পরিমিতি

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি
মনে করি,
ঘনকের ধার P সে. মি.

আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = (ঘনকের ধার)³ = P³ ঘনসে.মি 

প্রশ্নমতে,
P³ = 729
বা, P³ = 9³
বা, P = 9

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × ঘনকের ধার
= √3 × 9
= 9√3 সে. মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ এবং উচ্চতা ১০ সে.মি.। যদি ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক্ষেত্রফল = ১০০ বর্গ সে.মি.
উচ্চতা = ১০ সে.মি.

সমান্তরাল বাহু দুটির অনুপাত ২ : ৩
ধরি, ছোট বাহু = ২ক এবং বড় বাহু = ৩ক সে.মি.

আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফল) × উচ্চতা
⇒ ১০০ = (১/২) × (২ক + ৩ক) × ১০
⇒ ১০০ = (১/২)× ৫ক × ১০
⇒ ১০০ = ৫ক × ৫
⇒ ১০০ = ২৫ক
⇒ ক = ১০০/২৫ = ৪
∴ ক = ৪ 

অতএব, ছোট সমান্তরাল বাহু = ২ক = ২ × ৪ = ৮ সে.মি.

ব্যাসার্ধ r = 4 সে. মি., উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 4/2
= 2
∴ অনুপাত = 2:1

যেহেতু সমদ্বিবাহু ত্রিভূজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য AC = ১৮ সেঃমিঃ
∴ AB = BC = ১৮/√২ সেঃমিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × AC × BC
= ১/২ × ১৮/√২ × ১৮/√২
= ১/২ × ১/২ × ১৮ × ১৮
= ৮১ বর্গসেঃমিঃ

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার এবং উচ্চতা ৩ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ (১০ + ৬) × ৩ বর্গ মিটার
= ২ × ১৬ × ৩ বর্গ মিটার
= ৯৬ বর্গ মিটার

∴ ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৯৬ বর্গ মিটার।

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল √৩/৪a² = ৬৪√৩
বা, a² = ৬৪√৩ × ৪/√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
∴ a = ১৬
∴ পরিসীমা = ৩a
= ৩ × ১৬
= ৪৮

সাবানের আয়তন = ৫ x ৪ x ১.৫ = ৩০ ঘন সে.মি.
বাক্সের আয়তন = ৫৫ x ৪৮ x ৩০ = ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ = ২৬৪০ টি।

ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা।
= 2(8 + 6) × 3
= 6 × 14
= 84 বর্গমিটার।

আমরা জানি,
ঘনকের ধার a একক হলে তাহলে তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গএকক

তাহলে,
ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৫²  বর্গসে.মি.
= ৬ × ২৫  বর্গসে.মি.
= ১৫০  বর্গসে.মি.

সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = ১৫০/২
= ৭৫  বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং এর উচ্চতা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ অপেক্ষা 2 সে.মি. বেশি হলে, কোণকের আয়তন কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 5 সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = (2 × 5 + 2) সে.মি.
= 12 সে.মি.

আমরা জানি, 
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
 (1/3)π × 5² × 12
= (1/3)π × 25 × 12
= π × 25 × 4
= 100π cm³

সুতরাং, কোণকের আয়তন 100π cm³

প্রশ্ন: 12 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা, h = 12 সে.মি.
এবং ব্যাসার্ধ, r = 10/2= 5 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(12² + 5²) সে.মি.
= √169 সে.মি.
= 13 সে.মি.

প্রশ্ন: 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 14 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা 
​= (1/3) × 9 × 9 × 14 ঘন সে.মি.
= 378 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 4 সেমি এবং উচ্চতা 9 সেমি হলে, সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 4 সেমি
উচ্চতা, h = 9 সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 4 (4 + 9)
= 2π × 52
= 104π বর্গ সেমি

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 216 ঘন সে.মি. হলে ঘনকটির প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন = 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে,
a³ = 216
⇒ a³ = 6³
⇒ a = 6

∴ ঘনকের প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 6√2 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার
প্রস্থ ৬ মিটার 
মনে করি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের  দৈর্ঘ্য ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য^২+ প্রস্থ^২)
= √(ক^২+ ৬^২) মিটার
= √(ক^২+ ৩৬) মিটার

শর্তমতে,
√(ক^২+ ৩৬) = ১০
বা, ক^২+ ৩৬ = ১০^২
বা, ক^২= ১০০ - ৩৬
বা, ক^২= ৬৪
বা, ক = √৬৪
∴ ক = ৮

তাহলে, আয়তাকার ক্ষেত্রের  দৈর্ঘ্য ৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা 10 মিটার এবং আয়তন 500π ঘন মিটার। ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 10 মিটার
আয়তন, V = 500π ঘন মিটার

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h = 500π
⇒ r² = 500/10
⇒ r² = 50
⇒ r = √50
∴ r = 5√2

সুতরাং, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 5√2  মিটার। 

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার।

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 120 × 4 = 480 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (90 - 4) × 4 = 344 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (480 + 344) বর্গমিটার
= 824 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ 21 মিটার। চাকাটি 924 মিটার পথ অতিক্রম করতে কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, চাকার ব্যাসার্ধ r = 21 মিটার
∴ চাকার পরিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 21
= 132 মিটার
ফলে চাকাটি একবার ঘুরলে 132 মিটার যায়।

∴ 924 মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে = 924/132 = 7 বার

প্রশ্ন: একটি ফুটবলের ব্যাস 6 ইঞ্চি হলে, ফুটবলের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাস, d = 6 ইঞ্চি
ব্যাসার্ধ, r = 6/2 = 3 ইঞ্চি

ফুটবল হল একটি গোলক, এবং গোলকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হল = (4/3)πr³
= (4/3) × 3.1416 × (3)³
= 36 × 3.1416
= 113.09 ঘন ইঞ্চি

