অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4. সংখ্যা দুটি থেকে 2 করে কমালে অনুপাত হয় 2 : 3. সংখ্যা দুটির সাথে 4 যোগ করলে তাদের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি 3x ও 4x

প্রশ্নমতে,
(3x - 2)/(4x - 2) = 2/3
⇒ 9x - 6 = 8x - 4
⇒ x = 2
সংখ্যা দুটি: 3 × 2 = 6 ও 4 × 2 = 8 
সংখ্যা দুটির সাথে 4 যোগ করলে: 6 + 4 = 10 ও 8 + 4 = 12

∴ সংখ্যা দুটির অনুপাত = 10 : 12 = 5 : 6

সঞ্চয় = ৪৫০০-৩০০০ = ১৫০০ টাকা।
∴ আয় ∶ সঞ্চয় = ৪৫০০ ∶ ১৫০০ = ৩ ∶ ১

দেওয়া আছে,
এসিডঃপানি = ৭ : ৩
অনুপাতের রাশিদ্বয়ের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = ( ৩০ × ৭/১০ ) = ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ( ৩০ × ৩/১০ ) = ৯ লিটার
নতুন মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ ঠিক থাকবে আর পানির পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে।
ধরি, ক পরিমাণ পানি মিশ্রিত করতে হবে।
∴ ২১ : ক = ৩ : ৭
⇒ ক = ( ২১ × ৭ )/৩ = ৪৯
∴ পানি মিশ্রিত করতে হবে = ( ৪৯ - ৯ ) = ৪০ লিটার।

ধরি, ছোট সংখ্যা ৩ক
বড় সংখ্যা ৭ক
প্রশ্নমতে,
(৩ক + ১০) : (৭ক + ১০) = ১ঃ২
বা, ৬ক + ২০ = ৭ক + ১০
বা, ক = ১০
∴ ছোট সংখ্যা ৩ × ১০ = ৩০ 

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট সিরিজে শান্ত, তামিম এবং লিটন মোট ২২২ রান করেছে। শান্ত ও তামিমের রানের অনুপাত এবং তামিম ও লিটনের রানের অনুপাত ৪ : ৩। ঐ সিরিজে শান্ত কত রান করেছে?

সমাধান:
এখানে,
শান্ত : তামিম = ৪ : ৩
= (৪ × ৪) : (৩ × ৪)
= ১৬ : ১২

আবার,
তামিম : লিটন = ৪ : ৩
= (৪ × ৩) : ( ৩ × ৩)
= ১২ : ৯

∴ শান্ত : তামিম : লিটন = ১৬ : ১২ : ৯

অনুপাতগুলোর যোগফল = ১৬ + ১২ + ৯ = ৩৭

∴ শান্তর রান = ২২২ × (১৬/৩৭) 
= ৬ × ১৬ 
= ৯৬ রান

প্রশ্ন: একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৬ : ১। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ১০ লিটার বেশি হয়, তবে পানির পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
দুধ : পানি = ৬ : ১ 

ধরি,
দুধের পরিমাণ = ৬x লিটার
এবং পানির পরিমাণ = x লিটার

শর্তমতে,
৬x - x = ১০
বা, ৫x = ১০
বা, x = ১০/৫
∴ x = ২

∴ পানির পরিমাণ = ২ লিটার।

সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, x ও y হলে,
প্রশ্নমতে, x - y = 1/3 × (x + y)
⇒ x - y = (x + y)/3
⇒ 3x - 3y = x + y
⇒ 2x = 4y
⇒ x : y = 4 : 2 = 2 : 1

ধরি, ব্যাসার্ধদ্বয় যথাক্রমে a, b
∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত πa² : πb² = ৯ঃ৪
বা, a² : b² = ৯ঃ৪
∴ a : b = ৩ঃ২

সাহিদার আয় ১৬ টাকা হলে সঞ্চয় (১৬-১২) = ৪ টাকা
সাহিদার আয় ১ টাকা হলে সঞ্চয় ৪/১৬ টাকা
সাহিদার আয় ১০০ টাকা হলে সঞ্চয় ৪×১০০/১৬ টাকা
= ২৫ টাকা‌।

নিয়ম-১ঃ
নতুন মেশানো কমলার রসের পরিমাণ= {60X(2-1)}/1=60 লিটার।

নিয়ম-২ঃ
৬০ লিটার মিশ্রণে আমের রস আছে (৬০×২) / (২+১) = ৪০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস আছে (৬০-৪০) = ২০ লিটার।
মিশ্রণটিতে আম ও কমলার রসের অনুপাত ১:২ হতে হলে কমলার রস থাকতে হবে (৪০×২) = ৮০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস মিশাতে হবে (৮০-২০) = ৬০ লিটার।

