পাটিগণিত

৩০ এবং ৪৫ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭, ৪১ এবং ৪৩
এদের সমষ্টি = ৩১ + ৩৭ + ৪১ + ৪৩ = ১৫২

দেওয়া আছে, বার্ষিক মুনাফার হার = ২০%
সুতরাং অর্ধ-বার্ষিক মুনাফার হার, r = (২০/২)% = ১০%
সময় = ২ বছর
অর্থাৎ সময়, n = ৪ অর্ধ-বছর

প্রারম্ভিক মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
আমরা জানি,  চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(1 + r)ⁿ

সুতরাং চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১০০০০(১ + ১০%)^৪
                                     = ১০০০০(১ + ১০/১০০)^৪
                                     = ১০০০০(১১০/১০০)^৪
                                     = ১০০০০(১১/১০)^৪
                                     = ১০০০০ × (১১)^৪ ÷ ১০০০০
                                     = (১১)^৪

প্রশ্ন: আকাশের 9 ইনিংস পর্যন্ত যে গড় রান ছিল, দশম ইনিংসে 100 রান করার পর সেই গড় 8 রান বেড়ে যায়। তার নতুন গড় রান কত?

সমাধান:
ধরি,
9 টি ইনিংসের গড় ছিল x রান
তাহলে 9 ইনিংসের মোট রান = 9x

দশম ইনিংসে তিনি 100 রান করেন
∴ দশম ইনিংসের পর মোট রান =  9x+100
∴ নতুন গড় = x + 8

শর্তমতে,
10(x + 8) = 9x+100
⇒ 10x + 80 = 9x + 100
⇒ 10x - 9x = 100 - 80
∴ x = 20

অতএব, নতুন গড় = 20 + 8 = 28

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য এবং ক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১৮০ টাকা। একজন যদি ৩০% হারে লাভ করতে চান তবে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

৩০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৩০) টাকা = ১৩০ টাকা
∴ লাভ = (১৩০ - ১০০) = ৩০ টাকা

এখন,
৩০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১৩০ টাকা
∴ ১ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১৩০/৩০ = ১৩/৩ টাকা
∴ ১৮০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = (১৮০ × ১৩/৩) টাকা
= (৬০ × ১৩) টাকা = ৭৮০ টাকা

প্রশ্ন: যদি x : y = 2 : 3 এবং y : z = 5 : 7 হয়, তবে x : y : z = ?

সমাধান:
x : y = 2 : 3 = 2 × 5 : 3 × 5 = 10 : 15
y : z = 5 : 7 = 5 × 3 : 7 × 3 = 15 : 21

x : y : z = 10 : 15 : 21

ধরি,
ধীরগতির ট্রেনের বেগ x মি/সে
দ্রুতগতির ট্রেনের বেগ 2x মি/সে

তাহলে, আপেক্ষিক গতি = 3x মি/সে

প্রশ্নমতে,

(100 + 100)/8 = 3x
⇒ 24x = 200
⇒ x = 25/3

দ্রুতগতির ট্রেনের গতি = 50/3 মি/সে
= 50 x (18/5) কিমি/ঘন্টা
= 60 কিমি/ঘন্টা

প্রশ্ন: একটি কাজ ২০ জন লোক ৩০ দিনে সম্পন্ন করতে পারে। তাহলে ৪০ জন লোক সেই কাজটি কত দিনে সম্পন্ন করতে পারবে? 

সমাধান: 
২০ জন লোক কাজটি করে = ৩০ দিনে
∴ ১ জন লোক কাজটি করবে = (৩০ × ২০) দিনে
∴ ৪০ জন লোক কাজটি করবে = (৩০ × ২০)/৪০ দিনে
= ১৫ দিনে ।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করেছে। যদি ৬০% শিক্ষার্থী দুই বিষয়েই পাশ করে থাকে, তবে উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর হার নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
ইংরেজিতে পাশ করেছে = ৮০%
বাংলায় পাশ করেছে = ৭০%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ (বাংলা বা ইংরেজি) = (ইংরেজিতে পাশ) + (বাংলায় পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৮০ + ৭০ - ৬০)%
= (১৫০ - ৬০)%
= ৯০%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৯০)%
= ১০%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ১০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন: একটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। যদি পানি অপেক্ষা দুধের পরিমাণ ১২ লিটার বেশি হয় তাহলে পানির পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
দুধের পরিমাণ = ৫ক
পানির পরিমাণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৫ক - ২ক = ১২
⇒ ৩ক = ১২ 
⇒ ক = ১২/৩
⇒ ক = ৪ 

∴ পানির পরিমাণ = ২ক = (২ × ৪) = ৮ লিটার

মনে করি, গমের পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
২১% কমালে, গমের বর্তমান মূল্য = ১০০-২১ = ৭৯ টাকা
বর্তমানে ১০০ টাকায় ১০ কেজি বেশি গম কিনতে পারে।
∴ ১০ কেজি গমের দাম কমানো হয়েছে = ১০০ - ৭৯ = ২১ টাকা
১ কেজি গমের দাম কমানো হয়েছিল = ২.১ টাকা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার সমষ্টি ১২ এবং তাদের গুণফল ৩৫। সংখ্যাদ্বয়ের বিপরীত ভগ্নাংশের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাদ্বয় ক এবং খ 
শর্তমতে, ক + খ = ১২ এবং ক × খ = ৩৫
(১/ক) + (১/খ)
= (ক + খ)/(ক × খ)
= ১২/৩৫