∴ ফুটবলের আয়তন 113.09 ঘন ইঞ্চি

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। এদের উচ্চতার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h₁ = (1/3)πr²h
বা, h₁ = h/3
বা, h₁/h = 1/3
বা, h₁ : h = 1 : 3

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে 120 বার ঘোরে। 4 সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড

60 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 120 বার
∴ 1 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 120/60 বার = 2 বার
∴ 4 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 2 × 4 বার
= 8 বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি 1 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360°
∴ চাকাটি 8 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360° × 8 = 2880°

অতএব, 4 সেকেন্ডে চাকাটি 2880° ঘুরবে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪৮ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮/৪
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার

এখন,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)^২
= (১২)^২
= ১২ × ১২
= ১৪৪ বর্গ মিটার
∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ মিটার।

ব্যাসার্ধ r = 3,
∴ উচ্চতা h হলে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল 2πrh = 100
বা, πrh = 50
∴ আয়তন πr²h = (πrh)r
= 50 × 3
= 150 ঘন সেঃমিঃ

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩ গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে,
ছোটটির দৈর্ঘ্য = উচ্চতা = ক সে.মি. 
এবং বড়টির দৈর্ঘ্য = ৩ক সে.মি.

প্রশ্নমতে,
 ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১২৮
⇒ (১/২) × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = ১২৮
⇒ (১/২) × ক × (ক + ৩ক) = ১২৮
⇒ ৪ক^২/২ = ১২৮
⇒ ২ক^২ = ১২৮
⇒ ক^২ = ৬৪ = ৮^২ 
⇒ ক = ৮

∴ ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা = ৮ সে.মি.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr² = 9π বর্গমিটার
⇒r = 3
∴ ব্যাস = 6 মিটার
চিত্র অনুসারে, ব্যাস = বর্গের বাহু = 6 মিটার
ABCD বর্গের ক্ষেত্রফল = 6²বর্গমিটার = 36 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²} 

দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার 
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার 

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

লম্ব = a হলে,
ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ৪ × a 
বা, ৬ = ২a
∴ a = ৩ মিঃ 
∴ অতিভূজ = √(ভূমি² + লম্ব²)
= √(৪² + ৩²)
= ৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ভূমি + লম্ব + অতিঃ
= ৪ + ৩ + ৫
= ১২ মিঃ

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি 

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি 
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি 

১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার 
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার 
= ২৪০০ লিটার ।

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। প্রতি বর্গমিটার ১২.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১,৬০০ টাকা ব্যয় হলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
মোট ব্যয় = ১,৬০০ টাকা
প্রতি বর্গমিটার কার্পেটিং খরচ = ১২.৫০ টাকা
সুতরাং, ঘরটির ক্ষেত্রফল = মোট ব্যয় ÷ প্রতি বর্গমিটার খরচ
= ১,৬০০ ÷ ১২.৫০
= ১২৮ বর্গমিটার।

ধরি, ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ১২৮
বা, ২ক^২ = ১২৮
বা, ক^২ = ১২৮/২
বা, ক^২ = ৬৪
বা, ক = √৬৪
∴ ক = ৮

সুতরাং, প্রস্থ = ৮ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ২ × ৮ = ১৬ মিটার।

∴ ঘরটির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের নিচের প্রান্তের ক্ষেত্রফল 100π বর্গমিটার এবং আয়তন 900π ঘনমিটার হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত? 

সমাধান:
​ধরি,
​সিলিন্ডারের উচ্চতা = h মিটার 
​
দেওয়া আছে,
​সিলিন্ডারের নিচের প্রান্তের ক্ষেত্রফল = 100π বর্গমিটার
⇒  πr² = 100π
⇒ ​r² = 100
​
​আবার,
​​আয়তন = 900π ঘনমিটার
⇒ ​πr²h = 900π
⇒ ​​r²h = 900
⇒ ​​h = 900/r² 
⇒ ​​h = 900/100
⇒ ​​h = 9 

প্রশ্ন: একটি বাক্সের মাপ ৪০ সে.মি. × ৩০ সে.মি. × ২০ সে.মি.। ছোট বাক্সের মাপ ৮ সে.মি. × ৬ সে.মি. × ৫ সে.মি.। বড় বাক্সে সর্বোচ্চ কতগুলো ছোট বাক্স রাখা যাবে?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বাক্সের মাপ ৪০ সে.মি. × ৩০ সে.মি. × ২০ সে.মি.
ছোট বাক্সের মাপ ৮ সে.মি. × ৬ সে.মি. × ৫ সে.মি.

∴ বড় বাক্সের আয়তন = ৪০ × ৩০ × ২০ = ২৪০০০ ঘন সে.মি.

ছোট বাক্সের আয়তন = ৮ × ৬ × ৫ = ২৪০ ঘন সে.মি.

∴ বড় বাক্সে সর্বোচ্চ ছোট বাক্স রাখা যাবে = ২৪০০০/২৪০
= ১০০ টি

সুতরাং, বড় বাক্সে সর্বোচ্চ ১০০টি ছোট বাক্স রাখা যাবে।

প্রশ্ন: 16 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস 7 সে.মি.। সিলিন্ডারটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 16 সে.মি. এবং
ভূমির ব্যাস, d = 7 সে.মি.
∴ সিলিন্ডারটির ভূমির ব্যাসার্ধ, r = d/2 সে.মি.
= 7/2 সে.মি.

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h ঘন একক
= (22/7) × (7/2)² × 16 ঘন সে.মি.
= (22/7) × (49/4) × 16 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 4 ঘন সে.মি.
= 616 ঘন সে.মি. 

∴ সিলিন্ডারটির আয়তন = 616 ঘন সে.মি.।