সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ছাত্র ও ছাত্রী অনুপাত ৫ : ৩। যদি ৪ জন ছাত্র এবং ৬ জন ছাত্রী নতুন ভর্তি হয়, তাহলে অনুপাত হয়ে যায় ৩ : ২। প্রথমে ছাত্র সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ছাত্র ও ছাত্রী অনুপাত ৫ : ৩

ধরি,
ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যা যথাক্রমে = ৫ক ও ৩ক

এখন,
৪ জন ছাত্র নতুন ভর্তি হলে ছাত্র সংখ্যা হবে = (৫ক + ৪)
৬ জন ছাত্রী নতুন ভর্তি হলে ছাত্রী সংখ্যা হবে = (৩ক + ৬)

প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৪) : (৩ক + ৬) = ৩ : ২
⇒ (৫ক + ৪)/(৩ক + ৬) = ৩/২
⇒ ২(৫ক + ৪) = ৩(৩ক + ৬)
⇒ ১০ক + ৮ = ৯ক + ১৮
⇒ ১০ক - ৯ক = ১৮ - ৮
⇒ ক = ১০

সুতরাং, প্রথমে ছাত্র সংখ্যা ছিল = ৫ক = (৫ × ১০) = ৫০ জন।

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর 40%+42 = x
⇒ 40x/100 + 42 = x
⇒ (40x+4200)/100 = x
⇒ 40x+4200 = 100x
⇒ 100x - 40x = 4200
⇒ 60x = 4200
∴ x = 70

ধরি, বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক মিটার
∴ ক - ক/৪ - ৩ক/৫ = ৬
⇒ ২০ক - ৫ক - ১২ক = ১২০
⇒ ৩ক = ১২০
∴ ক = ৪০ 

প্রশ্ন: (4x + y, 18) = (30, 2x + y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + y = 18 ........(1)
4x + y = 30 ..........(2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(4x + y - 2x - y) = 30 - 18
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(6) + y = 18
⇒ 12 + y = 18
⇒ y = 18 - 12
⇒ y = 6
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (6, 6)

2a²−4ab+4b²
= a² - 4ab + 4b² + a²
= a² -2.a.2b + (2b)² + a²
= (a - 2b)² + a²
অর্থাৎ রাশিটি থেকে a2 বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হল a⋅x²+ b⋅x + c = 0 যেখানে a(≠0),b,c তিনটি ধ্রুবক রাশি। a, b হল যথাক্রমে x² এবং x এর সহগ এবং c কে সমীকরণটির ধ্রুবক পদ বলে।

x + y = 0
∴ y = -x
এখন, 2x - y = 3 = 0
বা, 2x + x + 3 = 0
বা, 3x = -3
∴ x = -1
∴ y = - (-1) = 1

Let X be the number which is added to 80
80% of X = 0.8X
Now,
80 + 0.8X = X
0.2X = 80
X = 80/0.2 = 400

প্রশ্ন: x² - 7x + 10 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, x² - 7x + 10 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = - 7, c = 10

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 7)² - 4 × 1 × 10
= 49 - 40
= 9 > 0

নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হয়।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

ধরি, শ্রেণীতে বেঞ্চসংখ্যা x টি
১ম শর্তে ছাত্র সংখ্যা = ৫(x-৫) = ৫x-২৫
২য় শর্তে ছাত্র সংখ্যা = (৩x+৭)
প্রশ্নমতে,
(৫x-২৫) = (৩x+৭)
২x = ৩২
∴ x = ১৬
ছাত্র সংখ্যা = (৩×১৬+৭) = ৫৫ জন।

প্রশ্ন: যদি (৩ + ২√৫)^২  = ২৯ + K√৫ হয়, তাহলে K-এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(৩ + ২√৫)^২  = ২৯ + K√৫
⇒ ৩^২ + ২ × ৩ × ২√৫ + (২√৫)^২ = ২৯ + K√৫
⇒ ৯ + ১২√৫ + ২০ = ২৯ + K√৫
⇒ ১২√৫ + ২৯ = ২৯ + K√৫
⇒ K√৫ = ১২√৫
⇒ K = ১২√৫/√৫
∴ K = ১২ 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ২০% থেকে ৪০ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৫০ হবে?

সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২০% - ৪০ = ৫০
⇒ক এর ২০/১০০ = ৫০ + ৪০
⇒ ২০ক/১০০ = ৯০
⇒ ২০ক = ১০০ × ৯০
⇒ ক = (১০০ x ৯০)/২০
∴ ক = ৪৫০

প্রশ্ন: দুই অংকবিশিষ্ট কোনো সংখ্যা তার অংকদ্বয়ের যোগফলের ছয়গুণ। সংখ্যাটির থেকে ৯ বিয়োগ করলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
এবং একক স্থানীয় অঙ্ক = y

∴ সংখ্যাটি = ১০x + y
এবং স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি হবে = ১০y + x

১ম শর্তমতে,
১০x + y = ৬(x + y)
⇒ ১০x - ৬x = ৬y - y
⇒ ৪x = ৫y
⇒ x = ৫y/৪ ...........(1)

২য় শর্তমতে,
১০x + y - ৯ = ১০y + x
⇒ ৯x - ৯y = ৯
⇒ x - y = ১ .........(2)

(2) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই ,
(৫y/৪) - y = ১
⇒ (৫y - ৪y)/৪ = ১
∴ y = ৪

 y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - ৪ = ১
∴ x = ৫

∴ সংখ্যাটি = ১০x + y = (১০ × ৫) + ৪ = ৫৪ এবং এর দ্বিগুণ = ৫৪ × ২ = ১০৮

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে 3 যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে 2 বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিনগুণ হয়। সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y 
∴ সংখ্যাটি = x + 10y 
আবার, 
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - 2 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + 3
∴ নতুন সংখ্যাটি = x - 2 + 10 (y + 3) 
= x - 2 + 10y + 30
= x + 10y + 28

প্রশ্নমতে, 
3(x + 10y) = x + 10y + 28 
বা, 3x + 30y = x + 10y + 28
বা, 3x - x +30y - 10y = 28  
বা, 2x + 20y = 28
বা, 2 (x + 10y) = 28
বা, (x + 10y) = 28/2 
∴ (x + 10y) = 14

∴ সংখ্যাটি = 14

∴ সংখ্যাটির দ্বিগুণ = 14 x 2 = 28

প্রশ্ন: (3 + x) + 5 = 2(x + 4) হলে, x এর মান কত? 

সমাধান:
(3 + x) + 5 = 2(x + 4)
বা, x + 8 = 2x + 8
বা, x + 8 - 2x = 8
বা, - x + 8 = 8
বা, - x = 0
∴ x = 0

6x²-7x-4 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক b²-4ac এর সাহায্যে বের করা যায়।
নিশ্চায়ক = (-7)² - 4x6x(-4) = 49+96 = 145>0
যেহেতু নিশ্চায়ক ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা। তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

ধরি সংখ্যা দুটি x এবং y
শর্তমতে, x + y = 10 .... (i)
 এবং xy = 24

আমরা জানি, (x - y)² = (x + y)² - 4xy = 10² - 4.24 = 4
বা, x - y = 2 ..... (ii)
(i) + (ii) ⇒ 2x = 12
বা, x = 6
∴ y = 4

ax² + bx + c = 0 সমীকরণের নিশ্চয়ক b²-4ac = 0 হলে মূলদ্বয় সমান হয়।
তাহলে, m² - 4.2.6 = 0
m = 4√3

প্রশ্ন: 4x + 3y = 21 এবং 2x - y = 3 হলে, x ও y-এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
4x + 3y = 21 ....(1)
এবং
2x - y = 3
∴ y = 2x - 3.......(2)

এখন, y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ 4x + 3(2x - 3) = 21
⇒ 4x + 6x - 9 = 21
⇒ 10x = 30
∴ x = 3

x এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ y = 2x - 3
⇒ y = 6 - 3
∴ y = 3

নির্ণয়ে সমাধান (x, y) = (3, 3)

