে (২/৩) : (৩/৪) : (৫/৬) অনুপাতে তিন ভাগে ভাগ করা হলো। শেষ ভাগে কত টাকা পড়বে?

সমাধান:
দেওয়া অনুপাত = ২/৩ : ৩/৪ : ৫/৬
অনুপাতকে সহজ করার জন্য হরগুলোর ল.সা.গু (LCM) নেওয়া হলো। 
৩, ৪ ও ৬ এর ল.সা.গু = ১২

এখন প্রতিটি ভগ্নাংশকে ১২ দিয়ে গুণ করলে পাই, 
(২/৩) × ১২ : (৩/৪) × ১২ : (৫/৬) × ১২
= ৮ : ৯ : ১০
সুতরাং নতুন অনুপাত = ৮ : ৯ : ১০

∴ মোট অংশের যোগফল = ৮ + ৯ + ১০ = ২৭ অংশ
শেষ ভাগ = মোট টাকা × (শেষ অংশ/মোট অংশ)
= ৯৪৫ × (১০/২৭)
= ৩৫০ টাকা

প্রশ্ন: ৮ জন পুরুষ একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দুইজন পুরুষ চলে গেলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশী প্রয়োজন?

সমাধান: 
বাকি পুরুষ = ৮ - ২ = ৬ দিন
৮ জন পুরুষ কাজটি করতে পারে = ১২ দিনে
∴ ১ জন পুরুষ কাজটি করতে পারে = ১২ × ৮ = ৯৬ দিনে
∴ ৬ জন পুরুষ কাজটি করতে পারে = ৯৬ ÷ ৬ = ১৬ দিনে

∴ দিন বেশী লাগে = ১৬ - ১২ = ৪ দিন
∴ শতকরা দিন বেশী লাগে = (৪/১২) × ১০০% = (১/৩) × ১০০% = ৩৩.৩৩%

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের ল.সা.গু ১২/৭ ও গ.সা.গু ১/১৪ ; সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
= (১২/৭) × (১/১৪)
= ৬/৪৯

প্রশ্ন: করিমের বেতন মাসে ১২৫০০ টাকা থেকে বেড়ে ১৫০০০ টাকা হলো। তার বেতন শতকরা কত বেড়েছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
প্রাথমিক বেতন = ১২৫০০ টাকা
নতুন বেতন = ১৫০০০ টাকা

∴ বেতন বৃদ্ধি = নতুন বেতন - প্রাথমিক বেতন
= ১৫০০০ - ১২৫০০ = ২৫০০ টাকা 

∴ শতকরা বৃদ্ধি = (বেতন বৃদ্ধি/প্রাথমিক বেতন​) × ১০০% 
= (২৫০০/১২৫০০) × ১০০%
= ২০% 

অতএব, করিমের বেতন ২০% বেড়েছে।

বাহুর দৈর্ঘ্য ১০% বাড়ালে, প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য হয় ১০+(১০×১০)/১০০ = ১১ বর্গমিটার
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে ক্ষেত্রফল (১০×১০) = ১০০ বর্গমিটার
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ১১ মিটার হলে ক্ষেত্রফল (১১×১১) = ১২১ বর্গমিটার
সুতরাং, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় (১২১-১০০) = ২১ বর্গমিটার বা ২১%

আমরা জানি, ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল. সা. গু
বা, ৪৮ × ২য় সংখ্যা = ১২ × ৩৩৬
∴ ২য় সংখ্যা = ৮৪

প্রশ্ন: একটি রাস্তার পাশে এক সারিতে ৫৫টি গাছ লাগানো আছে। একটি গাছ থেকে আরেকটি গাছের দূরত্ব ১০ মিটার হলে প্রথম ও শেষ গাছ দুটির মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধান:
মোট গাছ = ৫৫টি
প্রতি দুটি গাছের মধ্যে দূরত্ব = ১০ মিটার
প্রথম গাছ থেকে শেষ গাছ পর্যন্ত মোট ফাঁক আছে = (৫৫ - ১) = ৫৪টি

∴ প্রথম ও শেষ গাছের মধ্যে দূরত্ব = ৫৪ × ১০ মিটার = ৫৪০ মিটার

প্রশ্ন: x ও y দুটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোন সংখ্যাটি বিজোড়?

সমাধান:
ধরা যাক, x = 3 এবং y = 5 (দুটি বিজোড় সংখ্যা)

ক) x + y = 3 + 5 = 8 → জোড় সংখ্যা
খ) x - y = 3 - 5 = - 2 → জোড় সংখ্যা
গ) xy = 3 × 5 = 15 → বিজোড় সংখ্যা
ঘ) x + y + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 → জোড় সংখ্যা