পরিমিতি

PrepBank · পাতা ২ / ২১ · ১০১–২০০ / ২,১১০

১০১.

একটি সিলিন্ডারের আয়তন ৫৯৪ ঘন মি. এবং উচ্চতা ২১ মি. হলে সিলিন্ডারের ব্যাস কত?

ক
৬ মিটার
খ
৮ মিটার
গ
১০ মিটার
ঘ
১২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের আয়তন ৫৯৪ ঘন মি. এবং উচ্চতা ২১ মি. হলে সিলিন্ডারের ব্যাস কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা h = ২১ মিটার
সিলিন্ডারের আয়তন v = ৫৯৪ ঘন মিটার

ধরি,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = r

প্রশ্নমতে,
πr²h = ৫৯৪
⇒ (২২/৭) × r² × ২১ = ৫৯৪
⇒ ৬৬ × r² = ৫৯৪
⇒ r² = ৫৯৪/৬৬
⇒ r² = ৯
∴ r = ৩

∴ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = ৩ মিটার
∴ ব্যাস = (৩ × ৩) = ৬ মিটার

১০২.

একটি সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা 14 সে.মি.এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

ক
ক) 1214 ঘন সে.মি.
খ
খ) 1369 ঘন সে.মি.
গ
গ) 1450 ঘন সে.মি.
ঘ
ঘ) 1100 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা 14 সে.মি.এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা h = 14 সে.মি.
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 5 সে.মি.
সমবৃত্তক বেলনের আয়তন = πr²h
= (22/7) × 5² × 14
= (22/7) × 25 × 14
= 1100 ঘন সে.মি.

১০৩.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

ক
2√2
খ
√2
গ
2
ঘ
4√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/কর্ণের দৈর্ঘ্য= 4a/√2a = 4/√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/কর্ণের দৈর্ঘ্য= (√2 × 2√2)/√2

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা= 2√2 × (কর্ণের দৈর্ঘ্য)

১০৪.

একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ 12 একক হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের তিনগুণ কত একক?

ক
12√2 একক
খ
6√2 একক
গ
18√2 একক
ঘ
18 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ 12 একক হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের তিনগুণ কত একক?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ 12 একক
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 12/2 = 6 একক

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 6√2
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের তিনগুণ = 6√2 × 3
= 18√2 একক

১০৫.

একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
7√3 সে. মি.
খ
5√3 সে. মি.
গ
9√2 সে. মি.
ঘ
9√3 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি
মনে করি,
ঘনকের ধার P সে. মি.

আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = (ঘনকের ধার)³ = P³ ঘনসে.মি

প্রশ্নমতে,
P³ = 729
বা, P³ = 9³
বা, P = 9

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × ঘনকের ধার
= √3 × 9
= 9√3 সে. মি.

১০৬.

প্রতি মিনিটে 44 মিটার বেগে 2 মিনিটে একটি ঘোড়া কোনো বৃত্তাকার মাঠ ঘুরে এলো। ঐ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ কত?

ক
ক) 7 মিটার
খ
খ) 14 মিটার
গ
গ) 12 মিটার
ঘ
ঘ) 16 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি মিনিটে 44 মিটার বেগে 2 মিনিটে একটি ঘোড়া কোনো বৃত্তাকার মাঠ ঘুরে এলো। ঐ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ঘোড়াটি 1 মিনিটে যায় 44 মিটার
ঘোড়াটি 2 মিনিটে যায় (44 × 2) মিটার
= 88 মিটার

মনেকরি,
বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = r
প্রশ্নমতে,
2πr = 88
2(22/7)r = 88
44r/7 = 88
r = (88 × 7)/44
r = 14

১০৭.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ এবং উচ্চতা ১০ সে.মি.। যদি ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
১০ সে.মি.
খ
৬ সে.মি.
গ
১২ সে.মি.
ঘ
৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ এবং উচ্চতা ১০ সে.মি.। যদি ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ১০০ বর্গ সে.মি.
উচ্চতা = ১০ সে.মি.

সমান্তরাল বাহু দুটির অনুপাত ২ : ৩
ধরি, ছোট বাহু = ২ক এবং বড় বাহু = ৩ক সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফল) × উচ্চতা
⇒ ১০০ = (১/২) × (২ক + ৩ক) × ১০
⇒ ১০০ = (১/২)× ৫ক × ১০
⇒ ১০০ = ৫ক × ৫
⇒ ১০০ = ২৫ক
⇒ ক = ১০০/২৫ = ৪
∴ ক = ৪

অতএব, ছোট সমান্তরাল বাহু = ২ক = ২ × ৪ = ৮ সে.মি.

১০৮.

4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?

ক
16 টি
খ
64 টি
গ
32 টি
ঘ
128 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?

সমাধান:
ধরি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 4 মিটার
∴ ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 মিটার

গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ ছোট গোলকের আয়তন
= (4/3)πR³ / (4/3)πr³
= R³ / r³
= (4)³ /(1)³
= 64/1
= 64

∴ গোলক বানানো যাবে = 64 টি।

১০৯.

বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 4 সে. মি. হলে, বেলনের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক
ক) 2:1
খ
খ) 1:2
গ
গ) 2:3
ঘ
ঘ) 3:2

ব্যাখ্যা

ব্যাসার্ধ r = 4 সে. মি., উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 4/2
= 2
∴ অনুপাত = 2:1

১১০.

একটি চাকার ব্যাস ১৪ মিটার। চাকাটি ৬১৬ মিটার যেতে কতবার ঘুরবে?

ক
ক) ১৫ বার
খ
খ) ১৪ বার
গ
গ) ১২ বার
ঘ
ঘ) ৭ বার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস ১৪ মিটার। চাকাটি ৬১৬ মিটার যেতে কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাস ১৪ মিটার
∴ চাকার ব্যাসার্ধ ৭ মিটার

চাকার পরিধি ২π৭ মিটার
= ২ × (২২/৭) × ৭ মিটার
= ৪৪ মিটার

আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

৪৪ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরে ১ বার
৬১৬ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরে ৬১৬/৪৪ বার = ১৪ বার

১১১.

একটি চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১২ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

ক
২৪০০ বার
খ
১২০০ বার
গ
৪৬০০ বার
ঘ
৪৩০০ বার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১২ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১২ কিলোমিটার = ১২০০০ মিটার

৫ মিটার গেলে ঘুরে = ১ বার
∴ ১ মিটার গেলে ঘুরে = ১/৫ বার
∴ ১২০০০ মিটার গেলে ঘুরে = (১ × ১২০০০)/৫ বার
= ২৪০০ বার

১১২.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা সমান হলে ক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
২ একক
খ
৪ একক
গ
৮ একক
ঘ
১৬ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা সমান হলে ক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = ক একক

প্রশ্নমতে,
৪ক = ক^২
বা, ক = ৪

অর্থাৎ, বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪ একক

উত্তর : ৪ একক

১১৩.

একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহু তিনটির পরিমাপ 9 সে.মি., 12 সে.মি. এবং 15 সে.মি.হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
48 বর্গ সে.মি.
খ
54 বর্গ সে.মি.
গ
58 বর্গ সে.মি.
ঘ
62 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহু তিনটির পরিমাপ 9 সে.মি., 12 সে.মি. এবং 15 সে.মি.হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c সে.মি. হলে,
এর অর্ধপরিসীমা s = (a + b + c)/2 সে.মি.
= (9 + 12 + 15)/2 সে.মি.
= 36/2 সে.মি.
= 18 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √s(s - a)(s - b)(s - c)
=√{18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)}
=√(18 × 9 × 6 × 3)
=√2916 বর্গ সে.মি.
= 54 বর্গ সে.মি.