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট ৬৫ জন যাত্রী আছে। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ২৩‍০০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ক জন।
মোট যাত্রী ৬৫ জন হওয়ায়, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = (৬৫ - ক) জন।

ডেকের মাথাপিছু ভাড়া = ২০ টাকা।
কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া = ২০ × ৩ = ৬০ টাকা।

প্রশ্নমতে,
(ক × ২০) + (৬৫ - ক) × ৬০ = ২৩‍০০ 
⇒ ২০ক + ৩৯‍০০ - ৬০ক = ২৩০০
⇒ ৩৯‍০০ - ৪০ক = ২৩০০
⇒ ৪০ক = ৩৯‍০০ - ২৩‍০০
⇒ ৪০ক = ১৬০০
⇒ ক = ১৬০০/৪০
⇒ ক = ৪০

অতএব, ডেকের যাত্রী সংখ্যা হলো ৪০ জন।

প্রশ্ন: সাকিব ও তামিম মিলে একটি ম্যাচে 140 রান করল। সাকিব যদি তামিমের চেয়ে 20 রান বেশি করে থাকে, তবে সাকিব কত রান করেছে?

সমাধান: 
ধরি,
তামিমের রান = x
তাহলে সাকিবের রান = x + 20

প্রশ্নমতে, 
x + (x + 20) = 140
⇒ 2x + 20 = 140
⇒ 2x = 140 - 20
⇒ 2x = 120
⇒ x = 120/2
∴ x = 60

∴ সাকিবের রান = 60 + 20 = 80

অতএব, সাকিব 80 রান করেছে। 

প্রশ্ন:

সমাধান: 

(x-3)(a+x) = x²-9
⇒ (x-3)(a+x) = (x+3)(x-3)
⇒ a+x = x+3
∴ a = 3

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার আয়ের ১/২ অংশের পরিবর্তে ১/৩ অংশ ব্যয় করলে ৫০০০ টাকা কম খরচ হতো। তার আয় কত?

সমাধান: 
মনেকরি
মোট আয় = ক টাকা 

প্রশ্নমতে
(ক/২) - (ক/৩) = ৫০০০
(৩ক - ২ক)/৬ = ৫০০০
ক/৬ = ৫০০০
ক = ৫০০০ × ৬
ক = ৩০০০০ 

মোট আয় = ৩০০০০ টাকা

প্রশ্ন: ax + by = c এবং bx + ay = d সহ-সমীকরণের সমাধানে x = y হলে, নিচের কোন শর্ত সত্য?
সমাধান: 
(1) ax + by = c
(2) bx + ay = d

x = y হলে,
ax + bx = c
⇒ x(a + b) = c ....(i) 

bx + ax = d
⇒ x(a + b) = d .....(ii) 

(i) ও (ii) তুলনা করে পাই, 
c = d

প্রশ্ন: 3z - 2y = 5 এবং 2z + 3y = 12 হলে (z, y) এর মান কত? 

সমাধান:
3z - 2y = 5................(1)
2z + 3y = 12................(2)

(1) × 3 + (2) × 2 ⇒
⇒ 9z - 6y  + 4z + 6y = 15 + 24
⇒ 13z = 39
⇒ z = 39/13
⇒ z = 3

(2) নং হতে পাই,
2z + 3y = 12
⇒ 2 × 3 + 3y = 12
⇒ 6 + 3y = 12
⇒ 3y = 12 - 6
⇒ 3y = 6
⇒ y = 2

নির্ণেয় সমাধান (z, y) = (3,2)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y 
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 

আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x − ২ 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩ 
∴ নতুন সংখ্যাটি = x − ২ + ১০ (y + ৩) 
= x − ২ + ১০y + ৩০ 
= x + ১০y + ২৮ 

প্রশ্নমতে, 
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x − x +৩০y − ১০y = ২৮ 
বা, ২x + ২০y = ২৮ 
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮ 
বা, x + ১০y = ২৮/২ 
∴ x + ১০y = ১৪ 

∴ সংখ্যাটি = ১৪ ।