অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্নমতে, (৩ক + ১০)/(৭ক + ১০) = ১/২
বা, ৬ক + ২০ = ৭ক + ১০
বা, ক = ১০
সুতরাং, ছোটো সংখ্যাটি = ৩ক = ৩০

প্রশ্ন: ২০ লিটার মিশ্রনে ২০% অ্যালকোহল এবং বাকিটা পানি আছে। যদি মিশ্রনে ৫ লিটার পানি যোগ করা হয় তবে মিশ্রনে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট মিশ্রণ = ২০ লিটার
অ্যালকোহল = ২০%
পানি = (১০০ - ২০)% = ৮০% 

∴ মিশ্রণে অ্যালকোহলের পরিমাণ = ২০ এর ২০%
= ২০ এর ২০/১০০ = ৪ লিটার 

∴ পানির পরিমাণ = ২০ - ৪ = ১৬ লিটার

আবার,
৫ লিটার জল যোগ করার পর, 
নতুন পানি  = ১৬ + ৫ = ২১ লিটার
নতুন মোট মিশ্রণ = ৪ + ২১ = ২৫ লিটার

∴ নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ = (৪/২৫) × ১০০% = ১৬% 

∴ নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ = ১৬%

সোনাঃতামা = ৩ঃ১
∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ১ = ৪
∴ গয়নায়,
সোনার পরিমাণ = ৩২ × ৩/৪ = ২৪ গ্রাম
তামার পরিমাণ = ৩২ × ১/৪ = ৮ গ্রাম
ধরি,
a গ্রাম সোনা মিশাতে হবে।
∴ (২৪ + a):৮ = ৪ঃ১
বা, (২৪ + a)/৮ = ৪/১
বা, ২৪ + a = ৩২
∴ a = ৮

প্রশ্ন: ৬, ১০ ও ১২ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
৬ × ৪র্থ সংখ্যা = ১০ × ১২
৪র্থ সংখ্যা = (১০ × ১২)/৬
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ২০

∴ ৬, ১০ ও ১২ এর চতুর্থ সমানুপাতিক সংখ্যা হবে ২০।

ধরি,
১ম, ২য়, ৩য় অংশ যথাক্রমে x, ৫x, ৪x
প্রশ্নমতে,
x + ৫x + ৪x = ৫০
বা, ১০x = ৫০
বা, x = ৫০/১০
= ৫
∴ প্রথম টুকরার দৈর্ঘ্য = ৫
২য় টুকরার দৈর্ঘ্য = ৫ × ৫ = ২৫
৩য় টুকরার দৈর্ঘ্য = ৪ × ৫ = ২০

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা তৃতীয় একটি সংখ্যার তুলনায় প্রথম সংখ্যা ১৫% কম এবং দ্বিতীয় সংখ্যা ২৫% বেশি। এই দুই সংখ্যার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি, 
তৃতীয় সংখ্যা = ১০০

তাহলে, প্রথম সংখ্যা = ১০০ - ১৫% এর ১০০
= ১০০ - ১৫
= ৮৫

এবং দ্বিতীয় সংখ্যা = ১০০ + ২৫% এর ১০০
= ১০০ + ২৫
= ১২৫ 

∴ প্রথম সংখ্যা : দ্বিতীয় সংখ্যা = ৮৫ : ১২৫
= ১৭ : ২৫ ; [উভয়কে ৫ দিয়ে ভাগ করে পাই] 

সুতরাং, সংখ্যা দুইটির অনুপাত ১৭ : ২৫

পরিধি/ব্যাস = ২πr/২r = π = ২২/৭
বাঁ, পরিধি : ব্যাস = ২২ : ৭

প্রশ্ন: A এবং B-এর বর্তমান বয়সের অনুপাত ২ : ৩। দশ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত হবে ৩ : ৪। তবে A ও B-এর বর্তমান বয়সের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্তমানে A : B = ২ : ৩
এবং ১০ বছর পরে A : B = ৩ : ৪

ধরি,
বর্তমানে A-এর বয়স = ২ক বছর
বর্তমানে B-এর বয়স = ৩ক বছর

এবং ১০ বছর পরে, 
A-এর বয়স = ২ক + ১০
B-এর বয়স = ৩ক + ১০

প্রশ্নানুসারে, 
⇒ (২ক + ১০) : (৩ক + ১০) = ৩ : ৪
⇒ (২ক + ১০)/(৩ক + ১০) = ৩/৪
⇒ ৯ক + ৩০ = ৮ক + ৪০ 
⇒ ৯ক - ৮ক = ৪০ - ৩০
∴ ক = ১০ 