১১৪.

একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫ বার ঘুরে। চাকাটি ৫ সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে?

ক
৩৬০°
খ
১৯০°
গ
৫৪০°
ঘ
৪৫০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫ বার ঘুরে। চাকাটি ৫ সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
১ বার ঘুরে = ৩৬০° কোণ
∴ ১৫ বার ঘুরে = (৩৬০° × ১৫) কোণ
= ৫৪০০° কোণ

১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৫৪০০°
∴ ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৫৪০০°/৬০
∴ ৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = (৫৪০০° × ৫)/৬০
= ৪৫০°

১১৫.

কাচ পানি অপেক্ষা ৩.৫ গুণ ভারী হয় তবে ৭০ সিসি কাচের ওজন কত গ্রাম?

ক
১৪৫
খ
২৪৫
গ
৩৪৫
ঘ
৪৪৫

ব্যাখ্যা

১ ঘন সেন্টিমিটার পানির ওজন ১ গ্রাম
৭০ ঘন সেন্টিমিটার পানির ওজন ১ × ৭০ গ্রাম
= ৭০ গ্রাম

∴ ৭০ ঘন সেন্টিমিটার কাচের ওজন (৭০ × ৩.৫) = ২৪৫ গ্রাম

১১৬.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ২৩ মিটার এবং গ্রন্থ ১৭ মিটার হলে বাগানের পরিসীমা কত?

ক
ক) ৪০ মিটার
খ
খ) ৪০০ মিটার
গ
গ) ১৬০ মিটার
ঘ
ঘ) ৮০ মিটার

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ২৩ মিটার এবং গ্রন্থ ১৭ মিটার

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২(২৩ + ১৭) মিটার
= (২ × ৪০) মিটার
= ৮০ মিটার

১১৭.

চিত্রে ABCD একটি আয়তক্ষেত্র হলে কোনটি সঠিক?

ক
ক) AC > BD
খ
খ) BD > AC
গ
গ) AC = 2OB
ঘ
ঘ) BD = AD + AB

ব্যাখ্যা

আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রে, OA = OB = OC = OD
∴ AC = OA+OC
= OB+OB
= 2OB

১১৮.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মি., প্রস্থ ৩ মি. এবং উচ্চতা ২ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

ক
২০০০০ লিটার
খ
৩০০০০ লিটার
গ
৩৩০০০ লিটার
ঘ
৪০০০০ লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মি., প্রস্থ ৩ মি. এবং উচ্চতা ২ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৫ মি.
= ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মি.
= ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মি.
= ২০০ সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ৩০০০০ লিটার

১১৯.

৮ সেমি দৈর্ঘ্য এবং ৬ সেমি প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৯৬ বর্গ সেমি
খ
খ) ১০০ বর্গ সেমি
গ
গ) ১৯৬ বর্গ সেমি
ঘ
ঘ) ২৫৬ বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- ৮ সেমি দৈর্ঘ্য এবং ৬ সেমি প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান-
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(৮^২ + ৬^২) সেমি
= ১০ সেমি

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০)^২বর্গ সেমি
= ১০০ বর্গ সেমি

১২০.

একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা 10 মিটার কম এবং পরিসীমা 100 মিটার। পুকুরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত মিটার?

ক
দৈর্ঘ্য 30 মিটার এবং প্রস্থ 20 মিটার
খ
দৈর্ঘ্য 20 মিটার এবং প্রস্থ 10 মিটার
গ
দৈর্ঘ্য 45 মিটার এবং প্রস্থ 30 মিটার
ঘ
দৈর্ঘ্য 40 মিটার এবং প্রস্থ 25 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা 10 মিটার কম এবং পরিসীমা 100 মিটার। পুকুরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:

মনে করি,
আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য = x মিটার
এবং আয়তাকার পুকুরের প্রস্থ = y মিটার
প্রথম শর্তানুসারে, x + 10 = 2y .........(1)
এবং দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 2(x + y) = 100 .........(2)

এখন,
(1) নং সমীকরণ হতে পাই,
x = 2y - 10 ......... (3)

x-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(2y - 10 + y) = 100
বা, 2(3y - 10) = 100
বা, 6y - 20 = 100
বা, 6y = 100 + 20
বা, 6y = 120
বা, y = 120/6
∴ y = 20

y-এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই,
x = 2 × 20 - 10
বা, x = 40 - 10
∴ x = 30

∴ পুকুরের দৈর্ঘ্য = 30 মিটার এবং প্রস্থ = 20 মিটার।

১২১.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুুর দৈর্ঘ্য ৭ মি., প্রস্থ ৫ মি. এবং উচ্চতা ১ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

ক
২২০০০ লিটার
খ
২৫০০০ লিটার
গ
৩০০০০ লিটার
ঘ
৩৫০০০ লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুুর দৈর্ঘ্য ৭ মি., প্রস্থ ৫ মি. এবং উচ্চতা ১ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৭ মি.
= ৭০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৫ মি.
= ৫০০ সে.মি.
উচ্চতা = ১ মি.
= ১০০ সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (৭০০ × ৫০০ × ১০০) ঘন সে.মি.
= ৩৫০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩৫০০০০০০/১০০০ লিটার [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ৩৫০০০ লিটার

১২২.

অর্ধ গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 27π বর্গমিটার হলে, ব্যাসার্ধ কত?

ক
3.5 মিটার
খ
2.5 মিটার
গ
3 মিটার
ঘ
4 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অর্ধ গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 27π বর্গমিটার হলে, ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 3πr²
3πr² = 27π
⇒ r² = 9
⇒ r = 3
সুতরাং ব্যাসার্ধ 3 মিটার।

১২৩.

একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুটি রাস্তা ১২০° কোণে চলে গেছে। দুইজন লোক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘন্টায় ১০ কিমি ও ঘন্টায় ৮ কিমি বেগে বিপরীত দিকে রওনা হলো। ৫ ঘন্টা পরে তাদের মধ্যে সরাসরি দুরত্ব নির্ণয় করুন।

ক
ক) ৭৮.১ কিমিঃ
খ
খ) ৭৫ কিমিঃ
গ
গ) ৭৭.১ কিমিঃ
ঘ
ঘ) ৮০ কিমিঃ

ব্যাখ্যা

ACD সমকোনী ত্রিভুজে, CD/AC = Sin60 বা, CD = 40 x (√3)/2 = 20√3
AD/AC = Cos60 বা, AD = 40 x 1/2 = 20
BCD সমকোনী ত্রিভুজে, BC² = BD² + CD² = (BA + AD)² + CD² = (50+20)² + (20√3)² = 6100
BC = 78.1

১২৪.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের অতিভূজের দৈর্ঘ্য ১৮ সেঃমিঃ ত্রিভূজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৪০.৫ বর্গসেঃমিঃ
খ
খ) ৮০ বর্গসেঃমিঃ
গ
গ) ৮১ বর্গসেঃমিঃ
ঘ
ঘ) ১৬২ বর্গসেঃমিঃ

ব্যাখ্যা

যেহেতু সমদ্বিবাহু ত্রিভূজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য AC = ১৮ সেঃমিঃ
∴ AB = BC = ১৮/√২ সেঃমিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × AC × BC
= ১/২ × ১৮/√২ × ১৮/√২
= ১/২ × ১/২ × ১৮ × ১৮
= ৮১ বর্গসেঃমিঃ

১২৫.

