১.
বৃত্তের একটি জ্যা কয়টি চাপে বিভক্ত?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের একটি জ্যা 2টি চাপে বিভক্ত।
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
পরিমিতি
পরিমিতি
PrepBank · পাতা ১ / ২১ · ১–১০০ / ২,১১০
২.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ১ : ৪। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ১ : ৪। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
১ম বৃত্তের ব্যাস = 2r
২য় বৃত্তের ব্যাস = (2 × 4r) = 8r
∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)2 = 4πr2
∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(8r)2 = 64πr2
এখন,
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল/২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 4πr2/64πr2 = 1/16
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল : ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 1 : 16
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
১ম বৃত্তের ব্যাস = 2r
২য় বৃত্তের ব্যাস = (2 × 4r) = 8r
∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)2 = 4πr2
∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(8r)2 = 64πr2
এখন,
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল/২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 4πr2/64πr2 = 1/16
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল : ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 1 : 16
৩.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৯ সে.মি. ও ১৫ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৯ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৯ সে.মি. ও ১৫ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৯ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৯ সে.মি. ও ১৫ সে.মি.
এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৯ সে.মি.
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা
= (১/২) × (১৯ + ১৫) × ৯ বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ৩৪ × ৯
= ১৫৩ বর্গ সে.মি.
৪.
৫৬ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোন এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাস 2r = 56 ফুট
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 28 ফুট
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = 22/7 × 28 × 28 = 2464 বর্গফুট
তাহলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৪৬৩ বর্গ
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √২৪৬৩ = ৪৯.৬৪ ফুট
৫.
একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৩ গুণ। প্রতি বর্গমিটারে ৭.৫০ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১১০২.৫০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৩ গুণ। প্রতি বর্গমিটারে ৭.৫০ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১১০২.৫০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
মনেকরি, ঘরে প্রস্থ = ক মি.
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ক
∴ ক্ষেত্রফল = ৩ক × ক = ৩ক২
প্রশ্নমতে,
৩ক২ = ১১০২.৫০/৭.৫০
⇒ ৩ক২ = ১৪৭
⇒ ক২ = ১৪৭/৩ = ৪৯
⇒ ক = √৪৯ = ৭
∴ ক = ৭ মিটার
∴ প্রস্থ = ৭ মি. এবং দৈর্ঘ্য = ৩ × ৭ = ২১ মি.
∴ ঘরের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২ (২১ + ৭) = ৫৬ মিটার
সমাধান:
মনেকরি, ঘরে প্রস্থ = ক মি.
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ক
∴ ক্ষেত্রফল = ৩ক × ক = ৩ক২
প্রশ্নমতে,
৩ক২ = ১১০২.৫০/৭.৫০
⇒ ৩ক২ = ১৪৭
⇒ ক২ = ১৪৭/৩ = ৪৯
⇒ ক = √৪৯ = ৭
∴ ক = ৭ মিটার
∴ প্রস্থ = ৭ মি. এবং দৈর্ঘ্য = ৩ × ৭ = ২১ মি.
∴ ঘরের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২ (২১ + ৭) = ৫৬ মিটার
৬.
একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ১৮ মিটার। মাঠটির চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ১০৫ টাকা খরচ হলে, পুরো মাঠটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ১৮ মিটার। মাঠটির চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ১০৫ টাকা খরচ হলে, পুরো মাঠটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার
আয়তাকার মাঠের প্রস্থ ১৮ মিটার
আয়তাকার মাঠের পরিসীমা = ২ × (২৫ + ১৮) মিটার
= (২ × ৪৩) মিটার
= ৮৬ মিটার
১ মিটারে খরচ হয় ১০৫ টাকা
∴ ৮৬ মিটারে খরচ হয় (৮৬ × ১০৫) টাকা
= ৯০৩০ টাকা
৭.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৬ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৫২ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৬ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৫২ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ২৬ × ১৪ = ৩৬৪ বর্গ সে.মি.
আবার,
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = ৫২ক বর্গ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
৫২ক = ৩৬৪
⇒ ক = ৩৬৪/৫২
∴ ক = ৭ সে. মি.
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ ৭ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ২৬ × ১৪ = ৩৬৪ বর্গ সে.মি.
আবার,
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = ৫২ক বর্গ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
৫২ক = ৩৬৪
⇒ ক = ৩৬৪/৫২
∴ ক = ৭ সে. মি.
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ ৭ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
৮.
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, প্রস্থ ৩ মিটার এবং উচ্চতা ২ মিটার হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, প্রস্থ ৩ মিটার এবং উচ্চতা ২ মিটার হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?
সমাধান:
এখানে,
দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার = ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মিটার = ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মিটার = ২০০ সে.মি.
∴ আয়তন = (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার
= ৩০০০০ লিটার [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
৯.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 36π বর্গমিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 36π বর্গমিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
বা, πr2 = 36π
বা, r2 = 36
∴ r = 6
∴ ব্যাসার্ধ = 6 মিটার
∴ ব্যাস = 6 × 2 মিটার
= 12 মিটার
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
বা, πr2 = 36π
বা, r2 = 36
∴ r = 6
∴ ব্যাসার্ধ = 6 মিটার
∴ ব্যাস = 6 × 2 মিটার
= 12 মিটার
১০.
একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 18 বর্গমিটার হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 18 বর্গমিটার হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
মনে করি, ঘনকটির ধার a
আমরা জানি,
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a2
প্রশ্নানুসারে,
6a2 = 18
বা, a2 = 18/6
বা, a2 = 3
∴ a = √3
ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 . a একক
= (√3 . √3) মিটার।
= 3 মিটার।
∴ নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 3 মিটার।
সমাধান:
মনে করি, ঘনকটির ধার a
আমরা জানি,
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a2
প্রশ্নানুসারে,
6a2 = 18
বা, a2 = 18/6
বা, a2 = 3
∴ a = √3
ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 . a একক
= (√3 . √3) মিটার।
= 3 মিটার।
∴ নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 3 মিটার।
১১.
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14√2 মিটার ও 17 মিটার এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14√2 মিটার ও 17 মিটার এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি,
a = 14√2 মিটার
b = 17 মিটার
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 45°
এখন,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × a × b × sinθ
= (1/2) × (14√2) × 17 × sin45°
= (1/2) × (14√2) × 17 × (1/√2)
= 119 বর্গমিটার
সমাধান:
ধরি,
a = 14√2 মিটার
b = 17 মিটার
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 45°
এখন,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × a × b × sinθ
= (1/2) × (14√2) × 17 × sin45°
= (1/2) × (14√2) × 17 × (1/√2)
= 119 বর্গমিটার
১২.
একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু2
একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল হবে a2 বর্গমিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু2
একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল হবে a2 বর্গমিটার
১৩.
56 সে.মি. ব্যাসার্ধের একটি লোহার চাকাকে গলিয়ে একটি লোহার পাতে রূপান্তর করা হলে লোহার পাতটির দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 56 সে.মি. ব্যাসার্ধের একটি লোহার চাকাকে গলিয়ে একটি লোহার পাতে রূপান্তর করা হলে লোহার পাতটির দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ, r = 56 সে.মি.
চাকার পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 56
= 352 সে.মি.
প্রশ্নমতে,
চাকার পরিধি = লোহার পাতের দৈর্ঘ্য
অর্থাৎ লোহার পাতটির দৈর্ঘ্য = 352 সে.মি.
১৪.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৫ মিটার
আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য)২ + (প্রস্থ)২}
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(১২)২ + (৫)২}
= √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
= ১৩ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার।
১৫.
একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈঘ্য ক একক
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক২ বর্গ একক
দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ২ক একক
নতুন ক্ষেত্রফল = (২ক)২ = ৪ক২ বর্গ একক
একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল ৪গুণ বৃদ্ধি পাবে।
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈঘ্য ক একক
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক২ বর্গ একক
দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ২ক একক
নতুন ক্ষেত্রফল = (২ক)২ = ৪ক২ বর্গ একক
একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল ৪গুণ বৃদ্ধি পাবে।
১৬.
৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = বাহু৩
∴ নতুন ঘনকের আয়তন = ৩৩ + ৪৩ + ৫৩ ঘন সে.মি.
= ২৭ + ৬৪ + ১২৫ ঘন সে.মি.
= ২১৬ ঘন সে.মি.
∴ নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = (২১৬)১/৩ সে.মি.
= ৬ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = বাহু৩
∴ নতুন ঘনকের আয়তন = ৩৩ + ৪৩ + ৫৩ ঘন সে.মি.
