ত্রিকোণমিতি

প্রশ্ন: ABC -এ ∠B এক সমকোণ। যদি অতিভুজ AC, লম্ব AB এর 2/√3 গুণ হয় তবে, ∠C এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, লম্ব AB = x
অতিভুজ AC = (2/√3)x

sin(C) = লম্ব/অতিভুজ 
⇒ sin(C) =  x/{(2/√3)x}
⇒ sin(C) = √3/2 
⇒ sin(C) = sin60° 
⇒ C = 60°  

∴ ∠C এর মান 60° 

প্রশ্ন: 18 মিটার লম্বা একটি মই ভূমির সাথে 30° কোণ করে দেয়ালের শীর্ষ স্পর্শ করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেয়ালটির উচ্চতা AB = ?
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 18 

Sin ∠ACB = AB/AC
Sin 30° = AB/18
1/2 = AB/18
2AB = 18
AB = 18/2
AB = 9

(2 tan A)/(1 + tan² A)
= sin 2A
= sin 60°
= (√3)/2

cosθ = 1/2(a + (1/a))
∴ cos3θ
= 4cos³θ - 3cosθ
= 4{1/2(a + (1/a))}³ - 3{1/2(a + (1/a))}
= 4{1/8(a + (1/a))³} - 3/2(a + (1/a))
= 1/2{(a³ + (1/a³) + 3.a.1/a (a + 1/a)} - 3/2(a + (1/a))
= 1/2(a³ + (1/a³)) + 3/2(a + (1/a)) - 3/2(a + (1/a))
= 1/2(a³ + (1/a³))

AB = 60m.
যা C বিন্দুতে ভেঙে যায়
এবং ∠ADC = 30°
ধরি,
AC = x,
BC = 60 - x
∴ CD = 60 - x

Sin30° = AC/CD = x/(60 - x)
বা, 1/2 = x/(60 - x)
বা, 2x = 60 - x
বা, 3x = 60
∴ x = 20 মিঃ.
অর্থ্যাৎ, খুঁটিটি 20 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো।

প্রশ্ন: cot(θ - 30°) = 1/√3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cot(θ - 30°) = 1/√3
⇒ cot(θ - 30°) = cot 60°
⇒ θ - 30° = 60°
⇒ θ = 30° + 60°
⇒ θ = 90°

∴ cosθ = cos 90° = 0

প্রশ্ন: যদি sin(θ - 30°) = 1/2 হয়, তাহলে cos²θ এর মান কত?

সমাধান:
sin(θ - 30°) = 1/2
⇒ sin(θ - 30°) = sin(30°)
⇒ θ - 30° = 30°
বা, θ = 30° + 30°
বা, θ = 60°

এখন,
cos²θ
= cos²(60°) 
= (1/2)²
= 1/4

প্রশ্ন: (cosθ - sinθ)² + (cosθ + sinθ)² = ?

সমাধান:
(cosθ - sinθ)² + (cosθ + sinθ)²
​= 2(cos²θ + sin²θ) [ যেহেতু, 2(a² + b²) = (a - b)² + (a + b)²]
​= 2 × 1
​= 2 

আমরা জানি, 2tan^-1x = tan^-1(2x/1-x²) = sin^-1(2x/1+x²) = cos^-1(1-x²/1+x²)

প্রশ্ন: যদি cosecA = 13/5 হয়, তবে cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cosecA = 13/5

আমরা জানি, cosecA = অতিভুজ/লম্ব

অতএব, অতিভুজ = 13 এবং লম্ব = 5

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, 5² + ভূমি² = 13²
বা, 25 + ভূমি² = 169
বা, ভূমি² = 169 - 25
বা, ভূমি² = 144
∴ ভূমি = √144 = 12

এখন, cosA = ভূমি/অতিভুজ
∴ cosA = 12/13

প্রশ্ন: (- 4, 5) এবং (1, 2) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (- 4, 5) এবং (x₂, y₂) = (1, 2)

∴ ঢাল, (m) = (2 - 5)/{1 - (- 4)}
= - 3/(1 + 4)
= - 3/5

প্রশ্ন: sinθ = 1/√2 হলে, cotθ এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে
sinθ = 1/√2
⇒ sinθ = sin45°
∴ θ = 45°

এখন 
cot45° = 1

প্রশ্ন: secθ - cosθ = 14 এবং 14 secθ = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
secθ - cosθ = 14 এবং 14 secθ = x .....(1)

এখন, 
⇒ secθ - cosθ = 14
⇒ secθ - (1/secθ) = 14   ; [cosθ = 1/secθ]
⇒ (sec²θ - 1)/secθ = 14
⇒ sec²θ - 1 = 14secθ
⇒ tan²θ = x   ; [sec²θ - 1 = tan²θ, 14 secθ = x] 
∴ x = tan²θ

প্রশ্ন: যদি tanθ + cotθ = 6, তাহলে tan²θ + cot²θ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ = 6
⇒ tanθ + cotθ = 6
⇒ (tanθ + cotθ)²= 6²
⇒ (tanθ + cotθ)² = 36

