অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

তামাঃদস্তা = ১ঃ২
= ৩ঃ৬ [ উভয় রাশিকে ৩ দিয়ে গুন করে ]
দস্তাঃরুপা = ৩ঃ৫
= ৬ঃ১০ [ উভয় রাশিকে ২ দিয়ে গুন করে ]
∴ তামাঃদস্তাঃরুপা = ৩ঃ৬ঃ১০
অনুপাতের যোগফল = ১৯ 
তাই অনুপাতে রুপা আছে ১০ গ্রাম।

মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত = ৭ঃ২
অনুপাতের সমষ্টি = ৯
∴ দুধ = (৪৫৯×৭)/৯ = ৩৫৭ লিটার এবং
পানি = (৪৫৯×২)/৯ = ১০২
∴ ৩৫৭ : (১০২ + a) = ৭ঃ৩ [a লিটার পানি যোগ করে]
বা, ৩৫৭/(১০২+a) = ৭/৩
বা, ৫১/(১০২ + a) = ১/৩
বা, a + ১০২ = ১৫৩
∴ a = ৫১

ধরি, আফিফের বয়স = 3x
তামিমের বয়স = 5x
তাহলে, 3x + 5x = 48
∴ x = 6
আফিফের বয়স = 18
তামিমের বয়স = 30

পেট্রোল ∶ অকটেন = ৫ ∶ ৩
∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৫/(৫+৩) X ৩২ = ২০ লিটার।
অকটেনের পরিমাণ = ৩/(৫+৩) X ৩২ = ১২ লিটার।
নতুন মিশ্রণে,
পেট্রোল ∶ অকটেন = ২ ∶ ৩
= (২ X ১০) ∶ (৩ X ১০)
= ২০ ∶ ৩০
∴ অকটেন মিশাতে হবে = ৩০ - ১২ = ১৮ লিটার।

ক, খ এবং গ রাশি তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী হলে মধ্যসমানুপাতী হবে,
খ^২ = ক × গ
বা, খ = √(ক × গ)
সুতরাং ৪ এবং ১৬ সংখ্যা দুটির মধ্যসমানুপাতী = √(৪ × ১৬)
= ২ × ৪
= ৮

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৬ বছর। ০৬ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৮ : ১। ০৬ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৬ বছর।

৬ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ছিল = {৬৬ - (৬ + ৬)} বছর
= (৬৬ - ১২) বছর
= ৫৪ বছর

মনে করি,
৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = ৮ক বছর
৬ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = ক বছর

প্রশ্নমতে,
৮ক + ক = ৫৪
⇒ ৯ক = ৫৪
⇒ ক = ৫৪/৯
⇒ ক = ৬

৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = (৮ × ৬) বছর = ৪৮ বছর
৬ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = ৬ বছর

∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৪৮ + ৬) বছর = ৫৪ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স = (৬ + ৬) বছর = ১২ বছর

৬ বছর পর,
পিতার বয়স হবে = (৫৪ + ৬) বছর = ৬০ বছর
পুত্রের বয়স হবে = (১২ + ৬) বছর = ১৮ বছর

৬ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত = ৬০ : ১৮
= ১০ : ৩

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে তেল ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে আর কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে তেল ও পানির অনুপাত ৩ : ৪ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
তেল : পানি = ৭ : ৩
অনুপাত রাশির যোগফল = ৭ + ৩ = ১০ 

∴ মিশ্রণে তেলের পরিমাণ = ৬০ × (৭/১০) = ৪২ লিটার ।
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৬০ × (৩/১০) = ১৮ লিটার 

অতিরিক্ত পানি মেশানোর পর,
তেল : পানি = ৩ : ৪ 

ধরি,
মেশানোর পর মিশ্রণের পরিমাণ হয় ক লিটার 

শর্তমতে,
৪২/(১৮ + ক) = ৩/৪ 
⇒ ১৬৮ = ৫৪ + ৩ক 
⇒ ৩ক = ১৬৮ - ৫৪ 
⇒ ৩ক = ১১৪ 
⇒ ক = ১১৪/৩ 
∴ ক = ৩৮ 

সুতরাং, ৩৮ লিটার পানি আরও মিশাতে হবে। 

প্রশ্ন: তিনজন খেলোয়াড়ের রানের সমষ্টি ২০৫। প্রথম ও দ্বিতীয় জনের অনুপাত ৪ : ৩ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় জনের অনুপাত ৫ : ২ হলে, প্রথম জন কত রান করেছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তিনজনের মোট রান = ২০৫
প্রথম : দ্বিতীয় = ৪ : ৩
দ্বিতীয় : তৃতীয় = ৫ : ২