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ে ছাত্র ও ছাত্রীদের সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪। যদি ঐ বিদ্যালয়ে ছাত্রী সংখ্যা ৪০০ জন হয়, তবে ছাত্রের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 ছাত্র ও ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৪
এবং ছাত্রীসংখ্যা = ৪০০ জন।

মনে করি, 
ছাত্রসংখ্যা = ৩ক
ছাত্রীসংখ্যা = ৪ক

প্রশ্নমতে,
৪ক = ৪০০ 
বা, ক = ৪০০/৪ 
বা, ক = ১০০ 

∴ ছাত্রসংখ্যা = (৩ × ১০০) = ৩০০ জন

প্রশ্ন:

সমাধান:

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু - ২, ল.সা.গু ৩৬০ এবং একটি সংখ্যা ১০।
আমরা জানি, গ.সা.গু × ল.সা.গু  = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
বা, ২ × ৩৬০ = ১০ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (২ × ৩৬০)/১০ = ৭২

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে চলা একটি ট্রেন ২০০ মিটার লম্বা একটি প্ল্যাটফর্ম ২৭ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সময় = ২৭ সেকেন্ড
∴ বেগ = ৬০ × (৫/১৮) মি/সেকেন্ড = ৫০/৩ মি/সেকেন্ড

ধরি, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ ট্রেনকে অতিক্রম করতে হবে = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য) = (ক + ২০০) মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ২০০)/২৭ = ৫০/৩
⇒ ক + ২০০ = (৫০/৩) × ২৭
⇒ ক + ২০০ = ৪৫০
⇒ ক = ৪৫০ - ২০০
∴ ক = ২৫০ মিটার

সুতরাং, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার।

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্যের উপর ২০% লাভ ধরার পর একটি পণ্যের বিক্রয়মূল্য নির্ধারণ করা হল ১৮০ টাকা। বিক্রয়মূল্য আরো কত টাকা বৃদ্ধি করলে ক্রয়মূল্যের উপর ৫০% লাভ থাকবে?

সমাধান:
২০% লাভে,
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ১৮০)/১২০ টাকা
= ১৫০ টাকা

৫০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১৫০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১৫০/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১৫০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১৫০ × ১৫০)/১০০ টাকা
= ২২৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বৃদ্ধি করতে হবে = (২২৫ - ১৮০) টাকা = ৪৫ টাকা

If the number is x then ৩৮১ - x = x - ৩০১
or, ২x = ৩৮১ + ৩০১
or, x = ৩৪১

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি প্রতি মাসে ৫৬০০ টাকা সঞ্চয় করে। তার মাসিক খরচ ও সঞ্চয়ের অনুপাত ৪ : ১। তার মাসিক আয় কত টাকা?

সমাধান:
মোট আয় = ৪ + ১ = ৫ অংশ
খরচ করে = ৪/৫ অংশ
তাহলে, সঞ্চয় করে = [১ - (৪/৫)] অংশ
= ১/৫ অংশ

প্রশ্নমতে, ১/৫ অংশ = ৫৬০০ টাকা
 ∴ ১ অংশ = (৫৬০০ × ৫) টাকা
 = ২৮,০০০ টাকা

∴ তার মাসিক আয় ২৮,০০০ টাকা।

ধরি, খুটির দৈর্ঘ্য x মিটার
তাহলে, মাটির নিচে ও পানির উপরে আছে (১/২+১/৩)x অংশ = (৫/৬)x অংশ।
এবং পানির উপরে আছে (১ - ৫/৬)x বা (১/৬)x বা x/৬ অংশ।
প্রশ্নমতে,
x/৬ = ২
∴ x = 12

প্রশ্ন: ৬৩ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ৬০%? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
ক এর ৬০% = ৬৩ 
⇒ ক × (৬০/১০০) = ৬৩ 
⇒ ক × ৬০ = ৬৩ × ১০০ 
⇒ ক = (৬৩ × ১০০)/৬০
∴ ক = ১০৫

∴ সংখ্যাটি = ১০৫ । 

√মৌলিক সংখ্যা = অমূলদ সংখ্যা। অতএব, √q= অমূলদ সংখ্যা

প্রশ্নমতে,
z = 15 × 28 × 33
বা, z = 13860
এখানে z/24 = 13860/24 = 577.5

প্রশ্ন: একটি ৯৮ মিটার দীর্ঘ ট্রেন ৫০ কিমি/ঘণ্টা বেগে চলতে চলতে বিপরীত দিক থেকে আসা ১২২ মিটার দীর্ঘ আরেকটি ট্রেনকে ৬ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। দ্বিতীয় ট্রেনটির গতিবেগ কত?

সমাধান:
ধরি, দ্বিতীয় ট্রেনটির গতিবেগ = x কিমি/ঘণ্টা
∴ আপেক্ষিক বেগ = (x + ৫০) কিমি/ঘণ্টা
= (x + ৫০) × (৫/১৮) মি/সেকেন্ড

এবং, মোট দৈর্ঘ্য = ৯৮ + ১২২ মিটার
= ২২০ মিটার

প্রশ্নমতে, {(৫ × ৬)(x + ৫০)}/১৮ = ২২০
⇒ ৩০(x + ৫০)/১৮ = ২২০
⇒ x + ৫০ = ২২ × ৬
⇒ x = ১৩২ - ৫০
⇒ x = ৮২

∴ দ্বিতীয় ট্রেনটির গতিবেগ = ৮২ কিমি/ঘণ্টা   

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ২০% ক্ষতিতে ঘড়ির বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০×৫৬০)/৮০ টাকা
= ৭০০ টাকা।