পাটিগণিত

প্রশ্ন: ০.৬ মেট্রিক টন = কত কিলোগ্রাম? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ মেট্রিক টন = ১০০০ কিলোগ্রাম 
∴ ০.৬ মেট্রিক টন = (১০০০ × ০.৬) কিলোগ্রাম 
= ৬০০ কিলোগ্রাম।

প্রথম রাশি= x³+x²y = x²(x+y)
দ্বিতীয় রাশি= x²y +xy² = xy(x+y)
∴ ল.সা.গু.= x²y (x +y)

প্রশ্ন: রহিম ও করিমের বেতনের অনুপাত ৫ : ২ । করিমের বেতন রহিমের বেতন অপেক্ষা ৩৪৮ টাকা কম হলে রহিমের বেতন কত?

সমাধান:
ধরি, 
রহিমের বেতন = ৫ক 
করিমের বেতন = ২ক 

প্রশ্নমতে,
৫ক - ২ক = ৩৪৮ 
⇒ ৩ক = ৩৪৮
⇒ ক = ৩৪৮/৩
⇒ ক = ১১৬

∴ রহিমের বেতন = ৫ × ১১৬ = ৫৮০ টাকা 

প্রশ্ন: কোন ব্যবসায় 'ক', 'খ', 'গ' এর মূলধন যথাক্রমে ৩০০, ৪০০ এবং ৫০০ টাকা। ব্যবসায় ১২০০ টাকা লাভ হলে 'ক' অপেক্ষা 'গ' কত টাকা বেশি পাবে?

সমাধান:
ক, খ, গ এর মূলধনের অনুপাত = ৩০০ : ৪০০ : ৫০০
= ৩ : ৪ : ৫

অনুপাতগুলোর যোগফল = ৩ + ৪ + ৫ = ১২

ক পায় = ১২০০ এর ৩/১২ = ৩০০ টাকা
গ পায় = ১২০০ এর ৫/১২ = ৫০০ টাকা

∴  'ক' অপেক্ষা 'গ' বেশি পাবে = (৫০০ - ৩০০) টাকা = ২০০ টাকা

প্রশ্ন: ৩, ০, ৫, ২, ৭ অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা ৪ এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য কী না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অঙ্কগুলো ৩, ০, ৫, ২, ৭
∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫৩২০

এখন, ৪ দ্বারা বিভাজ্যতা:
একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে তার শেষ দুটি অঙ্ক ৪ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
শেষ দুটি অঙ্ক = ২০
২০ ÷ ৪ = ৫ ; যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য

এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্যতা:
একটি সংখ্যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য হলে তার শেষ অঙ্ক ০ বা ৫ হতে হবে।
শেষ অঙ্ক = ০ ; যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য

সুতরাং, ৭৫৩২০ সংখ্যা ৪ এবং ৫ উভয় দ্বারা বিভাজ্য।

প্রশ্ন: ২০ জন পুরুষ একটি পুকুর ১৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন পুরুষ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
১৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ × ১৫ জন 
∴ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = (২০ × ১৫)/২০ জন 
= ১৫ জন। 

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ১৫ জন।

প্রশ্ন: ৪/৫, ৬/৭ এবং ৮/৯ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

এখানে,
লব ৪, ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু = ২৪
হর ৫, ৭ ও ৯ এর গ.সা.গু = ১

অতএব, ৪/৫, ৬/৭ এবং ৮/৯ এর ল.সা.গু = ২৪/১
= ২৪

৪০০ এর ১/৪% + ১০০
= ৪০০ এর ১/৪ × (১/১০০) + ১০০
= ১ + ১০০
= ১০১

ধরি, মোটর গাড়ির দাম ৩ক টাকা এবং টেলিভিশনের দাম ২ক টাকা
প্রশ্নমতে, দামের পার্থক্য (৩ক - ২ক) = ক = ৬০০০ টাকা
∴ টেলিভিশনের দাম - ২×ক = ২ × ৬০০০ = ১২০০০ টাকা

বাসে যেতে প্রয়োজনীয় সময় = ৩১৯/২২ = ১৪.৫ ঘন্টা
এবং রিকশায় যেতে প্রয়োজনীয় সময় = (৩৫৫ - ৩১৯)/৬ = ৬ ঘন্টা।
সুতরাং মোট প্রয়োজনীয় সময় = ১৪.৫ + ৬ = ২০.৫ ঘন্টা অর্থাৎ ২০ ঘন্টা ৩০ মিনিট।

প্রশ্ন: চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৫৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান: 
১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৫৪ এর লসাগু = ৪৩২
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০ 

১০০০ কে ৪৩২ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ১৩৬

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে = ১০০০ + (৪৩২ - ১৩৬) 
= ১০০০ + ২৯৬
= ১২৯৬

প্রশ্ন: 
 

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ১০টি বইয়ের মূল্য ৪টি খাতার সমান। ২টি খাতার মূল্য ৩,৬০০ টাকা হলে, ৫টি বইয়ের মূল্য কত?

