অংশীদারী হিসাব, অনুপাত ও সমানুপাত

প্রশ্ন: হাফিজের বোনের বয়স হাফিজের বয়সের ও তাঁর বাবার বয়সের মধ্য-সমানুপাতী। হাফিজের বয়স ১২ বছর, বাবার বয়স ৪৮ বছর হলে বোনের বয়স কত?

সমাধান:
হাফিজের বয়স=ক = ১২ বছর
হাফিজের বোনের বয়স= খ বছর
হাফিজের বাবার বয়স = গ =৪৮বছর

সমানুপাতীর সূত্রানুসারে
ক : খ = খ : গ
ক/খ = খ /গ
খ২ = ক × গ
খ = √(১২ × ৪৮)
খ = √৫৭৬
খ = ২৪

হাফিজের বোনের বয়স = ২৪ বছর

মনে করি,
সংখ্যা পাঁচটি - x - ২, x - ১, x, x + ১, x + ২
∴ সমষ্টি = x - ২ + x - ১ + x + x + ১ + x + ২ = ১০০
বা, ৫x = ১০০
∴ x = ২০
∴ ১ম সংখ্যাটি = ২০ - ২ = ১৮
শেষ সংখ্যাটি = ২০ + ২ = ২২
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার অনুপাত = ২২ঃ১৮ = ১১ঃ৯

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি দড়িকে ৬ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে শেষ টুকরাটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি, টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে = ৬ক, ৪ক, ৫ক

প্রশ্নমতে,
৬ক + ৪ক + ৫ক = ১৫০
বা, ১৫ক = ১৫০
∴ ক = ১০

∴ শেষ টুকরার দৈর্ঘ্য = ৫ক
= ৫ × ১০
= ৫০ মিটার

(দ্বিতীয় রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
বা, (দ্বিতীয় রাশি)^২ = ৪ × ৬৪
বা, (দ্বিতীয় রাশি)^২ = ২৫৬
বা, দ্বিতীয় রাশি = ১৬
দ্বিতীয় রাশি হচ্ছে মধ্য সমানুপাতি
সুতরাং, মধ্য সমানুপাতি = ১৬

প্রশ্ন: ৬, ১৫ এবং ৩৬ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
বা, ৬ × ৪র্থ সংখ্যা = ১৫ × ৩৬
বা, ৪র্থ সংখ্যা = (১৫ × ৩৬)/৬
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ৯০ 

প্রশ্ন: তামা, দস্তা ও রুপার একটি মিশ্রণে তামা ও দস্তার অনুপাত ১ : ২ এবং দস্তা ও রুপার অনুপাত ৩ : ৫। ৯৫ গ্রাম ওজনের ওই মিশ্রণে কত গ্রাম তামা আছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
তামা : দস্তা = ১ : ২
দস্তা : রুপা = ৩ : ৫

তামা : দস্তা : রুপা = (১ × ৩) : (২ × ৩) : (৫ × ২)
সুতরাং, তামা : দস্তা : রুপা = ৩ : ৬ : ১০

∴ মিশ্রণের পরিমাণ মোট = ৩ + ৬ + ১০ = ১৯ অংশ
এবং মিশ্রণের মোট ওজন = ৯৫ গ্রাম

∴ তামার পরিমাণ = (৩/১৯) × ৯৫
= ৩ × ৫
= ১৫ গ্রাম

সুতরাং, মিশ্রণে ১৫ গ্রাম তামা আছে।

১.৫ টাকায় লাভ হয় ২-১.৫= ০.৫০ টাকা
সুতরাং, ১০০ টাকায় লাভ হয় (০.৫/১.৫)×১০০ = ৩৩.৩৩%

ত্রিভূজের কোনের পরিমাণ বিষম।
সুতরাং বাহুগুলো বিষম হবে।
সুতরাং ত্রিভূজটি বিষমবাহু।

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ২ এবং ৩২ হলে, মধ্যসমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে,
(২য় রাশি)² = ১ম রাশি × ২য় রাশি
⇒ (২য় রাশি)² = ২ × ৩২
⇒ (২য় রাশি)² = ৬৪
⇒ (২য় রাশি) = √৬৪
∴ ২য় রাশি = ৮

∴ মধ্যসমানুপাতিক হলো ৮

মনে করি, সেচের পরে ক কুইন্টাল ধান ফলে।
প্রশ্নমতে, ৩০৪ঃক = ৪ঃ৭
বা, ক = (৭×৩০৪)/৪ = ৫৩২ কুইন্টাল।

প্রশ্ন: 300 গ্রাম চিনির একটি মিশ্রণে 40% চিনি রয়েছে। ঐ দ্রবণে চিনির পরিমাণ 50% করতে অতিরিক্ত কতটুকু চিনি যোগ করতে হবে?

