পরিমিতি

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মি.
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২x মি.
পরিসীমা = ২( ২x + x) মি.

 সুতরাং,
২( ২x + x) = ৬০
বা, ২( ৩x) = ৬০
বা, ৬x = ৬০
বা, x = ১০
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ১০ মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০ মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২০ × ১০ বর্গমিটার
= ২০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ১৫ ফুট দৈর্ঘ্য ও ১২ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দ্বারা একটি মেঝের ৬০% মোড়ানো যায়। মেঝেটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট ও প্রস্থ ১২ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল (১৫ × ১২) বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট 

∴ ৬০% সমান ১৮০ বর্গফুট 
∴ ১% সমান (১৮০/৬০) বর্গফুট
∴ ১০০% সমান {(১৮০ × ১০০)/৬০}  বর্গফুট
= ৩০০ বর্গফুট 

প্রশ্ন: একটি গরুর গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৪ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৫ মিটার। গাড়িটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ৯৬ বার বেশি ঘুরবে।

সমাধান:
সামনের চাকা ও পিছনের চাকার লসাগু = (৪ × ৫) = ২০
২০ মিটার অতিক্রম করলে চাকাটি ১ বার বেশি ঘুরে

∴ ৯৬ বার বেশি ঘুরতে চাকাটির পথ অতিক্রম করতে হবে = (৯৬ × ২০) মিটার
= ১৯২০ মিটার 
= (১৯২০/১০০০) কিলোমিটার
= ১.৯২ কিলোমিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√২ মিটার 

মনে করি,
বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার
তাহলে, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য √২ক মিটার

 শর্তমতে,
√২ক = ১০√২
বা, ক = ১০

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)^২=১০^২=১০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাবাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার 
রাস্তাবাদে মাঠের প্রস্থ = ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩০ × ২০) বর্গমিটার 
= ৬০০ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = {৩০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ৩৬ মিটার 
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = {২০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ২৬ মিটার 
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৬ × ২৬) বর্গমিটার 
= ৯৩৬ বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৯৩৬ – ৬০০) বর্গমিটার 
= ৩৩৬ বর্গমিটার।

বর্গের বাহু a হলে, পরিসীমা 4a.
∴ বাহু ও পরিসীমার অনুপাত = a² : (4a)²
= a² : 16a²
= 1 : 16

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে. মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে. মি.
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সে. মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3) × π × r² × h ঘনএকক
= (1/3) × π × 6² × 12 ঘনসে.মি.
= (1/3) × π × 36 × 12 ঘনসে.মি.
= 144Π ঘনসে.মি.

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 49 সে.মি. হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 49 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= (22/7) × 49 + 2 × 49
= 22 × 7 + 98
= 154 + 98
= 252 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১০ সে. মি. এবং উচ্চতা ১২ সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = ১০ সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = ১০/২ = ৫ সেমি
উচ্চতা, h = ১২ সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr^২h
= π × (৫)^২ × ১২
= π × ২৫ × ১২
= ৩০০π ঘন সেমি

∴ নির্ণেয় আয়তন ৩০০π ঘন সেমি।

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি এবং
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 6 সে.মি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 π × 2 × 6
= 24π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তার খরচ ১৫০ টাকা হয়, তবে পুকুরটির চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ১৫ মিটার

∴ পুকুরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ২০ × ১৫
= ৩০০ বর্গমিটার

রাস্তাসহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = ২০ + ২ + ২ = ২৪ মিটার
রাস্তাসহ পুকুরের প্রস্থ = ১৫ + ২ + ২ = ১৯ মিটার

∴ রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = ২৪ × ১৯
= ৪৫৬ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল) - (পুকুরের ক্ষেত্রফল)
= ৪৫৬ - ৩০০
= ১৫৬ বর্গমিটার

১ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ১৫০ টাকা
∴ ১৫৬ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ১৫৬ × ১৫০ টাকা
= ২৩৪০০ টাকা

∴ রাস্তা প্রস্তুত করতে ২৩৪০০ টাকা খরচ হয়।

প্রশ্ন: যদি একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ৩ সেমি এবং উচ্চতা ১৪ সেমি হয়, তবে তার আয়তন কত হবে?

সমাধান:
​
​ধরা যাক,
ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১৪ সে.মি.

এখন,
আয়তন = (১/৩) × π × r^২ × h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩^২ × ১৪
= ১৩২ ঘন সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার ও প্রস্থ ২৫ মিটার। চারপাশে ৩ মিটার চওড়া পাড় থাকলে পাড়সহ পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ২৫ মিটার
চারপাশে পাড়ের চওড়া = ৩ মিটার

পাড় চারপাশে থাকায় দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয় দিকেই দুই পাশে মোট ২ × ৩ = ৬ মিটার যোগ হবে।

সুতরাং, পাড়সহ দৈর্ঘ্য = ৪০ + ৬ = ৪৬ মিটার
পাড়সহ প্রস্থ = ২৫ + ৬ = ৩১ মিটার

∴ পাড়সহ পুকুরের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক 
= ২ × (৪৬ + ৩১) = ২ × ৭৭ 
= ১৫৪ মিটার

অতএব, পাড়সহ পরিসীমা ১৫৪ মিটার।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের প্রতিটি বাহু ১১ সে.মি. হলে, রম্বসের পরিসীমার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের প্রতিটি বাহু, a = ১১ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের পরিসীমা = 4a একক
= (৪ × ১১) সে.মি.
= ৪৪ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কাঠের গুড়ির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, প্রস্থ ৫০ সে.মি. এবং উচ্চতা ২৫ সে.মি.। এটি কেটে ১০ সে.মি. উচ্চতা, ২৫ সে.মি. প্রস্থ এবং ৫০ সে.মি. দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট কতগুলো ব্লক তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কাঠের গুড়ির দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার = (৪ × ১০০) সে.মি. = ৪০০ সে.মি.
কাঠের গুড়ির প্রস্থ = ৫০ সে.মি.
কাঠের গুড়ির উচ্চতা = ২৫ সে.মি.

