লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

ত্রিকোণমিতি

মোট প্রশ্ন১,২৮৮এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

ত্রিকোণমিতি

PrepBank · পাতা ৯ / ১৩ · ৮০১–৯০০ / ১,২৮৮

৮০১.
sin221° + sin269° = কত?
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 1/√2
সঠিক উত্তর: খ
খ) 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 1
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin221° + sin269° = কত?

সমাধান :
Sin221° + Sin269°
= Sin2(21° + 69°)
= Sin290°
= 12
= 1
৮০২.
একটি গাছের উচ্চতা ১০৫ মিটার। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ ৬০ ডিগ্রি তৈরি করলে, গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থবিন্দুটির দূরত্ব কত?
  1. ক
     ৩৭√৩ মিটার
  2. খ
    ৩৫√৩ মিটার
  3. গ
    ৩০√৩ মিটার
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: খ
৩৫√৩ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৩৫√৩ মিটার
খ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের উচ্চতা ১০৫ মিটার। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ ৬০ ডিগ্রি তৈরি করলে, গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব কত?

সমাধান:

ধরি,
দূরত্ব = ক মিটার
গাছের উচ্চতা = ১০৫ মিটার।
শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ = ৬০°।
আমরা জানি,
tan θ = উচ্চতা//ভূমিতে দূরত্ব
⇒ √৩ = ১০৫/ক
⇒ ক = ১০৫/√৩ 
⇒ ক = (১০৫√৩)/৩
⇒ ক = ৩৫√৩

∴ গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব ৩৫√৩ মিটার।

৮০৩.
20 মিটার দীর্ঘ একটি মই 10 মিটার লম্বা একটি খাড়া খুঁটির সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে অবস্থান করবে?
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 60°
  3. গ
    গ) 45°
  4. ঘ
    ঘ) 90°
সঠিক উত্তর: খ
খ) 60°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 60°
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 20 মিটার দীর্ঘ একটি মই 10 মিটার লম্বা একটি খাড়া খুঁটির সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে অবস্থান করবে?

সমাধান: 

মই এর খুটির সাথে উৎপন্ন কোণ,
cosθ = 10/20 
বা, cosθ = 1/2
বা, cosθ= cos60°
বা, θ = 60°
৮০৪.
tanθ.√(1 - sin2θ) = ?
  1. ক
    sinθ
  2. খ
    cosθ
  3. গ
    tanθ
  4. ঘ
    cotθ
সঠিক উত্তর: ক
sinθ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
sinθ
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanθ.√(1 - sin2θ) = ?

সমাধান:
tanθ.√(1 - sin2θ) 
= (sinθ/cosθ)√(cos2θ)
= (sinθ/cosθ)(cosθ)
= sinθ
৮০৫.
cosecA - cotA = 5/7 হলে, cosecA + cotA= ?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 2/7
  4. ঘ
    ঘ) 7/5
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 7/5
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 7/5
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosecA - cotA = 5/7 হলে, cosecA + cotA= ?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec2A - cot2A = 1
⇒ (cosecA + cotA)(cosecA - cotA) = 1 
⇒ (cosecA + cotA)(5/7) = 1
∴ cosecA -  cotA = 1/(5/7) = 7/5
৮০৬.
একটি 63 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্নভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোন উৎপন্ন করল। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?
  1. ক
    16 মিটার
  2. খ
    23 মিটার
  3. গ
    32.5 মিটার
  4. ঘ
    21 মিটার
সঠিক উত্তর: ঘ
21 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
21 মিটার
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি 63 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্নভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোন উৎপন্ন করল। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

সমাধান:

ধরি,
খুঁটিটি AC = x মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিল।
∴ অপর ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য, BC = (63 - x) মিটার।
ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণ, θ = 30°
এখন,
sinθ = AC/BC
⇒ sinθ = x/(63 - x)
⇒ sin30° = x/(63 - x)
⇒ 1/2 = x/(63 - x)
⇒ 2x = 63 - x
⇒ 3x = 63
∴ x = 21

∴ খুঁটিটি 21 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিল।
৮০৭.
একটি খুটির দৈর্ঘ্য 24 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?
  1. ক
    8 মি.
  2. খ
    16 মি.
  3. গ
    12 মি.
  4. ঘ
    24 মি.
সঠিক উত্তর: ঘ
24 মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
24 মি.
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য 24 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?

সমাধান: 
খুটির দৈর্ঘ্য AB = 24 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ=45°
ΔABC এ 
tanθ = AB/BC
tan45° = 24/BC
1 = 24/BC
BC = 24

ছায়ার দৈর্ঘ্য = 24 মিটার
৮০৮.
যদি 1 + sinθ = mcosθ হয় তবে cotθ এর মান কত?
  1. ক
    ক) (m2 - 1)/2m
  2. খ
    খ) 2m/(m2 - 1)
  3. গ
    গ) 2m/(m2 + 1)
  4. ঘ
    ঘ) m/(m2 - 1)
সঠিক উত্তর: খ
খ) 2m/(m2 - 1)
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 2m/(m2 - 1)
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 1 + sinθ = mcosθ হয় তবে cotθ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
1+ sinθ = m cos θ
বা, (1 + sinθ)/cosθ = m
বা, (1/cosθ) + (sinθ/cosθ) = m
বা,  secθ + tanθ = m ...............(i)

আমরা জানি 
(secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1  
বা, m(secθ - tanθ) = 1
বা, secθ - tanθ = 1/m .................(ii)

(i) - (ii) ⇒
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = m - 1/m
বা, secθ + tanθ - secθ + tanθ = (m2 - 1)/m
বা, 2tanθ = (m2 - 1)/m
বা, tanθ = (m2 - 1)/2m
বা, 1/cotθ = 1/{(m2 - 1)/2m}
∴ cotθ = 2m/(m2 - 1)
৮০৯.
sinθ = 2/3 হলে, secθ এর মান কোনটি?
  1. ক
    3/√5
  2. খ
    9/4
  3. গ
    √5/3
  4. ঘ
    4/9
সঠিক উত্তর: ক
3/√5
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
3/√5
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinθ = 2/3 হলে, secθ এর মান কোনটি?

সমাধান: 
sinθ = 2/3
⇒ sin2θ = (2/3)2
⇒ 1 - cos2θ = 4/9
⇒ 1 - (4/9) = cos2θ 
⇒ (9 - 4)/9 = cos2θ 
⇒ cos2θ = 5/9
⇒ cosθ = √5/3
⇒ 1/cosθ = 3/√5
∴ secθ = 3/√5
৮১০.
sec2θ + tan2θ = 1/5 হলে sec4θ - tan4θ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/5
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) √5
সঠিক উত্তর: ক
ক) 1/5
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) 1/5
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sec2θ + tan2θ = 1/5 হলে  sec4θ - tan4θ এর মান কত? 

সমাধান: 
sec2θ + tan2θ = 1/5

sec4θ - tan4θ = (sec2θ)2 - (tan2θ)2
=  (sec2θ + tan2θ)(sec2θ - tan2θ)
= (1/5) ×  1
= 1/5 
৮১১.
একটি 50 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে 40 মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?
  1. ক
    10 মিটার
  2. খ
    20 মিটার
  3. গ
    25 মিটার
  4. ঘ
    30 মিটার
সঠিক উত্তর: ঘ
30 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
30 মিটার
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি 50 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে 40 মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার? 