= ২৭ + ৬৪ + ১২৫ ঘন সে.মি.
= ২১৬ ঘন সে.মি.
∴ নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = (২১৬)১/৩ সে.মি.
= ৬ সে.মি.
১৭.
একটি আয়তাকার কামরার পরিসীমা 44 ফুট এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গ ফুট হলে, এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কামরার পরিসীমা 44 ফুট এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গ ফুট হলে, এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x
প্রস্থ = y
∴ 2(x + y) = 44
⇒ x + y = 44/2 = 22
এবং,
xy = 120
আমরা জানি,
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy = (22)2 - 4 × 120
= 484 - 480
= 4
⇒ (x - y)2 = 4
⇒ x - y = 2
এখন,
⇒ x + y + x - y = 22 + 2
⇒ 2x = 24
⇒ x = 24/2
⇒ x = 12
∴ দৈর্ঘ্য = x = 12 ফুট
সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x
প্রস্থ = y
∴ 2(x + y) = 44
⇒ x + y = 44/2 = 22
এবং,
xy = 120
আমরা জানি,
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy = (22)2 - 4 × 120
= 484 - 480
= 4
⇒ (x - y)2 = 4
⇒ x - y = 2
এখন,
⇒ x + y + x - y = 22 + 2
⇒ 2x = 24
⇒ x = 24/2
⇒ x = 12
∴ দৈর্ঘ্য = x = 12 ফুট
১৮.
একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ মিটার এবং একটি কর্ণ 24 মিটার।কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
একটি কর্ণ d = 24 মিটার
কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য h মিটার
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = dh
⇒ dh = 120
⇒ h = 120/24 = 5
∴কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 5 মিটার
১৯.
একটি বর্গাকার মাঠের পরিসীমা ৮ মিটার হলে মাঠের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের পরিসীমা ৮ মিটার হলে মাঠের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
সমাধান:
বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার
বর্গাকার মাঠের পরিসীমা = ৪ক মিটার
প্রশ্নমতে
৪ক = ৮
বা, ক = ৮/৪
ক = ২
বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ক২ বর্গমিটার
= ২২ বর্গমিটার
= ৪ বর্গমিটার
সমাধান:
বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার
বর্গাকার মাঠের পরিসীমা = ৪ক মিটার
প্রশ্নমতে
৪ক = ৮
বা, ক = ৮/৪
ক = ২
বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ক২ বর্গমিটার
= ২২ বর্গমিটার
= ৪ বর্গমিটার
২০.
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 15 সে.মি.। এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 15 সে.মি.। এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
মনে করি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b ও c সে.মি.
শর্ত অনুসারে,
a + b + c = 15
এবং √(a2 + b2 + c2) = 10
∴ a2 + b2 + c2 = 102 = 100
এখন,
a + b + c = 15
বা, (a + b + c)2 = 152
বা, a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 225
বা, 100 + 2(ab + bc + ca) = 225
বা, 2(ab + bc + ca) = 225 - 100
বা, 2(ab + bc + ca) = 125
∴ ক্ষেত্রফল = 125 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
মনে করি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b ও c সে.মি.
শর্ত অনুসারে,
a + b + c = 15
এবং √(a2 + b2 + c2) = 10
∴ a2 + b2 + c2 = 102 = 100
এখন,
a + b + c = 15
বা, (a + b + c)2 = 152
বা, a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 225
বা, 100 + 2(ab + bc + ca) = 225
বা, 2(ab + bc + ca) = 225 - 100
বা, 2(ab + bc + ca) = 125
∴ ক্ষেত্রফল = 125 বর্গ সে.মি.
২১.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩০ মিটার ও ২০ মিটার। বাগানের চারপাশে ৩ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা নির্মাণ করতে কত টাকা খরচ হবে, যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণ ব্যয় ১৫০ টাকা হয়।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩০ মিটার ও ২০ মিটার। বাগানের চারপাশে ৩ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা নির্মাণ করতে কত টাকা খরচ হবে, যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণ ব্যয় ১৫০ টাকা হয়।
সমাধান:
দেয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ২০ মিটার
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ২০ = ৬০০ বর্গমিটার
আবার,
রাস্তাসহ মোট দৈর্ঘ্য = ৩০ + ৩ + ৩ = ৩৬ মিটার
রাস্তাসহ মোট প্রস্থ = ২০ + ৩ + ৩ = ২৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল = ৩৬ × ২৬ = ৯৩৬ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল - বাগানের ক্ষেত্রফল
= ৯৩৬ - ৬০০ = ৩৩৬ বর্গমিটার
১ বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণে ব্যয় = ১৫০ টাকা
∴ ৩৩৬ বর্গমিটারে মোট ব্যয় = ৩৩৬ × ১৫০ টাকা
= ৫০৪০০ টাকা
∴ রাস্তা নির্মাণে মোট খরচ = ৫০৪০০ টাকা
২২.
একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ৪ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ৪ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত মিটার?
সমাধান:
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
৪ হেক্টর = ৪০০০০ বর্গমিটার
বাগানটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৪০০০০ মিটার
= ২০০ মিটার
বাগানটির পরিসীমা = ২০০ × ৪ মিটার
= ৮০০ মিটার
সমাধান:
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
৪ হেক্টর = ৪০০০০ বর্গমিটার
বাগানটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৪০০০০ মিটার
= ২০০ মিটার
বাগানটির পরিসীমা = ২০০ × ৪ মিটার
= ৮০০ মিটার
২৩.
একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ২৮৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ২৮৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার x মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ২x মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ২x × x বর্গমিটার = ২x২ বর্গমিটার
শর্তমতে,
২x২ = ২৮৮
বা, x২ = ১৪৪
বা, x = ১২
আয়তাকার ঘরের বিস্তার ১২ মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(২৪ + ১২) মিটার
=২ × ৩৬ মিটার
= ৭২ মিটার
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার x মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ২x মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ২x × x বর্গমিটার = ২x২ বর্গমিটার
শর্তমতে,
২x২ = ২৮৮
বা, x২ = ১৪৪
বা, x = ১২
আয়তাকার ঘরের বিস্তার ১২ মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(২৪ + ১২) মিটার
=২ × ৩৬ মিটার
= ৭২ মিটার
২৪.
একটি কোণকের উচ্চতা ১২ সে.মি. এবং আয়তন ১০০π ঘন সে.মি. হলে, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা ১২ সে.মি. এবং আয়তন ১০০π ঘন সে.মি. হলে, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
h = 12 cm
v = 100π cm3
ধরি,
ব্যাসার্ধ = r
v = (1/3)πr2h
⇒ r2 = 3v/(πh)
⇒ r2 = (3 × 100π)/(π × 12)
⇒ r2 = 25
∴ r = 5
হেলনো তলের দৈর্ঘ্য = √{(12)2 + (5)2}
= √(144 + 25)
= √169
= 13 cm
সমাধান:
দেওয়া আছে,
h = 12 cm
v = 100π cm3
ধরি,
ব্যাসার্ধ = r
v = (1/3)πr2h
⇒ r2 = 3v/(πh)
⇒ r2 = (3 × 100π)/(π × 12)
⇒ r2 = 25
∴ r = 5
হেলনো তলের দৈর্ঘ্য = √{(12)2 + (5)2}
= √(144 + 25)
= √169
= 13 cm
২৫.
একটি গাড়ির চাকার ব্যাস ১.৪ মিটার। ২.২ কিলোমিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার ব্যাস ১.৪ মিটার। ২.২ কিলোমিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
সমাধান:
ব্যাস, ২r = ১.৪ মিটার
∴ পরিধি, ২πr = ১.৪ × (২২/৭)
= (১৪/১০) × (২২/৭)
= ২২/৫
এখানে, ২.২ কিলোমিটার = (২.২ × ১০০০) মিটার
∴ চাকাটি ঘুরবে = (২.২ × ১০০০)/(২২/৫) বার
= (২২ × ১০০) × (৫/২২)
= ১০০ × ৫
= ৫০০ বার
২৬.
একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ 56 মিটার। পার্কটির বাইরে সীমানা ঘেষে 4 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ 56 মিটার। পার্কটির বাইরে সীমানা ঘেষে 4 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ, r = 56 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ব্যাসার্ধ, R = (56 + 4) মি. = 60 মি.