∴ (A + B)-এর বর্তমান বয়সের সমষ্টি = ২ক + ৩ক = ৫ক 
= (৫ × ১০) 
= ৫০ বছর

 সুতরাং, A এবং B-এর বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর। 

এখানে, কঃখ = ৪ঃ৭ = ২০ঃ৩৫ [৫ দ্বারা গুণ করে]
এবং খঃগ = ৫ঃ৬ = ৩৫ঃ৪২ [৭ দ্বারা গুণ করে]
সুতরাং কঃখঃগ = ২০ঃ৩৫ঃ৪২

ধরি, ১২ বছর আগে জনের বয়স = ৪x বছর
১২ বছর আগে পিয়ার বয়স = ৫x বছর
প্রশ্নমতে,
৪x+১২+১২ : ৫x+১২+১২ = ৮ : ৯
∴ x = ৬
সুতরাং জন ও পিয়ার বর্তমান বয়সের অনুপাত
= ৪×৬ + ১২ : ৫×৬ + ১২
= ৩৬ : ৪২
= ৬ : ৭

প্রশ্ন: যদি M : N = ২ : ৩, N : P = ৪ : ৫, P : Q = ৬ : ৭ হয়, তবে M : Q কত?

সমাধান:
M : Q = (M : N) × (N : P) × (P : Q)
= (M/N) × (N/P) × (P/Q)
= (২/৩) × (৪/৫) × (৬/৭)
= ৪৮/১০৫
= ১৬/৩৫
= ১৬ : ৩৫

প্রশ্ন: ৬৩ টাকা কেজি দরের চায়ের সাথে ৭৩ টাকা কেজি দরের চা কত অনুপাতে মেশালে মিশ্রিত চায়ের প্রতি কেজির দাম ৬৫.৫০ টাকা হবে?

সমাধান:
ধরি,
৬৩ টাকা কেজি দরের চা = x কেজি
৭৩ টাকা কেজি দরের চা = y কেজি

প্রশ্নমতে,
 ৬৩x + ৭৩y = ৬৫.৫(x + y)
⇒ ৬৫.৫x + ৬৫.৫y = ৭৩y + ৬৩x
⇒ ৬৫.৫x - ৬৩x = ৭৩y - ৬৫.৫y
⇒ ২.৫x = ৭.৫y
⇒ x/y = ৭.৫/২.৫
⇒ x : y = ৩ : ১

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯ ও ৩৬ হলে, এর মধ্য সমানুপাতিক কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১ম রাশি = ৯ এবং 
৩য় রাশি = ৩৬ 
মধ্য সমানুপাতী = ? 

আমরা জানি, 
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ৯ × ৩৬
⇒ মধ্য রাশি = √৩২৪
∴ মধ্য রাশি = ১৮ । 

ধরি,
রিনির বয়স a
∴ ৪৮ঃa = a:১২
বা, ৪৮/a = a /১২
বা, a² = ৫৭৬
∴ a = ২৪

প্রশ্ন: (১/৮) : (১/৪) : (১/২) অনুপাতটি নিচের কোন অনুপাতের সমান?

সমাধান:
(১/৮) : (১/৪) : (১/২)
= (৮/৮) : (৮/৪) : (৮/২)  
= ১ : ২ : ৪

পেট্রোল ∶ অকটেন = ৩ ∶ ২

∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৩/(৩+২) X ৪০ = ২৪ লিটার।
অকটেনের পরিমাণ = ২/(৩+২) X ৪০ = ১৬ লিটার।

নতুন মিশ্রণে,
পেট্রোল ∶ অকটেন = ২ ∶ ৩
= (২ X ১২) ∶ (৩ X ১২)
= ২৪ ∶ ৩৬

∴ অকটেন মিশাতে হবে = ৩৬ - ১৬ = ২০ লিটার।

ধরি, ববি ও কবির কাছে যথাক্রমে ৭x ও ৯x টি আপেল আছে।
প্রশ্নমতে,
৭x+২১ : ৯x-২১ = ৭ঃ৬
⇒ (৭x+২১)/(৯x-২১) = ৭/৬
⇒ ৪২x + ১২৬ = ৬৩x - ১৪৭
⇒ ২১x = ২৭৩
∴ x = ১৩
∴ কবির কাছে ববি অপেক্ষা বেশি আছে = (৯x-৭x) টি
                                                           = ২x টি
                                                           = (২×১৩) ”
                                                           = ২৬ টি

এখানে এসিডঃপানির অনুপাত = ৩ঃ১
তাহলে এসিডের পরিমাণ = ৩/৪ × ৪০ লিটার
= ৩০ লিটার।
এবং পানির পরিমাণ = ১/৪ × ৪০ লিটার
= ১০ লিটার।
সুতরাং শর্তমতে, দ্বিতীয় অনুপাতে এসিডের পরিমাণ একই থাকবে এবং শুধু পানির পরিমাণ পরিবর্তন হবে।
৩০/(১০+ক) = ৩/২
বা, ৩০ + ৩ক = ৬০
বা, ৩ক = ৩০
বা, ক = ১০ লিটার।

প্রশ্ন:  ৫৬ জন শ্রমিক একটি কাজ ২১ দিনে শেষ করতে পারে। ১৪ দিনে কাজটি শেষ করতে হলে নতুন কত জন শ্রমিক লাগবে?

