অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৪ : ৫ : ৬ : ৩। তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, চতুর্ভুজের কোণগুলো:
৪x, ৫x, ৬x, ৩x

চতুর্ভুজের কোণগুলোর যোগফল = ৩৬০°

তাহলে সমীকরণ,
৪x + ৫x + ৬x + ৩x = ৩৬০
→ ১৮x = ৩৬০
∴ x = ৩৬০/১৮ = ২০°

কোণগুলো হবে:
৪x = ৮০°
৫x = ১০০°
৬x = ১২০°
৩x = ৬০°

বৃহত্তম থেকে ক্রম:
১২০°, ১০০°, ৮০°, ৬০°

∴ তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ৮০°

দেওয়া আছে,
a:b = ৩ঃ২ = ৯ঃ৬
b:c = ৩ঃ২ = ৬ঃ৪

∴ a:b:c = ৯ঃ৬ঃ৪
∴ a:c = ৯ঃ৪

প্রশ্ন: সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৯। যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৬০০০ টাকা বেশি হয়, তবে রাফিন এর বার্ষিক বেতন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৯

মনে করি,
সাফিন এর মাসিক বেতন ৩ক টাকা
রাফিন এর মাসিক বেতন ৫ক টাকা
রাফান এর মাসিক বেতন ৯ক টাকা

যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৬০০০ টাকা বেশি হয়,

প্রশ্নমতে,
৯ক - ৩ক = ৬০০০
⇒ ৬ক = ৬০০০
⇒ ক = ৬০০০/৬
∴ ক = ১০০০

∴ রাফিন এর মাসিক বেতন (৫ × ১০০০) = ৫০০০ টাকা

∴ রাফিন এর বার্ষিক বেতন = (৫০০০ × ১২) = ৬০০০০ টাকা

In 20 litres of mixture
Quantity of milk ⇒ (3/4)×20 = 15 litres

Quantity of water ⇒ (1/4)×20 = 5 litres

Let the quantity of milk added be x litres.
According to the question,
⇒ (15+x)/5 = 41
⇒ 15+x = 4×5
⇒ x = 20−15 = 5 litres

প্রশ্ন: A, B এবং C অংশীধারি ব্যবসায় যোগ দিল। A, B এর তিনগুণ বিনিয়োগ করে এবং B, C এর দুই-তৃতীয়াংশ বিনিয়োগ করে। বছর শেষে ৬৬০০ টাকা লাভ হয়। B এর লাভের পরিমাণ কত? 

সমাধান:
ধরি,
C এর বিনিয়োগ = ক টাকা
তাহলে,
B এর বিনিয়োগ = ২ক/৩  টাকা
এবং A এর বিনিয়োগ = ৩ × (২ক/৩) = ২ক টাকা

এখন বিনিয়োগের অনুপাত, 
A : B : C = ২ক : ২ক/৩ : ক
= ৬ক : ২ক : ৩ক  ; [৩ দ্বারা গুণ করে] 
∴ A : B : C = ৬ : ২ : ৩
∴ মোট অংশ = ৬ + ২ + ৩ = ১১ অংশ

∴ B এর লাভের পরিমাণ = (২/১১) × ৬৬০০
= ২ × ৬০০
= ১২০০ টাকা

সুতরাং, B এর লাভের পরিমাণ ১২০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৩৯০ টাকা ৩ জনকে (১/২) : (১/৩) : (১/৪) অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। প্রথম জন ও তৃতীয় জনের টাকার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= (১/২) : (১/৩) : (১/৪)
= {(১ × ১২)/২} : {(১ × ১২)/৩} : {(১ × ১২)/৪}   ;[ ২, ৩, ৪ এর ল, সা গু = ১২ ]
= ৬ : ৪ : ৩

অনুপাতের সমষ্টি = ৬ + ৪ + ৩ = ১৩

এখন,
প্রথম জন পাবে = (৩৯০ এর ৬/১৩) = (৩০ × ৬) = ১৮০ টাকা
তৃতীয় জন পাবে = (৩৯০ এর ৩/১৩) = (৩০  ৩) = ৯০ টাকা

∴ প্রথম জন এবং তৃতীয় জনের টাকার পার্থক্য = ১৮০ - ৯০ = ৯০ টাকা

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৩ : ২। যদি ঐ মিশ্রণে ২০ লিটার পানি যোগ করা হয়, তাহলে অনুপাত হয় ৩: ৪। প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত ?