সমাধান:
২টি খাতার মূল্য = ৩৬০০ টাকা
১টি খাতার মূল্য = ৩৬০০/২ টাকা
৪টি খাতার মূল্য = (৩৬০০ × ৪)/২ = ৭২০০ টাকা

আবার, 
যেহেতু ১০টি বইয়ের মূল্য = ৪টি খাতার মূল্য
∴ ১০টি বইয়ের মূল্য = ৭২০০ টাকা
∴ ১টি বইয়ের মূল্য = ৭২০০/১০ = ৭২০ টাকা
∴ ৫টি বইয়ের মূল্য = ৭২০ × ৫ = ৩৬০০ টাকা

সুতরাং ৫টি বইয়ের মূল্য ৩,৬০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। যদি মিশ্রণে ১৫ লিটার পানি বেশি যোগ করা হয়, তবে অনুপাত হয় ৭ : ৮। প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম অনুপাতে, দুধের পরিমাণ ৭ক এবং পানি পরিমাণ ৩ক

আবার, ১৫ লিটার পানি যোগ করার পর পানি পরিমাণ= ৩ক + ১৫

প্রশ্নমতে,
৭ক : (৩ক + ১৫) = ৭ : ৮
⇒ ৭ক × ৮ = ৭ × (৩ক + ১৫)
⇒ ৫৬ক = ২১ক + ১০৫
⇒ ৫৬ক - ২১ক = ১০৫
⇒ ৩৫ক = ১০৫
⇒ ক = ১০৫/৩৫
∴ ক = ৩

∴ প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = (৭ × ৩) = ২১ লিটার

আমরা জানি, সময় = (মুনাফা×১০০) / (আসল×হার)
= (৪৮০০×১০০) / (১০০০০×১২)
= ৪ বছর

Let, Length = x, Breadth = Y
Area = XY
after increasing, The area= 1.25×1.2×XY= 1.5 XY
percentage of increasing= 0.5×100= 50%
Shortcut: 25 + 20 + (25X20)/100 = 50%

প্রশ্ন: কোনো দ্রব্য ৩৪০ টাকার পরিবর্তে ৩৫০ টাকায় বিক্রয় করলে ৪% লাভ বেশি হয়, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
মনেকরি 
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা 

প্রশ্নমতে 
ক এর ৪% = ৩৫০ - ৩৪০ টাকা 
ক এর ৪/১০০ = ১০ 
ক = (১০ × ১০০)/৪
ক = ২৫০ টাকা 

অতএব 
ক্রয়মূল্য = ২৫০ টাকা 

যে কোনো চারটি ক্রমিক স্বভাবিক সংখ্যার গুবফলের সাথে ১ যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে Ref 9-10 math book page 5.

১৫% মূল্য কমার কমার অর্থ হলো এখন ১৫% টাকায় এক কুইন্টাল চাল পাওয়া যায়।
অতএব ৮০০০ এর ১৫% = ৮০০০×(১৫÷১০০) = ১২০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৫ টাকায় ২ টি করে কমলা কিনে ৩৫ টাকায় কয়টি কমলা বিক্রয় করলে p% লাভ হবে?

সমাধান: 
p% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + p) টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + p)/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = {(১০০ + p) × ৫}/১০০ টাকা
= (১০০ + p)/২০ টাকা

এখন, 
(১০০ + p)/২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ২ টি কমলা
∴ (১০০ + p)/২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (২ × ২০)/(১০০ + p) টি কমলা
∴ ৩৫ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = {(২ × ২০) × ৩৫}/(১০০ + p) টি কমলা
= (২ × ২০ × ৩৫)/(১০০ + p) টি কমলা
= ১৪০০/(১০০ + p) টি কমলা।

প্রশ্ন: জাকির সাহেব তার সম্পত্তির ১/৫ অংশ তার স্ত্রীকে, ১/৩ অংশ তার ছেলেকে এবং বাকি অংশ তার মেয়েকে দেন। মেয়ে, স্ত্রী এবং ছেলের অংশের অনুপাত কত?