কাঠের গুড়ির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৪০০ × ৫০ × ২৫) ঘন সে.মি.
= ৫০০০০০ ঘন সে.মি.

আবার,
প্রতিটি ব্লকের দৈর্ঘ্য = ৫০ সে.মি.
প্রতিটি ব্লকের প্রস্থ = ২৫ সে.মি.
প্রতিটি ব্লকের উচ্চতা = ১০ সে.মি.

প্রতিটি ব্লকের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৫০ × ২৫ × ১০) ঘন সে.মি.
= ১২৫০০ ঘন সে.মি.

∴ ব্লকের সংখ্যা = কাঠের গুড়ির আয়তন/প্রতিটি ব্লকের আয়তন
= ৫০০০০০/১২৫০০
= ৪০ টি

সুতরাং, ৪০টি ব্লক তৈরি করা যাবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার।
অতএব, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার।

আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ১২৮
⇒ ২ক² = ১২৮
⇒ ক² = ১২৮/২
⇒ ক² = ৬৪
⇒ ক = √৬৪
⇒ ক = ৮ মিটার

∴ প্রস্থ = ৮ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ৮ = ১৬ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(১৬ + ৮) মিটার
= ২ × ২৪ মিটার
= ৪৮ মিটার

ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 2a cm
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3a cm
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 2a × 3a = 48
বা, 3a² = 48
বা, a² = 16
∴ a = 4
∴ বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3.4
= 12 সে. মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের তিনগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমার তিনগুণ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ক মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = (৩ক × ক) বর্গমিটার
= ৩ক^২বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৪৩২
বা, ক^২= ৪৩২/৩
বা, ক^২= ১৪৪
বা, ক = √১৪৪
∴ ক = ১২

∴ আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ১২ মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = (১২ × ৩) = ৩৬ মিটার

তাহলে, আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(৩৬ + ১২) মিটার
= ২ × ৪৮ = ৯৬ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমার তিনগুণ = ৯৬ × ৩ = ২৮৮ মিটার

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AC ও BD দুটি কর্ণ পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে
∠AOD = 90°
∠BOC = 90°
∴ ∠AOD + ∠BOC = 180°

প্রশ্ন: একটি লোহার ফাপা গোলকের বাইরের ব্যাস ১০ সে.মি. ও বেধ ২ সে.মি.হলে, গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন কত ঘন সে.মি.?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বাইরের ব্যাস = ১০ সে.মি.
বেধ = ২ সে.মি.

বাইরের ব্যাসার্ধ (R) = ১০/২ = ৫ সে.মি.
ভিতরের ব্যাসার্ধ (r) = বাইরের ব্যাসার্ধ - বেধ
= ৫ - ২ = ৩ সে.মি.

ফাঁপা অংশ = ভিতরের গোলকের আয়তন

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (৪/৩)πr^৩
∴ ফাঁপা অংশের আয়তন = (৪/৩)π(৩)^৩
= (৪/৩)π × ২৭
= (৪ × ২৭π)/৩
= ৩৬π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: 3 মি. বাহু বিশিষ্ট একটি ঘনক আকৃতির বক্সে 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কতটি ঘনক রাখা যাবে?

সমাধানঃ
ঘনক সংখ্যা = বড় ঘনকের আয়তন / ছোট ঘনকের আয়তন
= (300 × 300 × 300)  / (10 × 10 × 10)
= 27000

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির চতুর্দিকে প্রাচীর নির্মাণ করতে প্রতি মিটার ২৭০ টাকা হিসেবে মোট ৩০২৪০ টাকা খরচ হয়। জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৮ : ৬ হলে জমির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
আয়তাকার জমির পরিসীমা = ৩০২৪০/২৭০ = ১১২ মিটার

মনে করি,
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ক এবং ৬ক

শর্তমতে,
২(৮ক + ৬ক) = ১১২
⇒ ২৮ক = ১১২
⇒ ক = ১১২/২৮
∴ ক = ৪

অতএব,
দৈর্ঘ্য = ৮ × ৪ = ৩২ মিটার 
প্রস্থ = ৬ × ৪ = ২৪ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৩২ × ২৪ = ৭৬৮ বর্গ মিটার

সুতরাং, জমিটির ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৮০ বার ঘোরে। ৫ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ১৮০ বার
৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে (১৮০ × ৫)/৬০ বার
= ১৫ বার 

গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০ ডিগ্রি
গাড়ির চাকা ১৫ বার ঘুরে অতিক্রম করে = (৩৬০ × ১৫) ডিগ্রি
= ৫৪০০ ডিগ্রি

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার, এর উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক কত সে. মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার
উচ্চতা ৪ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামান্তরিকের ভূমি = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল/উচ্চতা
= ৭২/৪ = ১৮  মিটার

∴ সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক = ১৮/২ = ৯ মিটার = (৯ × ১০০) = ৯০০ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. এবং উচ্চতা ১২ সে.মি. হলে এর হেলানো উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১২ সে.মি.

ধরি,
হেলানো উচ্চতা = l

আমরা জানি,
⇒ l^২ = r^২ + h^২ 
⇒ l^২ = (৫)^২ + (১২)^২ 
⇒ l = √১৬৯
∴ l = ১৩ 

∴ হেলানো উচ্চতা = ১৩ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি.
এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) ×  (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা
= (১/২) ×  (১৮ + ১৪) × ৭ বর্গ সে.মি.
= ১১২ বর্গ সে.মি.