এখন, বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr2 = π × 56 × 56 বর্গমিটার = 3136π বর্গমিটার
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πR2 = π × 60 × 60 বর্গমিটার = 3600π বর্গমিটার
∴ নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল = 3600π - 3136π বর্গমিটার = 464π বর্গমিটার।
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ, r = 56 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ব্যাসার্ধ, R = (56 + 4) মি. = 60 মি.
এখন, বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr2 = π × 56 × 56 বর্গমিটার = 3136π বর্গমিটার
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πR2 = π × 60 × 60 বর্গমিটার = 3600π বর্গমিটার
∴ নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল = 3600π - 3136π বর্গমিটার = 464π বর্গমিটার।
২৭.
একটি বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেড মিনিটে ১৮০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে পাখাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেড মিনিটে ১৮০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে পাখাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?
সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড
সুতরাং, 60 সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে 180 বার
∴ 1 সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে = 180/60 = 3 বার
আবার, আমরা জানি,
পাখাটি 1 বার ঘুরলে 360° অতিক্রম করে।
∴ 3 বার ঘুরলে পাখাটি অতিক্রম করে = (3 × 360)°
= 1080°
সুতরাং, এক সেকেন্ডে পাখাটি 1080° ঘুরে।
২৮.
গোলকের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. হলে, গোলকটির আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: গোলকের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. হলে, গোলকটির আয়তন কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ r= 12/2 = 6 সে.মি.
গোলকের আয়তন = (4/3)π × 63 ঘন সে.মি.
= 288π ঘন সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ r= 12/2 = 6 সে.মি.
গোলকের আয়তন = (4/3)π × 63 ঘন সে.মি.
= 288π ঘন সে.মি.
২৯.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় 30 সে.মি. ও 40 সে.মি। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় 30 সে.মি. ও 40 সে.মি। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 30 × 40
= 600 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 30 × 40
= 600 বর্গ সে.মি.
৩০.
১ বর্গমাইল কত একর?
ব্যাখ্যা
১ বর্গমাইল = ৬৪০ একর
৩১.
একটি ঘরের ৩টি দরজা এবং ৬টি জানালা আছে। প্রত্যেকটি দরজা ২ মিটার লম্বা এবং ১.২৫ মিটার চওড়া, প্রত্যেক জানালা ১.২৫ মিটার লম্বা এবং ১ মিটার চওড়া। ঐ ঘরের দরজা জানালা তৈরি করতে ৫ মিটার লম্বা ও ০.৬০ মিটার চওড়া কয়টি তক্তার প্রয়োজন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘরের ৩টি দরজা এবং ৬টি জানালা আছে। প্রত্যেকটি দরজা ২ মিটার লম্বা এবং ১.২৫ মিটার চওড়া, প্রত্যেক জানালা ১.২৫ মিটার লম্বা এবং ১ মিটার চওড়া। ঐ ঘরের দরজা জানালা তৈরি করতে ৫ মিটার লম্বা ও ০.৬০ মিটার চওড়া কয়টি তক্তার প্রয়োজন?
সমাধান:
৩টি দরজার ক্ষেত্রফল = (২ × ১.২৫) × ৩ বর্গমিটার
= ৭.৫ বর্গমিটার
আবার,
৬টি জানালার ক্ষেত্রফল = (১.২৫×১) × ৬ বর্গমিটার
= ৭.৫ বর্গমিটার
∴ দরজা ও জানালার মোট ক্ষেত্রফল = (৭.৫ + ৭.৫) বর্গমিটার
= ১৫ বর্গমিটার
একটি তক্তার ক্ষেত্রফল = (৫ × ০.৬০) বর্গমিটার
= ৩ বর্গমিটার
∴ নির্ণেয় তক্তার সংখ্যা = দরজা ও জানালার মোট ক্ষেত্রফল/তক্তার ক্ষেত্রফল
= ১৫/৩ টি
= ৫ টি ।
সমাধান:
৩টি দরজার ক্ষেত্রফল = (২ × ১.২৫) × ৩ বর্গমিটার
= ৭.৫ বর্গমিটার
আবার,
৬টি জানালার ক্ষেত্রফল = (১.২৫×১) × ৬ বর্গমিটার
= ৭.৫ বর্গমিটার
∴ দরজা ও জানালার মোট ক্ষেত্রফল = (৭.৫ + ৭.৫) বর্গমিটার
= ১৫ বর্গমিটার
একটি তক্তার ক্ষেত্রফল = (৫ × ০.৬০) বর্গমিটার
= ৩ বর্গমিটার
∴ নির্ণেয় তক্তার সংখ্যা = দরজা ও জানালার মোট ক্ষেত্রফল/তক্তার ক্ষেত্রফল
= ১৫/৩ টি
= ৫ টি ।
৩২.
কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১৩ সেমি এবং পরিসীমা ৩০ সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব a, ভূমি b এবং অতিভুজ c = 13 সেমি হলে,
a+b+13 = 30
⇒ a+b = 17 ------------ (i)
আবার,
a² + b² = 13²
⇒ (a+b)² - 2ab = 169
⇒ (17)² - 2ab = 169
⇒ 2ab = 289 - 169
⇒ ab = 120/2
∴ ab = 60 -------------- (ii)
এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ab
= 1/2 × 60
= 30 বর্গসেমি
৩৩.
1 সেমি, 6 সেমি এবং 8 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট 3টি গোলক গলিয়ে একটি বড় গোলক তৈরি করা হলে, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 সেমি, 6 সেমি এবং 8 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট 3টি গোলক গলিয়ে একটি বড় গোলক তৈরি করা হলে, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
গোলকের আয়তন =
⇒ (4/3)πr3
∴ 1 সেমি, 6 সেমি এবং 8 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে,
{(4/3)π13}, {(4/3)π63}, {(4/3)π83}।
∴ নতুন গোলকটির আয়তন = {(4/3)π13} + {(4/3)π63} + {(4/3)π83}
= (4/3)π(13 + 63 + 83)
= (4/3)π(1 + 216 + 512)
= (4/3)π729
নতুন গোলকের ঘনফল = (4/3)πR3
অর্থাৎ,
(4/3)πR3 = (4/3)π729
⇒ R3 = 729
⇒ R = ∛729
∴ R = 9 সেমি
∴ নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = 9 সেমি।
৩৪.
একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০ বর্গমিটার। এর প্রস্থ দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ৬ মিটার কম। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০ বর্গমিটার। এর প্রস্থ দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ৬ মিটার কম। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
∴ দৈর্ঘ্য = 10 + 6 = 16 মিটার
সমাধান:
∴ দৈর্ঘ্য = 10 + 6 = 16 মিটার
৩৫.
২ সেমিঃ ব্যাসের একটি গোলক আকৃতির বল একটি সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এটে যায়। সিলিন্ডারটির আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
গোলকেটি ঠিক ভাবে এটে যায় বলে গোলকের ব্যাস হবে সিলিন্ডারের উচ্চতা এবং গোলকের ব্যাসার্ধ হবে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ
গোলকোর ব্যাস ২ সেমিঃ এবং ব্যাসার্ধ ১ সেমিঃ
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h = 2π
৩৬.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ২০ সে.মি. ও ১০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ২০ সে.মি. ও ১০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ২০ × ১০ বর্গ সে.মি.
= ১০০ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ২০ × ১০ বর্গ সে.মি.
= ১০০ বর্গ সে.মি.
৩৭.
প্রতি বর্গমিটার ৮.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ১০২০ টাকা। রুমটির প্রস্থ ৭.৫ মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রতি বর্গমিটার ৮.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ১০২০ টাকা। রুমটির প্রস্থ ৭.৫ মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত মিটার?
সমাধান:
আমরা জানি,
মেঝের ক্ষেত্রফল = (মোট খরচ ÷ প্রতি বর্গমিটারে খরচ)
= (১০২০/৮.৫) বর্গমিটার
= ১২০ বর্গমিটার
আবার,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, দৈর্ঘ্য × ৭.৫ = ১২০
বা, দৈর্ঘ্য = ১২০/৭.৫
∴ দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
মেঝের ক্ষেত্রফল = (মোট খরচ ÷ প্রতি বর্গমিটারে খরচ)
= (১০২০/৮.৫) বর্গমিটার
= ১২০ বর্গমিটার
আবার,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, দৈর্ঘ্য × ৭.৫ = ১২০
বা, দৈর্ঘ্য = ১২০/৭.৫
∴ দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার
৩৮.