সমাধান:
ধরি, 
প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩ক  
এবং পানির পরিমাণ = ২ক

২০ লিটার পানি যোগ করার পর পানির পরিমাণ = ২ক + ২০

প্রশ্নমতে,
৩ক : (২ক + ২০) = ৩ : ৪
বা, ৩ক/(২ক + ২০) = ৩/৪
বা, ৩ক × ৪ = ৩ × (২ক + ২০)
বা, ১২ক = ৬ক + ৬০
বা, ১২ক − ৬ক = ৬০
বা, ৬ক = ৬০
∴ ক = ১০

∴ প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩ × ১০ = ৩০ লিটার

প্রশ্ন: ৭৫০ কে তিন অংশে এমন ভাবে ভাগ করুন যাতে তাদের অনুপাত ৪ : ৫ : ৬ হয়।

সমাধান:
৭৫০ কে ৪ : ৫ : ৬ অনুপাতে ভাগ করতে হবে।
প্রথমে অনুপাতের মোট অংশ বের করি:
অনুপাতের সমষ্টি = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫ অংশ

∴ প্রতি অংশের মান = ৭৫০/১৫
= ৫০

তাহলে তিন অংশ হবে যথাক্রমে,
প্রথম অংশ = ৪ × ৫০ = ২০০
দ্বিতীয় অংশ = ৫ × ৫০ = ২৫০
তৃতীয় অংশ = ৬ × ৫০ = ৩০০

অতএব, ৭৫০-কে ৪ : ৫ : ৬ অনুপাতে ভাগ করলে অংশ তিনটি হবে যথাক্রমে ২০০, ২৫০ এবং ৩০০।

মূলধনের অনুপাত ২ঃ৩ঃ৫
অনুপাতের সমষ্টি = ২ + ২ + ৫
= ১০
∴ গ এর লাভ = ১৮৫০ × ৫/১০
= ৯২৫ টাকা

প্রশ্ন: একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ১৫ লিটার বেশি হয়, তবে পানির পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুধ : পানি = ৫ : ২

ধরি,
দুধের পরিমাণ = ৫ক লিটার
এবং পানির পরিমাণ = ২ক লিটার

শর্তমতে,
৫ক - ২ক = ১৫
বা, ৩ক = ১৫
বা, ক = ১৫/৩
∴ ক = ৫

∴ পানির পরিমাণ = ২ক = ২ × ৫ = ১০ লিটার।

প্রশ্ন: রাহুল ও সুমিতের বয়সের অনুপাত বর্তমানে 4 : 3। যদি রাহুলের বয়স 24 বছর হয়, কত বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 5 : 4 হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
রাহুল ও সুমিতের বয়সের অনুপাত 4 : 3
রাহুলের বয়স 24 বছর।

ধরি,
সুমিতের বয়স = x

শর্তানুসারে,
24 : x = 4 : 3
⇒ 24/x = 4/3
⇒ x = (24 × 3)/4 
∴ x = 18

আবার,
ধরি,
y বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 5 : 4 হবে।
শর্তানুসারে,
⇒ (24 + y) : (18 + y) = 5 : 4
⇒ (24 + y)/(18 + y) = 5/4
⇒ 90 + 5y = 96 + 4y
∴ y = 6

∴ 6 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 5 : 4 হবে। 

প্রশ্ন: ৪৫ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৪: ৫। মিশ্রণটিতে কী পরিমাণ দুধ মেশালে দুধ ও পানির অনুপাত ৩: ২ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুধ ও পানির অনুপাত ৪: ৫

মোট অংশ = (৪ + ৫) = ৯

∴ মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৪৫ × (৪/৯) লিটার = ২০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৪৫ × (৫/৯) লিটার = ২৫ লিটার

ধরি, দুধ মেশাতে হবে x লিটার

প্রশ্নমতে,
(২০ + x) : ২৫ = ৩ : ২
⇒ (২০ + x)/২৫ = ৩/২
⇒ ২(২০ + x) = ৩ × ২৫
⇒ ৪০ + ২x = ৭৫
⇒ ২x = ৭৫ - ৪০
⇒ ২x = ৩৫
⇒ x = ৩৫/২
⇒ x = ১৭.৫

∴ দুধ মেশাতে হবে ১৭.৫ লিটার।

ক্ষুদ্রতর অংশ = ৬০০০ এর ১/(১+২+৩+৪+৫) = ৪০০ টাকা এবং বৃহত্তর অংশ = ৬০০০ এর ৫/(১+২+৩+৪+৫) = ২০০০ টাকা।
সুতরাং বৃহত্তর এবং ক্ষুদ্রতর অংশের পার্থক্য = ২০০০ - ৪০০ = ১৬০০ টাকা।

চতুর্থ সমানুপাতিক x হলে
3 × x = 9 × 4
⇒ x = (9 × 4) / 3
∴ x = 12

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে ৬৩ লিটার রস আছে। কমলা ও লেবুর অনুপাত ৫ : ৪। লেবুর রস ১৮ লিটার কমিয়ে দিলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, মোট মিশ্রণ ৬৩ লিটার। কমলা ও লেবুর রসের অনুপাত = ৫ : ৪