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার এবং উচ্চতা ৩ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
৭২ বর্গ মিটার
খ
৯৬ বর্গ মিটার
গ
৮৪ বর্গ মিটার
ঘ
৯৮ বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার এবং উচ্চতা ৩ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ (১০ + ৬) × ৩ বর্গ মিটার
= ২ × ১৬ × ৩ বর্গ মিটার
= ৯৬ বর্গ মিটার

∴ ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৯৬ বর্গ মিটার।

১২৬.

একটি সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল ৬৪√৩ বর্গমিঃ হলে ত্রিভূজের পরিসীমা কত?

ক
ক) ১৬
খ
খ) ২৪
গ
গ) ৩২
ঘ
ঘ) ৪৮

ব্যাখ্যা

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল √৩/৪a² = ৬৪√৩
বা, a² = ৬৪√৩ × ৪/√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
∴ a = ১৬
∴ পরিসীমা = ৩a
= ৩ × ১৬
= ৪৮

১২৭.

একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি. x ৪ সে. মি. x ১.৫সে. মি. হলে ৫৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?

ক
ক) ২৬৪০ টি
খ
খ) ১৩২০ টি
গ
গ) ৩৬০০ টি
ঘ
ঘ) ৫২৪০ টি

ব্যাখ্যা

সাবানের আয়তন = ৫ x ৪ x ১.৫ = ৩০ ঘন সে.মি.
বাক্সের আয়তন = ৫৫ x ৪৮ x ৩০ = ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ = ২৬৪০ টি।

১২৮.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৮০ ও ১১০ মিটার। বাগানটির দৈর্ঘ্য ২০% এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস পেলে বাগানটির নতুন ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১৯৮০০ বর্গমিটার
খ
খ) ১৪২৫৬ বর্গমিটার
গ
গ) ১৫০০০ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ১৪৫০০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৮০ ও ১১০ মিটার। বাগানটির দৈর্ঘ্য ২০% এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস পেলে বাগানটির নতুন ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
নতুন বাগানের দৈর্ঘ্য = ১৮০ - ১৮০ এর ২০% মিটার
= ১৮০ - ৩৬ মিটার
= ১৪৪ মিটার

নতুন বাগানের প্রস্থ = ১১০ - ১১০ এর ১০% মিটার
= ১১০ - ১১ মিটার
= ৯৯ মিটার

নতুন বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৪৪ × ৯৯ বর্গমিটার
= ১৪২৫৬ বর্গমিটার

১২৯.

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

ক
ক) ৬৫
খ
খ) ৩৬
গ
গ) ৪৮
ঘ
ঘ) ১০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্র ABCD এর কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মি. এবং প্রস্থ ৬ মি.
∴ দৈর্ঘ্য, BC = √(১০^২ - ৬^২) মি.
=√(১০০ - ৩৬) মি.
= √৬৪ মি
= ৮ মি

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮ × ৬ বর্গ মিটার
= ৪৮ বর্গ মিটার

১৩০.

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য 8 মিটার, প্রস্থ 6 মিটার এবং উচ্চতা 3 মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
ক) 88 বর্গমিটার
খ
খ) 84 বর্গমিটার
গ
গ) 86 বর্গমিটার
ঘ
ঘ) 80 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা।
= 2(8 + 6) × 3
= 6 × 14
= 84 বর্গমিটার।

১৩১.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রর ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 125 মিটার ও উচ্চতা 5 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 120 মি.
খ
খ) 100 মি.
গ
গ) 60 মি.
ঘ
ঘ) 80 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রর ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 125 মিটার ও উচ্চতা 5 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
= 125 × 5
=625 মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² বর্গ মি.
x² = 625
x = √625
x = 25

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 25 = 100 মি.

১৩২.

একটি রম্বসের পরিসীমা ১৮০ সেমি এবং ক্ষুদ্রতর কর্ণটি ৫৪ সেমি। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১৯৪৪ বর্গ সেমি
খ
খ) ১২৪৪ বর্গ সেমি
গ
গ) ১৬২০ বর্গ সেমি
ঘ
ঘ) ১৪৯৬ বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একটি রম্বসের পরিসীমা ১৮০ সেমি এবং ক্ষুদ্রতর কর্ণটি ৫৪ সেমি। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান-
রম্বসের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 180/4 = 45 সেমি

AO² + DO² = AD²
⇒ 27² + DO² = 45²
⇒ DO² = 1296
⇒ DO = 36

রম্বসের অপর কর্ণ = 36 + 36 = 72 সেমি

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 54 × 72 = 1944 বর্গ সেমি

১৩৩.

৩৬৯ মিটার দীর্ঘ একটি রাস্তার দুই পাশে 20 মিটার পরপর কংক্রিটের পিলার বসানো হলো। প্রতিটি পিলারের প্রস্থ 0.5 মিটার হলে, রাস্তা বরাবর মোট কতটি পিলার বসানো হয়েছে?

ক
ক) ৪৫টি
খ
খ) ৩৮টি
গ
গ) 48টি
ঘ
ঘ) ৪৪টি

ব্যাখ্যা

প্রতিটি পিলার জায়গা নেয় (২০ + ০.৫) = ২০.৫ মিটার
তাহলে, ৩৬৯ মিটারে বসানো যাবে (৩৬৯/২০.৫) + ১ টি = ১৮ + ১ = ১৯টি

দুইপাশে বসবে ৩৮টি।

১৩৪.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 9 মিটার
খ
খ) 10 মিটার
গ
গ) 11 মিটার
ঘ
ঘ) 15 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 2) মিটার

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 3 × (x + x + 2) বর্গ মিটার

প্রশমতে,
(1/2) × 3 × (x + x + 2) = 30
বা, 2x + 2 = 20
বা, 2x = 18
বা, x = 9

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9 + 2 = 11 মিটার

১৩৫.

একটি ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত?

ক
ক) ১৫০ বর্গসে.মি.
খ
খ) ২৫ বর্গসে.মি.
গ
গ) ৭৫ বর্গসে.মি.
ঘ
ঘ) ৬২.৫ বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ঘনকের ধার a একক হলে তাহলে তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গএকক

তাহলে,
ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৫² বর্গসে.মি.
= ৬ × ২৫ বর্গসে.মি.
= ১৫০ বর্গসে.মি.

সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = ১৫০/২
= ৭৫ বর্গসে.মি.

১৩৬.

মনির একটি বর্গক্ষেত্রের প্রান্ত বরাবর না হেঁটে আড়াআড়িভাবে গিয়েছিল। এতে সে কত শতাংশ পথ কম হেঁটে ছিল?

ক
ক) ১০%
খ
খ) ২০%
গ
গ) ২৫%
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- মনির একটি বর্গক্ষেত্রের প্রান্ত বরাবর না হেঁটে আড়াআড়িভাবে গিয়েছিল। এতে সে কত শতাংশ পথ কম হেঁটে ছিল?

সমাধান-

মনির ABCD বর্গক্ষেত্রের প্রান্ত বরাবর না হেঁটে আড়াআড়িভাবে BD বরাবর গিয়েছিল।

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a
কর্ণ BD = √2a
যেকোন এক প্রান্ত বরাবর মোট দূরত্ব = (a + a) = 2a

কম হাঁটতে হয়েছে = (2a - √2a)
= 2a - 1.41a
= 0.59a

প্রান্ত বরাবর না হাটার কারণে শতকরা কম হাঁটতে হয়েছিল = (0.59a/2a) × 100 = 29.5% (প্রায়)

১৩৭.