সমাধান: 
মনে করি, 
দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = x মিটার 
দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে। 

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, 
(মইয়ের উচ্চতা)2 = (দেয়ালের উচ্চতা)2 + (x)2
বা, (50)2 = (40)2 + (x)2
বা, 2500 = 1600 + (x)2
বা, (x)2 = 2500 - 1600
বা, (x)2 = 900
বা, (x)2 = (30)2
∴ x = 30 

∴ দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = 30 মিটার।
৮১২.
sinA = 12/13 হলে, tanA.cosecA = ?
  1. ক
    13/12
  2. খ
    12/5
  3. গ
    13/5
  4. ঘ
    5/13
সঠিক উত্তর: গ
13/5
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
13/5
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinA = 12/13 হলে, tanA.cosecA = ?

সমাধান:
sinA = লম্ব/অতিভুজ = 12/13
ভূমি = √{(13)2 - (12)2}
= 5

tanA.cosecA = (12/5)(13/12)
= 13/5
৮১৩.
একটি ৫০ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ৩০ মিটার উচ্চতায় দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই-এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব (মিটারে)-
  1. ক
    ৪০ মিটার
  2. খ
    ৩৫ মিটার
  3. গ
    ৩২ মিটার
  4. ঘ
    ৩০ মিটার
সঠিক উত্তর: ক
৪০ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
৪০ মিটার
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ৫০ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ৩০ মিটার উচ্চতায় দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই-এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব (মিটারে)-

সমাধান:
ধরি,
মই- এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার

পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
৫০২ = ৩০২ + ক২
⇒ ২৫০০ = ৯০০ + ক২
⇒ ক২ = ২৫০০ - ৯০০
⇒ ক২ = ১৬০০
⇒ ক = √(১৬০০)
∴ ক = ৪০

∴ মই- এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ৪০ মিটার
৮১৪.
sinθ + cosθ = √2sin(90° - θ) হলে, tanθ এর মান কত?
  1. ক
    √2 + 1
  2. খ
    √2 - 1
  3. গ
    √2
  4. ঘ
    1
সঠিক উত্তর: খ
√2 - 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
√2 - 1
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2sin(90° - θ) হলে, tanθ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
 sinθ + cosθ = √2 sin(90° - θ)
⇒ sinθ + cosθ = √2 cosθ
⇒ (sinθ + cosθ)/cosθ = √2 
⇒ (sinθ/cosθ ) + (cosθ/ cosθ) = √2 
⇒ tanθ + 1 = √2
⇒ tanθ = √2 - 1
৮১৫.
যদি cotθ = 5/12 হয় হয়, তবে cosecθ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 12/5
  2. খ
    খ) 13/12
  3. গ
    গ) 25/144
  4. ঘ
    ঘ) -(13/12)
সঠিক উত্তর: খ
খ) 13/12
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 13/12
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি cotθ = 5/12 হয় হয়, তবে cosecθ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
cotθ = 5/12 = BC/AB

আমরা জানি,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = (12)2 + (5)2
⇒ AC = √169
∴ AC = 13

cosecθ = AC/AB = 13/12
৮১৬.
সূর্যের উন্নতি কোণ কত হলে একটি গাছের ছায়া তার দৈর্ঘ্যের √3 গুণ হবে?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
সঠিক উত্তর: ক
30°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
30°
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সূর্যের উন্নতি কোণ কত হলে একটি গাছের ছায়া তার দৈর্ঘ্যের √3 গুণ হবে?

সমধান:
ধরি,
সূর্যের উন্নতি কোণ = θ
গাছের দৈর্ঘ্য = a
ছায়ার দৈর্ঘ্য = √3a

আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
⇒ tanθ = a/√3a
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ θ = 30°
৮১৭.
যদি sinA = 5/13 হয়, তবে cotA এর মান কত?
  1. ক
    5/12
  2. খ
    13/5
  3. গ
    5/13
  4. ঘ
    12/5
সঠিক উত্তর: ঘ
12/5
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
12/5
ঘ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sinA = 5/13 হয়, তবে cotA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, sinA = 5/13

আমরা জানি,
 sinA = লম্ব/অতিভুজ।
অতএব লম্ব = 5 এবং অতিভুজ = 13

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
ভূমি2 + লম্ব2 = অতিভুজ2
⇒ ভূমি2 + 52 = 132
⇒ ভূমি2 + 25 = 169
⇒ ভূমি2 = 169 - 25 = 144
⇒ ভূমি = √144 = 12

এখন,
 cotA = ভূমি/লম্ব
⇒ cotA = 12/5

৮১৮.
cot 30° . tan 45°  . sec 0° . cosec 60°  রাশিটির মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    2
সঠিক উত্তর: ঘ
2
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
2
ঘ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cot 30° . tan 45°  . sec 0° . cosec 60°  মান নির্ণয় করুন।


সমাধান:
এখানে, 
cot 30° . tan 45°  . sec 0° . cosec 60°
= √3 × 1 × 1 × (2/√3)
= 2

৮১৯.
যদি sin⁡θ = 4/5​, তাহলে cos⁡θ =?
  1. ক
    3/5
  2. খ
    1/5
  3. গ
    2/5
  4. ঘ
    4/5
সঠিক উত্তর: ক
3/5
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
3/5
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sin⁡θ = 4/5​, তাহলে cos⁡θ =?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosθ = √(1 - sin2θ)
= √{1 - (4/5)2}
= √(1 - 16/25)
= √{(25 - 16)/25}
= √(9/25)
= 3/5
৮২০.
cosec(90° - θ) = 3 হলে, cosθ = কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    √3
  3. গ
    1/3
  4. ঘ
    1/√3
সঠিক উত্তর: গ
1/3
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
1/3
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosec(90° - θ) = 3 হলে, cosθ = কত? 

সমাধান: 
cosec(90° - θ) = 3 
বা, secθ = 3 
বা, 1/cosθ = 3
∴ cosθ = 1/3
৮২১.
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠C সমকোণ, AB = 13 একক, BC = 12 একক ∠ABC = θ হলে, sinθ ও cosθ এর অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ক) 5/13
  2. খ
    খ) 12/13
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 5/12
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 5/12
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 5/12
ঘ
ব্যাখ্যা


sinθ ও cosθ এর অনুপাত = sinθ/cosθ = tanθ = লম্ব/ভূমি = 5/12

৮২২.
secx/(cotx + tanx) = কত?
  1. ক
    cosx
  2. খ
    sinx
  3. গ
    tanx
  4. ঘ
    cotx
সঠিক উত্তর: খ
sinx
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
sinx
খ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: secx/(cotx + tanx) = কত?

সমাধান:

৮২৩.
একটি ১৮ মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ৩০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করল। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?
  1. ক
    ক) ১২ মিটার
  2. খ
    খ) ৯ মিটার
  3. গ
    গ) ৬ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৩ মিটার
সঠিক উত্তর: গ
গ) ৬ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) ৬ মিটার
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ১৮ মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ৩০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করল। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটি h উচ্চতায় ভেঙ্গেছিল
                      
sin∠ABC = AC/BC
⇒ sin30° = h/(18 - h)
⇒ 1/2 = h/(18 - h)
⇒ 18 - h = 2h
⇒ 3h = 18
⇒ h = 6

অতএব, খুঁটিটি ৬ মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গেছিল।
৮২৪.
যদি cos θ = √3/2 হয়, তবে tan θ এর মান কত?
  1. ক
    1/√3
  2. খ
    √3
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1
সঠিক উত্তর: ক
1/√3
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
1/√3
ক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cos θ = √3/2 হয়, তবে tan θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos θ = √3/2
⇒ cos θ = cos 30°
∴ θ = 30°

এখন,
tan θ
= tan 30°
= 1/√3

৮২৫.
যদি sinθ = 21/29 হয় তবে cosθ এর মান কত?
  1. ক
    ±(1/2)
  2. খ
    ±(4/9)
  3. গ
    ±(20/29)
  4. ঘ
    ±(29/21)
সঠিক উত্তর: গ
±(20/29)
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
±(20/29)
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sinθ = 21/29 হয় তবে cosθ এর মান কত?