সমাধান:
স্ত্রী ও ছেলে পেল = ১/৫ + ১/৩ অংশ
= (৩ + ৫)/১৫ অংশ
= ৮/১৫ অংশ

∴ মেয়ে পেল = ১ - ৮/১৫ অংশ
= (১৫ - ৮)/১৫ অংশ
= ৭/১৫ অংশ

মেয়ে : স্ত্রী : ছেলে = ৭/১৫ : ১/৫ : ১/৩
= ৭ : ৩ : ৫

৩০% বৃদ্ধি পেয়ে চিনির মূল্য = (১০০ + ৩০) = ১৩০ টাকা
চিনির ব্যবহার ২৫% কমায়
১০০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় ৭৫ টাকার
১৩০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয়(৭৫ × ১৩০)/১০০ = ৯৭.৫ টাকার
চিনি বাবদ ব্যয় কমে (১০০ - ৯৭.৫)=২.৫ টাকা
∴চিনি বাবদ ২.৫% ব্যয় কমলো।

প্রশ্ন: যদি A : B = ৩ : ৪ এবং B : C = ৮ : ৯ হয়, তাহলে A : B : C = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A : B = ৩ : ৪ এবং B : C = ৮ : ৯

এখন,
A : B = (৩ × ৮) : (৪ × ৮) = ২৪ : ৩২
এবং
B : C = (৮ × ৪) : (৯ × ৪) = ৩২ : ৩৬

∴ A : B : C = ২৪ : ৩২ : ৩৬
= ৬ : ৮ : ৯

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যা নির্ণয় করুন যাদের বর্গের অন্তর ৪৯?

সমাধান:
“বর্গের অন্তর ৪৯” মানে হলো দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের মধ্যে ব্যবধান = ৪৯

ধরি,
দুইটি ক্রমিক সংখ্যা হলো ক এবং ক+১
তাদের বর্গের পার্থক্য:
(ক + ১)^২ - ক^২
= ক^২ +২ক + ১ - ক^২
= ২ক + ১ 

আমরা জানি,
২ক + ১ = ৪৯
২ক = ৪৮  
⇒ ক = ২৪
তাহলে,
ক + ১ = ২৪ + ১ = ২৫ 

∴সংখ্যা দুইটি = ২৪, ২৫  

0.02 × 0.4 × 0.08
= 2/100 × 4/10 × 8/100
= 64/100000 = 0.00064

এখানে,
p = ৬৫০০ টাকা,
r = ৫%
= ৫/১০০
= ১/২০,
n = ৩ বছর
∴ সুদ I = pnr
= ৬৫০০ × ৩ × ১/২০
= ৯৭৫ টাকা

১৫% লাভে পণ্যের বিক্রয়মূল্য ১১৫% = ৩২০ টাকা
পণ্যটির ক্রয়মূল্য, ১০০% = (৩২০/১১৫%)×১০০% = ২৭৮.২৬ টাকা

প্রশ্ন: √৩ এবং ৫ এর মধ্যে কয়টি পূর্ণসংখ্যা আছে?

সমাধান: 
পূর্ণসংখ্যা: পূর্ণসংখ্যা হলো এমন সব সংখ্যা যার কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক অংশ নেই। এতে ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য অন্তর্ভুক্ত থাকে। পূর্ণসংখ্যার সেট অসীম এবং এটিকে সাধারণত 'Z' অক্ষর দিয়ে বোঝানো হয়। 
যেমন, ....- ২, - ১, ০ , ১, ২, ......

এখন, 
√৩ = ১.৭৩২ 

∴ ১.৭৩২ < পূর্ণসংখ্যা < ৫ 
পূর্ণসংখ্যা তালিকা = ২, ৩, ৪ 
∴ মোট পূর্ণসংখ্যা = ৩টি 

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৫০ পয়সা, ২৫ পয়সা এবং ১০ পয়সার মুদ্রা ২ : ৫ : ৩ অনুপাতে রয়েছে। সবগুলো মুদ্রা মিলে একসাথে যদি ৫১০ টাকা হয়, তবে ২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
ধরি,
৫০ পয়সার মুদ্রা = ২ক টি
২৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ক টি
১০ পয়সার মুদ্রা = ৩ক টি

প্রশ্নমতে,
(২ক × ০.৫) + (৫ক × ০.২৫) + (৩ক × ০.১০) = ৫১০
⇒ ক + ১.২৫ক + .৩ক = ৫১০
⇒ ২.৫৫ক = ৫১০
⇒ ক = ৫১০/২.৫৫
∴ ক = ২০০

∴ ২৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ × ২০০ = ১০০০ টি।

মোটর গাড়িটির ৮০ কিলোমিটার যেতে ডিজেল প্রয়োজন ১০ লিটার
মোটর গাড়িটি ১ কিলোমিটার যেতে ডিজেল প্রয়োজন ১০/৮০ লিটার
∴ মোটর গাড়িটি ১০ কিলোমিটার যেতে ডিজেল প্রয়োজন = (১০×১০)/৮০
= ১.২৫  লিটার