অনুপাতের যোগফল = (৫ + ৪) = ৯

সুতরাং, কমলার রসের পরিমাণ = (৬৩ এর ৫/৯ অংশ)
= (৬৩ × ৫)/৯ = ৩৫ লিটার

এবং, লেবুর রসের পরিমাণ = (৬৩ এর ৪/৯ অংশ)
= (৬৩ × ৪)/৯ = ২৮ লিটার

এখন, লেবুর রস ১৮ লিটার কমিয়ে দিলে,
নতুন পরিমাণ হবে = (২৮ - ১৮) = ১০ লিটার।

কমলার রসের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে, অর্থাৎ ৩৫ লিটার।

সুতরাং, নতুন অনুপাত হবে, = ৩৫ : ১০ = ৭ : ২

প্রশ্নঃ রহিম, করিম ও মিরাজের আয়ের অনুপাত যথাক্রমে ১২ : ১৫ : ২০। যদি মিরাজের আয় ১৯০০ টাকা হয়, তবে রহিম ও করিমের আয় কত?

সমাধানঃ
মিরাজের ২০ অংশ = ১৯০০ টাকা
মিরাজের ১ অংশ = ১৯০০ ÷ ২০
= ৯৫ টাকা

তাহলে,
রহিমের ১২ অংশ = ৯৫ × ১২
= ১১৪০ টাকা
করিমের ১৫ অংশ = ৯৫ × ১৫
= ১৪২৫

∴ রহিমের আয় ১১৪০ ও করিমের আয় ১৪২৫। 

ধরি,
সংখ্যা দু'টি ৪x, ৭x
∴ (৪x + ৫)/(৭x + ৫) = ৩/৫
বা, ২১x + ১৫ = ২০x + ২৫
∴ x = ১০
বড় সংখ্যাটি = ৭০

প্রশ্ন: ১.৫ মিটার এবং ১০ সেমি-এর অনুপাত কত?

সমাধান:
প্রথমে দুটি মানকে একই এককে (সেন্টিমিটারে) রূপান্তর করে পাই,
১.৫ মিটার = ১.৫ × ১০০ = ১৫০ সেমি ; [১ মিটার = ১০০ সেমি] 
দ্বিতীয় মান = ১০ সেমি

এখন অনুপাত = ১৫০ সেমি : ১০ সেমি
= ১৫০ : ১০
= ১৫ : ১ ; [১০ দিয়ে ভাগ করে] 

সুতরাং, ১.৫ মিটার এবং ১০ সেমি-এর অনুপাত হলো ১৫ : ১। 

প্রশ্ন: ক, খ, গ, এর বেতনের অনুপাত ৭: ৫: ৩। খ, গ অপেক্ষা ২২২ টাকা বেশী পেলে ক এর বেতন কত?

সমাধান:
ধরি,
ক এর বেতন = ৭ক
খ এর বেতন = ৫ক
গ এর বেতন = ৩ক
প্রশ্নমতে,
৫ক - ৩ক = ২২২
⇒ ২ক = ২২২
⇒ ক = ১১১
ক এর বেতন:
৭ক = ৭ × ১১১ = ৭৭৭ টাকা।

ধরি, কিউব ক এর সাইড ২x একক
এবং, কিউব খ এর সাইড x একক
∴ তল দুটির অনুপাত = ৬(২x)^২ : ৬(x)^২ = ২৪x^২ : ৬x^২ = ৪ : ১

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে সোনা ও রূপার অনুপাত ৭ : ৫। যদি মিশ্রণের মোট ওজন ৬০০ গ্রাম হয়, তবে রূপার ওজন কত?

সমাধান:
সোনা ও রূপার অনুপাত = ৭ : ৫
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৭ + ৫ = ১২

মিশ্রণের মোট ওজন = ৬০০ গ্রাম
∴ মিশ্রণে রূপার ওজন = ৬০০ এর (৫/১২) গ্রাম
= ২৫০ গ্রাম

প্রশ্ন: ১০০০০ টাকা ২ : ৩ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি মোট টাকার কত অংশ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাত = ২ : ৩ : ৫
অনুপাতগুলোর যোগফল = (২ + ৩ + ৫) = ১০

∴ ক্ষুদ্রতর অংশ = ১০০০০ × (২/১০) = (১০০০ × ২) = ২০০০ টাকা
∴ বৃহত্তর অংশ = ১০০০০ × (৫/১০) = (১০০০ × ৫) = ৫০০০ টাকা

∴ বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি = (২০০০ + ৫০০০) টাকা = ৭০০০ টাকা

এখানে,
মোট টাকার অংশ = (বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি)/মোট টাকা
= ৭০০০/১০০০০
= ৭/১০ অংশ

প্রশ্ন: যদি A : B = ২ : ৩, B : C = ৪ : ৫, C : D = ৬ : ৭ হয়, তবে A : D কত?

সমাধান:
A : D = (A : B) × (B : C) × (C : D)
= (A/B) × (B/C) × (C/D)
= (২/৩) × (৪/৫) × (৬/৭)
= ৪৮/১০৫
= ১৬/৩৫
= ১৬ : ৩৫