সমাধান;
দেওয়া আছে, sinθ = 21/29

এখন,
sin2θ + cos2θ = 1
⇒ cos2θ = 1 - sin2θ
⇒ cos2θ = 1 - (21/29)2
⇒ cos2θ = 1 - (441/841)
⇒ cos2θ = (841 - 441)/841
⇒ cos2θ = 400/841
⇒ cosθ = ± √(400/841)
∴ cosθ = ±(20/29)
৮২৬.
নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) sin1° = sin179°
  2. খ
    খ) sin1° < sin179°
  3. গ
    গ) sin1° < sin180°
  4. ঘ
    ঘ) sin1° = sin181°
সঠিক উত্তর: ক
ক) sin1° = sin179°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) sin1° = sin179°
ক
ব্যাখ্যা
sin1° = sin179° = 0.0174524064
৮২৭.
tan⁡(90° - θ) এর মান কী?
  1. ক
    tan⁡θ
  2. খ
    cot⁡θ
  3. গ
    sec⁡θ
  4. ঘ
    sin⁡θ
সঠিক উত্তর: খ
cot⁡θ
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
cot⁡θ
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan⁡(90° - θ) এর মান কী?

সমাধান:
tan⁡(90° - θ)
= cotθ

sin⁡(90° - θ) = cosθ
cos⁡(90° - θ) = sinθ
cot⁡(90° - θ) = tanθ
sec⁡(90° - θ) = cosecθ
cosec⁡(90° - θ) = secθ
৮২৮.
cos150° এর মান কত?
  1. ক
    - √5/2
  2. খ
    - √3/5
  3. গ
    - √3/2
  4. ঘ
    - √5/3
সঠিক উত্তর: গ
- √3/2
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
- √3/2
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos150° এর মান কত?

সমাধান: 
cos150°
= cos(90° + 60°)
= - sin60°
= - √3/2
৮২৯.
একটি মিনারের পাদদেশ হতে 20 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে মিনারটির উচ্চতা কত মিটার?
  1. ক
    20√3 মিটার
  2. খ
    10/√3 মিটার
  3. গ
    20/√3 মিটার
  4. ঘ
    10 মিটার
সঠিক উত্তর: গ
20/√3 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
20/√3 মিটার
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 20 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে মিনারটির উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান:

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা, AB = h
মিনারের পাদদেশ হতে BC = 20 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 30°

আমরা জানি,
tan∠ACB = AB/BC
বা, tan30° = h/20
বা, 1/√3 = h/20
∴ h = 20/√3

∴ মিনারটির উচ্চতা = 20/√3 মিটার।
৮৩০.
যদি secθ + tanθ = 7/4 হয়, (secθ - tanθ)2 এর মান কত হবে?
  1. ক
    4/7
  2. খ
    1/2
  3. গ
    13/43
  4. ঘ
    16/49
সঠিক উত্তর: ঘ
16/49
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
16/49
ঘ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি secθ + tanθ = 7/4 হয়, (secθ - tanθ)2 এর মান কত হবে?
​
​সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ + tanθ = 7/4
​
​আমরা জানি,
sec2θ - tan2θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ (7/4)(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/(7/4)
⇒ secθ - tanθ = 4/7

∴ (secθ - tanθ)2 = 16/49

৮৩১.
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90° এবং tanA = 1 হলে, 2. sinA. cosA = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    √2
  4. ঘ
    4
সঠিক উত্তর: খ
1
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
1
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90° এবং tanA = 1 হলে, 2. sinA. cosA = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
tanA = লম্ব/ভূমি

দেওয়া আছে,
tanA = 1

∴ লম্ব = 1 এবং ভূমি = 1

∴ অতিভুজ = √(12 + 12) = √2

∴ sinA = লম্ব/অতিভুজ = 1/√2
∴ cosA = ভূমি/অতিভুজ = 1/√2

∴ 2. sinA. cosA = 2 × (1/√2) × (1/√2) = 1
৮৩২.
cos75°. cos15° এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    1/2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    1/4
সঠিক উত্তর: ঘ
1/4
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
1/4
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos75°. cos15° এর মান কত?

সমাধান:
cos75°. cos15°
= cos(90° - 15°).cos15°
= sin15°.cos15°
= (1/2).2sin15°.cos15°
= (1/2). sin(2 × 15°)
= (1/2).sin30°
= (1/2) × (1/2)
= 1/4
৮৩৩.
sec A - tan A = 11/7 হলে (sec A + tan A)2 =?
  1. ক
    49/​121
  2. খ
    ​12149
  3. গ
    36/​169
  4. ঘ
    81/​49
সঠিক উত্তর: ক
49/​121
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
49/​121
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sec A - tan A = 11/7 হলে (sec A + tan A)2 =? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sec A − tan A = 11/7​ 

আমরা জানি যে,
⇒ sec⁡2A − tan⁡2A = 1
⇒ (sec A + tan A)(sec A − tan A) =1
⇒ (sec A+tan A) × (11/7)​ = 1
⇒ sec A + tan A = 7​/11
∴ (sec A + tan A)2 = (7/11​)2 = 49/​121
৮৩৪.
tanA + sinA = m এবং tanA - sinA = n তাহলে m2 - n2 = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    4mn
  3. গ
    4√mn
  4. ঘ
    4(m + n)
সঠিক উত্তর: গ
4√mn
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
4√mn
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanA + sinA = m এবং tanA - sinA = n তাহলে m2 - n2 = ?

সমাধান:
m2 - n2
= (tanA + sinA)2 - (tanA - sinA)2
= 4tanA.sinA
= 4√(tan2A.sin2A)
= 4√{tan2A(1- cos2A)}
= 4√(tan2A- tan2A .cos2A)
= 4√(tan2A - sin2A)
= 4√(tanA + sinA)(tanA - sinA)
= 4√mn
৮৩৫.
1/{tanA√(1 - sin2A)} এর মান কত?
  1. ক
    sinA
  2. খ
    cosecA
  3. গ
    secA
  4. ঘ
    cosA
সঠিক উত্তর: খ
cosecA
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
cosecA
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/{tanA√(1 - sin2A)} এর মান কত?

সমাধান:
tanA√(1 - sin2A)
= tanA√(cos2A)
= (sinA/cosA) × cosA
= sinA

এখন,
1/{tanA√(1 - sin2A)}
= 1/sinA
= cosecA
৮৩৬.
যদি sec2θ + tan2θ = 7/12 হলে, sec4θ - tan4θ = ?
  1. ক
    ক) 12/7
  2. খ
    খ) 7/12
  3. গ
    গ) 5/12
  4. ঘ
    ঘ) 12/5
সঠিক উত্তর: খ
খ) 7/12
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 7/12
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sec2θ + tan2θ = 7/12 হলে, sec4θ - tan4θ = ?

সমাধান;
দেওয়া আছে,
sec2θ + tan2θ = 7/12

এখন,
sec4θ - tan4θ
⇒ (sec2θ - tan2θ) (sec2θ + tan2θ)
⇒ 1 × (sec2θ + tan2θ) [যেহেতু sec2θ - tan2θ = 1]
⇒ 1 × (7/12)
⇒ 7/12
৮৩৭.
{1/(1 + cot2θ)} + {3/(1 + tan2θ)} + 2sin2θ = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    6
  4. ঘ
    1
সঠিক উত্তর: খ
3
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
3
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {1/(1 + cot2θ)} + {3/(1 + tan2θ)} + 2sin2θ = কত?