উভয় পাশে বর্গ করে,
⇒ tan²θ + cot²θ + 2tanθcotθ = 36
⇒ tan²θ + cot²θ = 36 − 2  [∵ tanθ.cotθ = 1]
⇒ tan²θ + cot²θ = 34

√(1-cos²θ)/tanθ
= cotθ.sinθ
= cosθ/sinθ.sinθ
= cosθ

প্রশ্ন: sec A - tan A = 5/6 হলে, tan A + sec A এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sec² A - tan² A = 1 
বা, (sec A + tan A)(sec A - tan A) = 1 
বা, 5/6 (sec A + tan A) = 1 
∴ sec A + tan A = 6/5

cos⁴θ−sin⁴θ=2/3
বা, (cos²θ + sin²θ)(cos²θ - sin²θ) = 2/3
বা, 1.(cos²θ - sin²θ) = 2/3
বা, (1 - sin²θ - sin²θ) = 2/3
∴ 1 - 2sin²θ = 2/3

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনেকরি,
খুঁটির মোট উচ্চতা, AE = x মিটার
যেহেতু খুঁটিটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে গেছে,
তাই ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 5) মিটার

এখন, 
ΔABD- এ
(x - 5)² = 5² + 12²
⇒ x² - 10x + 25 = 25 + 144
⇒ x² - 10x + 25 = 169
⇒ x² - 10x - 144 = 0
⇒ x² - 18x + 8x - 144 = 0
⇒ x(x - 18) + 8(x - 18) = 0
⇒ (x - 18)(x + 8) = 0
সুতরাং, x - 18 = 0 অথবা x + 8 = 0
⇒ x = 18 অথবা x = - 8
যেহেতু খুঁটির উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 18 মিটার।
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 18 মিটার।

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, তবে θ মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + tan²θ = 4 and θ < 90°
⇒ sec²θ = 4    ; [sec²θ = 1 + tan2θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
⇒ θ = 60°

secθ = 5/3 = অতি/ভূমি,
পীথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
লম্ব = √(অতি² - ভূমি²)
= √(5² - 3²)
= 4
∴ cosecθ = 5/4

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
• sin(- θ) = - sinθ
• cos(- θ) = cosθ
• tan(- θ) = - tanθ
• cosec(- θ) = - cosecθ
• sec(- θ) = secθ
• cot(- θ) = - cotθ

প্রশ্ন: cos⁡45° ⋅ cos⁡15° + sin⁡45° ⋅ sin⁡15° = ? 
​
​সমাধান:
​আমরা জানি,
​cos⁡A cos⁡B + sin⁡A sin⁡B = cos⁡(A - B)
​
​এখন,
​cos⁡45° cos⁡15° + sin⁡45° sin⁡15° 
​= cos⁡(45° - 15°)
​= cos⁡30°
​= √3/2

প্রশ্ন: একটি 15 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 6 মিটার নিচে নেমে আসবে?

সমাধান:

এখানে,
AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত 
A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 6 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = BD = 15 মিটার।
দেয়ালের উচ্চতা যেখানে মইটি প্রথমে ছিল (AC) = 15 মিটার।
এবং AB = 4 মিটার
BC = 15 - 6 = 9 মিটার

এখন, 
পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
BC² + CD² = BD²
বা, 9² + CD² = 15²
বা, 81 + CD² = 225
বা, CD² = 225 - 81
বা, CD² = 144
বা, CD = √144
বা, CD = 12 মিটার।

সুতরাং, মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 12 মিটার দূরে সরাতে হবে।

প্রশ্ন: sin30° + cos60° এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin30° + cos60°
= (1/2) + (1/2)  ; [sin 30° এবং cos 60° এর মান হলো 1/2]
= 1

প্রশ্ন: যদি (5sinθ + 2cosθ)/(5sinθ - 2cosθ) = 3 হয়, তাহলে tanθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(5sinθ + 2cosθ)/(5sinθ - 2cosθ) = 3
⇒ (5sinθ + 2cosθ + 5sinθ - 2cosθ)/(5sinθ + 2cosθ - 5sinθ + 2cosθ) = (3 + 1)/(3 - 1) [যোজন-বিয়োজন করে]
⇒ (10sinθ)/(4cosθ) = 4/2
⇒ (5sinθ)/(2cosθ) = 2
⇒ sinθ/cosθ = (2 × 2)/5
⇒ tanθ = 4/5
∴ tanθ = 4/5

দেওয়া আছে, √3tanθ = 3sinθ
বা, √3/cosθ = 3
বা, cosθ = 1/√3
বা, cos²θ = 1/3
∴ sin²θ - cos²θ = 1 - cos²θ - cos²θ = 1 - 2cos²θ = 1- 2.(1/3) = 1- 2/3 = 1/3

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের লম্ব x, ভূমি y এবং অতিভুজ z হলে নিচের কোন অনুপাতটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
লম্ব = x, ভূমি = y এবং অতিভুজ = z

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ = x/z
cosθ = ভূমি/অতিভুজ = y/z
tanθ = লম্ব/ভূমি = x/y
cotθ = ভূমি/লম্ব = y/x