ত্রিকোণমিতি

প্রশ্ন: cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান হল - 1

• cosine ফাংশনের রেঞ্জ হলো [- 1, 1]
অর্থাৎ, cosθ এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
সর্বোচ্চ মান = 1 (যখন θ = 0°, 360°, 720°... )
সর্বনিম্ন মান = -1 (যখন θ = 180°, 540°... )

উদাহরণ:
cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = - 1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

তাই cosθ এর সর্বনিম্ন মান - 1

Sec (n. Π/2) অনুক্রমটিতে, n = 6 বসিয়ে পাই,
ষষ্ঠ পদ = Sec (6 × Π/2)
          = Sec (6 × 90°)
          = Sec (6 × 90° × 0°)
          = - Sec0°
          = - 1

প্রশ্ন: sin2θ = (√3)/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sin2θ = (√3)/2
⇒ sin2θ = sin 60°
⇒ 2θ = 60°
⇒ θ = 60°/2
⇒ θ = 30°

tan(nΠ/3) অনুক্রমটির দশম পদ
= tan(10Π/3)
= tan {(10 × 180°)/3}
= tan600°
= tan(6 × 90° + 60°)
= tan60°
= √3

cosθ = -√(1- sin²θ)
= -√{1 - (16/25)}
= -√{(25 - 16)/25}
= -√(9/25)
= - 3/5
∴ secθ = 1/cosθ = - 5/3

প্রশ্ন: নিচের কোন শর্তটি সত্যি হলে, sin²θ = (x + y)²/4xy  হবে?

সমাধান: 

আমরা জানি,

sin^⁡2θ ≤ 1
∴ sin²θ এর সর্বোচ্চ মান = 1

∴ 1 = (x + y)²/4xy
⇒ (x + y)² = 4xy
⇒ x² + 2xy + y² - 4xy = 0
⇒ x² - 2xy + y² = 0
⇒ (x - y)² = 0
⇒ x - y = 0
⇒ x = y

প্রশ্ন: sinθ = √3/2 হলে, cotθ এর মান নিচের কোনটি?
​
​সমাধান: 
​দেওয়া আছে,
​sinθ = √3/2
​⇒ sinθ = sin60°
​∴ θ = 60°
​
​এখন cot60° = 1/√3

প্রশ্ন: sin²23° + sin²67° = ?
​
​​​​​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​sin²23° + sin²67°
​sin²23° + sin²(90 - 23)°
​= sin²23° + cos²23°
​= 1

প্রশ্ন:cos45° = √3A হলে A এর মান কত? 

সমাধান: 
cos45° = √3A
1/√2 =√3A
A = (1/√2) × (1/√3)
A = 1/√6

আমরা জানি,
sec²A - tan²A = 1
বা, (secA - tanA)(secA + tanA) = 1
বা, (-1)(secA + tanA) = 1
বা, secA + tanA = -1

প্রশ্ন:
​
​
​​সমাধান:
​

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি P + Q = 90° এবং tanP = 1/√3 হয়, তবে Q এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
P + Q = 90°......(1)
এবং tanP = 1/√3
⇒ tanP = tan30°  ; [tan 30° = 1/√3]
∴ P = 30°

এখন, P এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
P + Q = 90°
⇒ 30° + Q = 90°
⇒ Q = 90° - 30°
∴ Q = 60°

অতএব, Q এর মান 60°

প্রশ্ন: 2° সমান কত রেডিয়ান? 

সমাধান: 
রেডিয়ান: 
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে। 

আমরা জানি, 
180° = π রেডিয়ান 
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান
∴ 2° = 2 × (π/180)
= π/90

আমরা জানি,
tan²θ = sec²θ - 1
এখন, tan²θ = (3/2)² - 1 = (9/4) - 1 = 5/4
∴ tanθ = √5/2

প্রশ্ন: [(1 - sec²45°)/(1 + sec²45°)] + cot²45° এর মান বের করুন।

সমাধান: 
[(1 - sec²45°)/(1 + sec²45°)] + cot²45°
= [{1 - (√2)²}/{1 + (√2)²}] + (1)²                    [sec45° = √2 এবং cot45° = 1]
= [(1 - 2)/(1 + 2)] + 1
= 1 - (1/3)
= 2/3

প্রশ্ন: 1/{tanA√(1 - sin²A)} = ?

সমাধান: 
tanA√(1 - sin²A)
​= tanA√(cos²A)
= (sinA/cosA) × cosA
=  sinA 

অতএব,
 1/{tanA√(1 - sin²A)} 
= 1/sinA
= cosecA

চিত্রে মইয়ের দৈর্ঘ্য AB = 32 মিঃ
দেয়ালের উচ্চতা OA = ?
∴ Sin30° = (OA/AB)
বা, 1/2 = OA/32
∴ OA = 16m.

প্রশ্ন: ঝড়ে একটি বৈদ্যুতিক খুঁটি হেলে পড়লে এর গোড়া থেকে 7 মিটার উচ্চতায় একটি বাঁশ দিয়ে বৈদ্যুতিক খুঁটিটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে বাঁশটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
উচ্চতা(লম্ব), AB = 7 মিটার
কোণ, ∠ CAD = ∠BCA = 30°
বাঁশের দৈর্ঘ্য, AC = অতিভুজ

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sin30° = 7/ বাঁশের দৈর্ঘ্য
⇒ 1/2 = 7/ বাঁশের দৈর্ঘ্য
∴ বাঁশের দৈর্ঘ্য = 14 মিটার

অতএব, বাঁশটির দৈর্ঘ্য 14 মিটার

প্রশ্ন: 18 ফুট উঁচু একটি খুঁটি ভেঙ্গে ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণে স্পর্শ করে, খুঁটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

মনে করি, 
খুঁটিটি মাটি হতে x ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল। 
∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (18 - x) ফুট 

এখন, 
Sinθ = লম্ব/অতিভুজ 
বা, Sin30° = x/(18 - x) 
বা, 1/2 = x/(18 - x) 
বা, 18 - x = 2x 
বা, 2x + x = 18 
বা, 3x = 18 
বা, x = 18/3 
∴ x = 6 

∴ খুঁটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = 18 - 6 = 12 ফুট

(1 - tan²10°)/(1 + tan²10°)
= (1 - tan²A)/(1 + tan²A)
= Cos2A

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5, ক্ষুদ্রতম কোণটির বৃত্তীয় মান কত?