সমাধান:
{1/(1 + cot2θ)} + {3/(1 + tan2θ)} + 2sin2θ
= (1/cosec2θ) + (3/sec2θ) + 2sin2θ
= sin2θ + 3cos2θ + 2sin2θ
= 3sin2θ + 3cos2θ
= 3(sin2θ + cos2θ)
= 3 × 1
= 3
৮৩৮.
cos2A - sin2A = 1/√5 হলে, cos4A - sin4A এর মান কত হবে?
  1. ক
    1
  2. খ
    2/√3 
  3. গ
    1/√5
  4. ঘ
    √5
সঠিক উত্তর: গ
1/√5
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
1/√5
গ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cos2A - sin2A = 1/√5 হলে, cos4A - sin4A এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cos2A - sin2A = 1/√5
 
∴ প্রদত্ত রাশি,
cos4A - sin4A
= (cos2A)2 - (sin2A)2
= (cos2A + sin2A) (cos2A - sin2A)
= 1 × 1/√5                                              [∵ sin2θ + cos2θ = 1]
= 1/√5

৮৩৯.
tan⁡A + cot⁡A = 2 হলে, sin⁡A এর মান কত?
  1. ক
    1/√2
  2. খ
    √3/2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1
সঠিক উত্তর: ক
1/√2
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
1/√2
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan⁡A + cot⁡A = 2 হলে, sin⁡A এর মান কত?

সমাধান:
tan⁡A + cot⁡A = 2
⇒ {(sinA/cosA) + (cosA/sinA)} = 2
⇒ (sin2A + cos2A)/(sinA.cosA) = 2
⇒ 1 = 2sinA.cosA
⇒ sin2A = 1
⇒ sin2A = sin90°
⇒ 2A = 90°
∴ A = 45°

এখন,
 sinA
= sin45°
= 1/√2
৮৪০.
cos(- 60°) এর মান কত?
  1. ক
    ক) - 1/2
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) -1/√2
  4. ঘ
    ঘ) 1/√2
সঠিক উত্তর: খ
খ) 1/2
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 1/2
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos(- 60°) এর মান কত?

সমাধান:
cos(- 60°)
= cos60°
= 1/2
৮৪১.
cot 15° × cot 25° × cot 60° × cot 65° × cot 75° এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) √3
  3. গ
    গ) 1/√3
  4. ঘ
    ঘ) 0
সঠিক উত্তর: গ
গ) 1/√3
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 1/√3
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cot 15° × cot 25° × cot 60° × cot 65° × cot 75° এর মান কত? 

সমাধান: 
cot 15° × cot 25° × cot 60° × cot 65° × cot 75° 
= cot 15° × cot 25° × cot 60° × cot(90 - 25°) × cot(90 - 15°)
= cot 15° × cot 25° × cot 60° × tan15° × tan 25°
= cot 15° × cot 25° × cot 60° × (1/cot 15°) × (1/cot 25°)
= cot 60°
= 1/√3
৮৪২.
কোন সম্পর্কটি সঠিক নয়?
  1. ক
    sin2θ + cos2θ = 1
  2. খ
    sec2θ - tan2θ = 1
  3. গ
    tan2θ - cot2θ = 1
  4. ঘ
    cosec2θ - cot2θ = 1
সঠিক উত্তর: গ
tan2θ - cot2θ = 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
tan2θ - cot2θ = 1
গ
ব্যাখ্যা
ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর সম্পর্ক: 
sin2θ + cos2θ = 1
sec2θ - tan2θ = 1
cosec2θ - cot2θ = 1
৮৪৩.
একটি মিনারের পাদদেশ হতে 20√3 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে, মিনারটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) 20 মিটার
  2. খ
    খ) 20/√3 মিটার
  3. গ
    গ) 60 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 60√3 মিটার
সঠিক উত্তর: গ
গ) 60 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 60 মিটার
গ
ব্যাখ্যা

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা h
চিত্রে, AB = h,
BC = 20√3,
∠C = 60°
∴ tan60° = AB/BC
বা, AB = BC × tan60°
∴ h = 20√3 × √3 = 60 মিটার

৮৪৪.
নিচের কোনটি সত্য নয়?
  1. ক
    sin2θ + cos2θ = 1
  2. খ
    sec2θ - tan2θ = 1
  3. গ
    tan2θ - cot2θ = 1
  4. ঘ
    cosec2θ - cot2θ = 1
সঠিক উত্তর: গ
tan2θ - cot2θ = 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
tan2θ - cot2θ = 1
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সত্য নয়?

সমাধান:
ত্রিকোনমিতির সূত্রাবলী থেকে পাই,
sin2θ + cos2θ = 1
sec2θ - tan2θ = 1
cosec2θ - cot2θ = 1
৮৪৫.
tanA = √3 হলে, √3sinAcosA এর মান কত?
  1. ক
    5/4
  2. খ
    √3/4
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    1/4
সঠিক উত্তর: গ
3/4
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
3/4
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanA = √3 হলে, √3sinAcosA এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
tanA = √3 
∴ A = 60°

এখন,
√3sinAcosA
= √3 × sin60° × cos60°
= √3 × (√3/2) × (1/2)
= 3/4
৮৪৬.
একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে ১২ মিটার উঁচু ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায়। অপর প্রান্ত ঘর থেকে ৯ মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    ১০ মিটার
  2. খ
    ১২ মিটার
  3. গ
    ১৩ মিটার
  4. ঘ
    ১৫ মিটার
সঠিক উত্তর: ঘ
১৫ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
১৫ মিটার
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে ১২ মিটার উঁচু ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায়। অপর প্রান্ত ঘর থেকে ৯ মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:

ধরি,
মইটির 'ক' মিটার লম্বা
সমকোণী ত্রিভূজের সূত্র হতে পাই,
(অতিভূজ)২ = (ভূমি)২ + (লম্বা)২
⇒ ক২ = (৯)২ + (১২)২
⇒ ক২ = ৮১ + ১৪৪
⇒ ক২ = ২২৫
⇒ a = √২৫৫
∴ ক = ১৫ মিটার
৮৪৭.
cos225° + cos265° = ?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    0
  3. গ
    1
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: গ
1
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
1
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos225° + cos265° = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos225° + cos265°
= cos225° + cos2(90° - 25°)
= cos225° + sin225°
= sin225° + cos225°  ; [ sin2A + cos2A = 1]
= 1
৮৪৮.
A = 180° হলে sin(A/2) = কত? 
  1. ক
    1/2
  2. খ
    2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    √2
সঠিক উত্তর: গ
1
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
1
গ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = 180° হলে sin(A/2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 180°