১০০ মিটার লম্বা এবং ৬০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট বাগানের ভিতর দিয়ে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
৪৫৫৬ বর্গমিটার
খ
৪৮৩৪ বর্গমিটার
গ
৫০৭৬ বর্গমিটার
ঘ
৫৩৮৪ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০ মিটার লম্বা এবং ৬০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট বাগানের ভিতর দিয়ে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
রাস্তা ছাড়া বাগানের দৈর্ঘ্য = {১০০ - (৩ × ২)} মিটার
= ৯৪ মিটার

রাস্তা ছাড়া বাগানের প্রস্থ = {৬০ - (৩ × ২)} মিটার
= ৫৪ মিটার

∴ রাস্তা ছাড়া বাগানের ক্ষেত্রফল = ৯৪ × ৫৪ বর্গমিটার
= ৫০৭৬ বর্গমিটার

১৩৮.

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১২২৫ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ১.৫০ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

ক
ক) ২০০ টাকা
খ
খ) ২০৫ টাকা
গ
গ) ২১০ টাকা
ঘ
ঘ) ২২০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১২২৫ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ১.৫০ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১২২৫ বর্গ .মি.
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √১২২৫ মি.
= ৩৫ মি.

বর্গাকার বাগানের পরিসীমা = (৩৫ × ৪) মি.
= ১৪০ মি.

১ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = ১.৫ টাকা
১৪০ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = (১৪০ × ১.৫) টাকা
= ২১০ টাকা

১৩৯.

একটি কোণকের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং এর উচ্চতা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ অপেক্ষা 2 সে.মি. বেশি হলে, কোণকের আয়তন কত?

ক
100π cm³
খ
50π cm³
গ
150π cm³
ঘ
75π cm³

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং এর উচ্চতা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ অপেক্ষা 2 সে.মি. বেশি হলে, কোণকের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 5 সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = (2 × 5 + 2) সে.মি.
= 12 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
(1/3)π × 5² × 12
= (1/3)π × 25 × 12
= π × 25 × 4
= 100π cm³

সুতরাং, কোণকের আয়তন 100π cm³

১৪০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 9 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
ক) 9√3
খ
খ) 9√3/4
গ
গ) 3√3/4
ঘ
ঘ) 2√3/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 9 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 9 সে.মি.
ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 9/3 সে.মি.
= 3 সে.মি.
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= (√3/4) × (3)² বর্গ সেমি
=(√3/4) × 9 বর্গ সে.মি.
= 9√3/4 বর্গ সে.মি.

১৪১.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ কত?

ক
8 মিটার
খ
10 মিটার
গ
12 মিটার
ঘ
16 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার
এবং প্রস্থ = x - 6 মিটার

প্রশ্নমতে,
x (x - 6) = 160
⇒ x² - 6x - 160 = 0
⇒ x² - 16x + 10x - 160 = 0
⇒ x(x - 16) + 10 (x - 16) = 0
⇒ (x - 16) (x + 10) = 0
হয়, x + 10 = 0 ⇒ x = - 10 [দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না]
∴ x - 10 = 0 ⇒ x = 16

আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = 16 - 6 = 10 মিটার

১৪২.

একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 15 সে.মি. এবং উচ্চতা 45 সে.মি. হলে ঐ বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক
4 : 3
খ
3 : 1
গ
5 : 4
ঘ
4 : 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 15 সে.মি. এবং উচ্চতা 45 সে.মি. হলে ঐ বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
বেলনের ব্যাসার্ধ, r = 15 সে.মি.
বেলনের উচ্চতা, h = 45 সে.মি.

সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh

বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 2πr(r + h) : 2πrh
= r + h : h
= (45 + 15) : 45
= 60 : 45
= 4 : 3

১৪৩.

একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে, এর হেলানো উচ্চতা কত?

ক
ক) 15.6 সে.মি.
খ
খ) 14 সে.মি.
গ
গ) 13.5 সে.মি.
ঘ
ঘ) 13 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে, এর হেলানো উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ভূমির ব্যাস, d = 10 সে.মি.
∴ কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 5 সে.মি.
উচ্চতা, h = 12 সে.মি.

ধরি,
হেলানো উচ্চতা = l সে.মি.

আমরা জানি,
l² = r² + h²
বা, l² = (5)² + (12)²
বা, l² = 25 + 144
বা, l = √169
∴ l = 13

∴ হেলানো উচ্চতা = 13 সে.মি.

১৪৪.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪২.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

ক
৫১০ টাকা
খ
১০১০ টাকা
গ
৮২০ টাকা
ঘ
১০২০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪২.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৪ মিটার

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (৮ + ৪) মিটার
= ২ × ১২ মিটার
= ২৪ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ৩৬.৫ টাকা
∴ ২৪ মিটারে খরচ হয় (২৪ × ৪২.৫) টাকা
= ১০২০ টাকা

১৪৫.

12 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

ক
16 সে.মি.
খ
18 সে.মি.
গ
19 সে.মি.
ঘ
13 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা, h = 12 সে.মি.
এবং ব্যাসার্ধ, r = 10/2= 5 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(12² + 5²) সে.মি.
= √169 সে.মি.
= 13 সে.মি.

১৪৬.

9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 14 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

ক
384 ঘন সে.মি.
খ
412 ঘন সে.মি.
গ
372 ঘন সে.মি.
ঘ
378 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 14 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
= (1/3) × 9 × 9 × 14 ঘন সে.মি.
= 378 ঘন সে.মি.

১৪৭.

একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 4 সেমি এবং উচ্চতা 9 সেমি হলে, সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
72π বর্গ সেমি
খ
96π বর্গ সেমি
গ
104π বর্গ সেমি
ঘ
124π বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 4 সেমি এবং উচ্চতা 9 সেমি হলে, সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 4 সেমি
উচ্চতা, h = 9 সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 4 (4 + 9)
= 2π × 52
= 104π বর্গ সেমি

১৪৮.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গমিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত?

ক
২১ মিটার
খ
১৮ মিটার
গ
২৮ মিটার
ঘ
১৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গমিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
দৈর্ঘ্য = ১.৫ক মিটার

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ক × ১.৫ক = ২৯৪
⇒ ক^২ = ২৯৪/১.৫
⇒ ক^২ = ১৯৬ = ১৪^২
∴ ক = ১৪

∴ দৈর্ঘ্য = ১.৫ × ১৪ = ২১ মিটার

১৪৯.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ৩০% হ্রাস করলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

ক
৯% হ্রাস
খ
৬% হ্রাস
গ
৯% বৃদ্ধি
ঘ
কোন পরিবর্তন হবে না

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ৩০% হ্রাস করলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:

ধরি,

দৈর্ঘ্য = ১০০ একক

এবং প্রস্থ = ১০০ একক

∴ ক্ষেত্রফল = ১০০ × ১০০ = ১০০০০ বর্গ একক

আবার,

৩০% বৃদ্ধিতে দৈর্ঘ্য = ১৩০ একক

এবং ৩০% হ্রাসে প্রস্থ = ৭০ একক

∴ ক্ষেত্রফল = (১৩০ × ৭০) বর্গ একক

= ৯১০০ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস = (১০০০০ - ৯১০০) বর্গ একক = ৯০০ বর্গ একক

শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার = {(৯০০ × ১০০)/১০০০০}% = ৯%

১৫০.

একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে, এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক
768 বর্গমিটার
খ
756 বর্গমিটার
গ
748 বর্গমিটার
ঘ
728 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে, এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি.

সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 2πr(r + h)
= 2 × (22/7) × 7 (7 + 10) বর্গমিটার
= 44 × 17 বর্গমিটার
= 748 বর্গমিটার।

১৫১.

