ত্রিকোণমিতি

প্রশ্ন: sin θ = 4/5 হলে tan θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin θ = 4/5
⇒ sin θ = লম্ব / অতিভুজ

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি² 
⇒ ভূমি² = অতিভুজ² - লম্ব²
⇒ ভূমি² = 5² - 4²
⇒ ভূমি² = 25 - 16
⇒ ভূমি² = 9
⇒ ভূমি = 3

তাহলে,
∴ tan θ = লম্ব/ভূমি = 4/3

প্রশ্ন: 24 মিটার লম্বা একটি মই ভূমির সাথে 30° কোণ করে দেয়ালের শীর্ষ স্পর্শ করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?

সমাধান:

দেয়ালটির উচ্চতা AB = ?
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 24 মিটার
Sin∠ACB = AB/AC
Sin 30° = AB/24
1/2 = AB/24
2AB = 24
AB = 24/2 = 12

এখানে, বাড়ির উচ্চতা (লম্ব) = 40 ফুট ও দেওয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব (ভূমি) = 9 ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = ?
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
অতিভুজ² = 402 + 92
অতিভুজ² = 1681
অতিভুজ = 41
অর্থ্যাৎ, মইয়ের দৈর্ঘ্য = 41 ফুট।
এছাড়াও, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বাহুগুলোর অনুপাত = 3:4:5, 6:8:10, 5:12:13, 7:24:25, 9:40:41 এরকম হয়। অনুপাত ব্যবহারের মাধ্যমে শর্ট টেকনিকেও সহজে উত্তর করা যায়।

প্রশ্ন: sin2θ = √3/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান: 
sin2θ = √3/2
বা, sin2θ = sin60°
বা, 2θ = 60°
বা, θ = 60°/2
∴ θ = 30°

প্রশ্ন: যদি cosθ = 1/2 হয়, তাহলে cotθ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cosθ = 1/2 
বা, cosθ = cos60° 
∴ θ =60° 

এখন, 
cotθ 
= cot60° 
= 1/√3  ।

প্রশ্ন: sec(θ - 60°) = 2/√3 হলে, sinθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sec(θ - 60°) = 2/√3
⇒ sec(θ - 60°) = sec 30°
⇒ θ - 60° = 30°
⇒ θ = 30° + 60°
⇒ θ = 90°

∴ sinθ = sin 90° = 1

প্রশ্ন: যদি sin(θ + 15°) = 3/√12 হয়, তবে cosθ/√2 = কত?

সমাধান:
sin(θ + 15°) = 3/√12
⇒ sin(θ + 15°) = 3/(2√3)
⇒ sin(θ + 15°) = (√3 . √3)/2√3
⇒ sin(θ + 15°) = √3/2
⇒ sin(θ + 15°) = sin60°
⇒ θ + 15° = 60°
⇒ θ = 45°

এখন,
cosθ/√2 = (cos 45°)/√2
= (1/√2) (1/√2)
= 1/2

প্রশ্ন: যদি sin(θ + 15°) = 3/√12 হয়, তাহলে sin²θ = ?

সমাধান:
sin(θ + 15°) = 3/√12
⇒ sin(θ + 15°) = 3/(2√3)
⇒ sin(θ + 15°) = √3/2
⇒ sin(θ + 15°) = sin60°
⇒ θ + 15° = 60°
⇒ θ = 45°

এখন,
sin²θ = (sin 45°)²
= (1/√2)²
= 1/2

প্রশ্ন: sec A+ tan A = 5/3 হলে, sec A - tan A এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sec A+ tan A = 5/3 

আমরা জানি, 
sec² A = 1 + tan² A
বা, sec² A - tan² A = 1
বা, (sec A + tan A) (sec A - tan A) = 1
বা, 5/3 (sec A - tan A) = 1 
∴ sec A - tan A = 3/5

এখানে A = π/3 = 60° ও B = π/3 = 60°
সুতরাং sin(A+B) = sin(60°+60°) = sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = √3/2.

(1 - tan²30°)/(1 + tan²30°)
= cos2.30°
= cos60°
= 1/2

প্রশ্ন: যদি (sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 7 হয়, cosA = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
(sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 7
⇒ (sinA + cosA + sinA - cosA)/(sinA + cosA - sinA + cosA) = (7 + 1)/(7 - 1)
⇒ 2sinA/2cosA = 8/6
⇒ sinA/cosA = 4/3
⇒ tanA = 4/3

∴ cosA = ভূমি/অতিভুজ
⇒ cosA = 3/5

প্রশ্ন: cosecθ = 2 হলে, tanθ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
cosecθ = 2
⇒ 1/sinθ = 2
∴ sinθ = 1/2

আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1 - sin²θ
⇒ cos²θ = 1 - (1/2)²
⇒ cos²θ = 1 - (1/4)
⇒ cos²θ = 3/4
⇒ cosθ = √(3/4)
∴ cosθ = √3/2

tanθ = sinθ/cosθ
= (1/2)/(√3/2)
= 1/√3

বা,(cosA - sinA + cosA + sinA)/(cosA - sinA - cosA - sinA) = (1 - √3 + 1 + √3)/(1 - √3 - 1 - √3)[যোজন-বিয়োজন করে]
বা,2cosA/-2sinA = 2/-2√3 
বা,cosA/sinA = 1/√3
বা,cotA = cot60°
∴A = 60°