এখন,
sin(A/2)
= sin(180°/2)
= sin90°
= 1

∴ sin(A/2) = 1

৮৪৯.
একটি বিল্ডিংয়ের ১০০ মিটার দূরের কোনো বিন্দুতে বিল্ডিংটির চূড়ার উন্নতি কোণ ৩০ ডিগ্রি। বিল্ডিংটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ৫৭.৭ মিটার
  2. খ
    ১৭৩.২ মিটার
  3. গ
    ৬৩.৩৩ মিটার
  4. ঘ
    ৫০ মিটার
সঠিক উত্তর: ক
৫৭.৭ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
৫৭.৭ মিটার
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বিল্ডিংয়ের ১০০ মিটার দূরের কোনো বিন্দুতে বিল্ডিংটির চূড়ার উন্নতি কোণ ৩০ ডিগ্রি। বিল্ডিংটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
বিল্ডিংটির উচ্চতা = h মিটার।
tan30° = h/100
⇒ 1/√3 = h/100
⇒ h = 100/√3
∴ h = 57.7
৮৫০.
35° কে বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন। 
  1. ক
    7π/180 রেডিয়ান
  2. খ
    5π/180 রেডিয়ান
  3. গ
    7π/36 রেডিয়ান
  4. ঘ
    5π/36 রেডিয়ান
সঠিক উত্তর: গ
7π/36 রেডিয়ান
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
7π/36 রেডিয়ান
গ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 35° কে বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন


সমাধান:
আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
  1° = π/180° রেডিয়ান
 35° = (π × 35°)/180° রেডিয়ান
= 7π/36 রেডিয়ান 

৮৫১.
যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 30°) = 1 হয়, তবে θ এর মান কত? ​
  1. ক
    75°
  2. খ
    37.5°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    60°
সঠিক উত্তর: ঘ
60°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
60°
ঘ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 30°) = 1 হয়, তবে θ এর মান কত?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
sin(θ + 30°) = 1
​⇒ sin(θ + 30°) =sin90°
​⇒ θ + 30° = 90°
​⇒ θ = 90° - 30°
​∴ θ = 60°
​
​∴ θ এর মান 60° হবে।

৮৫২.
θ = 30° এবং a = 2 হলে, c এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    (2√3)/3
  2. খ
    (4√3)/3
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    3
সঠিক উত্তর: খ
(4√3)/3
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
(4√3)/3
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: θ = 30° এবং a = 2 হলে, c এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
cos⁡30° = a/c
⇒ c = a/cos⁡30° = 2/(√3/2) = 4/√3 = (4√3)/3
৮৫৩.
cos(nπ/2) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    0
সঠিক উত্তর: ঘ
0
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
0
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos(nπ/2) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?

সমাধান:
cos(nπ/2) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ
= cos(5π/2) [এখানে n = 5]
= cos(2π + π/2)
= cos(π/2)
= 0
৮৫৪.
প্রশ্ন:
  1. ক
    2secθ
  2. খ
    cosθ
  3. গ
    3tanθ
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: ক
2secθ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
2secθ
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:
৮৫৫.
30° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-
  1. ক
    π/6 রেডিয়ান
  2. খ
    2π রেডিয়ান
  3. গ
    π/2 রেডিয়ান
  4. ঘ
    π/3 রেডিয়ান
সঠিক উত্তর: ক
π/6 রেডিয়ান
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
π/6 রেডিয়ান
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 30° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

আমরা জানি
30° = π/2 রেডিয়ান
1° = (π/2) × 90 রেডিয়ান

∴ 30° = 30π/(2 × 90) রেডিয়ান
= π/6 রেডিয়ান
৮৫৬.
0 ≤ θ ≤ π/3 এর জন্য, cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    √3/2
  3. গ
    - 0.05
  4. ঘ
    0.5
সঠিক উত্তর: ঘ
0.5
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
0.5
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0 ≤ θ ≤ π/3 এর জন্য, cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cos0° এর মান 1
cos(π/3) = cos60° = 1/2 = 0.5 
৮৫৭.
একটি বাড়ি ২৪ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৭ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
  1. ক
    ১৩ ফুট
  2. খ
    ২৫ ফুট
  3. গ
    ৪১ ফুট
  4. ঘ
    ৪৩ ফুট
সঠিক উত্তর: খ
২৫ ফুট
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
২৫ ফুট
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাড়ি ২৪ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৭ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

সমাধান:
বাড়ির দেয়াল মইয়ের সাথে সমকোণ তৈরী করেছে
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ২ = লম্ব২+ ভূমি২
অতিভূজ২ = ২৪২ + ৭২
অতিভূজ২ = ৫৭৬ + ৪৯
∴ অতিভূজ = √৬২৫
= ২৫ ফুট

∴ মইয়ের উচ্চতা = ২৫ ফুট
৮৫৮.
2cos2θ = 1 + 2sin2θ হলে θ এর মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
সঠিক উত্তর: ক
30°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
30°
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2cos2θ = 1 + 2sin2θ হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
2cos2θ = 1 + 2sin2θ
⇒ 2(1 - sin2θ) = 1 + 2sin2θ
⇒ 2 - 2sin2θ = 1 + 2sin2θ
⇒ 2 - 1 = 2sin2θ + 2sin2θ
⇒ 4sin2θ = 1
⇒ sin2θ = 1/4
⇒ sin2θ = (1/2)2
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°
৮৫৯.
যদি cos(2θ + 15°) = 1/√2 হয়, তবে tan3θ এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    1/√3
সঠিক উত্তর: খ
1
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
1
খ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cos(2θ + 15°) = 1/√2 হয়, তবে tan3θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos(2θ + 15°) = 1/√2
⇒ cos(2θ + 15°) = cos(45°)
⇒ 2θ + 15° = 45°
⇒ 2θ = 45° - 15°
⇒ 2θ = 30°
∴  θ = 15°

এখন,
tan3θ
= tan(3 × 15°)
= tan(45°)
= 1

৮৬০.
একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে ৫ মিটার উপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত খুঁটিটির গোড়া থেকে ১২ মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করলো, খুঁটিটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ২১ মিটার
  2. খ
    ১৫ মিটার
  3. গ
    ১৬ মিটার
  4. ঘ
    ১৮ মিটার
সঠিক উত্তর: ঘ
১৮ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
১৮ মিটার
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে ৫ মিটার উপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত খুঁটিটির গোড়া থেকে ১২ মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করলো, খুঁটিটির উচ্চতা কত?

সমাধান: 

ধরি,
খুঁটির উচ্চতা = h
পীথাগোরাসের সূত্রানুয়ায়ি,
(h - 5)2 = 52 + 122
(h - 5)2 = 132
h - 5 = 13
h = 18
৮৬১.
sin{(17π/2) + θ} = ?
  1. ক
    - cosθ
  2. খ
    - sinθ
  3. গ
    sinθ
  4. ঘ
    cosθ
সঠিক উত্তর: ঘ
cosθ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
cosθ
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin{(17π/2) + θ} = ?

সমাধান: 
sin(17π/2 + θ)
= sin{17 × (π/2) + θ}
= sin(π/2 + θ)
= cosθ
৮৬২.
sinA = 12/13 হলে, cotA এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    5/12
  2. খ
    13/5
  3. গ
    13/12
  4. ঘ
    5/13
সঠিক উত্তর: ক
5/12
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
5/12
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinA = 12/13 হলে, cotA এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
cot A = (cosA)/(sinA)
= {√(1 - sin2A)}/sinA
= [√{1 - (12/13)2}]/(12/13)
= [√{1 - (144/169)}]/(12/13)
= [√{169 - 144/169)}]/(12/13)
= √{(25/169)}/(12/13)
= (5/13)/(12/13)
= (5/13) × (13/12)
= 5/12
৮৬৩.
একটি ৬০ মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ৩০° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল? 
  1. ক
    ৩০ মিটার
  2. খ
    ১০ মিটার
  3. গ
    ২০ মিটার
  4. ঘ
    ৪০ মিটার
সঠিক উত্তর: গ
২০ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
২০ মিটার
গ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ৬০ মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ৩০° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল?