নিচের কোনটি সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল?

ক
২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
খ
১/২(দৈর্ঘ্য × উচ্চতা)
গ
২(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
ঘ
ভূমি × উচ্চতা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)

- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।

১৫২.

একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

ক
৩√৪ সে.মি.
খ
৪√৫ সে.মি.
গ
৫√৩ সে.মি.
ঘ
৪√৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

সমাধান :
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)^২
বা, বাহু^২ = (৪ × ১৬√৩)/√৩
বা, বাহু = √৬৪
∴ বাহু = ৮ সেমি

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
⇒ (১/২) × ৮ × উচ্চতা = ১৬√৩
⇒ ৪ × উচ্চতা = ১৬√৩
⇒ উচ্চতা = ১৬√৩/৪
= ৪√৩ মিটার

১৫৩.

24 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

ক
20 সে.মি.
খ
25 সে.মি.
গ
30 সে.মি.
ঘ
35 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 24 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা, h = 24 সে.মি.
এবং ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(24² + 7²) সে.মি.
= √625 সে.মি.
= 25 সে.মি. ।

১৫৪.

একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 7 সেন্টিমিটার, এর আয়তন কত?

ক
ক) ৪৯ ঘন সে.মি.
খ
খ) ৩৪৩ বর্গ সে.মি.
গ
গ) ৭২৯ ঘন সে.মি.
ঘ
ঘ) ৩৪৩ ঘন সে.মি.
ঙ
ঙ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

ঘনকের আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা = a².a = a³ = 7³ = 343 ঘন সে.মি.

১৫৫.

কোনো ঘনকের আয়তন 216 ঘন সে.মি. হলে ঘনকটির প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
3√2 সে.মি.
খ
6√3 সে.মি.
গ
4√3 সে.মি.
ঘ
6√2 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 216 ঘন সে.মি. হলে ঘনকটির প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন = 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে,
a³ = 216
⇒ a³= 6³
⇒ a = 6

∴ ঘনকের প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 6√2 সে.মি.

১৫৬.

একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

ক
৩ গুণ
খ
৫ গুণ
গ
৭ গুণ
ঘ
৯ গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক

∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯/১) = ৯ গুণ

১৫৭.

প্রতি বর্গমিটার ৯.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ৬৬৫ টাকা। রুমটির প্রস্থ ৫ মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
১৮ মিটার
খ
১৬ মিটার
গ
১২ মিটার
ঘ
১৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি বর্গমিটার ৯.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ৬৬৫ টাকা। রুমটির প্রস্থ ৫ মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
মেঝের ক্ষেত্রফল = (মোট খরচ ÷ প্রতি বর্গমিটারে খরচ)
= (৬৬৫/৯.৫) বর্গমিটার
= ৭০ বর্গমিটার

আবার,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, দৈর্ঘ্য × ৫ = ৭০
বা, দৈর্ঘ্য = ৭০/৫
∴ দৈর্ঘ্য = ১৪ মিটার

১৫৮.

একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 165 বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায়। ঐ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 7√2 সে.মি.
খ
খ) 8√2 সে.মি.
গ
গ) 14√2 সে.মি.
ঘ
ঘ) 16√2 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 165 বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায়। ঐ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = x² সে.মি

প্রশ্নমতে
(x + 5)2 - x2 = 165
x2 + 2.x.5 + 52 - x2 = 165
10x + 25 = 165
10x = 165 - 25
10x = 140
x = 14

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 14√2 সে.মি.

১৫৯.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ ফুট এবং লম্ব ৮ ফুট হলে, অতিভুজ ও ভূমির পার্থক্য কত?

ক
২ ফুট
খ
৩ ফুট
গ
৪ ফুট
ঘ
৫ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ ফুট এবং লম্ব ৮ ফুট হলে, অতিভুজ ও ভূমির পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = ১৫ ফুট
এবং লম্ব = ৮ ফুট

∴ অতিভুজ = √(ভূমি^২ + লম্ব^২)
= √{(১৫)^২ + (৮)^২}
= √(২২৫ + ৬৪)
= √(২৮৯)
= ১৭ ফুট

সুতরাং, অতিভুজ ও ভূমির পার্থক্য = (১৭ - ১৫) = ২ ফুট

১৬০.

একটি আয়তাকার চৌবাচ্চার উচ্চতা এর দৈর্ঘ্যের দুই তৃতীয়াংশ। আবার চৌবাচ্চাটির প্রস্থ এর দৈর্ঘ্যের এক পঞ্চমাংশ। চৌবাচ্চাটির প্রস্থ ৩ মিটার হলে এর আয়তন কত ঘনমিটার?

ক
৩৫০ ঘনমিটার
খ
৪০০ ঘনমিটার
গ
৪৫০ ঘনমিটার
ঘ
৫০০ ঘনমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার চৌবাচ্চার উচ্চতা এর দৈর্ঘ্যের দুই তৃতীয়াংশ। আবার চৌবাচ্চাটির প্রস্থ এর দৈর্ঘ্যের এক পঞ্চমাংশ। চৌবাচ্চাটির প্রস্থ ৩ মিটার হলে এর আয়তন কত ঘনমিটার?

সমাধান:
ধরি,
চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
তাহলে, উচ্চতা = ২ক/৩ মিটার
প্রস্থ = ক/৫ মিটার

প্রশ্নমতে,
ক/৫ = ৩
∴ ক = ১৫ মিটার
অর্থাৎ, প্রস্থ ৩ মিটার, দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার এবং উচ্চতা (২ × ১৫)/৩ = ১০ মিটার

∴ আয়তন = ১৫ × ৩ × ১০ = ৪৫০ ঘনমিটার

১৬১.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত ৮ : ৩। আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা যদি ২২০ সে.মি. হয়, তাহলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৬০ সে.মি.
খ
খ) ৭০ সে.মি.
গ
গ) ৮০ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৮৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত ৮ : ৩। আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা যদি ২২০ সে.মি. হয়, তাহলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮ক সে. মি, প্রস্থ ৩ক সে.মি

প্রশ্নমতে
২(৮ক + ৩ক) = ২২০
১১ক = ১১০
ক = ১০

সুতরাং,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৮ × ১০ সে.মি
= ৮০ সে.মি

১৬২.

দুটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ সে.মি. এবং ৩২ সে.মি.। এই দুটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পার্থক্যের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয় করুন।

ক
২০ সে.মি.
খ
২৪ সে.মি.
গ
২৮ সে.মি.
ঘ
৩২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ সে.মি. এবং ৩২ সে.মি.। এই দুটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পার্থক্যের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ সে.মি.
১ম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য (৪০/৪) সে.মি. = ১০ সে.মি.
১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১০ × ১০ = ১০০ বর্গ সে.মি.

২য় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩২ সে.মি.
২য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য (৩২/৪) সে.মি. = ৮ সে.মি.
২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮ × ৮ = ৬৪ বর্গ সে.মি.

৩য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০০ - ৬৪) বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.

∴ ৩য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ = ৬ সে.মি.
∴ ৩য় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৬ × ৪ = ২৪ সে.মি.

১৬৩.

একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 5 সে.মি.। বেলনের আয়তন কত?

ক
110 ঘন সে.মি.
খ
220 ঘন সে.মি.
গ
770 ঘন সে.মি.
ঘ
528 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 5 সে.মি.। বেলনের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
বেলনের উচ্চতা, h = 5 সে.মি.