একটি রম্বসের একটি কর্ণ ১০ মিঃ এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ মিঃ হলে, অপর কর্ণ এবং পরিসীমা নির্ণয় করুন-
ব্যাখ্যা
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ (দুই কর্নের গুনফল) = ১২০
১/২ x ১০ x AC = ১২০
AC = ২৪ মিঃ
রম্বসের কর্নদ্বয় পরষ্পরকে সমকোনে সমদ্বিখন্ডিত করে।
AO = OC = 12 এবং BO = OD = 5
AOD সমকোনী ত্রিভুজে,
AD² = AO² + OD²
AD = 13
রম্বসের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৩ মিঃ
রম্বসের পরিসীমা = ৪ x ১৩ = ৫২ মিঃ
৩৯.
২ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বলকে একটি ঘনক আকৃতির বাক্সে রাখা যায় তবে ঐ বাক্সের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল -
ব্যাখ্যা
বলটির ব্যাস = ২ × ২ = ৪ মিটার = বাক্সের এক বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ বাক্সের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৪২ = ৬ × ১৬ = ৯৬ বর্গ মি.
৪০.
একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২৬৪ বর্গমিটার এবং ভূমি ২২ মিটার হলে উচ্চতা কত হবে?
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ২৬৪ বর্গমিটার
ভূমি = ২২ মিটার
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
২৬৪ = (১/২) × ২২ × উচ্চতা
১১ × উচ্চতা = ২৬৪
উচ্চতা = ২৬৪/১১
উচ্চতা = ২৪ মিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ২৬৪ বর্গমিটার
ভূমি = ২২ মিটার
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
২৬৪ = (১/২) × ২২ × উচ্চতা
১১ × উচ্চতা = ২৬৪
উচ্চতা = ২৬৪/১১
উচ্চতা = ২৪ মিটার
৪১.
একটি আয়তাকার কক্ষের আয়তন ১২০ ঘনমিটার। দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং প্রস্থ ৫ মি. হলে উচ্চতা কত সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কক্ষের আয়তন ১২০ ঘনমিটার। দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং প্রস্থ ৫ মি. হলে উচ্চতা কত সে.মি.?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তন = ১২০ ঘনমিটার
দৈর্ঘ্য = ৮ মি.
প্রস্থ = ৫ মি.
আমরা জানি,
আয়তাকার কক্ষের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
∴ উচ্চতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
= ১২০/(৮ × ৫)
= ১২০/৪০
= ৩ মিটার
= (৩ × ১০০) সে.মি. ; [১ মিটার = ১০০ সে.মি.]
∴ উচ্চতা = ৩০০ সে.মি.
সুতরাং, আয়তাকার কক্ষের উচ্চতা ৩০০ সে.মি.।
৪২.
একটি কোণকের ব্যাস 12 সে.মি. এবং আয়তন 96π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 12 সে.মি. এবং আয়তন 96π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 12 সে.মি.
অতএব, ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সে.মি.
আয়তন = 12π ঘন সে.মি.
আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr2h
প্রশ্নমতে,
(1/3) × π × (6)2 × h = 96π
⇒ (1/3) × 36h = 96
⇒ 12h = 96
⇒ h = 96/12
⇒ h = 8 সে.মি.
এখন, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য (l) = √(r2 + h2)
= √(62 + 82)
= √(36 + 64)
= √(100)
= 10 সে.মি.
অতএব, নির্ণেয় হেলানো তলের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.।
৪৩.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩০ মিটার ও ২০ মিটার। বাগানটির বাহিরে চারদিকে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩০ মিটার ও ২০ মিটার। বাগানটির বাহিরে চারদিকে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
সমাধান:
রাস্তা ছাড়া বাগানের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ২০ = ৬০০ বর্গমিটার
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩০ + (৪ + ৪) = ৩৮ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ২০ + (৪ + ৪) = ২৮ মিটার
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৩৮ × ২৮ = ১০৬৪ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১০৬৪ - ৬০০ = ৪৬৪ বর্গমিটার
৪৪.
একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 18 মিটার। এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 18 মিটার। এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?
সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = 6 × বাহু২ বর্গ একক
= (6 × 182) বর্গমিটার
= (6 × 324) বর্গমিটার
= 1944 বর্গমিটার
এবং
ঘনকের আয়তন = (বাহু)3 ঘন একক
= (18)3 ঘনমিটার
= 5832 ঘনমিটার
∴ এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = (5832/1944) = 3 গুণ
সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = 6 × বাহু২ বর্গ একক
= (6 × 182) বর্গমিটার
= (6 × 324) বর্গমিটার
= 1944 বর্গমিটার
এবং
ঘনকের আয়তন = (বাহু)3 ঘন একক
= (18)3 ঘনমিটার
= 5832 ঘনমিটার
∴ এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = (5832/1944) = 3 গুণ
৪৫.
তলের মাত্রা কয়টি?
ব্যাখ্যা
তলের মাত্রা 2টি যথা - দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ।
৪৬.
রুবেল তার বাড়ির পেছনে একটি সুন্দর আয়তাকার বাগান তৈরি করেছে। বাগানটি পরিমাপ করতে গিয়ে সে দেখতে পেল যে, বাগানটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তুলনায় তিনগুণ।বাগানটির চারদিকে ঘেরা বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য 48 মিটার হলে, বাগানটির মোট ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রুবেল তার বাড়ির পেছনে একটি সুন্দর আয়তাকার বাগান তৈরি করেছে। বাগানটি পরিমাপ করতে গিয়ে সে দেখতে পেল যে, বাগানটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তুলনায় তিনগুণ।বাগানটির চারদিকে ঘেরা বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য 48 মিটার হলে, বাগানটির মোট ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = a মিটার
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = 3a
প্রশ্নমতে,
পরিসীমা = 48 মিটার
⇒ 2(3a + a) = 48 [যেহেতু, পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)]
⇒ 6a + 2a = 48
⇒ 8a = 48
⇒ a = 48/8
∴ a = 6 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 3a = 3 × 6 = 18 মিটার
সুতরাং, ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
= 18 × 6
= 108 বর্গমিটার
৪৭.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ১১৫২ বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ১১৫২ বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান-
মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x = 2x2
শর্তমতে,
2x2 = 1152
বা, x2 = 576
বা, x = 24
সুতরাং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 24 মিটার
এবং দৈর্ঘ্য 48 মিটার।
সমাধান-
মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x = 2x2
শর্তমতে,
2x2 = 1152
বা, x2 = 576
বা, x = 24
সুতরাং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 24 মিটার
এবং দৈর্ঘ্য 48 মিটার।
৪৮.
1256 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি লোহার তারকে একটি গোলাকার চাকায় রূপান্তরিত করা হলে চাকার ব্যাস কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1256 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি লোহার তারকে একটি গোলাকার চাকায় রূপান্তরিত করা হলে চাকার ব্যাস কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
চাকার ব্যাস = 2r
এখানে,
চাকার পরিধি = লোহার পাতের দৈর্ঘ্য
⇒ 2πr = 1256
⇒ 2r = 1256/π
⇒ 2r =1256/3.14
⇒ 2r = (1256 × 100)/314
∴ 2r = 400 সে.মি.
সমাধান:
ধরি,
চাকার ব্যাস = 2r
এখানে,
চাকার পরিধি = লোহার পাতের দৈর্ঘ্য
⇒ 2πr = 1256
⇒ 2r = 1256/π
⇒ 2r =1256/3.14
⇒ 2r = (1256 × 100)/314
∴ 2r = 400 সে.মি.
৪৯.
একটি সমবৃত্তক কোণকের উচ্চতা ১২ সেমিঃ এবং ভূমির ব্যাস ১০ সেমিঃ হলে তার বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
ভূমির ব্যাসার্ধ = ১০/২ = ৫ সেমিঃ
হেলানো উচ্চতা l = √(h² + r²) = √(12² + 5²) = 13
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl = π x 5 x 13 = 65π
৫০.
একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি.। বেলনের আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি.। বেলনের আয়তন কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
বেলনের উচ্চতা, h = 6 সে.মি.
আমরা জানি,
বেলনের আয়তন = πr2h
= (22/7) × (7)2 × 6 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 6 ঘন সে.মি.
= 924 ঘন সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
বেলনের উচ্চতা, h = 6 সে.মি.
আমরা জানি,
বেলনের আয়তন = πr2h
= (22/7) × (7)2 × 6 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 6 ঘন সে.মি.
= 924 ঘন সে.মি.
৫১.
একটি বইয়ের কয়টি তল (surface) থাকে?