সমাধান:
ধরি, কোণ তিনটি যথাক্রমে 3x^c, 4x^c এবং 5x^c

প্রশ্নমতে,
3x^c + 4x^c + 5x^c = π^c                  [ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ = π^c ] 
12x^c = π^c  
x = π/12

ক্ষুদ্রতম কোণ = 3x^c =  (3π/12)^c   
= (π/4)^c 
= π/4              

প্রশ্ন: যদি secA = 13/5 হয়, তবে sinA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, secA = 13/5

আমরা জানি,
secA = অতিভুজ/ভূমি
অতএব, অতিভুজ = 13 এবং ভূমি = 5

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, লম্ব² + 5² = 13²
বা, লম্ব² + 25 = 169
বা, লম্ব² = 169 - 25
বা, লম্ব² = 144
∴ লম্ব = √144 = 12

এখন,
sinA = লম্ব/অতিভুজ
= 12/13

প্রশ্ন: যদি 4 tanA = 3 হয়, তাহলে cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 4 tanA = 3
⇒ tanA = 3/4

আমরা জানি,
​ tanA = লম্ব/ভূমি
∴ লম্ব = 3, ভূমি = 4

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ অতিভুজ² = 3² + 4²
⇒ অতিভুজ² = 9 + 16
⇒ অতিভুজ² = 25
⇒ অতিভুজ = √25 = 5

cosA = ভূমি/অতিভুজ 
​= 4/5

(cosθ+sinθ)/(cosθ-sinθ)=(1-√3)/(1+√3)
or, (cosθ+sinθ)(1+√3) = (cosθ-sinθ)(1-√3)
or, cosθ + sinθ + √3cosθ + √3sinθ = cosθ - sinθ - √3cosθ + √3sinθ
or, cosθ + sinθ + √3cosθ + √3sinθ - cosθ + sinθ + √3cosθ - √3sinθ = 0
or, 2sinθ + 2√3cosθ = 0
or, sinθ + √3cosθ = 0
or, sinθ = - √3cosθ
or,sin²θ = 3cos²θ
or, tan²θ = 3
or, tanθ = ±√3
∴ tanθ = √3
or, tanθ = tan60º
∴ θ = 60º
(বিঃদ্রঃ tanθ = - √3 দিয়েও θ এর মান বের করা যায়, তবে এখানে অপশনে সেই মানগুলো নেই। তাই tanθ = -√3 দিয়ে কোনো মান বের করে দেখানো হয়নি।)

প্রশ্ন: 20 মিটার দীর্ঘ একটি মই 10 মিটার লম্বা একটি খাড়া খুঁটির সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে অবস্থান করবে?

সমাধান: 

এখানে,
মই এর খুটির সাথে উৎপন্ন কোণ,
cosθ = 10/20 
বা, cosθ = 1/2
বা, cosθ= cos60°
∴ θ = 60° 

∴ খুঁটির সাথে 60° ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে অবস্থান করবে।

প্রশ্ন: যদি, sec⁴θ - tan⁴θ = 7/3 হয়, তবে, sec²θ + tan²θ =?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sec⁴θ - tan⁴θ = 7/3
⇒ (sec²θ - tan²θ) (sec²θ + tan²θ) = 7/3
⇒ 1 × (sec²θ + tan²θ) = 7/3  ; [sec²θ - tan²θ = 1]
∴ sec²θ + tan²θ = 7/3

প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, অনুক্রমটির সাধারণ পদ = sin(nπ/6)
এখানে, পঞ্চম পদের জন্য n = 5 এবং π = 180°

এখন,
 5ম পদ = sin(5 × 180°/6)
= sin(5 × 30°)
= sin(150°)
= sin(180° - 30°)
= sin 30° [যেহেতু 2য় চতুর্ভাগে sin ধনাত্মক]
= 1/2

∴ অনুক্রমটির পঞ্চম পদ 1/2

প্রশ্ন: Cot(nπ) অনুক্রমটির তৃতীয় পদ কোনটি?

সমাধান: 
Cot(nπ) অনুক্রমটির সাধারণ পদ n ∈ N , n = 1, 2, 3, … ...
এবং, π = 180°

আমরা জানি,
Cot(⁡x) = Cos⁡(x)/Sin(⁡x)
এবং, Sin⁡(nπ) = 0 (যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য)
∴ Cot⁡(nπ) = Cos⁡(nπ)\0; যা সংজ্ঞায়িত নয় (Undefined)।

তৃতীয় পদে, n = 3
∴ Cot⁡(3π) = Cos⁡(3π)/Sin⁡(3π) = - 1/0 ; এটি সংজ্ঞায়িত নয়।

প্রশ্ন: cotθ = 1/3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cotθ = 1/3 

আমরা জানি, cotθ = ভূমি/লম্ব
এখানে, ভূমি = 1 এবং লম্ব = 3  

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
(অতিভুজ)² = 3² + 1² 
⇒ (অতিভুজ)² = 9 + 1
⇒ (অতিভুজ)² = 10
⇒ অতিভুজ = √10

∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 1/√10