সমাধান:
 
ধরি,
খুঁটিটি মাটি থেকে h মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছে। তাহলে ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (৬০ - h) মিটার

এই ভাঙ্গা অংশটি ভূমির সাথে ৩০° কোণ করে মাটি স্পর্শ করেছে। এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, যেখানে:

∴ অতিভুজ = ভাঙ্গা অংশ = (৬০ - h) মিটার
∴ লম্ব = ভাঙ্গার উচ্চতা = h মিটার
কোণ = ৩০°
∴ sin ৩০° = বিপরীত বাহু / অতিভুজ
⇒ ১/২ = h / (৬০ - h)
⇒ ৬০ - h = ২h
⇒ ৬০ = ৩h
⇒ h = ২০ মিটার

৮৬৪.
sinA = 2/3 হলে, tanA.SecA এর মান কত?
  1. ক
    5/6
  2. খ
    √5/6
  3. গ
    6/5
  4. ঘ
    2/√5
সঠিক উত্তর: গ
6/5
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
6/5
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinA = 2/3 হলে, tanA.SecA এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
sinA = 2/3 = লম্ব/অতিভুজ
∴ ভূমি = √{(অতিভুজ)২ - (লম্ব)২}
= √{(3)2 - (2)2}
= √5

∴ tanA.secA = (লম্ব/ভূমি)(অতিভুজ/ভূমি)
= (2/√5)(3/√5)
= 6/5
৮৬৫.
কোনটি অসজ্ঞায়িত?
  1. ক
    sec90°
  2. খ
    tan90°
  3. গ
    cosec0°
  4. ঘ
    সবগুলোই
সঠিক উত্তর: ঘ
সবগুলোই
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
সবগুলোই
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনটি অসজ্ঞায়িত?

সমাধান:
tan90° = অসজ্ঞায়িত
sec90° = অসজ্ঞায়িত
cosec0° = অসজ্ঞায়িত
৮৬৬.
24 মিটার উঁচু একটি গাছ h উচ্চতায় এমনভাবে ভেঙে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি সম্পূর্ণ আলাদা না হয়ে মাটির সাথে 30° কোণে মিলিত হলো। গাছটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    32 মিটার
  2. খ
    12 মিটার
  3. গ
    16 মিটার
  4. ঘ
    8 মিটার
সঠিক উত্তর: গ
16 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
16 মিটার
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 24 মিটার উঁচু একটি গাছ h উচ্চতায় এমনভাবে ভেঙে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি সম্পূর্ণ আলাদা না হয়ে মাটির সাথে 30° কোণে মিলিত হলো। গাছটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:


মনে করি,
AD = 12 মিটার একটি গাছ AC = h উচ্চতায় ভেঙ্গে ভূমির সাথে ∠ABC = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য, CD = BC = (24 - h) মিটার

△ABC ত্রিভুজ হতে পাই,
sin∠ABC = AC/BC
⇒ sin30° = AC/BC
⇒ 1/2 = h/(24 - h)
⇒ 2h = 24 - h
⇒ 2h + h = 24
⇒ 3h = 24
∴ h = 8

∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (24 - 8) মিটার
= 16 মিটার
৮৬৭.
যদি cos(θ - 30°) = √3/2 হয়, তাহলে cos2θ = ?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    3/4
  3. গ
    1/4
  4. ঘ
    1/√2
সঠিক উত্তর: গ
1/4
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
1/4
গ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cos(θ - 30°) = √3/2 হয়, তাহলে cos2θ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos(θ - 30°) = √3/2
⇒ cos(θ - 30°) = √3/2
⇒ cos(θ - 30°) = cos 30°
⇒ θ - 30° = 30°
⇒ θ = 30° + 30°
⇒ θ = 60°

এখন,
cos2θ
= (cos 60°)2
= (1/2)2
= 1/4

৮৬৮.
x = 2siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    0
সঠিক উত্তর: খ
2
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
2
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 2siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
siny এর রেঞ্জ = [-1, 1]
সুতরাং, siny এর সর্বোচ্চ মান = 1

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = (2 × 1)
= 2
৮৬৯.
৩০° কোণে আনত একটি মই এর দৈর্ঘ্য ২০ মিটার হলে, এটি দিয়ে সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় উঠা যাবে?
  1. ক
    ক) ২০ মিটার
  2. খ
    খ) ১০ মিটার
  3. গ
    গ) ১৫ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৮ মিটার
সঠিক উত্তর: খ
খ) ১০ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) ১০ মিটার
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০° কোণে আনত একটি মই এর দৈর্ঘ্য ২০ মিটার হলে, এটি দিয়ে সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় উঠা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin30° = h/20
বা, 1/2 = h/20
বা, h = 10

অর্থাৎ সর্বোচ্চ ১০ মিটার উচ্চতায় উঠা যাবে।
৮৭০.
যদি sin⁡α = 5/13 এবং  (π/2) < α < π হয়, তাহলে cotα এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    - (12/5)
  2. খ
    - (5/12)
  3. গ
    - (12/13)
  4. ঘ
    5/12
সঠিক উত্তর: ক
- (12/5)
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
- (12/5)
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sin⁡α = 5/13 এবং  (π/2) < α < π হয়, তাহলে cotα এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
(π/2) < α < π
∴ α, ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত। তাই cosα < 0 হবে,

cosα = - √(1 - sin2α​)
= - √{1 - (5/13)2}
= - √(1 - 25/169)
= - √(144/169)
= - (12/13)

cotα = cosα/sinα
= - (12/13)/(5/13)
= - (12/5)
৮৭১.
cotA = 2 হলে {(2 + 2sinA)(1 - sinA)}/{(1 + cosA)(2 - 2cosA)} এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1/4
সঠিক উত্তর: খ
4
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
4
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cotA = 2 হলে (2 + 2sinA)(1 - sinA)/(1 + cosA)(2 - 2cosA) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
cotA = 2

এখন
(2 + 2sinA)(1 - sinA)/(1 + cosA)(2 - 2cosA)
= 2[(1 + sinA)(1 - sinA)]/2[(1 + cosA)(1 - cosA)]
= [(1 + sinA)(1 - sinA)]/[(1 + cosA)(1 - cosA)]
= 1 - sin2A/1 - cos2A
= cos2A/sin2A
= cot2A
= 22
= 4
৮৭২.
একটি 20 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 4 মিটার নিচে নেমে আসবে?
  1. ক
    12 মিটার
  2. খ
    13 মিটার
  3. গ
    10 মিটার
  4. ঘ
    16 মিটার
সঠিক উত্তর: ক
12 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
12 মিটার
ক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি 20 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 4 মিটার নিচে নেমে আসবে?

সমাধান:


এখানে, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 4 মিটার নামবে। মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = BD = 20 মিটার 
এবং AB = 4 মিটার, BC = 20 - 4 = 16 মিটার 

এখন, পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
BC2 + CD2 = BD2
⇒ CD2 = BD2 - BC2
⇒ CD2 = 202 - 162
⇒ CD2 = 400 - 256
⇒ CD2 = 144
⇒ CD = √144
∴ CD = 12

∴ মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 12 মিটার দূরে সরালে উপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে।

৮৭৩.
একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 40 মিটার দূরে ভূমির একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30°। গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করুন। 
  1. ক
    40 মিটার
  2. খ
    40/√3 মিটার
  3. গ
    80 মিটার
  4. ঘ
    40√3 মিটার
সঠিক উত্তর: খ
40/√3 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
40/√3 মিটার
খ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 40 মিটার দূরে ভূমির একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30°। গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করুন।
 
সমাধান: 
মনে করি, গাছটির পাদবিন্দু B, ভূমির একটি বিন্দু C এবং শীর্ষবিন্দু A। গাছটির পাদদেশ হতে নির্দিষ্ট স্থানের দূরত্ব BC = 40 মিটার। 
গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB =30° এবং গাছটির উচ্চতা AB = h মিটার



এখন,
tan30° = AB/BC
⇒ 1/√3 = h/40
⇒ √3h = 40
⇒ h = 40/√3

∴ গাছটির উচ্চতা = 40/√3 মিটার

৮৭৪.
নিচের কোন অনুপাতটি সঠিক?
  1. ক
    secθ = অতিভুজ/ভূমি 
  2. খ
    cosecθ = অতিভুজ/লম্ব
  3. গ
    ক ও খ
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: গ
ক ও খ
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
ক ও খ
গ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন অনুপাতটি সঠিক?