ব্যাখ্যা
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর বা ঘনকের ৬ টি তল। যেমনঃ বইয়ের ৬ টি তল।
৫২.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
[লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নের অপশনে মিটারের স্থলে বর্গমিটার হওয়ার কথা ছিল, অপশনে ভুলক্রমে মিটার চলে এসেছে। তবে অপশন দ্বারা কনফিউশন সৃষ্টি না হওয়ায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো না।]
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x মিটার
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 5x/6 মিটার
x + (5x/6) + (5x/6) = 16
⇒ (6x + 5x + 5x)/6 = 16
⇒ 16x/6 = 16
⇒ x = 6
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 6 × 5/6 = 5 মিটার
ক্ষেত্রফল = (b/4) √(4a2 - b2)
= (6/4) √(100 - 36)
= (6/4) √64
= 12 বর্গমিটার
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x মিটার
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 5x/6 মিটার
x + (5x/6) + (5x/6) = 16
⇒ (6x + 5x + 5x)/6 = 16
⇒ 16x/6 = 16
⇒ x = 6
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 6 × 5/6 = 5 মিটার
ক্ষেত্রফল = (b/4) √(4a2 - b2)
= (6/4) √(100 - 36)
= (6/4) √64
= 12 বর্গমিটার
৫৩.
একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৫৭৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৫৭৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার ক মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ২ক মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক বর্গমিটার = ২ক২ বর্গমিটার
শর্তমতে,
২ক২ = ৫৭৮
বা, ক২ = ২৮৯
বা, ক = ১৭
আয়তাকার ঘরের বিস্তার ১৭ মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ৩৪ মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(৩৪ + ১৭) মিটার
=২ × ৫১ মিটার
= ১০২মিটার
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার ক মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ২ক মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক বর্গমিটার = ২ক২ বর্গমিটার
শর্তমতে,
২ক২ = ৫৭৮
বা, ক২ = ২৮৯
বা, ক = ১৭
আয়তাকার ঘরের বিস্তার ১৭ মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ৩৪ মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(৩৪ + ১৭) মিটার
=২ × ৫১ মিটার
= ১০২মিটার
৫৪.
একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ৭ সে.মি. হলে, উহার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ৭ সে.মি. হলে, উহার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৭ সে.মি.
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২ × π × ৩(৩ + ৭)
= ৬π × ১০
= ৬০π বর্গ সে.মি.
∴ সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬০π বর্গ সে.মি.।
৫৫.
একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা 10 মিটার কম এবং পরিসীমা 100 মিটার। পুকুরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা 10 মিটার কম এবং পরিসীমা 100 মিটার। পুকুরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত মিটার?
সমাধান:
মনে করি,
আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য = x মিটার
এবং আয়তাকার পুকুরের প্রস্থ = y মিটার
প্রথম শর্তানুসারে, x + 10 = 2y .........(1)
এবং দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 2(x + y) = 100 .........(2)
এখন,
(1) নং সমীকরণ হতে পাই,
x = 2y - 10 ......... (3)
(2) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
2(2y - 10 + y) = 100
বা, 2(3y - 10) = 100
বা, 6y - 20 = 100
বা, 6y = 100 + 20
বা, 6y = 120
বা, y = 120/6
∴ y = 20
y-এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই,
x = 2 × 20 - 10
বা, x = 40 - 10
∴ x = 30
∴ পুকুরের দৈর্ঘ্য = 30 মিটার এবং প্রস্থ = 20 মিটার।
৫৬.
একটি বর্গ ও একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বর্গের দৈর্ঘ্যের অপেক্ষা 6 মিটার বেশি এবং প্রস্থ বর্গের এক বাহু অপেক্ষা 4 মিটার কম হলে আয়তক্ষেত্রের অর্ধ পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গ ও একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বর্গের দৈর্ঘ্যের অপেক্ষা 6 মিটার বেশি এবং প্রস্থ বর্গের এক বাহু অপেক্ষা 4 মিটার কম হলে আয়তক্ষেত্রের অর্ধ পরিসীমা কত?
সমাধান:
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a + 6
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a - 4
প্রশ্নমতে
(a + 6)(a - 4) = a2
a2 - 4a + 6a - 24 = a2
2a = 24
a = 12
আয়তক্ষেত্রের অর্ধ পরিসীমা = a + 6 + a - 4
= 2a + 2
= 2 × 12 + 2
= 26 মিটার
সমাধান:
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a + 6
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a - 4
প্রশ্নমতে
(a + 6)(a - 4) = a2
a2 - 4a + 6a - 24 = a2
2a = 24
a = 12
আয়তক্ষেত্রের অর্ধ পরিসীমা = a + 6 + a - 4
= 2a + 2
= 2 × 12 + 2
= 26 মিটার
৫৭.
একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ২৪ মি. এবং প্রস্থ ১৮ মি.। মেঝেটি ঢাকতে ৪ মি. দীর্ঘ এবং ৩ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট কয়টি কার্পেট প্রয়োজন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ২৪ মি. এবং প্রস্থ ১৮ মি.। মেঝেটি ঢাকতে ৪ মি. দীর্ঘ এবং ৩ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট কয়টি কার্পেট প্রয়োজন?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য ৪ মি. এবং প্রস্থ ৩ মি.
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = (৪ × ৩) = ১২ বর্গ মি.
ঘরের দৈর্ঘ্য ২৪ মি. এবং প্রস্থ ১৮ মি.
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = (২৪ × ১৮) = ৪৩২ বর্গ মি.
∴ কার্পেট সংখ্যা = (৪৩২/১২) = ৩৬ টি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য ৪ মি. এবং প্রস্থ ৩ মি.
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = (৪ × ৩) = ১২ বর্গ মি.
ঘরের দৈর্ঘ্য ২৪ মি. এবং প্রস্থ ১৮ মি.
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = (২৪ × ১৮) = ৪৩২ বর্গ মি.
∴ কার্পেট সংখ্যা = (৪৩২/১২) = ৩৬ টি
৫৮.
রম্বসের একটি কর্ণ 6 সে.মি. ও ক্ষেত্রফল 15 বর্গ সে.মি. হলে, এর অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রম্বসের একটি কর্ণ 6 সে.মি. ও ক্ষেত্রফল 15 বর্গ সে.মি. হলে, এর অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, 15 = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = 30
বা, 6 × অপর কর্ণ = 30
বা, অপর কর্ণ = 30/6
∴ অপর কর্ণ = 5 সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, 15 = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = 30
বা, 6 × অপর কর্ণ = 30
বা, অপর কর্ণ = 30/6
∴ অপর কর্ণ = 5 সে.মি.
৫৯.
একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি
∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি
১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার
= ২৪০০ লিটার ।
৬০.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 5 গুণ। ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 5 গুণ। ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = w
দৈর্ঘ্য = 5w
ক্ষেত্রফল = 5w × w = 5w2
প্রশ্নমতে,
5w2 = 500
w2 = 100
w = 10m
তাহলে,
দৈর্ঘ্য = 10 × 5 = 50m
∴দৈর্ঘ্য= 50m
৬১.
3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, (4/3 π 33), (4/3 π 43), (4/3 π 53)।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন = (4/3 π 33) + (4/3 π 43) + (4/3 π 53)
= 4/3 π (33+43+53)
= 4/3 π × 216
= 4/3 π × 63
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.
৬২.
একটি পাইপের বহির্ব্যাস ৬ ইঞ্চি এবং অন্তর্ব্যাস ৫ ইঞ্চি। পাইপটির পুরুত্ব কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পাইপের বহির্ব্যাস ৬ ইঞ্চি এবং অন্তর্ব্যাস ৫ ইঞ্চি। পাইপটির পুরুত্ব কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাইপের বহির্ব্যাস = ৬ ইঞ্চি
∴ পাইপের বহির্ব্যাসার্ধ = ৬ ÷ ২ = ৩ ইঞ্চি
পাইপের অন্তর্ব্যাস = ৫ ইঞ্চি
∴ পাইপের অন্তর্ব্যাসার্ধ = ৫ ÷ ২ = ২.৫ ইঞ্চি
∴ পাইপের পুরুত্ব = ৩ - ২.৫
= ০.৫ ইঞ্চি
৬৩.
একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং উচ্চতা 21 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং উচ্চতা 21 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি.
উচ্চতা, h = 21 সে.মি.
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr2h ঘনএকক
= (22/7) × 82 × 21 ঘন সে.মি.
= (22/7) × 64 × 21 ঘন সে.মি.
= 22 × 64 × 3 ঘন সে.মি.