প্রথম : দ্বিতীয় : তৃতীয় = (৪ × ৫) : (৩ × ৫) : (২ × ৩)
= ২০ : ১৫ : ৬

সুতরাং, তিনজনের অনুপাত = ২০ : ১৫ : ৬
∴ অনুপাতের সমষ্টি = ২০ + ১৫ + ৬ = ৪১ অংশ

∴ প্রথম খেলোয়াড়ের = (২০/৪১) × ২০৫ = ২০ × ৫ = ১০০ রান 

সুতরাং, প্রথম জন ১০০ রান করেছে।

• এখানে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭ বছর ও ২ বছর ছিল।
• তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৭+৩) বছর = ৩০ বছর এবং মেয়ের বয়স = (২+৩) বছর = ৫ বছর।
• সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (৩০+৫) বছর = ৩৫ বছর এবং (৫+৫) বছর = ১০ বছর
• সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৫ঃ১০
= ৭ঃ২ বছর।

6 × 7 = 42,
7 × 8 = 56,
10 × 11 = 110,
11 × 12 = 132

প্রশ্ন: যদি 20A = 30B = 50C হয়, তাহলে A : B : C এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
20A = 30B = 50C

ধরি, 20A = 30B = 50C = k
এখন, 
A = k/20
একইভাবে, 
B = k/30 এবং C = k/50

অনুপাত, A : B : C
⇒ (k/20) : (k/30) : (k/50)
⇒ 1/20 : 1/30 : 1/50
⇒ (300/20) : (300/30) : (300/50) ; [20, 30, 50 এর ল.সা.গু. = 300]
⇒ 15 : 10 : 6

∴ A : B : C = 15 : 10 : 6

প্রশ্ন: ৪, ৬ এবং ১০ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
১ম : ২য় = ৩য় : ৪র্থ 
⇒ ৪র্থ = (২য় × ৩য়)/১ম
⇒ ৪র্থ = (৬ × ১০)/৪ 
⇒ ৪র্থ = ৬০/৪ 
∴ ৪র্থ = ১৫ 

সুতরাং, চতুর্থ সমানুপাতী ১৫

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৬ কি.মি. ও ৪ কি.মি.। নদীপথে ৩০ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে-

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ
= (১৬ + ৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ২০ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ৩০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে = ৩০/২০ ঘণ্টা
= ৩/২ ঘণ্টা

স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ
= (১৬ - ৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ১২ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ৩০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে ৩০/১২ = ৫/২ ঘণ্টা।

∴ মোট সময় লাগবে = (৩/২) + (৫/২) ঘণ্টা।
= (৩ + ৫)/২ ঘণ্টা
= ৮/২  ঘণ্টা
= ৪ ঘণ্টা

মনে করি, আয় ও ব্যয় যথাক্রমে ৫ক এবং ৩ক
শর্তমতে,
৫ক - ৩ক = ১০০০০
⇒ ২ক = ১০০০০
∴ ক = ৫০০০
∴ ব্যয় = ৩ x ৫০০০ = ১৫০০০ টাকা

এখানে তামা ও সোনার অনুপাত = ৩ঃ১।
সুতরাং মোট মিশ্রণের অনুপাত = ৩+১ = ৪
মিশ্রণে সোনার অনুপাত = ৩/৪ × ১৬ গ্রাম
= ১২ গ্রাম।
এবং মিশ্রণে তামার অনুপাত = ১/৪ × ১৬ গ্রাম = ৪ গ্রাম।
নতুন মিশ্রণে সোনা মিশাতে হবে, (১২+ক)/৪ = ৪/১
বা, ১২+ক = ১৬
বা, ক = ১৬-১২
বা, ক = ৪ গ্রাম।

প্রশ্ন: ৫০ কেজি মিশ্রণে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণের অনুপাত ৪ : ১। মিশ্রণটিতে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট মিশ্রণ = ৫০ কেজি
বালি : সিমেন্ট = ৪ : ১

∴ মোট অংশ = ৪ + ১ = ৫ অংশ
প্রতি অংশের পরিমাণ = ৫০/৫ = ১০ কেজি

এখন, বালির পরিমাণ = (৪ × ১০) কেজি = ৪০ কেজি
সিমেন্টের পরিমাণ = (১ × ১০) কেজি = ১০ কেজি

সুতরাং, মিশ্রণে বালি ৪০ কেজি এবং সিমেন্ট ১০ কেজি।

বিনিয়োগকারীর মধ্যে ভাগের অনুপাত = ১ঃ২ঃ৪
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ৪ = ৭ 
∴ বৃহত্তম অংশ = ২১,০০০ এর ৪/৭ = ১২,০০০ টাকা

দেওয়া আছে,
পিতার বয়স ৫৬ বছর
পিতার বয়স ঃ পুত্রের বয়স = ১৪ঃ৩
∴ পুত্রের বয়স = (৩/১৪) × পিতার বয়স
= (৩/১৪) × ৫৬
= ১২ বছর
∴ পুত্রের বয়স ১২ বছর।