আমরা জানি,
বেলনের আয়তন = πr²h
= (22/7) × (7)² × 5 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 5 ঘন সে.মি.
= 770 ঘন সে.মি.

১৬৪.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
১২ মিটার
খ
১০ মিটার
গ
১৪ মিটার
ঘ
৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার
প্রস্থ ৬ মিটার
মনে করি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য^২+ প্রস্থ^২)
= √(ক^২+ ৬^২) মিটার
= √(ক^২+ ৩৬) মিটার

শর্তমতে,
√(ক^২+ ৩৬) = ১০
বা, ক^২+ ৩৬ = ১০^২
বা, ক^২= ১০০ - ৩৬
বা, ক^২= ৬৪
বা, ক = √৬৪
∴ ক = ৮

তাহলে, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার

১৬৫.

একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা 10 মিটার এবং আয়তন 500π ঘন মিটার। ব্যাসার্ধ কত হবে?

ক
2√3 মিটার
খ
15 মিটার
গ
9 মিটার
ঘ
5√2 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা 10 মিটার এবং আয়তন 500π ঘন মিটার। ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 10 মিটার
আয়তন, V = 500π ঘন মিটার

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h = 500π
⇒ r² = 500/10
⇒ r² = 50
⇒ r = √50
∴ r = 5√2

সুতরাং, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 5√2 মিটার।

১৬৬.

আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
824 বর্গমিটার
খ
972 বর্গমিটার
গ
1080 বর্গমিটার
ঘ
720 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার।

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 120 × 4 = 480 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (90 - 4) × 4 = 344 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (480 + 344) বর্গমিটার
= 824 বর্গমিটার

১৬৭.

একটি চাকার ব্যাসার্ধ 21 মিটার। চাকাটি 924 মিটার পথ অতিক্রম করতে কতবার ঘুরবে?

ক
7 বার
খ
9 বার
গ
10 বার
ঘ
12 বার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ 21 মিটার। চাকাটি 924 মিটার পথ অতিক্রম করতে কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, চাকার ব্যাসার্ধ r = 21 মিটার
∴ চাকার পরিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 21
= 132 মিটার
ফলে চাকাটি একবার ঘুরলে 132 মিটার যায়।

∴ 924 মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে = 924/132 = 7 বার

১৬৮.

২০৫৭৩.৪ মিলিগ্রামে কত কিলোগ্রাম?

ক
ক) ২.০৫৭৩৪
খ
খ) ০.২০৫৭৩৪
গ
গ) ০.০২০৫৭৩৪
ঘ
ঘ) ২০.৫৭৩৪০

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
10,00,000 মিলিগ্রাম = 1 কিলোগ্রাম
20,573.4 মিলিগ্রাম = 20,573.4/10,00,000 কিলোগ্রাম
= 0.0205734 কিলোগ্রাম

১৬৯.

একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২√২ ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
√২ ফুট
খ
৪√২ ফুট
গ
২ ফুট
ঘ
৪ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২√২ ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ২√২ ফুট
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × ২√২ ফুট
= ৪ ফুট

১৭০.

একটি ফুটবলের ব্যাস 6 ইঞ্চি হলে, ফুটবলের আয়তন কত?

ক
112.95 বর্গ ইঞ্চি
খ
103.25 ঘন ইঞ্চি
গ
113.09 ঘন ইঞ্চি
ঘ
123.19 ইঞ্চি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ফুটবলের ব্যাস 6 ইঞ্চি হলে, ফুটবলের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাস, d = 6 ইঞ্চি
ব্যাসার্ধ, r = 6/2 = 3 ইঞ্চি

ফুটবল হল একটি গোলক, এবং গোলকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হল = (4/3)πr³
= (4/3) × 3.1416 × (3)³
= 36 × 3.1416
= 113.09 ঘন ইঞ্চি

∴ ফুটবলের আয়তন 113.09 ঘন ইঞ্চি

১৭১.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি এবং দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 17 সে.মি। এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 145 বর্গ সে.মি
খ
খ) 148 বর্গ সে.মি
গ
গ) 150 বর্গ সে.মি
ঘ
ঘ) 140 বর্গ সে.মি

ব্যাখ্যা

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি এবং দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 17 সে.মি। এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b ও c সে.মি

শর্ত অনুসারে, a + b + c = 17 এবং

√(a² + b²+ c² )= 12 বা,

বা, a²+ b² + c² = 12² = 144

এখন, a + b + c = 17
বা, (a + b + c)² = 17²
বা, a²+b²+c²+2(ab + bc + ca) = 289
বা, 144 + 2(ab + bc + ca) = 289
বা, 2 (ab + bc + ca) = 289 - 144
বা, 2 (ab + bc + ca) = 145

সুতরাং, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 145 বর্গ সে.মি

১৭২.

একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন এবং ব্যাসার্ধ সমান। এদের উচ্চতার অনুপাত কত?

ক
১ : ২
খ
১ : ৪
গ
১ : ৩
ঘ
২ : ৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। এদের উচ্চতার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h₁সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h₁ = (1/3)πr²h
বা, h₁ = h/3
বা, h₁/h = 1/3
বা, h₁ : h = 1 : 3

১৭৩.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১৫% হ্রাস করলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

ক
৬.২৫% বৃদ্ধি
খ
৫.২৫% হ্রাস
গ
৮% বৃদ্ধি
ঘ
৭.৫% হ্রাস
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১৫% হ্রাস করলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:
ধরি, দৈর্ঘ্য = ১০০ একক এবং প্রস্থ = ১০০ একক
∴ ক্ষেত্রফল = ১০০ × ১০০ = ১০০০০ বর্গ একক

আবার,
২৫% বৃদ্ধিতে দৈর্ঘ্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ একক
১৫% হ্রাসে প্রস্থ = ১০০ - ১৫ = ৮৫ একক

∴ ক্ষেত্রফল = ১২৫ × ৮৫ = ১০৬২৫ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল বাড়বে = ১০৬২৫ - ১০০০০ = ৬২৫ বর্গ একক

∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (৬২৫/১০০০০) × ১০০%
= ৬.২৫%
অতএব, ক্ষেত্রফল শতকরা ৬.২৫% বৃদ্ধি পাবে ।

শর্টকাট: A + B + AB/100
= ২৫ - ১৫ + {২৫ × (- ১৫)}/১০০
= ১০ - ৩.৭৫
= ৬.২৫%

১৭৪.

একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ এবং পরিসীমা 48 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 64 বর্গমিটার
খ
খ) 128 বর্গমিটার
গ
গ) 288 বর্গমিটার
ঘ
ঘ) 228 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ এবং পরিসীমা 48 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 2x মিটার

প্রশ্নমতে,
2(2x + x) = 48
⇒ 6x = 48
⇒ x = 8
∴ x = 8

∴ আয়তাকার ঘরের বিস্তার = 8 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 2x = 2 × 8 = 16 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (16 × 8) = 128 বর্গমিটার

১৭৫.

বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ২ গুণ
খ
খ) ৪ গুণ
গ
গ) ৮ গুণ
ঘ
ঘ) ১৬ গুণ

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এর ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে।সুতরাং বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

১৭৬.

একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার, প্রস্থ 16 মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
150 বর্গ মিটার
খ
160 বর্গ মিটার
গ
180 বর্গ মিটার
ঘ
190 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার, প্রস্থ 16 মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = 20 মিটার
বাগানের প্রস্থ = 16 মিটার
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= (20 × 16) বর্গ মিটার
= 320 বর্গ মিটার

আবার, যেহেতু বাগানের বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে,
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = 20 + (2 + 2) মিটার = 24 মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = 16 + (2 + 2) মিটার = 20 মিটার
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (24 × 20) বর্গ মিটার
= 480 বর্গ মিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (480 - 320) বর্গ মিটার
= 160 বর্গ মিটার।

১৭৭.

কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 9 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
12.5 বর্গসে.মি.
খ
18 বর্গসে.মি.
গ
22.5 বর্গসে.মি.
ঘ
24.8 বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 9 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের দুটি বাহু a ও b হলে, এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2) absinθ

কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 9 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × 9 × 10 × sin30°
= (1/2) × 9 × 10 × (1/2)
= 22.5 বর্গসে.মি.

১৭৮.

একটি ঘনকের আয়তন ৮০০০ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
৮√৩ সে.মি.
খ
১৫√৩ সে.মি.
গ
১০√৩ সে.মি.
ঘ
২০√৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৮০০০ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন ক^৩ ঘনএকক

প্রশ্নমতে,
ক^৩ = ৮০০০
∴ ক = ২০

তাহলে, ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি.
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = ২০√৩ সে.মি.

১৭৯.

একটি চাকা মিনিটে 120 বার ঘোরে। 4 সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

ক
1440°
খ
5760°
গ
2880°
ঘ
1800°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে 120 বার ঘোরে। 4 সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড

60 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 120 বার
∴ 1 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 120/60 বার = 2 বার
∴ 4 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 2 × 4 বার
= 8 বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি 1 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360°
∴ চাকাটি 8 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360° × 8 = 2880°

অতএব, 4 সেকেন্ডে চাকাটি 2880° ঘুরবে।

১৮০.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
১০০ বর্গ মিটার
খ
১৪৪ বর্গ মিটার
গ
১৬৯ বর্গ মিটার
ঘ
২২৫ বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪৮ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮/৪
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার

এখন,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)^২
= (১২)^২
= ১২ × ১২
= ১৪৪ বর্গ মিটার
∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ মিটার।

১৮১.

একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 3 সেঃমিঃ এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সেঃমিঃ হলে আয়তন কত?

ক
75 ঘন সেঃমিঃ
খ
150 ঘন সেঃমিঃ
গ
100 ঘন সেঃমিঃ
ঘ
170 ঘন সেঃমিঃ

ব্যাখ্যা

ব্যাসার্ধ r = 3,
∴ উচ্চতা h হলে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল 2πrh = 100
বা, πrh = 50
∴ আয়তন πr²h = (πrh)r
= 50 × 3
= 150 ঘন সেঃমিঃ

১৮২.

কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩ গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?

ক
১০ সে.মি.
খ
১৬ সে.মি.
গ
৮ সে.মি.
ঘ
১২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩ গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে,
ছোটটির দৈর্ঘ্য = উচ্চতা = ক সে.মি.
এবং বড়টির দৈর্ঘ্য = ৩ক সে.মি.

প্রশ্নমতে,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১২৮
⇒ (১/২) × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = ১২৮
⇒ (১/২) × ক × (ক + ৩ক) = ১২৮
⇒ ৪ক^২/২ = ১২৮
⇒ ২ক^২ = ১২৮
⇒ ক^২ = ৬৪ = ৮^২
⇒ ক = ৮

∴ ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা = ৮ সে.মি.

১৮৩.

একটি ঘনকের আয়তন ১৭২৮ ঘন সে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১২ সে.মি.
খ
খ) ২৪√৩ সে.মি.
গ
গ) ৬√৩ সে.মি.
ঘ
ঘ) ১২√৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ১৭২৮ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে এর আয়তন a³ ঘনএকক

শর্তমতে,
a³ = ১৭২৮
∴ a = ১২

ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে ১২√৩ সে.মি.

১৮৪.

৫ একক ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের দুই কর্ণের সমষ্টি কত একক?

ক
√৩ একক
খ
১০√৩ একক
গ
৫√৩ একক
ঘ
৮√৩ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ একক ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের দুই কর্ণের সমষ্টি কত একক?

সমাধান:
ধার, a = ৫ একক
আমরা জানি,
ঘনকটির কর্ণ = (√৩)a

∴ ঘনকের দুই কর্ণের সমষ্টি = (√৩)a + (√৩)a
= ৫√৩ + ৫√৩ = ১০√৩ একক

১৮৫.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 9π বর্গমিটার হলে, ABCD বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 4 বর্গমিটার
খ
খ) 16 বর্গমিটার
গ
গ) 24 বর্গমিটার
ঘ
ঘ) 36 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr² = 9π বর্গমিটার
⇒r = 3
∴ ব্যাস = 6 মিটার
চিত্র অনুসারে, ব্যাস = বর্গের বাহু = 6 মিটার
ABCD বর্গের ক্ষেত্রফল = 6²বর্গমিটার = 36 বর্গমিটার

১৮৬.

একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ২ মিটার প্রস্থবিশিষ্ট একটি রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ১৯৬ বর্গমিটার হলে, রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
৭২ বর্গমিটার
খ
৯৬ বর্গমিটার
গ
৮৬ বর্গমিটার
ঘ
৮১ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ২ মিটার প্রস্থবিশিষ্ট একটি রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ১৯৬ বর্গমিটার হলে, রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার
২ মিটার রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (x + ২ + ২) = (x + ৪) মিটার

প্রশ্নমতে,
(x + ৪)^২ = ১৯৬
⇒ x + ৪ = ১৪
⇒ x = ১৪ - ৪
⇒ x = ১০
∴ x^২ = ১০০

রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৯৬ - ১০০ = ৯৬ বর্গমিটার

১৮৭.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
8 বর্গমিটার
খ
10 বর্গমিটার
গ
16 বর্গমিটার
ঘ
12 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

১৮৮.

একটি সমকোণী ত্রিভূজের ভূমি ৪ মিঃ এবং ক্ষেত্রফল ৬ বর্গমিঃ হলে পরিসীমা কত?

ক
ক) ১০ মিঃ
খ
খ) ৯ মিঃ
গ
গ) ১১ মিঃ
ঘ
ঘ) ১২ মিঃ

ব্যাখ্যা

লম্ব = a হলে,
ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ৪ × a
বা, ৬ = ২a
∴ a = ৩ মিঃ
∴ অতিভূজ = √(ভূমি² + লম্ব²)
= √(৪² + ৩²)
= ৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ভূমি + লম্ব + অতিঃ
= ৪ + ৩ + ৫
= ১২ মিঃ

১৮৯.

প্রতিটি টাইলসের ক্ষেত্রফল ৪ বর্গফুট। একটি আয়তকার বারান্দা যার দৈর্ঘ্য ২০ ফুট ও প্রস্থ ১২ ফুট, সেই বারান্দা ঢাকতে কয়টি টাইলস লাগবে?

ক
৪৮ টি
খ
৫৪ টি
গ
৬০ টি
ঘ
৬৬ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতিটি টাইলসের ক্ষেত্রফল ৪ বর্গফুট। একটি আয়তকার বারান্দা যার দৈর্ঘ্য ২০ ফুট ও প্রস্থ ১২ ফুট, সেই বারান্দা ঢাকতে কয়টি টাইলস লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বারান্দা যার দৈর্ঘ্য = ২০ ফুট
এবং প্রস্থ = ১২ ফুট

∴ বারান্দা আয়তন = (২০ × ১২) বর্গফুট
= ২৪০ বর্গফুট

∴ টাইলস লাগবে = ২৪০/৪ টি
= ৬০ টি

১৯০.