= 4224 ঘন সে.মি.
∴সিলিন্ডারের আয়তন 4224 ঘন সে.মি. ।
৬৪.
একটি বৃত্তের ব্যাস 84 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 84 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস 84 সে.মি.
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 84/2 সে.মি. = 42 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°
আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × (πr2)
= (60°/360°) (π × 422)
= 924 বর্গসেমি
সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস 84 সে.মি.
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 84/2 সে.মি. = 42 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°
আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × (πr2)
= (60°/360°) (π × 422)
= 924 বর্গসেমি
৬৫.
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুুর দৈর্ঘ্য ৫ মি., প্রস্থ ৩ মি. এবং উচ্চতা ২ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণহবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুুর দৈর্ঘ্য ৫ মি., প্রস্থ ৩ মি. এবং উচ্চতা ২ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণহবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৫ মি.
= ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মি.
= ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মি.
= ২০০ সে.মি.
আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ৩০০০০ লিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৫ মি.
= ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মি.
= ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মি.
= ২০০ সে.মি.
আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ৩০০০০ লিটার
৬৬.
একটি আয়তাকার প্রিজমের ভূমিটি 14 সে.মি. দৈর্ঘ্য ও 5 সে.মি. প্রস্থ বিশিষ্ট, প্রিজমের উচ্চতা 10 সে.মি. হলে প্রিজমের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার প্রিজমের ভূমিটি 14 সে.মি. দৈর্ঘ্য ও 5 সে.মি. প্রস্থ বিশিষ্ট, প্রিজমের উচ্চতা 10 সে.মি. হলে প্রিজমের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দৈর্ঘ্য = 14 সে.মি.
প্রস্থ = 5 সে.মি.
উচ্চতা = 10 সে.মি.
আয়তাকার প্রিজমের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, S = 2(lw + lh + wh) যেখানে, l = দৈর্ঘ্য, w = প্রস্থ, h = উচ্চতা
S = 2(lw + lh + wh) = 2(14 × 5 + 14 × 10 + 5 × 10)
= 2(70 + 140 + 50)
= 2 × 260
= 520 বর্গসে.মি.
∴ প্রিজমের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 520 বর্গসে.মি.
সমাধান:
দৈর্ঘ্য = 14 সে.মি.
প্রস্থ = 5 সে.মি.
উচ্চতা = 10 সে.মি.
আয়তাকার প্রিজমের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, S = 2(lw + lh + wh) যেখানে, l = দৈর্ঘ্য, w = প্রস্থ, h = উচ্চতা
S = 2(lw + lh + wh) = 2(14 × 5 + 14 × 10 + 5 × 10)
= 2(70 + 140 + 50)
= 2 × 260
= 520 বর্গসে.মি.
∴ প্রিজমের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 520 বর্গসে.মি.
৬৭.
একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 32 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 32 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
রাস্তাবাদে বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 32/2 মিটার
= 16 মিটার
রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ = (16 + 2)মিটার
= 18 মিটার
অতএব, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = πr2 মিটার
= π(18)2 মিটার
= 324π বর্গ মিটার।
সমাধান:
রাস্তাবাদে বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 32/2 মিটার
= 16 মিটার
রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ = (16 + 2)মিটার
= 18 মিটার
অতএব, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = πr2 মিটার
= π(18)2 মিটার
= 324π বর্গ মিটার।
৬৮.
একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সে.মি. হলে উহার ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a এবং ক্ষেত্রফল = 6a2
শর্তমতে, √3a = 4√3
বা, a = 4
সুতরাং ক্ষেত্রফল = 6 × 42
= 96 বর্গ সে.মি.
শর্তমতে, √3a = 4√3
বা, a = 4
সুতরাং ক্ষেত্রফল = 6 × 42
= 96 বর্গ সে.মি.
৬৯.
একটি সমবৃত্তভুমিক বেলনের উচ্চতা 10 সেমি ও ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে, এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
মনেকরি
বেলনের উচ্চতা h= 10 সে. মি.
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 7 সে.মি.
সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2 × π × 7(7 + 10)
= 238π বর্গ সে. মি.
বেলনের উচ্চতা h= 10 সে. মি.
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 7 সে.মি.
সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2 × π × 7(7 + 10)
= 238π বর্গ সে. মি.
৭০.
কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 40° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 40° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = 40°/2 = 20°
আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = 90°
∴ 20 ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = 90° - 20° = 70°
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = 40°/2 = 20°
আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = 90°
∴ 20 ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = 90° - 20° = 70°
৭১.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সেন্টিমিটার ও ৯ সেন্টিমিটার। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৮ × ৯ = ৩৬ বর্গ সেন্টিমিটার
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ = ৬ সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৮ × ৯ = ৩৬ বর্গ সেন্টিমিটার
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ = ৬ সে.মি.
৭২.
একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 20 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 20 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
মনে করি, বৃত্তের ব্যাস = 20 cm ∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 10 cm
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 90°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, s = ?
আমরা জানি, s = (π × r × θ)/180°
∴ s = (π × 10 × 90)/180
∴ s = (10π)/2
∴ s = 5π cm
∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 5π cm
৭৩.
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৩ ও ৯ সে.মি এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৫ সে.মি. হলে, ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৩ ও ৯ সে.মি এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৫ সে.মি. হলে, ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (১/২) × (১৩ + ৯) × ৫ বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ২২ × ৫ বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ১১০ বর্গ সে.মি.
= ৫৫ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (১/২) × (১৩ + ৯) × ৫ বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ২২ × ৫ বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ১১০ বর্গ সে.মি.
= ৫৫ বর্গ সে.মি.
৭৪.
একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের চার গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের চার গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
ঘরের বিস্তার = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ৪x মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (৪x × x) = ৪x২ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
৪x2= ৪০০
⇒ x2 = ১০০
∴ x = ১০
∴ পরিসীমা = ২(৪x + x) = ২ × ৫x = ১০ × ১০ = ১০০ মিটার
সমাধান:
ধরি,
ঘরের বিস্তার = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ৪x মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (৪x × x) = ৪x২ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
৪x2= ৪০০
⇒ x2 = ১০০
∴ x = ১০
∴ পরিসীমা = ২(৪x + x) = ২ × ৫x = ১০ × ১০ = ১০০ মিটার
৭৫.
একটি দেয়ালের আয়তন 12.8 ঘনমিটার। দেয়ালের প্রস্থ উচ্চতার 1/5 অংশ এবং দৈর্ঘ্য উচ্চতার ৪ গুণ হলে, দেয়ালটির প্রস্থ কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দেয়ালের আয়তন 12.8 ঘনমিটার। দেয়ালের প্রস্থ উচ্চতার 1/5 অংশ এবং দৈর্ঘ্য উচ্চতার ৪ গুণ হলে, দেয়ালটির প্রস্থ কত মিটার?
সমাধান:
ধরি,
দেয়ালের উচ্চতা = x মিটার
দেয়ালের প্রস্থ = x/5 মিটার
দেয়ালের দৈর্ঘ্য = 8x মিটার
প্রশ্নমতে,
x × (x/5) × 8x = 12.8
বা, 8x3/5 = 12.8
বা, 8x3 = 12.8 × 5
বা, 8x3 = 64
বা, x3 = 64/8
বা, x3 = 8
∴ x = 2
∴ দেয়ালের প্রস্থ = 2/5 মিটার = 0.4 মিটার
সমাধান:
ধরি,
দেয়ালের উচ্চতা = x মিটার
দেয়ালের প্রস্থ = x/5 মিটার
দেয়ালের দৈর্ঘ্য = 8x মিটার
প্রশ্নমতে,
x × (x/5) × 8x = 12.8
বা, 8x3/5 = 12.8
বা, 8x3 = 12.8 × 5
বা, 8x3 = 64
বা, x3 = 64/8
বা, x3 = 8
∴ x = 2
∴ দেয়ালের প্রস্থ = 2/5 মিটার = 0.4 মিটার
৭৬.
বর্গাকার একটি মাঠের ভিতরে চারদিকে 5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি রাস্তার ক্ষেত্রফল 1 হেক্টর হয়, তবে রাস্তা বাদে মাঠের ভিতরের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি, বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = x2 বর্গ মিটার
রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = (x - 10) মিটার
রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (x - 10)2 বর্গ মিটার
প্রশ্নমতে,
x² - (x2 - 10)² = 10,000
20x = 10,100
x = 505
∴ রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (505 - 10)2 = (495)2 বর্গ মিটার
৭৭.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1058 বর্গমিটার হলে, এর প্রস্থ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1058 বর্গমিটার হলে, এর প্রস্থ কত?
সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
= 2x2
শর্তমতে,
2x2 = 1058
বা, x2 = 529
বা, x = 23
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 23 মিটার
সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
= 2x2
শর্তমতে,
2x2 = 1058
বা, x2 = 529
বা, x = 23
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 23 মিটার
৭৮.
একটি গোলকের আয়তন এবং পৃষ্টের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:3 হলে, গোলকের ব্যাসার্ধ = ?
ব্যাখ্যা
ব্যাসার্ধ r হলে,
আয়তন/পৃষ্টের ক্ষেত্রফল = ((4/3)πr3)/(4πr2) = r/3
বা, r/3 = 5/3
∴ r = 5
৭৯.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 40 সে.মি. এবং 60 সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 40 সেমি এবং 60 সেমি । রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 40 × 60
= 1200 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 40 × 60
= 1200 বর্গ সে.মি.
৮০.
একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ মিটার হলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ মিটার হলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের ১ টি বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার
∴ ঘনকের ১ টি তলের ক্ষেত্রফল = (৩)২ বর্গমিটার
= ৯ বর্গমিটার
আমরা জানি,
ঘনকের মোট তল = ৬ টি
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = (৯ × ৬) বর্গমিটার
= ৫৪ বর্গমিটার।
৮১.
একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি. × ৪ সে. মি. × ১.৫ সে. মি. হলে ৫৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি. × ৪ সে. মি. × ১.৫ সে. মি. হলে ৫৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাবানের আয়তন = (৫ × ৪ × ১.৫) ঘন সে.মি.
= ৩০ ঘন সে.মি.
আবার,
বাক্সের আয়তন = (৫৫ × ৪৮ × ৩০) ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ টি
= ২৬৪০টি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাবানের আয়তন = (৫ × ৪ × ১.৫) ঘন সে.মি.
= ৩০ ঘন সে.মি.
আবার,
বাক্সের আয়তন = (৫৫ × ৪৮ × ৩০) ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ টি
= ২৬৪০টি
৮২.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থের তিন গুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থের তিন গুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
রাহলে, আয়তক্ষেত্রের দর্ঘ্য = 3x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = x × 3x = 3x2
প্রশ্নমতে,
3x2 = 768
⇒ x2 = 256
⇒ x = 16 মিটার
এখন, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3 × 16 = 48 মিটার
∴আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(16 + 48) মিটার = 128 মিটার
আবার, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা
অতএব, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = 128 মিটার।
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
রাহলে, আয়তক্ষেত্রের দর্ঘ্য = 3x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = x × 3x = 3x2
প্রশ্নমতে,
3x2 = 768
⇒ x2 = 256
⇒ x = 16 মিটার
এখন, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3 × 16 = 48 মিটার
∴আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(16 + 48) মিটার = 128 মিটার
আবার, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা
অতএব, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = 128 মিটার।
৮৩.
একটি বর্গাকৃতি মাঠের বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি., মাঠের ভিতরের চারদিকে ২ সে.মি. চওড়া রাস্তা আছে, রাস্তার প্রতি বর্গ সে. মি. ইট বসাতে ৩৪ টাকা খরচ হলে, মোট কত টাকা খরচ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি., মাঠের ভিতরের চারদিকে ২ সে.মি. চওড়া রাস্তা আছে, রাস্তার প্রতি বর্গ সে. মি. ইট বসাতে ৩৪ টাকা খরচ হলে, মোট কত টাকা খরচ হবে?
সমাধান:
রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ১০২ = ১০০ বর্গ সে.মি.
রাস্তাবাদে মাঠের একবাহু = ১০ - (২ × ২) = ৬ সে.মি.
রাস্তাবাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১০০ - ৩৬ = ৬৪ বর্গ সে.মি.
মোট খরচ = (৬৪ × ৩৪) টাকা
= ২১৭৬ টাকা
সমাধান:
রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ১০২ = ১০০ বর্গ সে.মি.
রাস্তাবাদে মাঠের একবাহু = ১০ - (২ × ২) = ৬ সে.মি.
রাস্তাবাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১০০ - ৩৬ = ৬৪ বর্গ সে.মি.
মোট খরচ = (৬৪ × ৩৪) টাকা
= ২১৭৬ টাকা
৮৪.
যদি ৮ মিটার দীর্ঘ এবং ৬ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দিয়ে একটি রুমের মেঝের ৬% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ৮ মিটার দীর্ঘ এবং ৬ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দিয়ে একটি রুমের মেঝের ৬% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
কার্পেটের প্রস্থ = ৬ মিটার
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ৮ × ৬ বর্গমিটার
= ৪৮ বর্গমিটার
৬% মেঝের ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গমিটার
∴ ১০০% মেঝের ক্ষেত্রফল = (৪৮ × ১০০)/৬ বর্গমিটার
= ৮০০ বর্গমিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
কার্পেটের প্রস্থ = ৬ মিটার
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ৮ × ৬ বর্গমিটার
= ৪৮ বর্গমিটার
৬% মেঝের ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গমিটার
∴ ১০০% মেঝের ক্ষেত্রফল = (৪৮ × ১০০)/৬ বর্গমিটার
= ৮০০ বর্গমিটার
৮৫.
একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৩ মিটার, ৪ মিটার ও ৫ মিটার হলে, এতে কত লিটার বিশুদ্ধ পানি ধরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৩ মিটার, ৪ মিটার ও ৫ মিটার হলে, এতে কত লিটার বিশুদ্ধ পানি ধরবে?
প্রশ্নটি হওয়ার কথা, একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৫ মিটার, ৪ মিটার ও ৩ মিটার হলে, এতে কত লিটার বিশুদ্ধ পানি ধরবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ৪ মিটার
চৌবাচ্চার উচ্চতা = ৩ মিটার
আমরা জানি,
চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক
= (৫ × ৪ × ৩) = ৬০ ঘনমিটার
আবার,
আমরা জানি,
১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার
∴ চৌবাচ্চাটিতে বিশুদ্ধ পানি ধরবে = ৬০ × ১০০০ = ৬০০০০ লিটার
প্রশ্নটি হওয়ার কথা, একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৫ মিটার, ৪ মিটার ও ৩ মিটার হলে, এতে কত লিটার বিশুদ্ধ পানি ধরবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ৪ মিটার
চৌবাচ্চার উচ্চতা = ৩ মিটার
আমরা জানি,
চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক
= (৫ × ৪ × ৩) = ৬০ ঘনমিটার
আবার,
আমরা জানি,
১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার
∴ চৌবাচ্চাটিতে বিশুদ্ধ পানি ধরবে = ৬০ × ১০০০ = ৬০০০০ লিটার
৮৬.
একটি ঘনক আকৃতিবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 2904 বর্গ সে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
ঘনকের ধার a হলে,
ঘনক আকৃতির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল= 6a2
প্রশ্নানুসারে,
6a2 = 2904
a2 = 2904/6
a2=484
a=22
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
= 22√3
ঘনক আকৃতির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল= 6a2
প্রশ্নানুসারে,
6a2 = 2904
a2 = 2904/6
a2=484
a=22
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
= 22√3
৮৭.
একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। মাঠের প্রস্থ ২৩ মিটার হলে, মাঠের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। মাঠের প্রস্থ ২৩ মিটার হলে, মাঠের পরিসীমা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের প্রস্থ = ২৩ মিটার
তাহলে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ২৩ × ২ = ৪৬ মিটার
∴ মাঠের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (৪৬ + ২৩) মিটার
= ১৩৮ মিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের প্রস্থ = ২৩ মিটার
তাহলে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ২৩ × ২ = ৪৬ মিটার
∴ মাঠের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (৪৬ + ২৩) মিটার
= ১৩৮ মিটার
৮৮.
একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি. x ৪ সে. মি. x ১.৫ সে. মি. হলে ৫৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি. x ৪ সে. মি. x ১.৫ সে. মি. হলে ৫৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাবানের আয়তন = (৫ x ৪ x ১.৫) ঘন সে.মি.
= ৩০ ঘন সে.মি.
আবার,
বাক্সের আয়তন = (৫৫ x ৪৮ x ৩০) ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ টি
= ২৬৪০ টি।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাবানের আয়তন = (৫ x ৪ x ১.৫) ঘন সে.মি.
= ৩০ ঘন সে.মি.