সমাধান: 
দ্রবণে চিনি আছে = 300 এর 40% 
= 300 × (40/100)
= 120 গ্রাম 
এবং, ঐ দ্রবণে অন্য পদার্থ আছে = 300 - 120 = 180 গ্রাম (অপরিবর্তিত থাকবে)

আবার,
ধরি, 
অতিরিক্ত x গ্রাম চিনি যোগ করতে হবে।
∴ নতুন মিশ্রণের মোট পরিমাণ = 300 + x গ্রাম
∴ নতুন চিনির পরিমাণ = 120 + x গ্রাম
প্রশ্নানুযায়ী, নতুন মিশ্রণে চিনির পরিমাণ 50% হবে।

প্রশ্নমতে,
(120 + x)/(300 + x ) = 50%
⇒ (120 + x)/(300 + x ) = 50/100
⇒ (120 + x)/(300 + x ) = 1/2
⇒ 240 + 2x = 300 + x 
⇒ 2x - x = 300 - 240
∴ x = 60

 অর্থাৎ আরো 60 গ্রাম চিনি যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: দুধ বিক্রেতা দুধের সাথে কিছু পরিমাণ পানি মিশিয়ে বিক্রয় করায় ১৫% লাভ করে। মিশ্রণে পানি ও দুধের অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
১ লিটার দুধের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

১৫% লাভে,
দুধ ও পানির মিশ্রণের বিক্রয়মূল্য (১০০+ ১৫) = ১১৫ টাকা

১০০ টাকায় যদি ১ লিটার দুধ ক্রয় করা যায়
তাহলে, ১১৫ টাকায় বিক্রয় করা যাবে = ১১৫/১০০ = ২৩/২০ লিটার
অর্থাৎ, দুধওয়ালা ১০০ টাকা দিয়ে ১ লিটার দুধ কিনে দুধের সাথে পানি মিশিয়ে ১১৫ টাকা দিয়ে অর্থাৎ ১৫% লাভে ২৩/২০ লিটার বিক্রয় করে।

∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {(২৩/২০) - ১} লিটার
= (২৩ - ২০)/২০ লিটার
= ৩/২০ লিটার

∴ পানি ও দুধের অনুপাত = (৩/২০) : ১
= ৩ : ২০ [ ২০ দ্বারা গুণ করে]

প্রশ্ন: ক : খ = ৯ : ৪ এবং খ : গ = ১২ : ১৩ হলে, ক : খ : গ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ = ৯ : ৪
খ : গ = ১২ : ১৩

এখানে খ এর মান দুইটি ভিন্ন (৪ এবং ১২)
৪ এবং ১২ এর ল.সা.গু = ১২

প্রথম অনুপাতকে ৩ দিয়ে এবং দ্বিতীয় অনুপাতকে ১ দিয়ে গুণ করি,
ক : খ = (৯ × ৩) : (৪ × ৩) = ২৭: ১২
খ : গ = (১২ × ১) : (১৩ × ১) = ১২: ১৩

∴ ক : খ : গ = ২৭ : ১২ : ১৩

ধরি,
রহিমের বেতন = ১০০ টাকা
তাহলে,
সুমনের বেতন = ১০০ এর ২১০% = ২১০ টাকা
লিজার বেতন = ১০০×২ = ২০০ টাকা
লিটনের বেতন = ২০০ এর ৭০% = ১৪০ টাকা
∴ সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত = ২১০ : ১৪০ = ৩ : ২

প্রশ্ন: P : Q = 3 : 4, Q : R = 6 : 7 এবং R : S = 5 : 8 হলে, Q : S = কত?

সমাধান:
Q : R = 6 : 7 = (6 × 5) : ( 7 × 5) = 30 : 35
R : S = 5 : 8 = (5 × 7) : (8 × 7) = 35 : 56

Q : S = 30 : 56 = 15 : 28

আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে ১ম রাশি ✕ ৩য় রাশি = (২য় রাশি)^২,
যেখানে, ১ম রাশি = ৭, ৩য় রাশি = ৩৪৩

(২য় রাশি)^২ = ৭ × ৩৪৩
২য় রাশি = ৪৯

শেয়ারের লাভ বা ক্ষতি সবসময় শেয়ারের ফেসভ্যালু বা অভিহিত মূল্যের উপর হয়। বাজারমূল্যের উপর নয়।
অর্থাৎ, কোন শেয়ারের ফেসভ্যালু বা অভিহিত মূল্য ১০০ টাকা হয়, কেউ যদি তা বাজার মূল্য ১২০ টাকায় ক্রয় করে এবং যদি বলা হয় সে শতকরা ৫ টাকা লাভ করে, তাহলে লাভের পরিমাণ হবে ৫ টাকা হবে ৬ টাকা নয়। আমরা এভাবে বলব, বাজারমূল্য ১২০ টাকায় লাভ হয় ৫ টাকা।

প্রদত্ত প্রশ্নে যে শেয়ার প্রতি লভ্যাংশ ৯ টাকা লাভ হয় তা অভিহিত মূল্যের ১০০ টাকার শেয়ারের হয়। যে শেয়ারের বাজারমূল্য ১৫০ টাকা