এখানে ক্রয়মূল্যের চেয়ে বিক্রয়মূল্যের পরিমাণ কম। তাই ক্ষতি হবে। সুতরাং ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য
= ৫-৪ = ১
সুতরাং শতকরা ক্ষতি = ক্ষতি/ক্রয়মূল্য × ১০০
= ১/৫ × ১০০
= ২০%

মনে করি,
জুইয়ের বয়স = ৫a বছর
জিসানের বয়স = ৪a বছর
প্রশ্নমতে,
৪a + ৮ = ২৪
বা, ৪a = ১৬
∴ a = ৪
∴ জুইয়ের বর্তমান বয়স = ৫ × ৪
= ২০ বছর

ক, খ এবং গ রাশি তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী হলে মধ্যসমানুপাতী হবে, খ^২ = ক×গ
বা, খ = √(ক×গ)
সুতরাং ১৬ এবং ২৫ এর মধ্যসমানুপাতী = √(১৬×২৫)
= ৪×৫
= ২০.

সঞ্চয় = ৫০০০ - ৪৫০০ = ৫০০ টাকা।
∴ আয় ∶ সঞ্চয় = ৫০০০ ∶ ৫০০ = ১০ ∶ ১

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের যোগফল ৮৪০ । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ক
বৃহত্তম সংখ্যা = ৪ক 

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক = ৮৪০
⇒ ৭ক = ৮৪০
⇒ ক = ৮৪০/৭
⇒ ক = ১২০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪ × ১২০ = ৪৮০

এখানে,
এসিড : পানি = ৩ : ১ তাহলে এসিডের পরিমাণ
= ৩/৪ × ৩২ লিটার
= ২৪ লিটার।
এবং পানির পরিমাণ = ১/৪ × ৩২ লিটার
= ৮ লিটার।

সুতরাং শর্তমতে,
দ্বিতীয় অনুপাতে এসিডের পরিমাণ একই থাকবে এবং শুধু পানির পরিমাণ পরিবর্তন হবে।
২৪/(৮ + ক) = ৩/২
বা, ৮/(৮ + ক) = ১/২
বা, ৮ + ক = ১৬
বা, ক = ৮ লিটার।

অনুপাতদ্বয়ের বিয়োগফল ৭-১ = ৬
দুধের পরিমাণ ৬ লিটার বেশি হয় পানি ১ লিটার হলে
∴ দুধের পরিমাণ ১২ লিটার বেশি হয় পানি (১X১২)/৬ লিটার=২ লিটার

ধরি,
তিশার বয়স ৫ক বছর এবং আশার ৪ক বছর।
শর্তমতে, ৫ক = ৩০
বা, ক = ৬
সুতরাং ৪ক = ৪×৬ = ২৪ বছর।

প্রশ্ন: যদি x : y = 4 : 3, y : z = 5 : 4 এবং x = 200 হয়, তবে z এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
x : y = 4 : 3,  y : z = 5 : 4 এবং x = 200

এখন,
x : y = 4 : 3 
⇒ x/y = 4/3
⇒ 200/y = 4/3 [x = 200]
⇒ y = 200 × (3/4)
∴ y = 150

আবার,
y : z = 5 : 4
⇒ y/z = 5/4
⇒ 150/z = 5/4
⇒ z = 150 × (4/5)
∴ z = 120

মনে করি, রাকিব ও মাহির এর আয় ৩ক ও ২ক টাকা
রাকিব ও মাহির এর ব্যয় ৫খ ও ৩খ টাকা
∴ রাকিবের সঞ্চয় = ৩ক - ৫খ = ১০০০ ............(১)
মাহির সঞ্চয় = ২ক - ৩খ = ১০০০ ...............(২)
(১) ও (২) নং সমাধান করে পাই,
ক = ২০০০ এবং খ = ১০০০
∴ রাকিবের আয় = (৩ × ২০০০) =৬০০০ টাকা

প্রশ্ন: করিম ও রহিমের মাসিক আয়ের অনুপাত 3 : 5। তাদের দুইজনের মাসিক আয় একত্রে 9600 টাকা। এক বছর পর রহিমের আয় 100 টাকা বেড়ে গেলে এবং করিমের আয় 250 টাকা কমে গেল। এক বছর পর করিম ও রহিমের মাসিক আয়ের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
করিম ও রহিমের আয় যথাক্রমে 3x ও 5x

প্রশ্নমতে,
3x + 5x = 9600
বা, 8x = 9600
বা, x = 9600/8
∴ x = 1200

∴ এক বছর পরে করিম ও রহিমের মাসিক আয়ের অনুপাত হবে = 
(3x - 250) : (5x + 100)
= (3 ⋅ 1200 - 250) : (5 ⋅ 1200 + 100)
= (3600 - 250) : (6000 + 100)
= 3350 : 6100
= 67 : 122