প্রশ্ন: (3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (3, - 2) এবং (x₂, y₂) = (7, 6)

∴ ঢাল, m = {6 - (- 2)}/(7 - 3)
= (6 + 2)/(7 - 3)
= 8/4
= 2

∴ সরলরেখার ঢাল = 2

প্রশ্ন: সমাধান করুন: sinθ + cosθ = √2 [যেখানে 0 < θ < π/2]

সমাধান:
sinθ + cosθ = √2
বা, sinθ = √2 - cosθ
বা, sin²θ = (√2 - cosθ)²
বা, 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
বা, 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
বা, 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 =0
বা, (√2cosθ - 1)² = 0
বা, √2cosθ - 1 = 0
বা, √2cosθ = 1
বা, cosθ = 1/√2
বা, cosθ = cos(π/4)
∴ θ = π/4

এখানে অপশনে ভূমি ও লম্ব এর সম্পর্ক দেখানো হয়েছে।
আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
আবার, tanθ = 30º = 1/√3
এখানে √3 > 1 অর্থাৎ ভূমি > লম্ব।

প্রশ্ন: sin A + cos A = √2 হলে, A এর মান কত হবে?
​
​​সমাধান:
​অপশন টেস্ট করে পাই,
A = ​45° হলে,
​sin 45° + cos 45°
​= (1/√2) + (1/√2)
​= (1 + 1)/√2
​= 2/√2
​= (√2 × √2)/√2
​= √2
​
​∴ A = 45°

প্রশ্ন: sinx = 3/4 হলে, tanx এর মান কত ?
​
​​সমাধান:
​আমরা জানি,
​sin²x + cos²x = 1
​cos²x = 1 - ​sin²x
​= 1 - (3/4)²
​= 1 - (9/16)
​= (16 - 9)/16
​= 7/16
∴ ​cosx =​ √7/4
​
​এখন,
​tanx = sinx/cosx
​= (3/4)/(√7/4)
​= (3/4) × (4/√7)
∴ ​tanx ​= 3/√7

প্রশ্ন: Sin{(8π/2) + θ} = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
Sin{(8π/2) + θ} 
= Sin{8 × (π/2) + θ}
= Sin{(8 × 90°)+ θ}
অর্থাৎ, 90° করে 8 বার ঘুরে ১ম চতুর্ভাগে আসবে। যেখানে Sinθ ধনাত্মক।
∴ Sin{(8π/2) + θ} = Sinθ

প্রশ্ন: একটি 25 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 5 মিটার নিচে নেমে আসবে?

সমাধান:
​

এখানে, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 5 মিটার নামবে।
​মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = BD = 25 মিটার 
​এবং AB = 5 মিটার 
​∴ BC = 25 - 5 = 20 মিটার

এখন, পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী পাই,
BD² = BC² + CD²
⇒ 25² = 20² + CD²
⇒ 625 = 400 + CD²
⇒ CD² = 625 - 400
⇒ CD² = 225
⇒ CD = √225
⇒ CD = 15 মিটার

∴ মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 15 মিটার দূরে সরালে এর উপরের অংশ 5 মিটার নিচে নেমে আসবে।

sin945°
= sin ((90° X 10) + 45°)
= - sin45°
= - (1/√2)

প্রশ্ন: cos{(7π/2) + θ} =?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cos{(7π/2)+θ} = cos{7×(π/2)+θ} 
= cos{(7×90°)+θ}

অর্থাৎ, 90° করে 7 বার ঘুরে 4th চতুর্ভাগে আসবে। যেখানে cosθ এর মান ধনাত্মক।
∴ cos{(7π/2) + θ}= sinθ.

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য 20 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?
সমাধান:
খুটির দৈর্ঘ্য AB = 20 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ = 45°

∆ABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tan 45° = 20/BC
⇒ 1 = 20/BC
⇒ BC = 20

∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য = 20 মিটার

প্রশ্ন: ১৮ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণে মাটি স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

সমাধান: 
 
ধরি, 
মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।

আমরা জানি, 
sin 30° = লম্ব/অতিভুজ 
বা, ১/২ = h/(১৮ - h)
বা, (১৮ - h) = ২h
বা, ৩h = ১৮
বা, h = ১৮/৩ 
∴ h = ৬

সুতরাং, মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গ যায়।

মইয়ের উচ্চতা = √(২০²+১৫²)
= √৬২৫
= ২৫ মিটার

প্রশ্ন: sinθ = cosθ হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinθ = cosθ
⇒ sinθ/cosθ = 1
⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: sin(A + 20°) = 1/√2 হলে, A এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (A + 20°) = 1/√2 
⇒ sin (A + 20°) = sin 45° 
⇒ A + 20° = 45° 
⇒ A = 45° - 20° 
∴ A = 25°

∴ a² + 12² = 4a²
বা, 3a² = 144
বা, a² = 48
∴ a = 4√3
∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য = 2a
= 2 × 4√3
= 8√3মিঃ

cos2θ
= (1 - tan²θ)/(1 + tan²θ)
= (1 - b²)/(1 + b²)