১৫০ টাকায় লাভ হয় = ৯ টাকা
৯০০০০০ টাকায় লাভ হয় = (৯০০০০০ × ৯)/১৫০ টাকা
= ৫৪০০০ টাকা

প্রশ্ন: কোন একজন মহিলার ২৪০৭৫ টাকা ছিল। তিনি নিজের জন্য ৬৭৫ টাকা রেখে অবশিষ্ট টাকা স্বামী, মা এবং কন্যাদ্বয়ের মধ্যে ১/৪ : ১/৬ : ২/৩ অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। প্রত্যেক কন্যা কত পেল?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট টাকা = ২৪০৭৫
নিজের জন্য রেখেছেন = ৬৭৫
∴ বাকি রইল = ২৪০৭৫ - ৬৭৫ = ২৩৪০০ টাকা
আবার,
দেওয়া অনুপাত,
স্বামী : মা : কন্যাদ্বয়
= ১/৪ : ১/৬ : ২/৩
= (১/৪ × ১২) : (১/৬ × ১২) : (২/৩ × ১২)
= ৩ : ২ : ৮

∴অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ২ + ৮ = ১৩

∴ দুই কন্যা = ২৩৪০০ × (৮/১৩) = ১৪৪০০ 

∴ প্রত্যেক কন্যা পায় = ১৪৪০০/২ = ৭২০০ টাকা। 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি সপ্তাহে ১৫০০ টাকা আয় করেন এবং ১২০০ টাকা ব্যয় করেন। তার সঞ্চয় ও আয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকটির আয় = ১৫০০ টাকা 
এবং ব্যয় = ১২০০ টাকা 

∴ সঞ্চয় = (১৫০০ - ১২০০) = ৩০০ টাকা 

সুতরাং,
সঞ্চয় ও আয়ের অনুপাত = ৩০০ : ১৫০০ = ১ : ৫

তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। 
a/b = b/c 
⇒ b² = ac 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত হলো ৩ : ৮ এবং তাদের অন্তর ১১৫। দুটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৮
তাদের অন্তর = ১১৫

ধরি, দুটি সংখ্যা = ৩ক এবং ৮ক
∴ অন্তর = বৃহত্তর সংখ্যা - ক্ষুদ্রতর সংখ্যা
⇒ ৮ক - ৩ক = ১১৫
⇒ ৫ক = ১১৫
⇒ ক = ১১৫/৫
∴ ক = ২৩

এখন সংখ্যা দুটি হলো, 
প্রথম সংখ্যা = ৩ × ২৩ = ৬৯
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৮ × ২৩ = ১৮৪

সুতরাং, দুটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৮৪। 

এখানে, ১ম রাশি = ১০
২য় রাশি = ৪০
৩য় রাশি = ৫০
আমরা জানি, ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
৪র্থ রাশি = ( ৪০ × ৫০ )/১০ = ২০০ 

শরবতে,
চিনি = ৩০%
∴ পানি = ৭০%
∴ পানি : চিনি = ৭০ : ৩০
= ৭ : ৩

মনে করি, সংখ্যাদ্বয় ৬x, ১১x
∴ ৬x + ১১x = ১৮৭
বা, ১৭x = ১৮৭
∴ x = ১১

∴ পূর্বরাশি = ৬×১১ = ৬৬
∴ উত্তর রাশি = ১১×১১ = ১২১

প্রশ্ন: তিন ভাইয়ের বয়সের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫। সবচেয়ে বড় ভাইয়ের বয়স ৩০ বছর হলে, দ্বিতীয় ভাইয়ের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
তিন ভাইয়ের বয়সের অনুপাত = ৩ : ৪ : ৫
সবচেয়ে বড় ভাইয়ের বয়স = ৩০ বছর
এবং অনুপাতে সবচেয়ে বড় অংশ = ৫ অংশ

সুতরাং, ৫ অংশ = ৩০ বছর
∴ ১ অংশ = ৩০/৫ = ৬ বছর

∴ দ্বিতীয় ভাইয়ের অংশ = ৪ অংশ
∴ দ্বিতীয় ভাইয়ের বয়স = ৪ × ৬ = ২৪ বছর

সুতরাং, দ্বিতীয় ভাইয়ের বয়স ২৪ বছর। 

প্রশ্ন: ক ও খ এর বেতনের অনুপাত ৭ : ৫। ক, খ অপেক্ষায় ৪০০ টাকা বেশি বেতন পেলে খ এর বেতন কত? 

সমাধান:
ধরি, ক-এর বেতন = ৭x
এবং খ-এর বেতন = ৫x

প্রশ্নানুসারে, ক খ-এর চেয়ে ৪০০ টাকা বেশি পায়।
∴ ৭x - ৫x = ৪০০
⇒ ২x = ৪০০ 
⇒ x = ২০০

সুতরাং খ-এর বেতন = ৫x = ৫ × ২০০ = ১০০০ টাকা