সমাধান:
২১ দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে ৫৬ জন শ্রমিকে 
১ দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে ৫৬ × ২১ জন শ্রমিকে 
১৪ দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে (৫৬ × ২১)/১৪ জন শ্রমিকে 
= ৮৪ জন শ্রমিকে 

নতুন শ্রমিক লাগবে = (৮৪ - ৫৬)জন = ২৮ জন 

সুজেল, রুজেল ও রুবেলের আপেলের অনুপাত
= ১/৬ : ১/৩ : ১/৪
= (১×১২)/৬ : (১×১২)/৩ : (১×১২)/৪
= ২ : ৪ : ৩
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = (২+৪+৩) = ৯
∴ রুবেল আপেল পাবে ২১৬ এর ৩/৯ টি
= ৭২ টি

প্রশ্ন: ১২০ মিটার দীর্ঘ একটি দড়িকে ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে মাঝের টুকরাটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি, টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে = ৩ক, ৪ক, ৫ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক + ৫ক = ১২০
বা, ১২ক = ১২০
∴ ক = ১০

∴ মাঝের টুকরার দৈর্ঘ্য= ৪ক
= ৪ × ১০ = ৪০ মিটার

ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স x বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স (৬০ - x) বছর
প্রশ্নমতে,
(৬০ - x + ৫) : (x + ৫) = ৫ : ২
⇒ (৬৫ - x) / (x + ৫) = ৫ / ২
⇒ ৫(x+৫) = ২(৬৫ - x)
⇒ ৫x + ২৫ = ১৩০ - ২x
⇒ ৭x = ১০৫
∴ x = ১৫

প্রশ্ন: ক : খ = ৭ : ৫ এবং খ : গ = ৮ : ৯ হলে, ক : খ : গ = কত?

সমাধান:
ক : খ = ৭ : ৫ = (৭ × ৮) : (৫ × ৮) = ৫৬ : ৪০
খ : গ = ৮ : ৯ = (৮ × ৫) : (৯ × ৫) = ৪০ : ৪৫
∴ ক : খ : গ  = ৫৬ : ৪০ : ৪৫

প্রশ্ন: ৪৯ : ৮১ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়। 

এখন 
৪৯ : ৮১ এর দ্বিভাজিত অনুপাত =√৪৯ : √৮১ = ৭ : ৯

এখানে,
অনুপাতের রাশিদ্বয়ের সমষ্টি = ৩ + ৪ = ৭
∴ ১৫৪ ÷ ৭
= ২২
সুতরাং সংখ্যাটিকে ৩ : ৪ অনুপাতে বিভক্ত করা যায়

প্রশ্ন: ১৩০ মিটার দীর্ঘ একটি দড়িকে ৩ : ৪ : ৬ অনুপাতে ভাগ করলে মাঝের টুকরাটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি, টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে = ৩ক, ৪ক, ৬ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক + ৬ক = ১৩০
বা, ১৩ক = ১৩০
∴ ক = ১০

∴ মাঝের টুকরার দৈর্ঘ্য = ৪ক
= ৪ × ১০ = ৪০ মিটার

প্রশ্ন: ক : খ = ৬ : ৭ এবং খ : গ = ১৪ : ৯ হলে ক : গ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ = ৬ : ৭
খ : গ = ১৪ : ৯

প্রথম অনুপাত থেকে, ক/খ = ৬/৭
দ্বিতীয় অনুপাত থেকে, খ/গ = ১৪/৯

এখন,
ক/গ = (ক/খ) × (খ/গ)
= (৬/৭) × (১৪/৯)
= ৮৪/৬৩
= ৪/৩

∴ ক : গ = ৪ : ৩

ধরি, 50 পয়সার মুদ্রা সংখ্যা = x টি।
প্রশ্নমতে,
0.5x+ 0.25×2x+0.1×5x = 33
Or, 0. 5x+ 0.5x+0.5x = 33
Or, 1.5 x = 33
Or, x = 22
সুতরাং, শুধু 50 পয়সার মুদ্রা মিলিয়ে সেখানে = 0.5×22 = 11 টাকা আছে।

এখানে, a:b = ৪ঃ১
∴ a:b এর দ্বিগুণানুপাত = ১৬ঃ১