সমাধান:

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
cosecθ = অতিভুজ/লম্ব   
cosθ = ভূমি/অতিভুজ 
secθ = অতিভুজ/ভূমি 
tanθ = লম্ব/ভূমি 
cotθ = ভূমি/লম্ব

৮৭৫.
cotθ = 3/4 হলে, cosecθ এর মান কত?
  1. ক
    3/5
  2. খ
    4/3
  3. গ
    4/5
  4. ঘ
    5/4
সঠিক উত্তর: ঘ
5/4
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
5/4
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cotθ = 3/4 হলে, cosecθ এর মান কত?

সমাধান:
cotθ = 3/4

আমরা জানি,
cotθ = ভূমি/লম্ব 
ভূমি = 3, লম্ব =4
অতিভুজ = √(ভূমি২ + লম্ব২)
= √(32 + 42)
= √25
= 5

∴ cosecθ = অতিভুজ/লম্ব = 5/4
৮৭৬.
cos-1 x + cos-1 y = π/2 হলে x2 + y2 = কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    √3/2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    0
সঠিক উত্তর: গ
1
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
1
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos-1 x + cos-1 y = π/2 হলে x2 + y2 = কত?

সমাধান:
cos-1 x + cos-1 y = π/2
⇒ cos-1 y = (π/2) - cos-1 x
⇒ y = cos {(π/2) - cos-1 x}
⇒ y = cos(π/2) cos{(cos-1 x)} + sin(π/2) sin{(cos-1 x)}
⇒ y = sin{(sin-1√1 - x2)}
⇒ y = √1 - x2
⇒ y2 = 1 - x2
∴ x2 + y2 = 1
৮৭৭.
tanθ = √3 হলে cosθ = কত?
  1. ক
    ক) √3/2
  2. খ
    খ) 1/√2
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 1
সঠিক উত্তর: গ
গ) 1/2
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 1/2
গ
ব্যাখ্যা
tanθ = √3 = tan60°
∴ θ = 60°
∴ cosθ = cos60° = 1/2
৮৭৮.
tan2A = 1/3 হয়, তবে cos⁡4A + sin⁡4A = ?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    3/4
  3. গ
    5/8
  4. ঘ
    8
সঠিক উত্তর: গ
5/8
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
5/8
গ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tan2A = 1/3 হয়, তবে cos⁡4A + sin⁡4A = ?
​
​সমাধান:
দেওয়া আছে,
​tan2A = 1/3
⇒ tanA = 1/√3 = tan30°
​∴ A = 30°
​
​প্রদত্ত রাশি,
​ cos⁡4A + sin⁡4A 
​= cos⁡430° + sin⁡430°
​= (√3/2)4 + (1/2)4
​= (9/16) + (1/16)
​= (9 + 1)/16
​= 10/16
​= 5/8

৮৭৯.
π/12 রেডিয়ান = কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ক) 20°
  2. খ
    খ) 15°
  3. গ
    গ) 18°
  4. ঘ
    ঘ) 25°
সঠিক উত্তর: খ
খ) 15°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 15°
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : π/12 রেডিয়ান = কত ডিগ্রি?
সমাধান : 
1 রেডিয়ান = 180/π ডিগ্রি
∴ π/12 রেডিয়ান = 180/π × π/12
                          = 15 ডিগ্রি
৮৮০.
ত্রিকোণমিতিতে, sin⁡2θ + cos⁡2θ সমান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    1/√2
  4. ঘ
    1/2
সঠিক উত্তর: খ
1
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
1
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিকোণমিতিতে, sin⁡2θ + cos⁡2θ সমান কত?

সমাধান:

sin2θ + cos2θ
= (লম্ব/অতিভুজ)২ + (ভূমি/অতিভুজ)২
= (লম্ব২ + ভূমি২)/অতিভুজ২
= অতিভুজ২/অতিভুজ২   ;[অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২]
= ১
৮৮১.
cos4A - sin4A = 2/3 হলে, 1 - 2sin2A = কত?
  1. ক
    2/3
  2. খ
    1/4
  3. গ
    3/2
  4. ঘ
    1/5
সঠিক উত্তর: ক
2/3
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
2/3
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos4A - sin4A = 2/3 হলে, 1 - 2sin2A = কত?

সমাধান:
cos4A - sin4A = 2/3
⇒ (cos2)2A - (sin2)2A = 2/3
⇒ (cos2A + sin2A)(cos2A - sin2A) = 2/3
⇒ cos2A - sin2A = 2/3
⇒ 1 - sin2A - sin2A = 2/3
⇒ 1 - 2sin2A = 2/3
৮৮২.
cosecA + cotA = 5/2 হলে, cosecA - cotA এর মান কত?
  1. ক
    2/5
  2. খ
    1/5
  3. গ
    4/5
  4. ঘ
    1/2
সঠিক উত্তর: ক
2/5
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
2/5
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosecA + cotA = 5/2 হলে, cosecA - cotA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecA + cotA = 5/2
আমরা জানি,
cosec2A - cot2A = 1
⇒ (cosecA + cotA)(cosecA - cotA) = 1
⇒ 5/2(cosecA - cotA) = 1
⇒ (cosecA - cotA) = 2/5
৮৮৩.
If 2sinθ+cosθ = 7/3, then find out the value of (tan²θ−sec²θ)-
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) -1
  4. ঘ
    ঘ) 7/3
সঠিক উত্তর: গ
গ) -1
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) -1
গ
ব্যাখ্যা
tan²θ−sec²θ = −(sec² - θtan²θ) = -1
৮৮৪.
একটি মিনারের পাদদেশ হতে ২০ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) 20√7 মিটার
  2. খ
    খ) 20/√3 মিটার
  3. গ
    গ) 20 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 10√3 মিটার
সঠিক উত্তর: খ
খ) 20/√3 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 20/√3 মিটার
খ
ব্যাখ্যা
উচ্চতা = [পাদদেশ হতে দূরত্ব/√3] = 20/√3 মিটার।
৮৮৫.
যদি tanθ = 0 হয়, তবে sinθ  + cosθ = ?  
  1. ক
    0
  2. খ
    1/2
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
সঠিক উত্তর: ঘ
1
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
1
ঘ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tanθ = 0 হয়, তবে sinθ  + cosθ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
tanθ = 0
⇒ tanθ = tan0°
∴ θ = 0°

এখন,
sinθ  + cosθ
= sinθ + cosθ
= sin0° + cos0° 
= 0 + 1
= 1

৮৮৬.
যদি tanθ = 1 হয়, তবে sinθ - cosθ =?
  1. ক
    √2
  2. খ
    0
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
সঠিক উত্তর: খ
0
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
0
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি tanθ = 1 হয়, তবে sinθ - cosθ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

এখন,
sinθ - cosθ
= sin45° - cos 45°
= (1/√2) - (1/√2)
= (1 - 1)/√2
= 0/√2
= 0
৮৮৭.
2tan245° + cos230° - sin260° = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    1
  3. গ
    11/4
  4. ঘ
    7/2
সঠিক উত্তর: ক
2
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
2
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2tan245° + cos230° - sin260° = কত?

সমাধান:
2tan245° + cos230° - sin260°
= 2(1)2 + (√3/2)2 - (√3/2)2
= 2 × 1 + (3/4) - (3/4)
= 2
৮৮৮.
ΔABC সমকোণী ত্রিভুজে (cos2)A+(cos2)B+(cos2)C = ?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 1
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 1
ঘ
ব্যাখ্যা

এখানে, C = 90°
∴ A+B = 90°
বা, B = 90° - A
∴ (cos2)A+(cos2)B+(cos2)C = (cos2)A+(cos2) (90° - A)+(cos2)90°
= (cos2)A + (sin2)A + 0
= 1 + 0
= 1
৮৮৯.
tan 45° =?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 1/√2
  3. গ
    গ) √3/2
  4. ঘ
    ঘ) 1
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 1
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan 45° =?

সমাধান:

ABC সমকোণী ত্রিভুজে, ∠BAC =  ∠BCA = 45°
∴ AB = BC

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
tan ∠BCA = AB/BC
⇒ tan 45° = AB/AB
∴  tan 45° = 1
৮৯০.
একটি ৫০ মিটার লম্বা মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ৪০ মিটার উঁচু দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত? 
  1. ক
    ৩০ মিটার
  2. খ
    ২৫ মিটার
  3. গ
    ২০ মিটার
  4. ঘ
    ১০ মিটার
সঠিক উত্তর: ক
৩০ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
৩০ মিটার
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ৫০ মিটার লম্বা মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ৪০ মিটার উঁচু দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত? 

সমাধান: 

মনে করি, 
দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশে দূরত্ব = x মিটার 
সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র হতে পাই, 
(মইয়ের উচ্চতা)২ = (দেয়ালের উচ্চতা)২ + x২ 
বা, (৫০)২ = (৪০)২ + x২ 
বা, ২৫০০ = ১৬০০ + x২ 
বা, x২ = ২৫০০ - ১৬০০ 
বা, x২ = ৯০০ 
বা, x২ = ৩০২ 
∴ x = ৩০ 

∴ দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশে দূরত্ব = ৩০ মিটার ।
৮৯১.
tanθ = Cotθ হলে θ এর মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
সঠিক উত্তর: খ
45°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
45°
খ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = Cotθ হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = Cotθ
⇒ tanθ = 1/tanθ
⇒ tan2θ = 1
⇒ ​tanθ = √1 = 1
​⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

৮৯২.
একটি নদীর এক তীরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অপর তীরে অবস্থিত 150 মিটার উঁচু একটি গাছের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। নদীটির প্রস্থ কত?
  1. ক
    50 মিটার
  2. খ
    58 মিটার
  3. গ
    25√3 মিটার
  4. ঘ
    50√3 মিটার
সঠিক উত্তর: ঘ
50√3 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
50√3 মিটার
ঘ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নদীর এক তীরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অপর তীরে অবস্থিত 150 মিটার উঁচু একটি গাছের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। নদীটির প্রস্থ কত?

সমাধান:
​
মনে করি,
​গাছটির পাদবিন্দু = C
​গাছের শীর্ষবিন্দু = A
​গাছের উচ্চতা, AC = 150 মিটার 
​অপর তীরের নির্দিষ্ট বিন্দু = B
​শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ, ∠ABC = 60°
​নদীর প্রস্থ = BC 
​
​এখন,
​tan60° = AC/BC
⇒ ​√3 = 150/BC
​⇒ ​BC = 150/√3 
⇒ ​BC = (50 × 3)/√3
⇒ ​BC ​= 50 × √3 × √3)/√3
⇒ ​BC ​= 50√3
​
​∴ নদীর প্রস্থ = 50√3 মিটার 

৮৯৩.
1/(1+sin²A) + 1/(1+cosec²A) = ?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) -1
  4. ঘ
    ঘ) উত্তর নাই
সঠিক উত্তর: ক
ক) 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) 1
ক
ব্যাখ্যা

1/(1+sin²A) + 1/(1+cosec²A)
= 1/(1+sin²A) + 1/(1+1/sin²A)
= 1/(1+sin²A) + sin²A/(1+sin²A)
= (1+sin²A)/(1+sin²A) = 1

৮৯৪.
cosec (90° - θ) = 2 হলে, cosθ = কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) √3/2
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 1/√2
সঠিক উত্তর: গ
গ) 1/2
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 1/2
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosec (90° - θ) = 2 হলে, cosθ = কত?

সমাধান: 
cosec (90° - θ) = 2
secθ = 2
1/cosθ = 2
cosθ = 1/2
৮৯৫.
cosec θ + cot θ = 2, cosec θ - cot θ = কত?
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1
সঠিক উত্তর: খ
খ) 1/2
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 1/2
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = 2, cosecθ - cotθ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec2θ + cot2θ = 1
বা, (cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ) = 1
∴ cosecθ - cotθ = 1/2
৮৯৬.
cosA = cotA হলে A = কত?
  1. ক
    0°
  2. খ
    30°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    90°
সঠিক উত্তর: ঘ
90°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
90°
ঘ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosA = cotA হলে A = কত?

সমাধান:
cosA = cotA
cosA = cosA/sinA
1 = 1/sinA
sinA = 1
sinA = sin90°
A = 90°
৮৯৭.
একটি গাছের গোড়া থেকে আনুভূমিক তলে 20 মিটার দূরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60° হয়, তাহলে গাছটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    60 মিটার
  2. খ
    20√3 মিটার
  3. গ
    25√3 মিটার
  4. ঘ
    40√3 মিটার
সঠিক উত্তর: খ
20√3 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
20√3 মিটার
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাছের গোড়া থেকে আনুভূমিক তলে 20 মিটার দূরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60° হয়, তাহলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
AB গাছের গোড়া B থেকে 20 মিটার দূরে C বিন্দু থেকে গাছটির অগ্রভাগ অর্থাৎ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°

এখন সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে,
tan∠ACB = tan60°= AB/BC =  AB/20
বা, √3 = AB/20
∴ AB = 20√3

∴ গাছটির উচ্চতা 20√3 মিটার 
৮৯৮.
2 + tan2θ = 5 হলে θ এর মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
সঠিক উত্তর: গ
60°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
60°
গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 + tan2θ = 5 হলে θ এর মান কত? 

সমাধান: 
2 + tan2θ = 5 
বা, tan2θ = 5 - 2 
বা, tan2θ = 3 
বা, tanθ = √3 
বা, tanθ = tan60°
∴ θ = 60°
৮৯৯.
cos{(8π)/3} ​= ?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    - 1/2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    - 1
সঠিক উত্তর: খ
- 1/2
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
- 1/2
খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos{(8π)/3} ​= ?

সমাধান:
cos{(8π)/3}
= cos (3π - π/3)
= - cos(π/3)
= - cos60°
= - 1/2
৯০০.
sec30° এর মান কত?
  1. ক
    2/√3
  2. খ
    √3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1/√3
সঠিক উত্তর: ক
2/√3
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
2/√3
ক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sec30° এর মান কত?

সমাধান:
sec30°
= 1/cos30°
= 1/(√3/2)
= 2/√3