পনির : তপন = ২ : ৩ = ১০ : ১৫ [ ৫ দ্বারা গুণ করে ]
তপন : রবিন = ৫ : ৪ = ১৫ : ১২ [ ৩ দ্বারা গুণ করে ]
∴ পনির : তপন : রবিন = ১০ : ১৫ : ১২
পনিরের আয় ১০ টাকা হলে রবিনের আয় ১২ টাকা
∴ পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে রবিনের আয় (১২ × ১২০) / ১০
= ১৪৪ টাকা

সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি এবং উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি করে প্রাপ্ত অনুপাতকে পূর্বের অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বলে।
যেমনঃ ১৩ঃ৫ এর ব্যস্ত অনুপাত ৫ঃ১৩

অনুপাতগুলোর যোগফল ৫+৭+৯ = ২১
∴ টুকরোগুলোর সাইজ = (৫×৮৪)/২১ = ২০
= (৭×৮৪)/২১ = ২৮
= (৯×৮৪)/২১ = ৩৬

প্রশ্ন: সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৪ : ৭ : ৮। যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ১০০০০
টাকা বেশি হয়, তবে রাফিন এর বার্ষিক বেতন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৪ : ৭ : ৮

মনে করি,
সাফিন এর মাসিক বেতন ৪ক টাকা
রাফিন এর মাসিক বেতন ৭ক টাকা
রাফান এর মাসিক বেতন ৮ক টাকা

যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ১০০০০ টাকা বেশি হয়,

প্রশ্নমতে,
৮ক - ৪ক = ১০০০০
⇒ ৪ক = ১০০০০
⇒ ক = ১০০০০/৪
∴ ক = ২৫০০

∴ রাফিন এর মাসিক বেতন (৭ × ২৫০০) = ১৭৫০০ টাকা

∴ রাফিন এর বার্ষিক বেতন = (১৭৫০০ × ১২) = ২১০০০০ টাকা

দেওয়া আছে,
এসিডঃপানি = ৭ঃ৩
অনুপাতের রাশিদ্বরের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = ( ৩০ × ৭/১০ ) = ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ( ৩০ × ৩/১০ ) = ৯ লিটার
নতুন মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ ঠিক থাকবে আর পানির পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে।
ধরি, ক পরিমাণ পানি মিশ্রিত করতে হবে।
∴ ২১ঃক = ৩ঃ৭
⇒ ক = ( ২১ × ৭ )/৩ = ৪৯
পানি মিশ্রিত করতে হবে ( ৪৯ - ৯ ) = ৪০ লিটার।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে উপস্থিত এবং অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা অনুপাত ৪ : ১। অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা মোট ছাত্রের সংখ্যার শতকরা কত?

সমাধান:
ধরি, উপস্থিত ছাত্র সংখ্যা = ৪ক জন
এবং অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা = ক জন

∴ মোট ছাত্র সংখ্যা = (৪ক + ক) = ৫ক জন

অনুপস্থিত ছাত্রের শতকরা হার = (অনুপস্থিত ছাত্র/মোট ছাত্র) × ১০০%
= (ক/৫ক) × ১০০%
= (১/৫) × ১০০%
= ২০%

∴ অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা মোট ছাত্র সংখ্যার ২০%

Question: A man mixes 8 liters of milk priced at Tk. 550 per liter with 6 liters of milk priced at Tk. 650 per liter. He then adds some water so that the final mixture can be sold at Tk. 500 per liter without profit or loss. How many liters of water are added?

Solution:
Given,
Milk-1: 8 L, 550 Tk/L
Milk-2: 6 L, 650 Tk/L
Final mixture price = 500 Tk/L

Suppose,
Water added = x Liter

Total cost of the milk:
(8 × 550) + (6 × 650)
= 4400 + 3900
= 8300 Tk

Total milk = 8 + 6 = 14 Liter

After adding water,
New volume = (14 + x) Liter

The average price of the mixture is 500 Tk/L.
So total value of the final mixture = 500(14 + x)

New equation:
500(14 + x) = 8300 
⇒ 7000 + 500x = 8300
⇒ 500x = 8300 - 7000
⇒ x = 1300/500
∴ x = 2.6 Liter

∴ 2.6 Liter of water was added to the mixer.