আবার,
বাক্সের আয়তন = (৫৫ x ৪৮ x ৩০) ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ টি
= ২৬৪০ টি।
৮৯.
একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ মিটার হলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ মিটার হলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের ১ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার
∴ ঘনকের ১টি তলের ক্ষেত্রফল = (৩)২ বর্গমিটার
= ৯ বর্গমিটার
যেহেতু, ঘনকের মোট তল থাকে = ৬ টি
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে = (৯ × ৬) বর্গমিটার
= ৫৪ বর্গমিটার ।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের ১ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার
∴ ঘনকের ১টি তলের ক্ষেত্রফল = (৩)২ বর্গমিটার
= ৯ বর্গমিটার
যেহেতু, ঘনকের মোট তল থাকে = ৬ টি
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে = (৯ × ৬) বর্গমিটার
= ৫৪ বর্গমিটার ।
৯০.
16 সে.মি. ব্যাস এবং 2 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বেলন গলিয়ে 12 টি গোলক তৈরি করা হলে প্রতি গোলকের ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16 সে.মি. ব্যাস এবং 2 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বেলন গলিয়ে 12 টি গোলক তৈরি করা হলে প্রতি গোলকের ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
মনে করি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr3
বেলনের আয়তন = πr2h
প্রশ্নমতে,
12 টি গোলকের আয়তন = বেলনের আয়তন
⇒ 12 × (4/3) π × r3 = π × (8)2 × 2
⇒ r3 = 8
⇒ r3 = 23
∴ r = 2
∴ গোলকের ব্যাসার্ধ = 2 সে.মি. ।
৯১.
একটি আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরে চারিদিকে ২.৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরে চারিদিকে ২.৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার = ৭৬৮ বর্গমিটার
রাস্তা বাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২.৫ × ২)} মিটার =২৭ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২.৫ × ২)} মিটার = ১৯ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৭ × ১৯) বর্গমিটার = ৫১৩ বর্গমিটার
∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫১৩) বর্গমিটার
= ২৫৫ বর্গমিটার
সমাধান:
আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার = ৭৬৮ বর্গমিটার
রাস্তা বাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২.৫ × ২)} মিটার =২৭ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২.৫ × ২)} মিটার = ১৯ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৭ × ১৯) বর্গমিটার = ৫১৩ বর্গমিটার
∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫১৩) বর্গমিটার
= ২৫৫ বর্গমিটার
৯২.
একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু ৯ সে.মি ১০ সে. মি এবং ১১ সে. মি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু ৯ সে.মি ১০ সে. মি এবং ১১ সে. মি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c সে. মি হলে
এর অর্ধ পরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (৯ + ১০ + ১১)/২
= ৩০/২
= ১৫ সে.মি
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =
৯৩.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিঃ। অপর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 16মিঃ এবং ক্ষেত্রফল 48 বর্গ মিঃ হলে a = ?
ব্যাখ্যা
ক্ষেত্রফল = (16/4)√(4a2-162) = 48
বা, 4√(4a2-256) = 48
বা, √(4a2-256) = 12
বা, 4a2-256 = 144
বা, 4a2 = 144 + 256 = 400
বা, a2 = 100
∴ a = 10
বা, 4√(4a2-256) = 48
বা, √(4a2-256) = 12
বা, 4a2-256 = 144
বা, 4a2 = 144 + 256 = 400
বা, a2 = 100
∴ a = 10
৯৪.
পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার ৫ মিটার হয়, তবে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার ৫ মিটার হয়, তবে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার
∴ পাড়সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) বর্গমিটার
= ২০০০ বর্গমিটার
পাড় ছাড়া পুকুরের দৈর্ঘ্য = {৫০ - (৫ × ২)} মিটার
= (৫০ - ১০) মিটার
= ৪০ মিটার
পাড় ছাড়া পুকুরের প্রস্থ = {৪০ – (৫ × ২)} মিটার
= (৪০ - ১০) মিটার
= ৩০ মিটার
∴ পাড় ছাড়া পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩০) বর্গমিটার
= ১২০০ বর্গমিটার
∴ পাড়ের ক্ষেত্রফল = (২০০০ – ১২০০) বর্গমিটার
= ৮০০ বর্গমিটার
৯৫.
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য 9 একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য 9 একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য, a = 9 একক
আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a2 বর্গ একক
= (6 × 92) বর্গ একক
= (6 × 81) বর্গ একক
= 486 বর্গ একক
সমাধান:
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য, a = 9 একক
আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a2 বর্গ একক
= (6 × 92) বর্গ একক
= (6 × 81) বর্গ একক
= 486 বর্গ একক
৯৬.
একটি আয়তাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল 280 বর্গমিটার। এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 6 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আয়তাকার কক্ষের সমান পরিসীমাবিশিষ্ট বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল 280 বর্গমিটার। এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 6 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আয়তাকার কক্ষের সমান পরিসীমাবিশিষ্ট বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার।
প্রথম শর্তমতে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ x × y = 280
⇒ y = 280/x ........ (1)
দ্বিতীয় শর্তমতে,
নতুন দৈর্ঘ্য = (x - 6) মিটার
নতুন প্রস্থ = (y + 6) মিটার
নতুন ক্ষেত্রফল = (x - 6)(y + 6)
যেহেতু ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে, তাই
(x - 6)(y + 6) = xy
⇒ xy + 6x - 6y - 36 = xy
⇒ 6(x - y) = 36
∴ x - y = 6 ......(2)
সমীকরণ (1) থেকে পাই, y = 280/x। এই মানটি সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই:
x - 280/x = 6
⇒ x2 - 280 = 6x
⇒ x2 - 6x - 280 = 0
⇒ x2 - 20x + 14x - 280 = 0
⇒ x(x - 20) + 14(x - 20) = 0
⇒ (x - 20)(x + 14) = 0
যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x ≠ - 14
∴ x = 20 m এবং y = 280/20 = 14
আয়তাকার কক্ষের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2 × (20 + 14)
= 2 × 34 = 68 m
আবার,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a (যেখানে a হলো বাহুর দৈর্ঘ্য)
⇒ 4a = 68
⇒a = 17 m
∴ বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল = a2 = 172 = 289 বর্গমিটার
৯৭.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল ১২৫০ বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
দৈর্ঘ্য = ২a, প্রস্থ = a হলে।
ক্ষেত্রফল 2a2 = ১২৫০
বা, a2 = ৬২৫
∴ a = ২৫ মিঃ
∴ দৈর্ঘ্য = 2a = ৫০ মিঃ।
ক্ষেত্রফল 2a2 = ১২৫০
বা, a2 = ৬২৫
∴ a = ২৫ মিঃ
∴ দৈর্ঘ্য = 2a = ৫০ মিঃ।
৯৮.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. ও 8 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. ও 8 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × (5 × 8)
= 20 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × (5 × 8)
= 20 বর্গ সে.মি.
৯৯.
একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার। এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার। এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?
সমাধান:
ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = ৬ ×বাহু২ = ৬ × ৩৬ = ২১৬ বর্গমিটার
ঘনকের আয়তন = ৬৩ ঘনমিটার = ২১৬ ঘনমিটার
সমাধান:
ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = ৬ ×বাহু২ = ৬ × ৩৬ = ২১৬ বর্গমিটার
ঘনকের আয়তন = ৬৩ ঘনমিটার = ২১৬ ঘনমিটার
∴ এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের (২১৬/২১৬) বা ১ গুণ
১০০.
যদি ১২ ফুট দীর্ঘ এবং ৯ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি রুমের মেঝের ৬০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রেফল কত বর্গফুট?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ১২ ফুট দীর্ঘ এবং ৯ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি রুমের মেঝের ৬০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রেফল কত বর্গফুট?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য ১২ ফুট এবং প্রস্থ ৯ ফুট
কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১২ × ৯ বর্গফুট = ১০৮ বর্গফুট
৬০% মেঝের ক্ষেত্রফল ১০৮ বর্গফুট
১০০% মেঝের ক্ষেত্রফল (১০৮ × ১০০)/৬০ বর্গফুট
= ১০৮০০/৬০ বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য ১২ ফুট এবং প্রস্থ ৯ ফুট
কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১২ × ৯ বর্গফুট = ১০৮ বর্গফুট
৬০% মেঝের ক্ষেত্রফল ১০৮ বর্গফুট
১০০% মেঝের ক্ষেত্রফল (১০৮ × ১০০)/৬০ বর্গফুট
= ১০৮০০/৬০ বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট