সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: যদি p এবং q সরলরেখা দুটির সমীকরণ যথাক্রমে x + y = 5 এবং x - y = 3 হয়, তবে তাদের সাধারণ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করুন-

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 5 .....(1)
x - y = 3 ......(2)

এখন, (1) + (2) করে পাই, 
⇒ x + y + x - y = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4

x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
⇒ 4 + y = 5
⇒ y = 5 - 4
∴ y = 1

সুতরাং ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো (4, 1)

x+10-20 = 22
⇒x = 22+10 = 32

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হল a⋅x² + b⋅x + c = 0 যেখানে a(≠0),b,c তিনটি ধ্রুবক রাশি। a, b হল যথাক্রমে x² এবং x এর সহগ এবং c কে সমীকরণটির ধ্রুবক পদ বলে।

প্রশ্ন: (2x + y, x - y) = (8, 4) হলে (x, y) কত? 

সমাধান:
2x + y = 8.....(i)
x - y = 4......(ii)
(i) + (ii) হতে পাই,
2x + y + x - y = 8 + 4
⇒ 3x = 12
⇒ x = 12/3
⇒ x = 4

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x + y = 8
⇒ 2 × 4 + y = 8
⇒ 8 + y = 8
⇒ y = 8 - 8 
⇒ y = 0
∴ (x, y) = (4, 0)

প্রশ্ন: y এর মান কত হলে, 16x² - xy + 25 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
16x² - xy + 25
= (4x)² - 2 × 4x × 5 + 5²
= (4x - 5)²

অতএব,
xy = 2 × 4x × 5
⇒ xy = 40x
⇒ y = 40

প্রশ্ন: যদি 4x + y = 28 এবং 3x = y হয়, তাহলে y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x = y ...............(1)
4x + y = 28 .........(2)

এখন, y এর মান (1) নং থেকে (2) নং এ বসাই,
⇒ 4x + 3x = 28
⇒ 7x = 28
⇒ x = 4

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ y = 3 × 4
⇒ y = 12

প্রশ্ন: 2x - y = 4 এবং x + 3y = 9 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x - y = 4 ...................(১)
x + 3y = 9 ...................(২)

(১) × 3 ⇒ 6x - 3y = 12 ...................(৩)

এখন (২) ও (৩) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x + 3y) + (6x - 3y) = 9 + 12
⇒ x + 6x + 3y - 3y = 21
⇒ 7x = 21
⇒ x = 21/7
⇒ x = 3

x-এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x + 3y = 9
⇒ 3 + 3y = 9
⇒ 3y = 6
⇒ y = 2

নির্ণয় সমাধান: (x, y) = (3, 2)

ধরি,
সংখ্যা দুইটি, ক ও খ।

প্রশ্নমতে,
ক + খ = 20 এবং কখ = 96

সুতরাং,
সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল = 1/ক + 1/খ
= (ক+খ)/কখ
= 20/96
= 5/24

প্রশ্ন: জুয়েল 12 টি কমলা কিনতে বাজারে গিয়েছিল। কিন্তু সে দেখলো তার নিকট যে টাকা আছে তা দিয়ে 10 টি কমলা কিনতে পারবে। সে হিসাব করে দেখলো যদি প্রতিটি কমলার দাম 5 টাকা কম হত, তবে সে 12 টি কমলা কিনতে পারতো। জুয়েলের নিকট কত টাকা ছিল?

সমাধান:
মনে করি, জুয়েলের নিকট  ছিল x টাকা

প্রশ্নমতে, (x/10) - (x/12) = 5
⇒ (6x - 5x)/60 = 5 
⇒ x/60 = 5
⇒ x = 5 × 60
∴  x = 300

জুয়েলের নিকট 300 টাকা ছিল।

x³ = -8
বা, x³ + 8 = 0
বা, x³ + 2³ = 0
(x + 2)(x² - 2x + 4) = 0
হয়,
x + 2 = 0
অথবা,
x² - 2x + 4 = 0

ধরি,
সংখ্যাটি = x
সংখ্যার অর্ধেক = x/2
সংখ্যার দ্বিগুণ = 2x

প্রশ্নমতে,
x/2 + 7 = 2x - 26
বা, x + 14 = 4x - 52
বা, -3x = -66
∴ x = 22

মনে করি, একক স্থানীয় অংক x
দশক স্থানীয় অংক 9 - x
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - x) + x = 90 - 9x
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে,
= 10x + 9 - x = 9x + 9
প্রশ্নমতে,
9x + 9 = 90 - 9x - 45
⇒ 18x = 36
⇒ x = 2
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 90 - 18 = 72

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটিকে যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার ৬ গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x² + x = 6(x + 1)
⇒ x² + x = 6x + 6
⇒ x² + x - 6x - 6 = 0
⇒ x² - 5x - 6 = 0

এখন, গুণনীয়করণ করি:
x² - 6x + x - 6 = 0
⇒ x(x - 6) + 1(x - 6) = 0
⇒ (x - 6)(x + 1) = 0

অতএব,
x - 6 = 0 ⇒ x = 6
অথবা, x + 1 = 0 ⇒ x = -1 (স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে না)

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 6

প্রশ্ন: (6x - y, 13) = (1, 3x + 2y) হলে, (x, y) নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(6x - y, 13) = (1, 3x + 2y)
এখন, সমীকরণ তৈরি করে পাই, 
6x - y = 1
⇒ y = 6x - 1 ..........(1)
এবং 
3x + 2y = 13
⇒ 3x + 2(6x - 1) = 13 ; [y এর মান বসিয়ে পাই] 
⇒ 3x + 12x - 2 = 13
⇒ 15x - 2 = 13
⇒ 15x = 13 + 2
⇒ 15x = 15
∴ x = 1

(1) নং হতে পাই, 
⇒ y = 6(1) - 1
⇒ y = 6 - 1
∴ y = 5

সুতরাং, (x, y) = (1, 5) 

দেওয়া আছে,
(x + y, 2x-y) = (5+y, 0)
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
x + y = 5+y ------- (1)
এবং 2x-y = 0 ------- (2)
সমীকরণ (1) হতে পাই,
x = 5
এখন x এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই,
2×5 - y = 0,
বা, y = 10.
সুতরাং নির্ণেয় মান (x,y) = (5, 10)।

প্রশ্ন: 3m² - 6m + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3m² - 6m + 8 = 0

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 6)² - 4 × 3 × 8
= 36 - 96
= - 60 < 0
যেহেতু, b² - 4ac < 0 হলে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
2. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
3. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: একটি খামারে মুরগি ও গরু একত্রে ৮০টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা ২২০টি। তা হলে কতটি মুরগি আছে?

সমাধান:
ধরি,
মুরগি আছে = ক টি
∴ গরু আছে = (৮০ - ক) টি
প্রশ্নমতে,
২ক + ৪(৮০ - ক) = ২২০
⇒ ২ক + ৩২০ - ৪ক = ২২০
⇒ ৩২০ - ২ক = ২২০
⇒ - ২ক = ২২০ - ৩২০
⇒ - ২ক = -১০০
⇒ ২ক = ১০০
∴ ক = ৫০

সুতরাং, মুরগি আছে ৫০টি।

প্রশ্ন: সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান:
 

দেওয়া আছে, (a - b)/3.5 = 4/7
বা, a - b = (4 × 3.5)/7
বা, a - b = 2
বা, a = 2 + b
সুতরাং, b < a

প্রশ্ন: (m/3) + 3 = (2m/15) + 6 সমীকরণে m-এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(m/3) + 3 = (2m/15) + 6
⇒ (m/3) - (2m/15) = 6 - 3
⇒ (5m - 2m)/15 = 3
⇒ 3m/15 = 3
⇒ 3m = 45
⇒ m = 45/3
∴ m = 15

ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
প্রতিটি কলমের দাম= 240/x টাকা
আবার,
১ টি কলম বেশি পেলে কলমের দাম = 240/(x + 1) টাকা

প্রশ্নমতে,
240/x - 240/(x+1) = 1
⇒ (240x + 240 - 240x)/x(x+1) = 1
⇒ x² + x = 240
⇒ x² + 16x - 15x - 240 = 0
⇒ x(x + 16) - 15(x + 16) = 0
⇒ (x - 15)(x + 16) = 0
হয়, x - 15 = 0 অথবা, x + 16 = 0
∴ x = 15 অথবা ∴ x = -16 (যা অগ্রহণযোগ্য)
∴ সে 15টি কলম কিনেছিলো।

ধরি,
লব = x এবং হর = y
∴ x + y = 16
x - y = 2
উপরের সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই,
x = 9 এবং y = 7
∴ ভগ্নাংশটি = 9/7
আগের বছরের প্রশ্ন। এভাবেই পরীক্ষায় এসেছিল।
এখানে, প্রশ্নটাতে যেভাবে লব ও হরের সিকুয়েন্স দেয়া আছে সেভাবেই ধরতে হবে।

প্রশ্ন: 5x² + 2x - 3 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
a = x² এর সহগ = 5
b = x এর সহগ = 2
c =  ধ্রুবক = -3

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
 = (2)² - 4 × 5 × (- 3)
= 4 + 60
= 64 > 0

নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।