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

ক
ক) ৩ গুণ
খ
খ) ৬ গুণ
গ
গ) ৯ গুণ
ঘ
ঘ) ১৫ গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান :
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²

বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ পাবে।

১৯১.

একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?

ক
২৪০০০ লিটার
খ
২৪ লিটার
গ
২৪০ লিটার
ঘ
২৪০০ লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি

১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার
= ২৪০০ লিটার ।

১৯২.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার । দুটি সমান্তরাল বাহুর একটির দৈর্ঘ্য 8 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
18 মিটার
খ
12 মিটার
গ
25 মিটার
ঘ
28 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার । দুটি সমান্তরাল বাহুর একটির দৈর্ঘ্য 8 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার
একটির দৈর্ঘ্য, a = 8 মিটার এবং উচ্চতা, h = 5 মিটার

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (a + b) × h
⇒ 50 = (1/2) × (8 + b) × 5
⇒ 100 = (8 + b) × 5
⇒ 8 + b = 100/5 = 20
⇒ b = 20 - 8 = 12
∴ b = 12 মিটার

∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার ।

১৯৩.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪৬.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

ক
৯৯০ টাকা
খ
৯১৫ টাকা
গ
৮৩০ টাকা
ঘ
৯৩০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪৬.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৪ মিটার

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (৬ + ৪) মিটার
= ২ × ১০ মিটার
= ২০ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ৪৬.৫ টাকা
∴ ২০ মিটারে খরচ হয় (২০ × ৪৬.৫) টাকা
= ৯৩০ টাকা

১৯৪.

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। প্রতি বর্গমিটার ১২.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১,৬০০ টাকা ব্যয় হলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
১৬ মিটার
খ
১০ মিটার
গ
২০ মিটার
ঘ
২৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। প্রতি বর্গমিটার ১২.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১,৬০০ টাকা ব্যয় হলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
মোট ব্যয় = ১,৬০০ টাকা
প্রতি বর্গমিটার কার্পেটিং খরচ = ১২.৫০ টাকা
সুতরাং, ঘরটির ক্ষেত্রফল = মোট ব্যয় ÷ প্রতি বর্গমিটার খরচ
= ১,৬০০ ÷ ১২.৫০
= ১২৮ বর্গমিটার।

ধরি, ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ১২৮
বা, ২ক^২ = ১২৮
বা, ক^২ = ১২৮/২
বা, ক^২ = ৬৪
বা, ক = √৬৪
∴ ক = ৮

সুতরাং, প্রস্থ = ৮ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ২ × ৮ = ১৬ মিটার।

∴ ঘরটির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার।

১৯৫.

একটি সিলিন্ডারের নিচের প্রান্তের ক্ষেত্রফল 100π বর্গমিটার এবং আয়তন 900π ঘনমিটার হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত?

ক
9 মিটার
খ
10 মিটার
গ
11 মিটার
ঘ
12 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের নিচের প্রান্তের ক্ষেত্রফল 100π বর্গমিটার এবং আয়তন 900π ঘনমিটার হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h মিটার

দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের নিচের প্রান্তের ক্ষেত্রফল = 100π বর্গমিটার
⇒ πr² = 100π
⇒ r² = 100

আবার,
আয়তন = 900π ঘনমিটার
⇒ πr²h = 900π
⇒ r²h = 900
⇒ h = 900/r²
⇒ h = 900/100
⇒ h = 9

১৯৬.

কোনো কূয়ার গভীরতা 20 মিটার এবং ব্যাসার্ধ 1 মিটার হলে ঐ কূয়ার আয়তন কত?

ক
10π ঘনমিটার
খ
20π ঘনমিটার
গ
π³ ঘনমিটার
ঘ
100π ঘনমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো কূয়ার গভীরতা 20 মিটার এবং ব্যাসার্ধ 1 মিটার হলে ঐ কূয়ার আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কূয়ার গভীরতা, h = 20 মিটার
কূয়ার ব্যাসার্ধ, r = 1 মিটার

আমরা জানি,
কূয়ার আয়তন = πr²h
= (π · 1² · 20) ঘনমিটার
= 20π ঘনমিটার

১৯৭.

একটি আয়তাকার সুইমিংপুলের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার হলে, সুইমিংপুলের পরিসীমা কত?

ক
২০০ মিটার
খ
২৪০ মিটার
গ
৪০০ মিটার
ঘ
৪৮০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার সুইমিংপুলের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার হলে, সুইমিংপুলের পরিসীমা কত?

সমাধান:
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (৬০ + ৪০)
= ২০০ মিটার

১৯৮.

একটি ঘনকের ঘনফল 125 ঘন সে.মি। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 5 √3 সেমি
খ
খ) 4√3 সেমি
গ
গ) 3 √5 সেমি
ঘ
ঘ) 2√3 সেমি

ব্যাখ্যা

একটি ঘনকের ঘনফল 125 ঘন সে.মি। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান: মনে করি, ঘনকের এক বাহুর পরিমাপ a সে.মি
সুতরাং এর ঘনফল = a³ ঘন সে.মি
.. a³ = 125
বা, a = 5 সে.মি
সুতরাং, ঘনকটির প্রত্যেক ধারের মাপ 5 সে.মি এবং

এর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a √3 একক = 5 √3 সেমি

১৯৯.

একটি বাক্সের মাপ ৪০ সে.মি. × ৩০ সে.মি. × ২০ সে.মি.। ছোট বাক্সের মাপ ৮ সে.মি. × ৬ সে.মি. × ৫ সে.মি.। বড় বাক্সে সর্বোচ্চ কতগুলো ছোট বাক্স রাখা যাবে?

ক
১০০ টি
খ
১৪০ টি
গ
১২০ টি
ঘ
২০০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সের মাপ ৪০ সে.মি. × ৩০ সে.মি. × ২০ সে.মি.। ছোট বাক্সের মাপ ৮ সে.মি. × ৬ সে.মি. × ৫ সে.মি.। বড় বাক্সে সর্বোচ্চ কতগুলো ছোট বাক্স রাখা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বাক্সের মাপ ৪০ সে.মি. × ৩০ সে.মি. × ২০ সে.মি.
ছোট বাক্সের মাপ ৮ সে.মি. × ৬ সে.মি. × ৫ সে.মি.

∴ বড় বাক্সের আয়তন = ৪০ × ৩০ × ২০ = ২৪০০০ ঘন সে.মি.

ছোট বাক্সের আয়তন = ৮ × ৬ × ৫ = ২৪০ ঘন সে.মি.

∴ বড় বাক্সে সর্বোচ্চ ছোট বাক্স রাখা যাবে = ২৪০০০/২৪০
= ১০০ টি

সুতরাং, বড় বাক্সে সর্বোচ্চ ১০০টি ছোট বাক্স রাখা যাবে।

২০০.

16 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস 7 সে.মি.। সিলিন্ডারটির আয়তন কত?

ক
462 ঘন সে.মি.
খ
528 ঘন সে.মি.
গ
592 ঘন সে.মি.
ঘ
616 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস 7 সে.মি.। সিলিন্ডারটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 16 সে.মি. এবং
ভূমির ব্যাস, d = 7 সে.মি.
∴ সিলিন্ডারটির ভূমির ব্যাসার্ধ, r = d/2 সে.মি.
= 7/2 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h ঘন একক
= (22/7) × (7/2)² × 16 ঘন সে.মি.
= (22/7) × (49/4) × 16 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 4 ঘন সে.মি.
= 616 ঘন সে.মি.

∴ সিলিন্ডারটির আয়তন = 616 ঘন সে.মি.।